Syst`emes polynomiaux : que signifie « résoudre »?

Syst` emes polynomiaux : que signifie «r´ esoudre »?
Universit´ e Lille 1
UE INFO 251
Franc¸ois Boulier
7 septembre 2010

Table des mati` eres
1 Introduction 5
1.1 R´ esoudre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 La chaˆ ıne GB + RS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Le cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Commande de robots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.1 Un robot s´ erie planaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.2 Un robot parall` ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Sch´ ema g´ en´ eral de la partie GB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Sch´ ema g´ en´ eral de la partie RS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
I Les m´ ethodes 16
2 R´ esolution r´ eelle 17
2.1 Suppression des multiplicit´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 Rappels math´ ematiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Division euclidienne, pgcd dans K[x]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.3 Irr´ eductibilit´ e, multiplicit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.4 Factoriser pour r´ esoudre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Algorithme de Vincent – Collins – Akritas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.1 Intervalles d’isolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.2 Quelques bornes et un algorithme ´ el´ ementaire . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.3 L’algorithme de Vincent – Collins – Akritas . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 ´ El´ ements d’arithm´ etique par intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.1 Le probl` eme des d´ ependances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.2 Autre m´ ethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4.1 Suppression des multiplicit´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4.2 Isolation des racines r´ eelles positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.3 Report des racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4.4 Am´ elioration de la pr´ ecision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1

3 Simplification de syst` emes 42
3.1 Solutions, id´ eaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1.1 Solutions d’un syst` eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.2 Id´ eal engendr´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.3 Correspondance entre solutions d’un syst` eme et id´ eal engendr´ e . . . . . . . 44
3.2 Ordres admissibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.1 Termes, monˆ omes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.2 Ordres admissibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 R´ e´ ecriture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4 Bases de Gr¨ obner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5 L’algorithme de Buchberger en MAPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.6 D´ ecider si un syst` eme admet au moins une solution . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.6.1 Application ` a la d´ emonstration automatique . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.7 ´ Eliminer des ind´ etermin´ ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.7.1 Application ` a la d´ emonstration automatique . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.8 ´ Elimination et ´ equation aux abscisses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.9 D´ ecider si un syst` eme admet un nombre fini de solutions . . . . . . . . . . . . . . 55
3.10 Bases de Gr¨ obner sous forme r´ esolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.11 L’algorithme de Buchberger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.11.1 Un syst` eme r´ eduit ` a un unique polynˆ ome est une base de Gr¨ obner . . . . . 60
3.11.2 L’algorithme de Buchberger pr´ eserve la rationnalit´ e . . . . . . . . . . . . . 60
3.11.3 L’intersection d’une droite et d’un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.11.4 L’algorithme de Buchberger contient l’algorithme d’Euclide . . . . . . . . 61
3.11.5 L’algorithme de Buchberger contient le pivot de Gauss . . . . . . . . . . . 62
3.11.6 L’algorithme de Buchberger pr´ eserve les dimensions . . . . . . . . . . . . 62
3.12 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.13 Arrˆ et de l’algorithme de Buchberger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4 Pgcd de polynˆ omes et calcul modulaire 69
4.1 Le probl` eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2 Calcul modulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2.1 Division euclidienne, pgcd dans Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2.2 Anneau Z/nZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2.3 Test d’inversibilit´ e et calcul de l’inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2.4 Le th´ eor` eme chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2.5 Conversions entre rationnels et nombres modulaires . . . . . . . . . . . . . 74
4.3 Application du calcul modulaire au pgcd de deux polynˆ omes . . . . . . . . . . . . 75
4.3.1 Une premi` ere m´ ethode, pr´ esent´ ee sur un exemple . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3.2 Ce que cache l’exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3.3 Nombres premiers malchanceux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3.4 Pgcd dans Z[x]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.3.5 Le probl` eme du degr´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.3.6 Le probl` eme du coefficient dominant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2

4.3.7 Un algorithme pour la premi` ere m´ ethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.3.8 Une seconde m´ ethode, fond´ ee sur le th´ eor` eme chinois . . . . . . . . . . . 80
II Application des m´ ethodes 83
5 Analyse topologique de courbes implicites planes 84
5.1 Points critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.2 Principe de l’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.3 D´ etermination des points de la courbe qui ont mˆ eme abscisse qu’un point critique . 88
5.4 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
III Annexes 92
6 La m´ ethode de Newton 93
6.1 Une ´ equation en une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.1.1 Justification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.1.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.1.3 Convergence de la m´ ethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.2 Deux ´ equations en deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2.1 Justification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.2.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7 Introduction au logiciel MAPLE 100
7.1 Les nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.1.1 Les nombres inexacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.1.2 Les entiers et les rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.1.3 Les nombres irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.2 Variables et symboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.3 Proc´ edures et fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.3.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.3.2 Retourner une valeur en l’affectant ` a un param` etre . . . . . . . . . . . . . 103
7.3.3 Retourner une expression symbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.3.4 Fonctions d´ efinies avec une fl` eche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.3.5 Fonctions et expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.4 Structures de donn´ ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.4.1 S´ equences, listes et ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.4.2 ´ Equations et intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.4.3 Polynˆ omes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.5 Structures de contrˆ ole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.5.1 Les boucles for . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.5.2 La structure if . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3

7.5.3 La boucle while . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.6 ´ El´ ements d’alg` ebre de Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.7 Le paquetage LinearAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Index 116
Bibliographie 121
4