Polycopié 4e : Chapitre 1 : Pour l`initiation à la démonstration :

Chapitre 4 : Multiplication et division des nombres relatifs.
I. Multiplier des nombres relatifs.
1. Produit de deux nombres relatifs.
Pour multiplier deux nombres relatifs, on multiplie les distances à zéro, et pour trouver le signe
du produit on applique la règle des signes suivante :
 le produit de deux nombres relatifs de même signe est positif.
 le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est négatif.
Les deux nombres sont ………………………………………………
Exemples :
donc le résultat est ……………………………… .
On multiplie les distances à zéro.
 (- 6)  (- 7) = ……… (6  7)
= ………………………
Les deux nombres sont ………………………………………………
donc le résultat est ……………………………… .
On multiplie les distances à zéro.
 (+ 15)  (- 10)
= ………………………
= ………………………
Les deux nombres sont ………………………………………………
donc le résultat est ……………………………… .
On multiplie les distances à zéro.
 (- 13)  (+ 3)
= ………………………
= ………………………
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Chapitre 4 – Synthèse
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Cas particuliers :
 Pour tout nombre relatif x, on a :
x  1 = ………
 Pour tout nombre relatif x, on a :
x  0 = ………
 Pour tout nombre relatif x, on a :
x  (- 1) = ………
Autrement dit, le produit d’un nombre relatif par (- 1) est l’opposé de ce nombre.
2.
Produit de plusieurs nombres relatifs.
Pour multiplier plusieurs nombres relatifs, on multiplie les distances à zéro, et pour trouver le
signe du produit on applique la règle des signes suivante :
 si le nombre de facteurs négatifs est pair, alors le produit de ces nombres est positif.
 si le nombre de facteurs négatifs est impair, alors le produit de ces nombres est négatif.
Il y a ……… facteurs négatifs, c’est-à-dire un
Exemples :
nombre ………………… de facteurs négatifs ;
donc le résultat est ……………………………… .
On multiplie les distances à zéro.
 (-1)  (+5)  (+2)  (-3)
= …(1523)
= ………………………
Il y a ……… facteurs négatifs, c’est-à-dire un
nombre ………………… de facteurs négatifs ;
donc le résultat est ……………………………… .
On multiplie les distances à zéro.
 (-2)  (+5)  (-3)  (-1)  (+7) = … ( 2  5  3  1  7 )
= ………………………
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Chapitre 4 – Synthèse
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II. Propriétés de la multiplications.
1. La multiplication est commutative.
Un produit de plusieurs nombres relatifs ne change pas lorsque l’on modifie l’ordre de ses
facteurs.
Autrement dit, si a et b sont deux nombres relatifs quelconques, on a :
a  b= b a
Application :
Cette propriété permet de faciliter certains calculs :
4  9  (-25)
= …………………  …………………  ……………………
= …………………  …………………
= …………………
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Chapitre 4 – Synthèse
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2. La multiplication est distributive par rapport à l’addition.
Si k, a et b désignent trois nombres relatifs, alors on a :
k  (a + b) = k  a + k  b
Application n° 1 :
Développer, c’est passer d’un produit à une somme ou une différence.
 5(3+4)
= ………………… + …………………
= ………………… + …………………
On distribue le facteur « 5 » à
chacun des termes de la somme.
= …………………
 6(2+x)
= ………………… + …………………
= ………………… + …………………
On distribue le facteur « 6 » à
chacun des termes de la somme.
 ( 1 + x )  (-3) = (-3)  ……………………………
= ………………… + …………………
= …………………
On distribue le facteur « - 3 » à
chacun des termes de la somme.
Application n° 2 :
Factoriser, c’est passer d’une somme ou une différence à un produit.
 78+72
= 7  ( ………… + ………… )
= …………………  …………………
On identifie « 7 » comme
facteur commun à chacun
des termes de la somme.
= …………………
On identifie « ………… » comme
 3x+32
= …………  ( ………… + ………… )
facteur commun à chacun des
termes de la somme.
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3. La multiplication est distributive par rapport à la soustraction.
Si k, a et b désignent trois nombres relatifs, alors on a :
k  (a – b) = k  a – k  b
Application n° 1 :
Développer (c’est-à-dire « distribuer » le facteur k à chacun des termes de la différence).
 (2–x)6
= ………………… – …………………
= ………………… – …………………
 (-5)  ( 2 – y ) = ………………… – …………………
= ………………… – …………………
 (-9)  19
= (-9)  ( ………… – ………… )
= ……………………………………………………
On distribue le facteur « 6 » à
chacun des termes de la différence.
On distribue le facteur « - 5 » à
chacun des termes de la différence.
On décompose « 19 »
astucieusement…
= ……………………………………………………
= ……………………………………………………
= ……………………………………………………
Application n° 2 :
Factoriser (c’est-à-dire identifier un facteur commun aux deux termes de la différence).
 8  23 – 8  3 = 8  ( ………………………………… )
= …………  …………
= …………………
 25–5y
= ……………………………………………………
= ……………………………………………………
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III. Diviser par un nombre relatif non nul.
1. Quotient de deux nombres relatifs.
Le quotient d’un nombre relatif a par un nombre relatif non nul b, noté
a:b
ou
a
, est le
b
nombre par lequel on doit multiplier b pour trouver a.
Autrement dit, ce quotient est le facteur manquant dans la multiplication à trous :
b 
a a
………
b b
= a
2. Diviser des nombres relatifs.
Pour diviser un nombre relatif par un nombre relatif non nul, on divise les distances à zéro, et
pour trouver le signe du quotient on applique la même règle des signes que pour la multiplication :
 le quotient d’un nombre relatif par un nombre relatif non nul de même signe est positif.
 le quotient d’un nombre relatif par un nombre relatif non nul de signe contraire est négatif.
Exemples :
 (- 4) : 5
=
-4
5
=–
4
5
= - 0,8
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 (- 120) : (- 15) =
- 120
- 15
= +
4
5
=
Chapitre 4 – Synthèse

120
15
8
4
5
7
=
- 14
=
–
7
14
- 0,5
4
5
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IV. Valeur exacte, valeurs approchées, valeur arrondie et encadrement.
On veut, par exemple, calculer le quotient de 15 par (- 7).
 ce quotient est négatif car 15 et (- 7) sont de signes contraires ;
 pour trouver la distance à zéro de ce quotient, il faut calculer le quotient de 15 par 7 :
1 5, 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0
3 0
2 0
6 0
4 0
5 0
1 0
3 0
…
7
2, 1 4 2 8 5 7 1 4 …
La division ne s’arrête pas !
Plaçons ce quotient sur une droite graduée :

On ne peut pas donner la valeur exacte de 15 : 7 (et donc de 15 : (- 7) ) sous la forme d’un nombre
décimal.
–

15
est la valeur exacte de 15 : (- 7) donnée sous forme fractionnaire.
7
A une précision donnée, il existe deux valeurs approchées distinctes : celle par défaut et celle par
excès.

Par contre, à une précision donnée, il n’existe qu’une seule valeur arrondie, et qu’un seul
encadrement.
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Exemples :
 …………………… est une valeur approchée au dixième par défaut de 15 : (- 7) ;
 …………………… est une valeur approchée au dixième par excès de 15 : (- 7) ;
 …………………… est la valeur arrondie au dixième de 15 : (- 7) ;
(c’est la valeur approchée au dixième la plus proche)
 ……………… < –
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15
7
< ……………… est l’encadrement au dixième de 15 : (- 7).
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