1- Arithmetique

Chap1- Arithmétique et fractions
Chap 1:
Arithmétique et fractions
Rappel: La division euclidienne
Exercice 1:
1 Poser les divisions euclidiennes suivantes, puis écrire le résultat en ligne
1a) 57 par 2
b) 376 par 16
c) 210 par 14
2 Compléter le tableau suivant:
2Division euclidienne
de 57 par 2
de 376 par 16
de 210 par 14
dividende
diviseur
quotient
reste
Exercice 2:
Pour chaque égalité préciser le dividende, le diviseur, le quotient et le reste.
71 = 9 x 7 + 8
; 100 = 50 x 2
; 24 212 = 456 x 52 + 500 ; 3 741 = 73 x 51 + 18
égalité
dividende
diviseur
quotient
reste
71 = 9 x 7 + 8
100 = 50 x 2
24 212 = 456 x 52 + 500
3 741 = 73 x 51 + 18
Remarque le reste doit toujours être plus petit que le diviseur
Remarque:
Que peut-on dire par rapport à ce tableau?
Exercice 3:
Elsa a effectué sur sa calculatrice la division de 237 par 36 et a obtenu : 6.583333
1 Quel est le quotient entier de la division de 237 par 36?
1-
2 Comment Elsa va-t-elle obtenir le reste de cette division?
23 Traduire cette division par une égalité?
3-
Exercice 4: Compléter le tableau suivant:
Division euclidienne
dividende
diviseur
quotient
reste
17
23
8
10
de ………….. par …………
de ………….. par …………
542
19
de ………….. par …………
4 913
196
Exercice 5: Compléter le tableau suivant:
L’entier
134
741
618
450
225
935
651
3 456
a pour diviseur
2
3
5
9
Chap 1:
Arithmétique et fractions
I- Divisibilité
Un nombre entier est divisible :
- par 2, si son chiffre des unités est pair,
- par 5, si son chiffre des unités est 0 ou 5,
- par 10, si son chiffre des unités est 0,
- par 3, si la somme de ses chiffres est divisible par 3,
- par 9, si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Exemples :
1) 40 est divisible par 2, 5, 10.
2) 2 346 est divisible par 3
( 2+3+4+6=15 dans la table de 3)
3) 576 est divisible par 3 et par 9 ( 5+7+6=18 dans la table de 3 et de 9)
I- Divisibilité
Ex 11p16: Par quel chiffre faut-il compléter le nombre 25
5 pour qu’il soit divisible:
a) par 9 ?
b) par 5 ?
Ex 8p16: Dans la liste suivante, trouver le nombre qui n’est divisible
ni par2, ni par 3, ni par 5, ni par 7, ni par 9.
112
;
213
;
623
;
2 761
;
1 278
Ex 21p17: Trouver tous les diviseurs des nombres suivants
8
;
12
;
21
;
26
;
535
.
II – Nombres premiers
Un nombre premier est un nombre entier qui possède exactement deux diviseurs
qui sont 1 et lui-même.
Exemples:
• 4=2x2
donc ce n’est pas un nombre premier
•
7 est divisible seulement par 1 et par 7;
c’est un nombre premier.
II – Nombres premiers
Ex 28p17: Parmi les nombres suivants, lesquels sont des nombres premiers?
13
;
18
;
81
;
89
Exercice: Trouver tous les nombres premiers inférieurs à 30?
III – Plus Grand Commun Diviseur (PGCD):
Exercice:
a) Trouver tous les diviseurs de 45.
b) Trouver tous les diviseurs de 36.
c) Donner tous les diviseurs communs de 45 et de 36.
d) Quel est le plus grand diviseur commun de 45 et de 36?
On l’appelle le PGCD de 45 et de 36
Exercice:
a) Trouver tous les diviseurs de 75.
b) Trouver tous les diviseurs de 40.
c) Quel est le PGCD de 75 et de 40?
