(1) Df = ^L=ì ka^-\

LE CALCUL DIFFÉRENTIEL DANS LES CORPS
DE CARACTÉRISTIQUE p > 0.
JEAN DIEUDONNé
La théorie dont j'ai l'honneur de parler ici est le développement d'idées
que je n'ai réussi à formuler de façon précise que depuis assez peu de temps;
aussi serait-il plus juste de parler d'un embryon de théorie, et je m'excuse d'a-
vance du caractère très incomplet des résultats obtenus jusqu'ici. Ce ne sont
pas par contre les problèmes qui manquent, et qui, comme j'espère vous en
convaincre, se présentent de la façon la plus naturelle; et s'il est vrai que les
problèmes sont la nourriture même du mathématicien, ce sera là ma justifica-
tion.
1. Dérivations et semi-dérivations1). On sait que, depuis sa fondation, le
caractère formel du Calcul différentiel n'a cessé de frapper les mathématiciens,
jusqu'à en constituer à leurs yeux, à certaines époques, l'élément essentiel.
Mais ce n'est guère que depuis une cinquantaine d'années qu'il a été possible de
donner à ces idées une forme rigoureuse, grâce à l'introduction des notions de
polynôme abstrait et de série formelle. Bornons-nous au cas le plus simple;
dans l'anneau if[[X"]] des séries formelles à une indéterminée sur un corps
commutatif quelconque K, la „dérivation par rapport à X" est l'opération qui
00
à toute série formelle f(X) = S akXk, fait correspondre la série formelle
fc=0
(1)
Df =
^L=ì ka^-\
aA k=0
et on constate immédiatement que cette opération jouit des trois propriétés
essentielles de la dérivée classique, savoir
(2) D(f + g)=Df + Dg, D(Xf) = XDf pour XeK, D(fg) = fDg + gDf.
Je ne m'étendrai pas ici sur l'extension de cette notion de „dérivation" aux
algèbres quelconques, ni sur les diverses généralisations qui en ont été intro-
duites, et dont l'importance, dans les travaux modernes d'Algèbre, de Géomé-
trie algébrique et de Topologie algébrique, n'a plus à être soulignée aujourd'hui.
Signalons seulement la généralisation évidente de la définition (1) aux séries
1)
Les numéros entre crochets renvoient à la bibliographie placée à la fin de ce travail.
240

formelles à un nombre quelconque d'indéterminées X^ (1 5g i <g n), avec la
propriété immédiate de permutabilité des „dérivées partielles" 3/9Xz- (l^i^n),
Dans les propriétés fondamentales (2), la caractéristique du corps K
n'intervient pas. Mais elle fait son apparition dès que l'on s'occupe des „déri-
vées d'ordre supérieur" et de ce qu'on peut considérer comme la formule fon-
damentale du Calcul différentiel classique, la formule de Taylor. Si K est de
caractéristique 0, cette dernière s'établit pour les séries formelles comme dans
le cas classique, et on a donc
(3) /(X + Y) = S (kl)-1D^f(X)Y^
fc=0
(Y étant une seconde indéterminée). Mais si K est de caractéristique p > 0, on
a k\ = 0 pour k ^ p, et d'autre part il résulte immédiatement de (1) que l'on
a Dp = 0 (et par suite Dh = 0 pour k ^ p); autrement dit, les termes de (3)
n'ont plus de sens après celui de degré p — 1.
Mais il est clair que l'on peut toujours „développer" /(X + Y) suivant
les monômes Ylù, quelle que soit la caractéristique de K, et par suite écrire
(4) f(X + Y) = ÎA,J(X)Y"
fc=0
ou les Ah sont des opérateurs linéaires dans l'anneau i£[[X]] ; d'où l'idée na-
turelle d'étudier ces opérateurs, qui, dans le cas où la caractéristique est ^ 0,
jouent en quelque sorte le rôle des „dérivées d'ordre supérieur". Cette idée a
sans doute été introduite pour la première fois par H. Hasse, F. K. Schmidt et
O. Teichmüller ([6], [7], [9]), qui, ainsi que leurs élèves, ont commencé l'étude
des opérateurs Ah et ont cherché à s'en servir dans diverses questions d'algèbre,
On constate aussitôt, par multiplication des formules (4) pour / et g, que la
propriété fondamentale des dérivations, la troisième relation (2), est remplacée
par une „formule de Leibniz"
m
(5) 4»(te)=2^*/4»-*g;
7c=0
d'autre part, en exprimant /(X + Y -f Z) de deux manières, on a les relations
A A /M + n\
A
(6) àmAn =[ „ J
Am+n-
Il semble donc (et c'est le point de vue des auteurs précités) que l'on ne puisse
étudier les opérateurs Ak isolément, mais uniquement le système qu'ils forment,
avec les relations (ô) et (6) qui les relient; et on conçoit sans peine que le ma-
niement d'un tel système présente des difficultés considérables. Mais il est
241

possible d'envisager ces opérateurs d'un autre point de vue: de même qu'en
caractéristique 0, les Ak ne sont autre que les monômes Dk/k !, on peut chercher
un „système de générateurs" des opérateurs Ak en caractéristique p. On con-
state aisément que, si on pose Dh = A^ (h = 0, 1, .. .,), les Dh sont de tels
oo
générateurs; et de façon précise, si m = S anph avec 0 ^ aÄ ^ p — 1 et aA = 0
à partir d'un certain rang (développement ^-adique de m), on a [3]
(?) Am = n Ko-1^».
