O`U m = 2 OU UN PREMIER p ≡ 1 (mod 4) 1. Introduction Soit k un

TRANSACTIONS OF THE
AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY
Volume 353, Number 7, Pages 2741–2752
S 0002-9947(01)02753-2
Article electronically published on February 7, 2001
SUR LE RANG DU 2-GROUPE DE CLASSES DE
Q(√m, √d)O`
Um=2 OU UN PREMIER p≡1(mod 4)
ABDELMALEK AZIZI AND ALI MOUHIB
Abstract. On the rank of the 2-class group of Q(√m, √d). Let dbe
a square-free positive integer and pbe a prime such that p≡1(mod 4). We
set K=Q(√m, √d), where m=2orm=p. In this paper, we determine the
rank of the 2-class group of K.
R´ esum´ e. Soit K=Q(√m, √d), un corps biquadratique o`um= 2 ou bien un
premier p≡1(mod 4) et d´etant un entier positif sans facteurs carr´es. Dans
ce papier, on d´etermine le rang du 2-groupe de classes de K.
1. Introduction
Soit kun corps de nombres. Si kest un corps quadratique, on sait d’apr`es la
th´eorie des genres, d´eterminer le rang du 2-groupe de classes de k; mais ceci n’est
pas simple pour un corps de nombres quelconque. Si kest un corps biquadratique,
plusieurs math´ematiciens se sont int´eress´es `acetypedeprobl`emes; en particulier
on note les travaux suivants: Dans [Az-93], A. Azizi avait structur´ele2-groupede
classes de tous les corps biquadratiques imaginaires de la forme Q(√−1,√d)o`ud
est un entier naturel sans facteurs carr´es, ayant une 2-partie de nombre de classes
´egale `a4. Demˆeme dans [Be-97], I. Benhamza avait ´etudi´ee le mˆeme probl`eme pour
les corps biquadratiques de la forme Q(√−2,√d)o`udest un entier naturel sans
facteurs carr´es. De plus dans [Mc-Pa-Ra-95], T. M. McCall, C. J. Parry et R. R.
Ranalli avaient d´etermin´e tous les corps biquadratiques imaginaires dont le 2-groupe
de classes est cyclique. D’autre part, dans [Si-95], P. J. Sime avait consid´er´edes
corps biquadratiques r´eels K,quiposs`edent des sous-corps quadratiques, ayant des
2-groupes de classes ´el´ementaires. Sous ces conditions, il avait donn´edes´estimations
sur le 4-rang du 2-groupe de classes de K.
De notre part, on s’est int´eress´e aux corps biquadratiques r´eels K=Q(√m, √d),
tel que m=2oubienmest un nombre premier avec m≡1(mod 4) et dun entier
naturel sans facteurs carr´es, et on d´emontre les r´esultats suivants, sur le rang du
2-groupe de classes de K:
On note par Hle 2-groupe de classes de K,rle nombre des premiers de Q(√m)
qui se ramifient dans Ket eun entier naturel d´efini par 2e=[E:N(K∗)∩E]o`uE
d´esigne le groupe des unit´es de Q(√m)etNl’application norme, alors le rang de
H(rangH)est´egal `ar−1−eet de plus on d´emontre les deux th´eor`emes suivants:
Th´eor`eme 1. Soient k=Q(√m)o`um=2ou bien mest un premier p≡
1(mod 4),K=k(√d)o`udest un entier naturel sans facteurs carr´es et S=
Received by the editors October 13, 1999 and, in revised form, July 8, 2000.
2000 Mathematics Subject Classification. Primary 11R16, 11R29, 11R37.
c
2001 American Mathematical Society
2741
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use

2742 ABDELMALEK AZIZI AND ALI MOUHIB
{q1|dtel que (m
q1)=1et q1premier impair de Q}. S’il existe un premier impair q,
tel que q≡3(mod 4) et q|d,alorse=1ou e=2.Plus pr´ecis´ement on a:
1) Si m=2,ou m=p≡5(mod 8),alors rangH =r−2si et seulement si
∀q1∈S, (−1
q1)=1.
2) Si m=p≡1(mod 8),alors rangH =r−2si et seulement si ∀q1∈S, (−1
q1)=
1et {[d=2cavec (−1
c)=1]ou bien d≡1(mod 4) }.
