Tir balistique Pendule amorti

MPSI 3 Lycée Carnot - Dijon
TP SIMULATION NUMÉRIQUE :
RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 2
Rappel : vous pouvez utiliser la fonction odeint en utilisant
from scipy.integrate import odeint
Tir balistique
On jette un projectile Mà partir du point Oavec une vitesse v0constante,
mais faisant un angle variable avec l’horizontale. Si le projectile est soumis seule-
ment à la gravitation, la trajectoire est connue : ce sera une parabole. On dé-
montre même de façon classique que l’ensemble des trajectoires est « envelop-
pée » par une parabole, dite de sécurité. Cet exercice a pour objet la visualisation
de cette parabole.
1. Résoudre numériquement l’équation d2
dt2
−−→
OM =¡¨
x
¨
y¢=
~
g=¡0
−g¢avec
g=9.8 USI. On écrira une fonction resoudre(theta) où theta représente
l’angle de la tangente à l’origine.
On posera Y =(x,y,˙ x,˙ y)et on écrira ˙ Y=F(Y,t)...
2. Représenter une trentaine de paraboles, avec des angles variables. Vérifier
que la parabole de sécurité est la courbe d’équation y=
v2
0
2g
−g
2v2
0
x2.
On pourra stopper les trajectoires dès que y devient strictement négatif.
3. On suppose maintenant que le projectile est soumis à une force de frotte-
ment de la forme −k~ v=¡−k˙
x
−k˙ y¢.
Modifier les équations, et représenter à nouveau quelques trajectoires du
projectile.
Pendule amorti
1. Résoudre l’équation du pendule ¨ θ= −k×˙ θ−g
lsinθen posant Y=¡θ,˙
θ¢
avec θ(0) =0 et quelques valeurs de ˙ θ(0), pour t∈[0, 5] avec quelques centaines
de points. On pourra prendre par exemple k=0,2 USI et L=0,1 m. Tracer le
graphe des solutions θen fonction de tainsi que plusieurs portraits de phase.
2. Comparer les résultats avec ceux du pendule non amorti : ¨ θ= − g
`sinθ.
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