III – Plus Grand Commun Diviseur (PGCD):
•
Un diviseur commun a 2 nombres entiers est un nombre entier qui les divise
tous les deux
Exemple:
•
Tous les diviseurs de 20 sont: 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 ; 20
Tous les diviseurs de 30 sont: 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30
Les diviseurs communs à 20 et à 30 sont 1 ; 2 ; 5 ; 10
Le PGCD est le Plus Grand Diviseur Commun
Exemple:
Le plus grand diviseur commun à 20 et à 30 est 10.
On note PGCD(20;30) = 10
Ex 34p18: Dans chacun des cas suivants, écrire tous les diviseurs communs aux
nombres donnés et déterminer leur PGCD
a) 10 et 35
b) 75 et 100
c) 84; 63 et 42
Ex 35p18: Donner le PGCD des nombres suivants
a) 12 et 14.
b) 30 et 40.
c) 4 et 16.
d) 72 et 81.
e) 11 et 5.
f) 30 et 15.
Méthodes de calcul de PGCD:
 Algorithme des soustractions successives :
Déterminons PGCD(252;144) :
- soustraie le plus grand par le plus petit :
-on
252 – 144 = 108
- on soustraie les plus petits entre eux :
144 – 108 = 36
- on soustraie les plus petits entre eux :
108 – 36 = 72
- on soustraie les plus petits entre eux :
72 – 36 = 36
- on soustraie les plus petits entre eux :
36 – 36 = 0
- la différence est nulle, on arrête.
PGCD(252,144) = 36
 Algorithme des soustractions successives :
Ex1p14 Déterminer PGCD(50;75)=
PGCD(159;106)
Ex:
Déterminer PGCD(159;144).
Ex:
Déterminer PGCD(159;144).
159-144 = 15
144 - 15 = 129
129 - 15 = 114
114 - 15 = 99
99 - 15 = 84
84 - 15 = 69
69 - 15 = 54
54 - 15 = 39
39 - 15 = 24
24 - 15 = 9
15 - 9 = 6
9 - 6= 3
6 - 3= 3
3 - 3= 0
144 = 9x15 + 9
 Algorithme d’Euclide :
Déterminons PGCD(494;143) :
- divise le plus grand par le plus petit :
-on
494 143
65 3
- on divise le diviseur précédent par le reste précédent :
143 65
13 2
- divise le diviseur précédent par le reste précédent :
-on
65
13
0 5
- le reste est nul, on arrête; le PGCD est le dernier diviseur.
PGCD(494,143) = 13
 Algorithme d’Euclide :
Ex2p14 Déterminer les PGCD de :
a) 276 et 368.
b) 602 et 3 870.
Ex 38p18: Calculer le PGCD des nombres suivants en utilisant l’algorithme des
soustractions successives.
a) 111 et 74
b) 522 et 348
Remarque: Simplifier au maximum les fractions suivantes:
111
348
74
522
Ex 39p18: Calculer le PGCD des nombres suivants en utilisant l’algorithme d’Euclide.
a) 357 et 294
b) 1 360 et 345
Remarque: Simplifier au maximum les fractions suivantes:
294
345
357
1360
Evaluation 1: A savoir
1) Divisibilité (par 2; 3; 5; 9; 10)
2) Trouver tous les diviseurs
3) Nombres premiers
4) PGCD
5) Les 2 algorithmes
6) Simplifier une fraction avec le PGCD
IV – Fractions irréductibles
•
Une fraction irréductible est une fraction simplifiée au maximum.
•
Pour simplifier au maximum une fraction, il faut la simplifier par le PGCD du
numérateur et du dénominateur
Exemple: Rendre irréductible la fraction
54
72
PGCD (54; 72) = 18
Donc on doit simplifier la fraction par 18
÷ 18
54
72
÷ 18
3
4
3
est irréductible.
4
IV – Fractions irréductibles
Ex 61p20: On donne le programme de calcul suivant:
• Choisir deux entiers A et B.
• Calculer leur PGCD.