Th´eor`eme 2. Soient k=Q(√m), tel que m=2ou bien mest un premier p≡
1(mod 4) et K=k(√d)o`udest un entier naturel sans facteurs carr´es, qui n’est pas
divisible par les premiers q≡−1(mod 4).Alorse=0ou e=1;pluspr´ecis´ement
on a:
1) Si m=p≡1(mod 4),alors rangH =r−1si et seulement si ∀q|dtel que
(q
p)=1on a (q p)4=(
p
q)4et [(
2
p)4=(−1)p−1
8si p≡1(mod 8) et d=2c].
2) Si m=2,alors rangH =r−1si et seulement si ∀q|dtel que q≡1(mod 8)
on a (2
q)4=(−1)q−1
8.
A la fin de cet article, on applique nos r´esultats sur des cas particuliers pour
d´emontrerquele2-groupedeclassesdeKest cyclique ou encore qu’il est de type
(2,2).
2. D´ efinition et propri´ et´ es du symbole du reste normique
Soient kun corps de nombres alg´ebrique et Kune extension ab´elienne de con-
ducteur f. Pour chaque id´eal premier Pde k, on d´esigne par fPla plus grande
puissance de Pqui divise f(Pfini ou infini).
Soient b∈k∗et Pun id´eal premier fini ou infini de k. A l’aide du th´eor`eme
d’approximation, il existe un nombre auxiliaire b0v´erifiant:
b0≡bmod fPet b0≡1mod f
fP
.
Alors si (b0)=PnIavec n∈Zet (I,P)=1(n=0siPest infini), on pose
(b,K
P)=(
K
I)o`u(
K
I)d´esigne l’application d’Artin dans l’extension K/k appliqu´ee
`a l’id´eal I.
Soit mun entier naturel. On suppose que kcontient les racines m-i`emes de
l’unit´eetqueKest de la forme K=k(m
√a)o`ua∈k∗.Pour b∈k∗,ond´efinit le
symbole du reste normique par:
(b, a
P)m=(b, k(m
√a)
P)( m
√a)
m
√a
o`uPest un id´eal premier de k.
Si Pne divise pas le conducteur de k(m
√a)/k,onpose:
(a
P)m=(k(m
√a)
P)( m
√a)
m
√a.
Propri´et´es du symbole du reste normique:
1) (b1b2,a
P)m=(
b1,a
P)m(b2,a P)m,
2) Si Pne divise pas le conducteur fde l’extension k(m
√a)/k et apparait dans
(b)`a l’exposant e,alors(
b, a
P)=(a P)−e
mo`uvP(b)=e,
3) (b, a
P)m=1,siPn’apparait ni dans fni dans (b),
4) QP(b, a
P)m=1,
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use

SUR LE RANG DU 2-GROUPE DE CLASSES DE Q(√m, √d)2743
5) (b, a1a2
P)m=(
b, a1
P)m(b, a2 P)m,
6) (b, a
P)m=(
a, b
P)−1
m,
7) (−x, x
P)m=1∀x∈k.
3. Rang du 2-groupe de classes de certains corps biquadratiques
Notations:
K: Corps biquadratique r´eel.
k: Sous-corps quadratique de Kde nombre de classes impair.
(a, d
P): C’est le symbole du reste normique d’indice 2 qu’on note (a, d P)2.
E: Le groupe des unit´es de k.
N: L’application norme.
r: Le nombre des premiers de kqui se ramifient dans K.
e: Entier naturel d´efini par 2e=[E:E∩N(K∗)].
: L’unit´efondamentaledek.
H: Le 2-groupe de classes de K.
On sait d’apr`es [Gr-73] que le nombre des 2-classes ambigues de K/k est ´egal `a
2r−1−e=2r−1
[E:E∩N(K∗)] .
Lemme 1. On garde les mˆemes notations que pr´ec´edemment. Alors le rang de H
est ´egal `ar−1−e.
Preuve. Soit fl’homomorphisme de groupes d´efini de Hdans H2par:
[I]f
7−→ [I]2o`uH2d´esigne le sous groupe de Hform´e par les carr´es de H.
L’homomophisme fest surjectif, de plus on a: Kerf ={[I]∈H/[I]2=1}.
Si [I]∈Kerf,alors[I]2=1. OrNK/k(I)=I1+σest un id´eal de ket sa classe
est d’ordre un diviseur de 2. Comme le nombre de classes de kest impair, alors
[I]1+σ=1. Ainsi[I]σ=[I]−1=[I], par suite Kerf n’est rien autre que le groupe
des 2-classes ambigues de K.D’o`u|Kerf|=2
r−1−e.
