Bac Blanc Terminale ES

Bac Blanc Terminale L - Février 2017
Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures)
L’attention des candidats est attirée sur le fait que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision
des raisonnements entrent pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Aucun échange de matériel ou de calculatrice n'est autorisé entre les candidats.
Aucune feuille du sujet n’est à rendre avec la copie.
Exercice 1 (5 points)
 1. Depuis le 28 juin 2007, la ville de Bordeaux a été classée au patrimoine mondial de l'UNESCO. Un
hôtelier a vu son nombre de clients augmenter significativement comme l’indique le tableau ci-dessous :
Année
2007
2008
2009
2010
Nombre de clients
950
1105
2103
2470
Déterminer le pourcentage d'augmentation du nombre de clients entre 2007 et 2010.
 2. Depuis le 1er janvier 2010, on a constaté que, chaque année, l’hôtel compte 1200 nouveaux clients et
que 70 % des clients de l’année précédente reviennent.
On modélise cette situation par une suite ( un ) où un représente le nombre total de clients de l’hôtel durant
l’année 2010 n. On a ainsi u0 2470.
a) Vérifier que u1 2929.
b) Exprimer un 1 en fonction de un pour tout entier naturel n.
 3. Le gérant souhaite connaître l’année à partir de laquelle le nombre de clients annuel dépassera 3900.
Indiquer, en justifiant, lequel des algorithmes suivants donne l’année correspondante.
Algorithme 1
Algorithme 2
Algorithme 3
U prend la valeur 2470
N prend la valeur 0
Tant que U < 3900
U prend la valeur 0,7*U+1200
N prend la valeur N+1
Fin Tant que
Afficher 2010+N
U prend la valeur 2470
N prend la valeur 0
Tant que U > 3900
U prend la valeur 0,7*U+1200
N prend la valeur N+1
Fin Tant que
Afficher 2010+N
U prend la valeur 2470
N prend la valeur 0
Tant que U < 3900
U prend la valeur 0,7*U+1200
N prend la valeur N+1
Fin Tant que
Afficher U
 4. On considère la suite ( vn ) définie pour tout entier naturel n par vn
un 4000.
a) Montrer que la suite ( vn ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
b) Exprimer vn en fonction de n, pour tout entier naturel n.
c) Justifier que un 4000−1530 0,7 n pour tout entier naturel n.
d) Déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de clients a dépassé 3900.
 5. Déterminer le nombre de clients que le gérant de l'hôtel peut espérer, à long terme, avoir chaque
année.
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Exercice 2 (5 points)
Pour chaque question, il n’y a qu’une réponse juste.
Vous indiquerez sur votre copie la réponse juste. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse fait perdre 0,5pt. L'absence de réponse ne
rapporte ni n'enlève aucun point.
Question 1 : La population de la France était le 1er Janvier 2014 de 66 000 000 habitants.
Des prévisionnistes pensent que la population va augmenter tous les ans de 0,5 %. On devrait donc
dépasser 80 000 000 en :
2049
2053
2057
2061
Question 2 : On donne le tableau de variation d’une fonction f définie sur [ 1 3] :
1
x
0
5
2
3
1
Variations de
f
Sur [ 1 3], l’équation f(x)
2
2
1 admet :
0 solution
1 solution
2 solutions
3 solutions
Question 3 : On considère l'algorithme suivant :
Variables
I est un entier. P est un réel.
Initialisation
P prend la valeur 0. I prend la valeur 1.
Traitement
Tant que I < 4
P prend la valeur 0,15 P 0,2
I prend la valeur I 1
Fin Tant Que
Sortie
Afficher P
L’algorithme affiche :
0,17
0,1725
0,1735
0,1745
Question 4 : On considère la fonction f définie sur [0 4] .
On sait que f est dérivable sur [0 4] et que f ′(x) 3x 2 12x 9.
f est concave sur :
[0 ; 3]
[0 ; 2]
[1 ; 3]
[2 ; 4]
Question 5 :
( un) est une suite arithmético-géométrique. On sait de plus que : u0 3 u1 2 et u2
On a pour tout n
un
1
1.
:
2un 4
un
1
8un 18
un
un
1
3un 7
un
1
5un 9
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Exercice 3 (5 points)
Un club de natation propose à ses adhérents trois types d’activité : la compétition, le loisir ou l’aquagym.
