mecanique des fluides - questionnaire de controle

PSI 13/14
Lycée CONDORCET Belfort
CINEMATIQUE DES FLUIDES - EXERCICES
1. Liquide de vitesse non uniforme dans une conduite
Un liquide de masse volumique  , s’écoule dans une conduite circulaire avec une distribution transversale
des vitesses de la forme : v = v0 [1-(r/r0)2] , r étant la coordonnée radiale et r0 le rayon de la conduite.
a) Calculer le débit massique Dm en fonction de  , v0 et r0. On rappelle qu’en coordonnées cylindriques,
l’élément de surface selon l’axe de la conduite s’écrit
b) Quelle est la vitesse moyenne Vm du liquide ? (La vitesse moyenne est définie comme la vitesse uniforme
qui donnerait le même débit volumique que le champ donné par l’énoncé).
c) Quelle est l’expression du débit d’énergie cinétique ? La comparer à celle obtenue en supposant que la
vitesse est uniforme et égale à la vitesse moyenne.
2. Calculs d’accélération :
On considère les champs de vitesses ci-dessous. Calculer l’accélération.


v1 = k.x.ez ; v2 = u(x, y).ex + w(x, y).ez .
3. Ecoulement à l'intérieur d'un diédre droit :
Soit dans la région x > 0 , y > 0 l'écoulement stationnaire défini en eulérien par :
v  k(x.u x  y.u y ) , k constante positive.
a) Déterminer la nature des lignes de courant. Indice : Ecrire (en décomposant sur chacun des axes du
repère) qu’un déplacement
le long de la ligne de courant est colinéaire au champ des vitesse .
b) Calculer l'accélération a en utilisant la description eulérienne.
4. Ecoulement d'un fluide :
Un écoulement plan est décrit sous forme lagrangienne par la donnée des coordonnées (x,y) d'une particule
de fluide située en (x0,y0) à t = 0.
x = x0.exp ( -2t/ ) ; y = y0.exp ( t/ )
a) Calculer l’équation de la trajectoire de la particule.
b) Déterminer la vitesse locale v(M, t) en description eulérienne.
c) L'écoulement est-il stationnaire ? Incompressible ?
d) Trouver l'équation des lignes de courant.
5. Ecoulement tourbillonnaire ( d’après CCP PC 99 )
On considère un écoulement orthoradial plan d'axe polaire Oz appelé tourbillon tel que


pour r < a, rot[v(M)] = γ.ez où  est une constante algébrique.


pour r >a, rotv(M)  O .

a) Etablir l'expression de v (M ) en coordonnées polaires pour r >a et r<a.
b) Ce tourbillon est dit ponctuel dans le plan Oxy si l'on considère que si a  0 et    , le produit a²

demeure égal à la valeur finie  que l'on nomme intensité du tourbillon. Donner l'expression de v (M ) en
coordonnées polaires (r >a) avec  comme paramètre.
6. Mesure de température par une fusée-sonde :
On considère une fusée-sonde effectuant un vol vertical dans une atmosphère dans laquelle la température
décroît linéairement à partir du sol jusqu'à une altitude de 10000 pieds selon :
T(z) = T0 - bz avec b = 8.10-3 K.m-1
L'engin est muni d'un capteur de température.
Calculer le taux de variation de la température mesuré par ce capteur lorsque la fusée s'élève avec une
vitesse de 360 km.h-1.
Réponses: dT/dt = - 0,8 K.s-1.
7. Ecoulement engendré par une source rectiligne :
Une source rectiligne infinie, confondue avec l'axe Oz et de section négligeable, émet un fluide
incompressible avec un débit volumique par unité de longueur de source , réparti uniformémént le long de
Oz et constant.
L'émission étant supposée isotrope dans chaque plan z = cste, les lignes de courant sont des droites radiales
qui divergent à partir de Oz.
a) En quelle unité s'exprime  ? Déterminer le champ de vitesse de cet écoulement .
b) L'écoulement est-il irrotationnel ? Si oui, quel est le potentiel des vitesses ? Quelles sont les surfaces
équipotentielles ?
8. Modèle de la houle :
Le champ des vitesses d’un écoulement bidimensionnel modélisant la houle s’exprime en formalisme
eulérien par l’expression ci-dessous. Déterminer les trajectoires et les lignes de courant.



v  v 0 (cos t. u x  sin t. u y )
9. Ecoulement d’un fluide autour d’un obstacle en rotation :
On étudie l’écoulement irrotationnel et stationnaire d’un fluide incompressible autour d’un cylindre d’axe


Oz et de rayon R, tournant autour de Oz à la vitesse angulaire   u z .


Le fluide, très loin du cylindre, a la vitesse V  V0 u x de direction perpendiculaire à Oz.
Un point M du fluide sera décrit par ses coordonnées cylindriques r,  et z .
L’écoulement peut-être considéré comme la superposition de deux écoulements :

R2 
un écoulement E1 de potentiel des vitesses 1 = 1  2  rV0 cos correspondant au cylindre fixe dans le
r 



fluide en écoulement uniforme à la vitesse V  V0 u x .
Un écoulement E2 de potentiel des vitesses 2 = k, correspondant au cylindre tournant dans le fluide au
repos très loin du cylindre ( k constante positive ).
a) Calculer le champ des vitesses.
b) Vérifier que l’écoulement est potentiel.
c) Calculer la circulation de l’écoulement E autour du cylindre en fonction de k.
d) Déterminer, suivant les valeurs du paramètre  = k / RV0, le nombre de points de vitesse nulle et leur(s)
position(s) dans un plan de section droite du cylindre.
10. Expansion uniforme :
Un fluide remplit tout l’espace. A l’instant t = 0, on communique à des particules de fluide une vitesse
initiale qu’elles conservent ensuite : plus précisément, si  désigne une constante donnée, la particule de
fluide qui est initialement au point Mo acquiert une vitesse radiale et proportionnelle à sa distance OM o à un
point fixe O :

OM o

v(M 0 ) 

a) Déterminer le champ eulérien des vitesse v(M, t ) à un instant t quelconque.
b) L’écoulement est-il stationnaire, incompressible , irrotationnel ?
c) Obtenir par le calcul le champ des accélérations a ( M, t ) et retrouver le résultat sans calcul.
d) On suppose que le fluide est homogène à tout instant. Déterminer la masse volumique (t) à l’instant t en
fonction de la masse volumique initiale 0.Interpréter cette expression en calculant la masse de fluide
contenue à l’instant t dans la sphère de rayon r(t) = r 0 ( 1 + t / ).

0
OM 

.
Réponses : v(M, t) 
; a ( M, t )  0 ; ( t) 
t
(1  t / ) 3