polycopié - Pages personnelles à TELECOM Bretagne

Notes de Cours de Probabilit´es.
Thierry CHONAVEL
T´el´ecom Bretagne
thierry.chonav[email protected]
Juin 2000
1

Table des mati`eres
1 Introduction. 4
2 Espace probabilis´e. 4
3 Probabilit´e sur un ensemble fini ou d´enombrable. 5
4 Probabilit´e sur un ensemble non d´enombrable. 6
4.1 Exemple...................................... 6
4.2 Mesures de probabilit´e absolument continues. . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5 Probabilit´e conditionnelle. 7
6 Ev`enements ind´ependants. 7
7 Variable al´eatoires r´eelles. 8
7.1 D´efinition..................................... 8
7.2 Loi d’une variable al´eatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
7.3 Fonction de r´epartition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
8 Int´egration des variables al´eatoires. 10
8.1 Principe...................................... 10
8.2 Moments des variables al´eatoires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
8.3 Fonction caract´eristique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
9 Couples de variables al´eatoires. 12
9.1 Loiconjointe. .................................. 13
9.2 Loismarginales.................................. 14
9.3 Int´egration des fonctions d’un couple de variables al´eatoires. . . . . . . . . 14
2

9.4 Changement de variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
9.5 Matrice de covariance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
10 Esp´erance conditionnelle et loi conditionnelle. 16
10.1 Th´eor`eme de projection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
10.2 R´egression lin´eaire et affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
10.3 Esp´erance conditionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10.4Loiconditionnelle. ............................... 18
11 Variables al´eatoires ind´ependantes. 19
12 Vecteurs gaussiens. 19
12.1 Loi d’un vecteur gaussien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
12.2 Esp´erance conditionnelle dans le cas gaussien. . . . . . . . . . . . . . . . . 20
13 Convergence des variables al´eatoires. 21
13.1 Convergence en probabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
13.2 Convergence en moyenne d’ordre α- Loi faible des grands nombres. . . . . 21
13.3 Convergence presque sˆure - Loi forte des grands nombres. . . . . . . . . . . 22
13.4 Convergence en loi - Th´eor`eme limite-centrale. . . . . . . . . . . . . . . . . 22
13.5 Relations entre les diff´erents types de convergence. . . . . . . . . . . . . . . 23
14 Quelques lois de probabilit´es classiques. 23
14.1Loisdiscr`etes................................... 23
14.2Lois`adensit´es. ................................. 25
3

1 Introduction.
Dans de nombreuses exp´eriences, le r´esultat n’est pas connu `a l’avance. Une telle exp´erience
est appel´ee exp´erience al´eatoire. Ce caract`ere al´eatoire peut ˆetre du `a une connaissance
plus ou moins incompl`ete des relations de cause `a effet qui conduisent au r´esultat de
l’exp´erience, ou de celle des valeurs de param`etres qui r´egissent ces relations, ou encore
au fait que les relations qui permettraient de pr´evoir le r´esultat sont trop complexes pour
qu’il puisse effectivement ˆetre calcul´e.
Dans de nombreuses exp´eriences, on a cependant quelque id´ee `a priori du caract`ere plus
ou moins vraisemblable des diff´erents r´esultats possibles. On peut alors convenir d’expri-
mer cette vraisemblance en affectant aux diff´erents r´esultats des grandeurs num´eriques,
cens´ees repr´esenter des mesures de leur vraisemblance. La manipulation de ces grandeurs
num´eriques pourra alors fournir de nouvelles informations sur l’exp´erience. La th´eorie des
probabilit´es vise `a formaliser ces id´ees intuitives.
Il est `a noter que le fait d’associer un mod`ele probabiliste `a une exp´erience n’indique
pas si le choix de ce mod`ele est pertinent, i.e. si les vraisamblences que l’on associe aux
r´esultats sont r´eellement repr´esentatives de cette exp´erience. Ce dernier point constitue
plutˆot un aspect de la th´eorie des statistiques, qui sera envisag´ee en deuxi`eme ann´ee.
Ce polycopi´e reprend dans ses grandes lignes des notes de cours utilis´ees `a l’´ecole depuis
de nombreuses ann´ees [10]. On compl´etera utilement le cours de probabilit´e par la lecture
du polycopi´e de th´eorie de la mesure [11] distribu´e par ailleurs. La th´eorie des probabilit´es
s’inscrit en effet naturellement dans le cadre de la th´eorie de la mesure. De plus, la th´eorie
de la mesure est tr`es utilis´ee dans l’ensemble des math´ematiques de l’ing´enieur.
2 Espace probabilis´e.
On appelle espace probabilisable (ou espace mesurable) la donn´ee d’un couple (Ω,B),
o`u Ω est un ensemble, et Bune tribu de parties de Ω, c’est `a dire un ensemble de
parties de Ω, contenant Ω, et stable pour les op´erations de compl´ementation et de r´eunion
d´enombrable : Ω∈ B
A∈ B ⇒ Ac∈ B
(An)n=1,+∞∈ B ⇒ ∪n=1,+∞An∈ B.
(1)
Lorsque Ω est fini ou d´enombrable, on choisit souvent (mais pas n´ecessairement) comme
tribu l’ensemble P(Ω) des parties de Ω. Lorsque Ω = R, on choisit g´en´eralement la tribu
bor´elienne de R, not´ee B(R) qui est la plus petite tribu (au sens de l’inclusion) qui contient
les intervalles de Rde la forme [a, b] (ou de fa¸con ´equivalente de la forme [a, b[, ou encore
de la forme ] − ∞, a], ...).
La plus petite tribu qui contient un ensemble donn´e de parties de Ω est appel´ee la tribu
engendr´ee par cet ensemble. Notons que l’intersection de plusieurs tribus est encore une
4