On est donc ramené à l'étude des Dh, et on vérifie aussitôt les propriétés
suivantes de ces opérateurs: 1) restreint à l'anneau K[[XP ]] des séries for-
melles en Xp , Dh est une dérivation; 2) plus généralement, on a
(8) Dh(fg) = fDtf + gDJ
pourvu que Vune au moins des séries formelles f, g appartienne à K\\XV ]].
L'intérêt de ces propriétés est que, contrairement à (5) et (6), elles font inter-
venir l'opérateur Dh individuellement, et sont par suite beaucoup plus mania-
bles; mais elles ne déterminent pas Dh et on est donc conduit à étudier tous les
opérateurs ayant ces propriétés.
Plaçons-nous tout de suite dans l'algèbre o = K[[xlt . . ., xn]\ des séries
formelles à n indéterminées xi (1 fg i ^ n) sur un corps K de caractéristique
p > 0; on désignera par or la sous-algèbre des séries formelles en xf, . . ., x%.
Nous dirons qu'un opérateur A dans fl est une semi-dérivation de hauteur r si
A (or) C or et si l'on a
(9) A{fg) = fAg + gAf
pourvu que l'une au moins des deux séries formelles /, g appartienne à 0T. Il est
immédiat que A(l) = 0 et que la restriction de A à or est une dérivation; la
formule de Leibniz montre alors que A s'annule dans o^. Nous dirons que A est
une semi-dérivation spéciale de hauteur / si elle s'annule dans or; toute semi-
dérivation de hauteur r est donc une semi-dérivation spéciale de hauteur r + 1.
On vérifie aisément les propriétés suivantes:
3) Si A est une semi-dérivation de hauteur r, il en est de même deAvet de fA,
où feOr.
4) Si Av A2 sont deux semi-dérivations de hauteur r, il en est de même de
[Alt A2] = AXA2 — A2AX; en outre, \AX,A2\ est spéciale si A1 ou A2 l'est.
5) Si A
v
A a sont deux semi-dérivations spéciales de hauteur r, il en est de
même de AXA2 et de gA± pour toute série formelle g.
On peut encore dire que les semi-dérivations de hauteur r forment une
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algèbre de Lie ®r sur l'anneau or, dans laquelle les semi-dérivations spéciales
forment un idéal ©,,; en outre, @r est une algèbre associative sur l'anneau 0.
Désignons en outre par DMf le coefficient de yf dans le „développement
de Taylor" de f(x1 -f ylt . . ., xn + yw), où les yt sont w indéterminées; Du est
une semi-dérivation de hauteur h, telle queDw(#f') = ôti (indice de Kronecker),
DM(x^ . . . x^f) = 0 si tous les a,,- sont < ^7l; on a DuDkj = DkjDhi quels que
soient les indices, et DfH = 0. On montre alors que le o-module @r a une base
r—1 n
formée des produits II II Dfhf, où 0 5g A7ii <p et les XM ne sont pas tous nuls;
7i=0 <=i
et d'autre part, leor-module S),, est somme directe de ©r et duor-module ayant pour
base les Dri (1 ^ i 5j n). Il est commode ici d'introduire des notations abrégées;
pour tout système a = (<xv . . ., an) de n entiers ^ 0, on pose xa = x^x^ . . .
oo
x*n; si aÄ- = S AÄ^A est le développement ^-adique de ae- (1 ^i t=i n), on pose
co n
Z)a = Il II Dfy. On dit que a est de hauteur r si r -f 1 est le plus petit entier tel
que les Xhi soient tous nuls pour h ^ r + 1, et on pose r = Ä(a). On écrit aussi
00 «
| a | = ocx + a2 + . . . + aw („degré total" dea, oude#a), eta! = II II XM\, si
bien que la „formule de Taylor" prend la forme
(10) /(% + yl9. . ., xn +yn)=X-yaDJ.
a a!