Chaque adhérent ne peut pratiquer qu’une seule des trois activités.
2
25 % des adhérents au club pratiquent la natation en loisir, des adhérents au club pratiquent l’aquagym et le
5
reste des adhérents pratiquent la natation en compétition.
Cette année, le club propose une journée de rencontre entre tous ses adhérents.
1 des adhérents de la section loisir et 30 % des adhérents de la section aquagym participent à cette rencontre.
5
On interroge au hasard une personne adhérente à ce club. On considère les évènements suivants :
A : « La personne interrogée pratique l’aquagym »,
C : « La personne interrogée pratique la natation en compétition »,
L : « La personne interrogée pratique la natation en loisir »,
R : « La personne interrogée participe à la rencontre » et R son évènement contraire.
 1. Traduire les données de l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré que l’on complétera au fur et à mesure.
 2. Exprimer à l’aide d’une phrase l’évènement L
R puis calculer p(L R).
 3. La probabilité que l’évènement R soit réalisé est égale à 0,345.
a) Déterminer p ( R ) .
b) Déterminer p (C
R)
c) On interroge un adhérent pratiquant la compétition. Calculer la probabilité qu’il n’ait pas participé à la
rencontre.
 4. Les tarifs du club pour l’année sont les suivants : l’adhésion à la section compétition est de 100 € et
l’adhésion à la section loisir ou à l’aquagym est de 60 €. De plus, une somme de 15 € est demandée aux
adhérents qui participent à la rencontre.
On appelle S la somme annuelle payée par un adhérent de ce club (adhésion et participation éventuelle à la
rencontre).
a) Quelles sont les différentes valeurs prises par S ?
b) Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de S :
somme si
probabilité pi
60
0,48
115
0,175
c) Calculer l’espérance mathématique de S (arrondir à l’entier) et interpréter ce nombre.
 5. On interroge successivement, au hasard, et de manière indépendante10 adhérents du club.
On désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre d’adhérents ayant participé à la rencontre.
a) Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
b) Quelle est la probabilité arrondie à 0,001 près, que trois adhérents aient participé à la rencontre.
c) Quelle est la probabilité arrondie à 0,001 près, qu’au moins un adhérent ait participé à la rencontre.
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Exercice 4 (5 points)
On considère une fonction B définie sur l’intervalle [0 6] , sa dérivée B′ et sa dérivée seconde B″.
Toute réponse devra être justifiée.
Partie A – Lectures graphiques
On a représentée ci-dessous la courbe C1 représentant la fonction dérivée B′ ainsi que la courbe C2
représentant la fonction dérivée seconde B″ de la fonction B.
Le point E de coordonnées (0,5 0) appartient à C et Le point F de coordonnées (1,5 0) appartient à C2.
 1. Déterminer le sens de variation de la fonction B.
 2. Déterminer sur quel(s) intervalle(s) la fonction B est convexe.
 3. La courbe de B admet-elle des points d’inflexion ? Si oui, préciser leur(s) abscisse(s).
Partie B – Etude théorique
La fonction B est définie sur l’intervalle [0 6] par B(x)
(2x 1)e
x 1
 1. a) Montrer que, pour tout réel x de l’intervalle [0 6], on a : B′(x)
3.
( 2x 1)e
x 1
.
b) Etudier le signe de la fonction dérivée B′ sur [0 6].
c) Dresser le tableau de variation complet de la fonction B sur l’intervalle [0 6].
 2. Montrer que l’équation B(x)
0 admet dans l’intervalle [0 6] deux solutions :
- une entière que l’on notera x1 et dont on précisera la valeur.
- une que l’on notera x2 et dont on déterminera la valeur approchée à 0,01 près.
Partie C – Application
Une entreprise fabrique des pièces utilisées dans l’industrie automobile. On suppose que toute la
production est vendue. L’entreprise peut produire entre 0 et 6000 pièces par semaine.
On note x le nombre de milliers de pièces fabriquées et vendues par semaine.
Le bénéfice hebdomadaire exprimé en millions d’euros est donné par B(x)
(2x 1)e
x 1
3.
 1. Déterminer la production (arrondie à l’unité) qui permet à l’entreprise de réaliser un bénéfice
maximal que l’on précisera (arrondi au millier d’euros).
 2. Déterminer la plage de production qui permet à l’entreprise de réaliser un bénéfice.
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