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III
Démonstration 2 : Utilisation de la symétrie centrale
Soit D le symétrique de A
par rapport à O.
Le quadrilatère BACD a ses
diagonales qui se coupent
en leur milieu. C’est un
parallélogramme.
BC = AD = 2 OA
C’est donc un rectangle et
par conséquent BAC est un
triangle rectangle en A.
Démonstration 3 : Utilisation de la droite des milieux.
Si I désigne le milieu de
[AB], la droite (OI) est la
droite passant par les
milieux des côtés [BC] et
[AB] du triangle ABC. Elle
est donc parallèle à (AC).
OA = OB et IA = IB donc la
droite (OI) est la médiatrice
de [AB].
Elle est perpendiculaire à
(AB). Donc (AC), parallèle à
(OI), est perpendiculaire à
(AB) et le triangle ABC est
rectangle en A.