2. Groupes de Lie formels et hyperalgèbres de Lie. Il paraît vraisemblable
que les notions introduites ci-dessus puissent avoir de nombreux usages en
algèbre; j'ai indiqué comment on est amené assez naturellement à les introduire
dans la théorie des extensions radicielles d'exposant quelconque [2]. Je vais
me borner ici à montrer comment elles servent à bâtir une théorie de Lie pour
les „groupes de Lie formels" sur un corps K de caractéristique p > 0 (voir
[4] et [5]).
Un groupe de Lie formel de dimension n (qu'il vaudrait peut-être mieux
appeler une „loi de groupe"2)) sur un corps commutatif K consiste en la donnée
de n séries formelles à coefficients dans K, sans terme constant, par rapport à
2n indéterminées, (pi(xlt . . ., xn, ylf .. ., yn), satisfaisant aux conditions
(n) ç>(ç>(x, y), z) = ç>(x, <p(y>z))
(12) <p(x, e) =cp(e,x) =x
2)
Dans cette conception, il ne subsiste en effet plus rien de la notion „ensembliste"
de groupe; on ne peut même plus parler d'un „élément" du groupe, et il n'est pas question,
en général, de „substituer" des valeurs quelconques aux indéterminées x{.
243

où on a posé x = (xv . .., xn), y = (yv . . ., yn), z = (zlf . . ., zn) fo nouvelles
indéterminées), cp = (q>v . . ., cpn) et e = (0, . . ., 0). On tire aussitôt de là que
les termes du premier degré de q?t sont xt + yi}, et qu'il existe n séries formelles
0^(x) telles que <p(x, 0(x)) = <p(0(x),x) =x (autrement dit, l'„associativité"
et l'existence d'un „élément neutre" entraînent l'existence d'un „inverse").
La loi de composition d'un groupe de Lie au sens classique, considérée dans un
voisinage de l'élément neutre, donne un exemple de groupe de Lie formel (sur
le corps des nombres réels ou des nombres complexes) ; de même, les „groupes de
Lie algébriques" au sens de Weil-Chevalley ([10], [1]), sur un corps quelconque
•K, donnent des groupes de Lie formels lorsqu'on les considère "localement",
c'est-à-dire que l'on identifie l'anneau local de la variété du groupe en l'élément
neutre avec un sous-anneau d'un anneau de séries formelles.
A partir d'un groupe de Lie formel G, on peut en déduire d'autres par le
procédé du „changement de variables": étant données n séries formelles %
(1 5^ i 5^ n) sans terme constant, dont le jacobien a un terme constant ^ 0,
on considère le système des n séries formelles cp (x, y) = u (^(ir^x), u_1(y)))
par rapport à 2n indéterminées xlt . . ., xn, ylt . . ., yn; il est immédiat que cela
définit un nouveau groupe de Lie formel G, dont la structure n'est pas essen-
tiellement distincte de celle de G; on dira que les n séries formelles % con-
stituent un isomorphisme u de G sur G, et les résultats intéressants de la théorie
seront évidemment ceux qui restent invariants par tout isomorphisme.
Si on veut étudier les groupes de Lie formels sur le modèle de la théorie
classique de Lie, on est conduit à introduire les opérateurs différentiels invariants
par le groupe. Par „opérateur différentiel" au sens strict, on entend une com-
binaison linéaire finie S caDa, où les ca appartiennent à l'anneau o; plus gé-
oc
néralement, si A est un o-module (par exemple un anneau de séries formelles
par rapport aux xi et à certaines autres indéterminées), un „opérateur différen-
tiel" au sens large, à valeurs dans A, sera une somme S oJDa, où les coefficients
a
ca appartiennent à A et sont tels que la somme S caDaf ait un sens pour toute
a
série formelle / e o; on introduira en outre ici l'opérateur différentiel impropie
DQ= I (identité). Des exemples importants de tels opérateurs différentiels au
sens large sont donnés par les opérateurs de translation à gauche et à droite
dans G
(13) Lyf = f(<p(y,x)), BJf = f(v{x,y))
A étant ici l'anneau des séries formelles à 2n indéterminées xi} yi} comme il
résulte aisément de la formule de Taylor et de (12). Cela étant, un opérateur
différentiel D = S caDa est dit invariant à gauche par G (ou simplement in-
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