Tir balistique Pendule amorti

Lycée Carnot - Dijon
MPSI 3
TP SIMULATION NUMÉRIQUE :
RÉSOLUTION D ’ ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
2
Rappel : vous pouvez utiliser la fonction odeint en utilisant
from scipy.integrate import odeint
Tir balistique
On jette un projectile M à partir du point O avec une vitesse v 0 constante,
mais faisant un angle variable avec l’horizontale. Si le projectile est soumis seulement à la gravitation, la trajectoire est connue : ce sera une parabole. On démontre même de façon classique que l’ensemble des trajectoires est « enveloppée » par une parabole, dite de sécurité. Cet exercice a pour objet la visualisation
de cette parabole.
¡ ¢
¡0¢
d2 −−→
OM = ẍÿ = ~
g = −g
1. Résoudre numériquement l’équation
avec
dt 2
g = 9.8 USI. On écrira une fonction resoudre(theta) où theta représente
l’angle de la tangente à l’origine.
On posera Y = (x, y, ẋ, ẏ) et on écrira Ẏ = F (Y , t )...
2. Représenter une trentaine de paraboles, avec des angles variables. Vérifier
v2
g
que la parabole de sécurité est la courbe d’équation y = 0 − 2 x 2 .
2g 2v 0
On pourra stopper les trajectoires dès que y devient strictement négatif.
3. On suppose maintenant que le projectile est soumis à une force de frotte¡ −k ẋ ¢
ment de la forme −k~
v = −k
ẏ .
Modifier les équations, et représenter à nouveau quelques trajectoires du
projectile.
Pendule amorti
¡
¢
g
1. Résoudre l’équation du pendule θ̈ = −k × θ̇ − l sin θ en posant Y = θ, θ̇
avec θ(0) = 0 et quelques valeurs de θ̇(0), pour t ∈ [0, 5] avec quelques centaines
de points. On pourra prendre par exemple k = 0, 2 USI et L = 0, 1 m. Tracer le
graphe des solutions θ en fonction de t ainsi que plusieurs portraits de phase.
g
2. Comparer les résultats avec ceux du pendule non amorti : θ̈ = − ` sin θ.
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