cinematique des fluides - exercices

PSI 08/09 Lycée CONDORCET Belfort
CINEMATIQUE DES FLUIDES - EXERCICES
1.Liquide de vitesse non uniforme dans une conduite
Un liquide de masse volumique
ρ
, s’écoule dans une conduite circulaire avec une distribution transversale
des vitesses de la forme : v = v
0
[1-(r/r
0
)
2
] , r étant la coordonnée radiale et r
0
le rayon de la conduite.
Calculer le débit massique D
m
en fonction de
ρ
, v
0
et r
0
.
Quelle est la vitesse moyenne V
m
du liquide ?
Quelle est l’expression du débit d’énergie cinétique ? La comparer à celle obtenue en supposant que la
vitesse est uniforme et égale à la vitesse moyenne.
2.Ecoulement à l'intérieur d'un diédre droit :
Soit dans la région x > 0 , y > 0 l'écoulement stationnaire défini en eulérien par :
x y
v k( x.u y.u )
= − + , k constante positive.
Déterminer la nature des lignes de courant.
Calculer l'accélération a en utilisant la description eulérienne.
3.Ecoulement d'un fluide :
Un écoulement plan est décrit sous forme lagrangienne par la donnée des coordonnées (x,y) d'une particule
de fluide située en (x0,y0) à t = 0.
x = x0.exp ( -2t/s ) ; y = y0.exp ( t/s )
Calculer les équations de la trajectoire de la particule.
Déterminer la vitesse locale
v(M, t)
en description eulérienne.
L'écoulement est-il stationnaire ? Incompressible ?
Trouver l'équation des lignes de courant.
4.Ecoulement tourbillonnaire ( d’après CCP PC 99 )
On considère un écoulement orthoradial d'axe polaire Oz appelé tourbillon tel que
pour r < a,
[
]
z
e.)M(vrot γ= où γ est une constante algébrique.
pour r >a,
[
]
O)M(vrot = .
Etablir l'expression de )(Mv en coordonnées polaires pour r >a et r<a.
Ce tourbillon est dit ponctuel dans le plan Oxy si l'on considère que si 0
→
a et
∞
→
γ
, le produit π a² γ
demeure égal à la valeur finie Γ que l'on nomme intensité du tourbillon. Donner l'expression de )(Mv en
coordonnées polaires (r >a) avec Γ comme paramètre.
5.Mesure de température par une fusée-sonde :
On considère une fusée-sonde effectuant un vol vertical dans une atmosphère dans laquelle la température
décroît linéairement à partir du sol jusqu'à une altitude de 10000 pieds selon :
T(z) = T0 - bz avec b = 8.10-3 K.m-1
L'engin est muni d'un capteur de température.
Calculer le taux de variation de la température mesuré par ce capteur lorsque la fusée s'élève avec une
vitesse de 360 km.h-1.
Réponses: dT/dt = - 0,8 K.s-1.
6.Ecoulement engendré par une source rectiligne :
Une source rectiligne infinie, confondue avec l'axe Oz et de section négligeable, émet un fluide
incompressible avec un débit volumique par unité de longueur de source λ , réparti uniformémént le long de
Oz et constant.

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L'émission étant supposée isotrope dans chaque plan z = cste, les lignes de courant sont des droites radiales
qui divergent à partir de Oz.
En quelle unité s'exprime λ ? Déterminer le champ de vitesse de cet écoulement .
L'écoulement est-il irrotationnel ? Si oui, quel est le potentiel des vitesses ? Quelles sont les surfaces
équipotentielles ?
7.Ecoulement fluide :
Un écoulement fluide est caractérisé par le champ de vitesse :
x y
v b.u a cos( t).u
ω = + , a et b constantes positives.
Calculer les équations de la trajectoire d'une particule.
Calculer l'équation des lignes de courant.
Montrer que ρ est constante le long d'une trajectoire particulaire.
8.Modèle de la houle :
Le champ des vitesses d’un écoulement bidimensionnel modélisant la houle s’exprime en formalisme
eulérien par :
v v t u t u
x y
=
+
0
(cos . sin . )
ω
ω
Déterminer les trajectoires et les lignes de courant.
9.Ecoulement d’un fluide autour d’un obstacle en rotation :
On étudie l’écoulement irrotationnel et stationnaire d’un fluide incompressible autour d’un cylindre d’axe
Oz et de rayon R, tournant autour de Oz à la vitesse angulaire Ω Ω= u
z
.
Le fluide, très loin du cylindre, a la vitesse V V u
x
=
0
de direction perpendiculaire à Oz.
Un point M du fluide sera décrit par ses coordonnées cylindriques r, θ et z .
L’écoulement peut-être considéré comme la superposition de deux écoulements :
un écoulement E
1
de potentiel des vitesses φ1 = 1
2
2 0
+
R
rrV cosθ
correspondant au cylindre fixe dans le
fluide en écoulement uniforme à la vitesse V V u
x
=
0
.
Un écoulement E
2
de potentiel des vitesses φ2 = k θ , correspondant au cylindre tournant dans le fluide au
repos très loin du cylindre ( k constante positive ).
Calculer le champ des vitesses.
Vérifier que l’écoulement est potentiel.
Calculer la circulation de l’écoulement E autour du cylindre en fonction de k, puis en fonction de R et Ω .
Déterminer, suivant les valeurs du paramètre α = k / RV
0
, le nombre de points de vitesse nulle et leur(s)
position(s) dans un plan de section droite du cylindre.
10.Expansion uniforme :
Un fluide remplit tout l’espace. A l’instant t = 0, on communique à des particules de fluide une vitesse
initiale qu’elles conservent ensuite : plus précisément, si τ désigne une constante donnée, la particule de
fluide qui est initialement au point M
o
acquiert une vitesse radiale et proportionnelle à sa distance OM
o
à un
point fixe O :
v(M ) OM
0
o
=τ
a) Déterminer le champ eulérien des vitesse v(M, t ) à un instant t quelconque.
b) L’écoulement est-il stationnaire, incompressible , irrotationnel ?
c) Obtenir par le calcul le champ des accélérations a ( M, t ) et retrouver le résultat sans calcul.
d) On suppose que le fluide est homogène à tout instant. Déterminer la masse volumique
ρ (t) à l’instant t en
fonction de la masse volumique initiale ρ0 .Interpréter cette expression en calculant la masse de fluide
contenue à l’instant t dans la sphère de rayon r(t) = r
0
( 1 + t / τ ).