tribu. Par suite, la tribu engendr´ee par un ensemble est l’intersection des tribus qui le
contiennent.
On appelera ´ev`enement associ´e `a une exp´erience al´eatoire une condition portant sur le
r´esultat de cette exp´erience. En fait, on convient d’identifier cet ´ev`enement `a l’ensemble
des valeurs de Ω pour lesquelles la condition qui d´efinit cet ´ev`enement est r´ealis´ee. Ainsi,
un ´ev`enement Eest identifi´e `a l’ensemble
{ω∈Ω; la condition Eest satisfaite pour le r´esultat ω}.
La donn´ee d’une tribu peut donc ˆetre vue comme la sp´ecification d’une classe d’´ev`enements
particuli`ere. Quand les ´el´ements de Ω d´efinissent des singletons {ω}qui appartiennent `a
B,{ω}est parfois appel´e ´ev`enement ´el´ementaire.
On verra que l’on ne peut pas toujours mod´eliser une exp´erience al´eatoire en se donnant
simplement une mesure de la vraisemblance de chacun des r´esultats possibles, mais que
cela peut ˆetre fait en se donnant celle des ´ev`enements d’une tribu. La notion de me-
sure de probabilit´e permet de donner une forme math´ematique `a la notion intuitive de
vraisemblance d’un ´ev`enement.
Un espace probabilis´e est donn´e par un triplet (Ω,B, P ), o`u (Ω,B) est un espace pro-
babilisable, et Pune mesure de probabilit´e sur B, i.e. une application d´efinie sur Bet
`a valeurs dans [0,1], telle que
P(Ω) = 1,
∀(An)n=1,+∞,avec Ai∩Aj=∅pour i6=j, P (∪n=1,+∞An) = Pn=1,+∞P(An).
(2)
Cons´equences. On v´erifie que ∀A, B ∈ B
A⊂B⇒P(A)≤P(B),
P(A∪B) = P(A) + P(B)−P(A∩B),
(3)
et plus g´en´eralement, pour une famille (An)n=1,N quelconque , la formule de Poincarr´e
indique que
P(∪n=1,N An) = Pn=1,N P(An)−Pi<j P(Ai∩Aj) + Pi<j<k P(Ai∩Aj∩Ak)
. . . + (−1)N−1P(∩n=1,N An).
(4)
Notons enfin qu’une mesure de probabilit´e est enti`erement caract´eris´ee par les valeurs
qu’elle prend sur une famille g´en´eratrice de la tribu sur laquelle elle est d´efinie.
3 Probabilit´e sur un ensemble fini ou d´enombrable.
Pour fixer les id´ees, supposons que Ω = {1,2, ..., N}, ou Ω = N. Dans ce cas, on prend
souvent B=P(Ω). La donn´ee d’une suite de nombres positifs (pk)k∈Ω, avec Pkpk= 1
5