• Rendre irréductible la fraction A/B.
a) Faire fonctionner ce programme avec:
1- A= 5 148 et B= 1 386
2- A= 430 et B= 473
b) On choisit A= 284 et on souhaite obtenir 4/3 comme résultat.
Quelle valeur choisir pour B?
V – Nombres premiers entre eux
Deux nombres entiers sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun est 1.
Leur PGCD est donc 1.
Exemple: 15 et 32 sont premiers entre eux ?
les diviseurs de 15 sont: 1; 3; 5; 15
les diviseurs de 32 sont: 1; 2; 4; 8; 16; 32
PGCD(15;32)=1
donc 15 et 32 sont premiers entre eux
V – Nombres premiers entre eux
Ex 72p22: Les nombres suivants sont-ils premiers entre eux? Justifier.
a) 81 et 72
b) 9 et 20
c) 327 et 256
Ex 50p19:
Au Brevet 2004
a) Les nombres 682 et 352 sont-ils premiers entre eux? Justifier.
b) Calculer le PGCD de 682 et 352.
c) Rendre irréductible la fraction 682/352 en indiquant clairement la méthode utilisée.
Ex 49p19:
Au Brevet 2003
a) Calculer le PGCD des nombres entiers 1 356 et 4 972.
(Faire apparaître les calculs intermédiaires sur la copie)
b) Donner la forme irréductible de la fraction
Ex 51p19:
1356
4972
Au Brevet 2004
Un fleuriste dispose de 126 iris et de 210 roses. Il veut, en utilisant toutes ses fleurs,
réaliser des bouquets contenant tous le même nombre d’iris et le même nombre de
roses . Justifier toutes les réponses aux questions ci-dessous.
a)
1- Le fleuriste peut-il réaliser 15 bouquets?
2- Le fleuriste peut-il réaliser 14 bouquets?
b) 1- Quel nombre maximal de bouquets peut-il réaliser?
2- Donner la composition de chacun d’eux.
Ex55p20:
Au brevet 2005
a) Montrer que le PGCD des nombres 372 et 775 est égal à 31
b) Un chef d‘orchestre fait répéter 372 choristes hommes et 775 choristes femmes
pour un concert. Il veut faire des groupes de sorte que:
- le nombre de choristes femmes soit le même dans chaque groupe
- le nombre de choristes hommes soit le même dans chaque groupe
- chaque choriste appartient à un groupe
1) Quel nombre maximal de groupe pourra-t-il faire?
2) Combien y aura-t-ilil alors de choristes femmes et hommes dans chaque groupe?
Ex 53p19:
Au brevet 2005
a) Calculer le pgcd de 135 et 210
b) Dans une salle de bains on veut recouvrir le mur situé au dessus de la baignoire
avec un nombre entier de carreaux de faïence de forme carrée dont le côté est un
nombre entier de centimètres le plus grand possible.
1- Déterminer la longueur, en cm, du côté d’un carreau, sachant que le mur
mesure 210cm de hauteur et 135cm de largeur.
2- Combien faudra-t-il alors de carreaux ?
Ex 69p21:
a) Déterminer par la méthode de votre choix le PGCD de 144 et 252.
b) Une association organise une compétition sportive, 144 filles et 252 garçons se
sont inscrits.
L’association désire repartir les inscrits en équipes mixtes. Le nombre de filles
doit être le même dans chaque équipe. Le nombre de garçons doit être le
même dans chaque équipe. Tous les inscrits doivent être dans une équipe.
(1) Quel est le nombre maximal d’équipes que cette association peut former?
(2) Quelle est alors la composition de chaque équipe?
Ex 93p24:
Un parallélépipède rectangle de dimensions 60cm, 36cm et 24cm est rempli
exactement par des cubes dont l’arête mesure un nombre entier de centimètres.
a) Quel peut être l’arête des cubes?
b) Quel est, dans chaque cas, le nombre de cubes contenus dans la boîte?