Polycopié 4e : Chapitre 1 : Pour l`initiation à la démonstration :

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Chapitre 4 : Multiplication et division des nombres relatifs.
I. Multiplier des nombres relatifs.
1. Produit de deux nombres relatifs.
Pour multiplier deux nombres relatifs, on multiplie les distances à zéro, et pour trouver le signe
du produit on applique la règle des signes suivante :
 le produit de deux nombres relatifs de même signe est positif.
 le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est négatif.
Les deux nombres sont ………………………………………………
Exemples :
donc le résultat est ……………………………… .
On multiplie les distances à zéro.
 (- 6)  (- 7) = ……… (6  7)
= ………………………
Les deux nombres sont ………………………………………………
donc le résultat est ……………………………… .
On multiplie les distances à zéro.
 (+ 15)  (- 10)
= ………………………
= ………………………
Les deux nombres sont ………………………………………………
donc le résultat est ……………………………… .
On multiplie les distances à zéro.
 (- 13)  (+ 3)
= ………………………
= ………………………
L. GUADALUPI
Chapitre 4 – Synthèse
MTH4004 – Page S.1
Cas particuliers :
 Pour tout nombre relatif x, on a :
x  1 = ………
 Pour tout nombre relatif x, on a :
x  0 = ………
 Pour tout nombre relatif x, on a :
x  (- 1) = ………
Autrement dit, le produit d’un nombre relatif par (- 1) est l’opposé de ce nombre.
2.
Produit de plusieurs nombres relatifs.
Pour multiplier plusieurs nombres relatifs, on multiplie les distances à zéro, et pour trouver le
signe du produit on applique la règle des signes suivante :
 si le nombre de facteurs négatifs est pair, alors le produit de ces nombres est positif.
 si le nombre de facteurs négatifs est impair, alors le produit de ces nombres est négatif.
Il y a ……… facteurs négatifs, c’est-à-dire un
Exemples :
nombre ………………… de facteurs négatifs ;
donc le résultat est ……………………………… .
On multiplie les distances à zéro.
 (-1)  (+5)  (+2)  (-3)
= …(1523)
= ………………………
Il y a ……… facteurs négatifs, c’est-à-dire un
nombre ………………… de facteurs négatifs ;
donc le résultat est ……………………………… .
On multiplie les distances à zéro.
 (-2)  (+5)  (-3)  (-1)  (+7) = … ( 2  5  3  1  7 )
= ………………………
L. GUADALUPI
Chapitre 4 – Synthèse
MTH4004 – Page S.2
II. Propriétés de la multiplications.
1. La multiplication est commutative.
Un produit de plusieurs nombres relatifs ne change pas lorsque l’on modifie l’ordre de ses
facteurs.
Autrement dit, si a et b sont deux nombres relatifs quelconques, on a :
a  b= b a
Application :
Cette propriété permet de faciliter certains calculs :
4  9  (-25)
= …………………  …………………  ……………………
= …………………  …………………
= …………………
L. GUADALUPI
Chapitre 4 – Synthèse
MTH4004 – Page S.3
2. La multiplication est distributive par rapport à l’addition.
Si k, a et b désignent trois nombres relatifs, alors on a :
k  (a + b) = k  a + k  b
Application n° 1 :
Développer, c’est passer d’un produit à une somme ou une différence.
 5(3+4)
= ………………… + …………………
= ………………… + …………………
On distribue le facteur « 5 » à
chacun des termes de la somme.
= …………………
 6(2+x)
= ………………… + …………………
= ………………… + …………………
On distribue le facteur « 6 » à
chacun des termes de la somme.
 ( 1 + x )  (-3) = (-3)  ……………………………
= ………………… + …………………
= …………………
On distribue le facteur « - 3 » à
chacun des termes de la somme.
Application n° 2 :
Factoriser, c’est passer d’une somme ou une différence à un produit.
 78+72
= 7  ( ………… + ………… )
= …………………  …………………
On identifie « 7 » comme
facteur commun à chacun
des termes de la somme.
= …………………
On identifie « ………… » comme
 3x+32
= …………  ( ………… + ………… )
facteur commun à chacun des
termes de la somme.
L. GUADALUPI
Chapitre 4 – Synthèse
MTH4004 – Page S.4
3. La multiplication est distributive par rapport à la soustraction.
Si k, a et b désignent trois nombres relatifs, alors on a :
k  (a – b) = k  a – k  b
Application n° 1 :
Développer (c’est-à-dire « distribuer » le facteur k à chacun des termes de la différence).
 (2–x)6
= ………………… – …………………
= ………………… – …………………
 (-5)  ( 2 – y ) = ………………… – …………………
= ………………… – …………………
 (-9)  19
= (-9)  ( ………… – ………… )
= ……………………………………………………
On distribue le facteur « 6 » à
chacun des termes de la différence.
On distribue le facteur « - 5 » à
chacun des termes de la différence.
On décompose « 19 »
astucieusement…
= ……………………………………………………
= ……………………………………………………
= ……………………………………………………
Application n° 2 :
Factoriser (c’est-à-dire identifier un facteur commun aux deux termes de la différence).
 8  23 – 8  3 = 8  ( ………………………………… )
= …………  …………
= …………………
 25–5y
= ……………………………………………………
= ……………………………………………………
L. GUADALUPI
Chapitre 4 – Synthèse
MTH4004 – Page S.5
III. Diviser par un nombre relatif non nul.
1. Quotient de deux nombres relatifs.
Le quotient d’un nombre relatif a par un nombre relatif non nul b, noté
a:b
ou
a
, est le
b
nombre par lequel on doit multiplier b pour trouver a.
Autrement dit, ce quotient est le facteur manquant dans la multiplication à trous :
b 
a a
………
b b
= a
2. Diviser des nombres relatifs.
Pour diviser un nombre relatif par un nombre relatif non nul, on divise les distances à zéro, et
pour trouver le signe du quotient on applique la même règle des signes que pour la multiplication :
 le quotient d’un nombre relatif par un nombre relatif non nul de même signe est positif.
 le quotient d’un nombre relatif par un nombre relatif non nul de signe contraire est négatif.
Exemples :
 (- 4) : 5
=
-4
5
=–
4
5
= - 0,8
L. GUADALUPI
 (- 120) : (- 15) =
- 120
- 15
= +
4
5
=
Chapitre 4 – Synthèse