Ainsi on a |H/H2|=2
r−1−eet le rang de Hest ´egal `ar−1−e. 
Remarque 1.L’entier eest ´egal `a0,1ou2.
En effet: On sait que le groupe des unit´es de Hest engendr´epar−1et. Par
suite on a:
1) e= 0 si et seulement si −1etsont des normes dans l’extension K/k.
2) e= 1 si et seulement si −1 est une norme et ne l’est pas, ou bien −1n’est
pas une norme et ou −est une norme dans l’extension K/k.
3) e= 2 si et seulement si −1,et −ne sont pas des normes dans l’extension
K/k.
Lemme 2. Soient dun entier naturel sans facteurs carr´es, K=k(√d)et u∈k∗
tel que l’id´eal (u), engendr´eparudans k,estnormed’unid´eal de K.Alorsuest
une norme dans K/k si et seulement si (u, d
P)=1pour tout premier Pde kqui se
ramifie dans K.
Preuve. Soient f=Pu1
1...Pun
nle conducteur de l’extension K/k et Pun diviseur
quelconque de f.
On suppose que uest une norme dans l’extension K/k. Alors il existe x∈K,
tel que NK/k(x)=u,parsuiteNK/k(x)≡u(mod Pm)o`uPmest la plus grande
puissance de Pqui divise le conducteur fde K/k.Ainsi(
u, d
P) = 1 pour tout
premier Pde kquiseramifiedansK.
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use

2744 ABDELMALEK AZIZI AND ALI MOUHIB
Inversement: Si ( u, d
P) = 1, pour tout Ppremier de kqui se ramifie dans K,alors
il existe des bi∈Ktels que: u≡N
K/k(bi)(mod Pui
i)o`uPui iest la plus grande
puissance de Piqui apparait dans f. De plus on a:
Soit OKl’anneau des entiers de K,onaPiOK=Y2
io`uYiest un id´eal premier
de K.D’apr`es le th´eor`eme d’approximation on a:
Il existe b∈K,telqueb≡bi(mod Y 2ui
i) pour tout i∈{1,2,...,n}.
Pour σ∈Gal(K/k)onaσ(b)≡σ(bi)(mod Y 2ui
i),par suite
N(b)≡N(bi)(mod Y 2ui
i).
Puisque N(b)etN(bi)∈k,alorsN(b)≡N(bi)(mod Pui
i), d’o`uu≡N(b)(mod Pui i).
Ainsi u(N(b))−1∈kf,1o`ukf,1={x∈k∗/((x),f)=1etx≡1(mod f)}.
L’id´eal (u)estnormed’unid´eal de K,doncu(NK/k(b))−1∈kf,1∩i−1(NK/k(If
K))
o`uIKd´esigne le groupe des id´eaux fractionnaires de K,If
K={Jid´eal de K/(J, f )
=1}et iest l’application de K∗dans IK,d´efini par xi
7−→ (x).
D’apr`es [Ja-73] page 156 on a kf,1∩i−1(N(If
K)) = kf,1∩N(K∗), par suite uest
une norme dans l’extension K/k. 
Remarque 2.Si (u) n’est pas norme d’un id´eal de K, alors l’implication ⇐=n’est
pas toujours v´erifi´ee.
Preuve. Soient k=Q, K =k(√p)o`upest un premier de Qtel que p≡1(mod 4)
et u=p1q1o`up1et q1sont des premiers de Qqui v´erifient ( p
p1)=(p q1)=−1.Le
nombre pest le seul premier de kqui se ramifie dans K.Deplusona:
(u, p
p)=(
p1q1,p
p)=(
p, p1q1
p)=(
p1q1
p)−vp(p)=(
p1q1
p).
Ceci implique que ( u, p
p)=(
p1
p)(q1 p) = 1. D’autre part l’id´eal (u)n’estpasnorme
dans K/k.Eneffet:
L’id´eal (p1) reste inerte dans K,d’o`u(p1)nepeutˆetre norme d’un id´eal de K.
Ainsi (u)nepeutˆetre norme d’un id´eal de K.Parcons´equent l’´el´ement un’est pas
une norme dans l’extension K/k.
Lemme 3. Soient dun entier naturel sans facteurs carr´es et K=k(√d). Si l’id´eal
(u)de kengendr´eparuest norme dans l’extension K/k,alorsQP|f(u, d
P)=1o`u
le produit est pris sur les premiers divisant le conducteur fde l’extension K/k.
