Polycopié 4e : Chapitre 1 : Pour l`initiation à la démonstration :

L. GUADALUPI Chapitre 4 – Synthèse MTH4004 – Page S.1
Chapitre 4 : Multiplication et division des nombres relatifs.
I. Multiplier des nombres relatifs.
1. Produit de deux nombres relatifs.
Pour multiplier deux nombres relatifs, on multiplie les distances à zéro, et pour trouver le signe
du produit on applique la règle des signes suivante :
 le produit de deux nombres relatifs de même signe est positif.
 le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est négatif.
Exemples :
 (- 6)  (- 7) = ……… (6  7)
= ………………………
 (+ 15)  (- 10) = ………………………
= ………………………
 (- 13)  (+ 3) = ………………………
= ………………………
Les deux nombres sont ………………………………………………
donc le résultat est ……………………………… .
On multiplie les distances à zéro.
Les deux nombres sont ………………………………………………
donc le résultat est ……………………………… .
On multiplie les distances à zéro.
Les deux nombres sont ………………………………………………
donc le résultat est ……………………………… .
On multiplie les distances à zéro.

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Cas particuliers :
 Pour tout nombre relatif x, on a : x  1 = ………
 Pour tout nombre relatif x, on a : x  0 = ………
 Pour tout nombre relatif x, on a : x  (- 1) = ………
Autrement dit, le produit d’un nombre relatif par (- 1) est l’opposé de ce nombre.
2. Produit de plusieurs nombres relatifs.
Pour multiplier plusieurs nombres relatifs, on multiplie les distances à zéro, et pour trouver le
signe du produit on applique la règle des signes suivante :
 si le nombre de facteurs négatifs est pair, alors le produit de ces nombres est positif.
 si le nombre de facteurs négatifs est impair, alors le produit de ces nombres est négatif.
Exemples :
 (-1)  (+5)  (+2)  (-3) = … ( 1  5  2  3 )
= ………………………
 (-2)  (+5)  (-3)  (-1)  (+7) = … ( 2  5  3  1  7 )
= ………………………
Il y a ……… facteurs négatifs, c’est-à-dire un
nombre ………………… de facteurs négatifs ;
donc le résultat est ……………………………… .
On multiplie les distances à zéro.
Il y a ……… facteurs négatifs, c’est-à-dire un
nombre ………………… de facteurs négatifs ;
donc le résultat est ……………………………… .
On multiplie les distances à zéro.

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II. Propriétés de la multiplications.
1. La multiplication est commutative.
Un produit de plusieurs nombres relatifs ne change pas lorsque l’on modifie l’ordre de ses
facteurs.
Autrement dit, si a et b sont deux nombres relatifs quelconques, on a :
a  b = b  a
Application :
Cette propriété permet de faciliter certains calculs :
4  9  (-25) = …………………  …………………  ……………………
= …………………  …………………
= …………………

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2. La multiplication est distributive par rapport à l’addition.
Si k, a et b désignent trois nombres relatifs, alors on a :
k  (a + b) = k  a + k  b
Application n° 1 :
Développer, c’est passer d’un produit à une somme ou une différence.
 5  ( 3 + 4 ) = ………………… + …………………
= ………………… + …………………
= …………………
 6  ( 2 + x ) = ………………… + …………………
= ………………… + …………………
 ( 1 + x )  (-3) = (-3)  ……………………………
= ………………… + …………………
= …………………
Application n° 2 :
Factoriser, c’est passer d’une somme ou une différence à un produit.
 7  8 + 7  2 = 7  ( ………… + ………… )
= …………………  …………………
= …………………
 3  x + 3  2 = …………  ( ………… + ………… )
On distribue le facteur « 5 » à
chacun des termes de la somme.
On distribue le facteur « 6 » à
chacun des termes de la somme.
On distribue le facteur « - 3 » à
chacun des termes de la somme.
On identifie « 7 » comme
facteur commun à chacun
des termes de la somme.
On identifie « ………… » comme
facteur commun à chacun des
termes de la somme.

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3. La multiplication est distributive par rapport à la soustraction.
Si k, a et b désignent trois nombres relatifs, alors on a :
k  (a – b) = k  a – k  b
Application n° 1 :
Développer (c’est-à-dire « distribuer » le facteur k à chacun des termes de la différence).
 ( 2 – x )  6 = ………………… – …………………
= ………………… – …………………
 (-5)  ( 2 – y ) = ………………… – …………………
= ………………… – …………………
 (-9)  19 = (-9)  ( ………… – ………… )
= ……………………………………………………
= ……………………………………………………
= ……………………………………………………
= ……………………………………………………
Application n° 2 :
Factoriser (c’est-à-dire identifier un facteur commun aux deux termes de la différence).
 8  23 – 8  3 = 8  ( ………………………………… )
= …………  …………
= …………………
 2  5 – 5  y = ……………………………………………………
= ……………………………………………………
On distribue le facteur « 6 » à
chacun des termes de la différence.
On distribue le facteur « - 5 » à
chacun des termes de la différence.
On décompose « 19 »
astucieusement…