120
15
8
4
5
7
=
- 14
=
–
7
14
- 0,5
4
5
44
55
MTH4004 – Page S.6
IV. Valeur exacte, valeurs approchées, valeur arrondie et encadrement.
On veut, par exemple, calculer le quotient de 15 par (- 7).
 ce quotient est négatif car 15 et (- 7) sont de signes contraires ;
 pour trouver la distance à zéro de ce quotient, il faut calculer le quotient de 15 par 7 :
1 5, 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0
3 0
2 0
6 0
4 0
5 0
1 0
3 0
…
7
2, 1 4 2 8 5 7 1 4 …
La division ne s’arrête pas !
Plaçons ce quotient sur une droite graduée :

On ne peut pas donner la valeur exacte de 15 : 7 (et donc de 15 : (- 7) ) sous la forme d’un nombre
décimal.
–

15
est la valeur exacte de 15 : (- 7) donnée sous forme fractionnaire.
7
A une précision donnée, il existe deux valeurs approchées distinctes : celle par défaut et celle par
excès.

Par contre, à une précision donnée, il n’existe qu’une seule valeur arrondie, et qu’un seul
encadrement.
L. GUADALUPI
Chapitre 4 – Synthèse
MTH4004 – Page S.7
Exemples :
 …………………… est une valeur approchée au dixième par défaut de 15 : (- 7) ;
 …………………… est une valeur approchée au dixième par excès de 15 : (- 7) ;
 …………………… est la valeur arrondie au dixième de 15 : (- 7) ;
(c’est la valeur approchée au dixième la plus proche)
 ……………… < –
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15
7
< ……………… est l’encadrement au dixième de 15 : (- 7).
Chapitre 4 – Synthèse
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