CERCLE CIRCONSCRIT TRIANGLE RECTANGLE

CERCLE CIRCONSCRIT
&
TRIANGLE RECTANGLE
RECONNAÎTRE UN TRIANGLE RECTANGLE
1. Cercle circonscrit à un polygone. Un cercle circonscrit à un polygone est un cercle
passant par tous les sommets du polygone, on dit alors que le polygone est inscrit dans ce cercle. On
sait qu'un triangle est toujours inscriptible dans un cercle, de plus le centre du cercle circonscrit d'un
triangle est l'intersection des médiatrices du triangle.
2. Un théorème de Thalès. Si
un côté d'un triangle est un diamètre de son cercle
circonscrit alors ce triangle est rectangle et a pour hypoténuse ce diamètre.
3. Une démonstration. Supposons que le côté [AB] soit un diamètre du cercle circonscrit du
triangle ABC et soit O le centre du cercle circonscrit. Les triangles OAC et
OCB sont isocèles de sommet O, or les angles à la base d'un triangle
isocèle sont égaux, donc :

OAC = 
OCA et 
OCB = 
OBC .
En ajoutant membre à membre ces deux égalités :

OAC + 
OBC = 
OCA + 
OCB = 
ACB .
D'autre part les angles d'un triangle étant supplémentaires, on a :

OAC + 
OBC + 
ACB = 2 
ACB = 180° ;
et on en déduit que 
ACB =90°. Ainsi le triangle ABC est rectangle en C.
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4. Une conséquence avec la médiane. Si la médiane relative à un côté d'un triangle
est égale à la moitié de la longueur de ce côté alors ce triangle est rectangle et a pour hypoténuse
ce côté. (1)
5. Une démonstration. Supposons que la médiane
[OC] soit égale à la moitié du côté [AB].
D'une part les longueurs OA, OB et OC sont égales,
autrement dit les points A, B et C sont sur le cercle de
centre O et de rayon OA ; d'autre part AB étant le
double du rayon OA, le côté [AB] est nécessairement
un diamètre de ce cercle. Ainsi, le côté [AB] du
triangle ABC est un diamètre de son cercle circonscrit ,
donc, d'après le théorème du paragraphe 2, ABC est
rectangle et a pour hypoténuse ce côté [AB].
après
PROPRIÉTÉS DU TRANGLE RECTANGLE
6. Cercle circonscrit d'un triangle rectangle. Si
un triangle est rectangle alors
2
l'hypoténuse est un diamètre de son cercle circonscrit. ( )
7. Une démonstration. Supposons que le triangle ABC soit rectangle en C; soient I le milieu
de [AB], J celui de [BC] et K celui de [AC]. La droite passant
par les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au
troisième côté, donc (IJ) est parallèle à (AC). Or (AC) étant
perpendiculaire à (BC), on en déduit que (IJ) est
perpendiculaire à (BC). Ainsi (IJ) est la médiatrice de [BC].
On démontrerait de manière analogue que (IK) est la
médiatrice de [AC]. Finalement le milieu I de l'hypoténuse
[AB] est l'intersection de deux médiatrices du triangle, il est
donc le centre du cercle circonscrit dont [AB] est un
diamètre.
1 Cette conséquence peut aussi s'énoncer : Si le milieu d'un côté d'un triangle est équidistant des sommets alors ce
triangle est rectangle et a pour hypoténuse ce côté.
2 Ce théorème peut aussi s'énoncer : Si un triangle est rectangle alors le milieu de l'hypoténuse est le centre de son
cercle circonscrit. Ce théorème est en fait la réciproque de celui énoncé au paragraphe 2.
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8. Une conséquence. Si un triangle est rectangle alors la médiane relative à l'hypoténuse
est égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse.
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NOTES COMPLEMENTAIRES
Ce théorème est attribué au mathématicien et philosophe grec Thalès de Milet. En Allemagne ce
théorème est appelé « Satz des Thales » ou « Théorème de Thalès » alors qu'en France on attribue cette
dénomination de « Théorème de Thalès » à l'énoncé qui affirme qu'une droite parallèle à l'un des côtés
d'un triangle détermine des triangles semblables. La démonstration du théorème de Thalès sur le
cercle circonscrit proposée au paragraphe 3 utilise les angles d'un triangle. Voici deux autres
démonstrations :
Démonstration utilisant la droite des milieux. Le centre O du cercle est aussi le milieu du
segment [AB] ; soit (d) la droite parallele à (BC) passant
par O. D’apres le second théoreme de la droite des
milieux, elle coupe [AC] en son milieu M.
Le point O, centre du cercle, est équidistant de A et de
C, points du cercle. Or si un point est équidistant des
extrémités d'un segment alors ce points appartient à la
médiatrice du segment. On en déduit que la droite (OM)
est donc la mediatrice de [AC].
On sait que (OM) est perpendiculaire à (AC) et que
(OM) est parallele à (BC) ; donc (AC) est perpendiculaire à
(BC). Autrement dit le triangle ABC est rectangle en C.
Démonstration utilisant la symétrie centrale. Soit M le symetrique du point C par rapport
à O. Montrons que le quadrilatere ACBM est un rectangle.
Le centre O du cercle est le milieu du diamètre [AB] ;
de plus M etant le symetrique de C par rapport à O, le
point O est également le milieu de [CM]. Or si les
diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu
alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Donc ACBM
est un parallelogramme.
D'autre part, les points du cercle A, C et B sont
équidistants du centre O ; et de plus par symétrie OC=OM.
Or si les diagonales d'un parallélogramme ont la même
longueur alors ce parallélogramme est un rectangle. Donc
le parallélogramme ACBM est un rectangle. Autrement dit
ABC est rectangle en C.
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