Preuve. On sait que QP(u, d
P)=1.
On suppose que Pne se ramifie pas dans K,alorsona(
u, d
P)=(
d
P)−mo`u
m=vP(u).Puisque l’id´eal (u) est norme, alors les premiers divisant (u)quirestent
inerte dans Kdoivent apparaitre dans (u) avec des puissances paires. Ainsi si m
est impair, alors Pse d´ecompose compl´etement dans Ket par suite ( d
P)=1. Ainsi
on a QP|f(u, d
P)=1. 
Remarque 3.Si l’id´eal (u) n’est pas norme dans K, alors le r´esultat pr´ec´edent n’est
pas toujours vrais.
Preuve. Soient k=Q,K=Q(√p)o`upest un premier de Qqui v´erifie p≡
1(mod 4) et u=qtel que ( p
q)=−1.Le nombre pest le seul premier de Qqui se
ramifie dans K.Parsuiteona:
Y
P|f
(u, p
P)=(
q, p
p)=(
p, q
p)=(
q
p)−vp(p)=(
q
p)=−1.
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use

SUR LE RANG DU 2-GROUPE DE CLASSES DE Q(√m, √d)2745
Lemme 4. Soient pun nombre premier impair de Qqui reste inerte dans k/Q,
Pl’id´eal premier de kau dessus de pengendr´eparp,dun entier naturel sans
facteurs carr´es et K=k(√d).OnsupposequePest ramifi´e dans K/k,alorson
a:
∀u∈Z(u, d
P)=1.
Preuve. Si u=u0b2o`uu0et bsont deux entiers, alors (u,d
P)=(
u0,d
P).On se ram`ene
ainsi au cas o`uuest sans facteurs carr´es.
a) On suppose que Pne se ramifie pas dans k(√u)/k.
On a (u, d
P)=(
d, u
P)=(
u
P)−vP(d)o`u(
u
P)d´esigne l’application d’Artin dans
l’extension k(√u)/k appliqu´ee `a l’id´eal premier P. Comme pest inerte dans k,
alors Pse d´ecompose dans k(√u)/k.Parcons´equent (u, d
P)=(u P)=1.
b) On suppose que Pse ramifie dans k(√u).
Le fait que l’id´eal Pse ramifie dans k(√u) implique que p|u(car pest impair).
Par suite ( u, d
P)=(
u, p
P)(u, d0 P)o`ud=d0p.
On a (u, d0
P)=(
d0
P)−1=(
d0
P)=1(onseram`ene au cas a)). Par suite on a
(u, d
P)=(
u, p
P)=(
p, p
P)(u0,p P)o`uu0=u p.Deplusona(
u0,p
P)=(
p, u0
P)=1(mˆeme
d´emonstration que dans a)).
Comme ( p, p
P)=(
−1,p
P)(−p, p P), (−p, p P)=1,et (−1,p P)=(
p, −1
P)=(
−1
P)=1,
alors on a:
∀u∈Z(u, d
P)=1.
4. Preuves des th´ eor` emes
On s’int´eresse `ad´eterminer le rang du 2-groupe de classes de K=Q(√m, √d)
o`um=2oubienm=p≡1(mod 4). Dans toute la suite on va supposer que
k=Q(√m)o`um=p≡1(mod 4) ou bien m= 2. On commence par rappeler
quelques r´esultats utiles dans la suite.
Soit qun premier impair, on pose q∗=(−1)q−1
2q.
Proposition 1. Soit F=Q(√d1,√d2)o`ud1et d2sont deux entiers relatifs sans
facteurs carr´es. Soient p1,...,p
sles diviseurs premiers impairs du discriminant
DFde F. Alors le corps de genres au sens restreint de Fest donn´eparlaformule
suivante:
F(∗)=F(pp∗
1, ..., pp∗
s).
Preuve. Voir par exemple [Be-97]. 
Proposition 2. Soient F=Q(√d1,√d2)o`ud1et d2sont deux entiers relatifs
sans facteurs carr´es et F(∗)le corps de genres au sens large de F.Ond´esigne
par p1,p
2, ..., psles diff´erents premiers ramifi´es dans F/Q et par e1,e 2, ..., esleurs
indices de ramifications. Alors on a
[F(∗):Q]=
1
2Qi=s
i=1 eisi F est r´eel et −1n’est pas un reste normique
modulo un premier p,
Qi=s
i=1 eidans le cas contraire.
Preuve. Voir [Kub-56]. 
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use