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C11 Les probabilités
Troisième
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11.1 Une expérimentation
11.1.1 Introduction
Cette première partie s’effectue individuellement.
L’expérience consiste à lancer un dé à six faces numérotées de 1 à 6. Ce dé étant parfaitement équilibré.
1. Effectuer une fois cette expérience. Quel résultat obtenez-vous ?
2. Pouviez-vous prévoir le résultat à l’avance ?
3. Quels sont les résultats possibles de cette expérience aléatoire ?
Les résultats possibles d’une expérience aléatoire s’appellent les issues.
4. Pouvez-vous recommencer cette expérience dans les mêmes conditions ?
Une expérience est dite aléatoire si :
• on connaît les issues ;
• le résultat n’est pas prévisible ;
• l’expérience est reproductible dans les mêmes conditions.
Remarque : Le mot aléatoire vient de la racine latine alea : risque, chance, jeu de hasard.
5. Quelle « chance » a l’issue « 3 » de se réaliser ?
Les mathématiciens expriment cette chance à l’aide d’un nombre compris entre 0 et 1.
Ils appellent ce nombre la probabilité que l’issue « 3 » se réalise.
6. Un événement est un ensemble de résultats que l’on peut éventuellement obtenir lors d’une expérience aléatoire.
Soit l’événement « obtenir un nombre pair » .
Quelle est la probabilité de cet événement ?
7. Soit l’événement « obtenir 10 ». Quelle est sa probabilité ?
Un événement dont la probabilité est 0 est un événement impossible.
8. Un événement dont la probabilité est 1 est un événement certain.
Donner un exemple d’événement certain.
11.1.2 Une simulation de jeu
Lancer un dé à 6 faces est une des expériences aléatoires les plus utilisées et vous en possédez déjà une bonne maîtrise.
Voici un autre jeu qui se joue avec deux dés à six faces numérotées de 1 à 6 :
« Un joueur annonce un nombre puis il jette les deux dés ensemble.
Si la somme des deux dés est égale au nombre annoncé, il gagne sinon il perd ».
L’objectif de ce TP est de trouver, si possible, une stratégie pour gagner le plus souvent possible ?
1. Pourquoi ce jeu est une expérience aléatoire ?
2. Quel est l’ensemble des issues de ce jeu ?
Remarque : l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire s’appelle l’univers ou encore l’univers des possibles.
3. Intuitivement, sur quelle issue miseriez-vous ?
4. Dans un premier temps, vous allez expérimenter ce jeu.
(a) À deux, effectuer 50 fois cette expérience aléatoire et compléter le tableau suivant :
Somme de deux dés
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Total
Effectif
Fréquence en forme décimale
(b) Comparer vos résultats avec les résultats des 2 autres élèves de votre groupe.
Que remarquez-vous ?
Ce phénomène s’appelle fluctuation d’échantillonnage sur des expérimentations de taille 50.
(c) Regrouper les résultats de votre groupe afin de compléter le tableau suivant :
N. SANS
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Somme de deux dés
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Effectif
Total
100
Fréquence en forme décimale
(d) Qu’observez-vous quant à l’évolution des résultats lors de la mise en commun ?
Après cette expérimentation, quelle stratégie mettriez-vous en place ?
5. Avant de développer une approche probabiliste de ce jeu, nous allons simuler ce jeu.
En effet, l’expérimentation est intéressante et ludique mais elle est bruyante et surtout trop longue.
Maintenant, nous voulons répéter le jeu 1000 fois par élèves.
Cela nous donnera un échantillon de taille 24 × 1000 de ce jeu. Soit 24 000 !
Pour ce faire, nous allons simuler ce jeu avec un ordinateur.
Le tableur est l’outil idéal pour effectuer ce travail répétitif.
(a) Dans le tableur LibreOffice, écrire en cellule A1 la formule :
= alea.entre.bornes(1 ;6)+alea.entre.bornes(1 ;6)
(b) Recopier cette formule jusqu’à la cellule A1000.
(c) Pour compter les résultats obtenus, réaliser le tableau suivant :
En cellule D2, entrer la formule : =NB.SI($A$1 :$A$1000 ;D1) pour compter le nombre de fois que le résultat
2 est sorti.
(d) Recopier la formule pour les autres tirages.
(e) Compléter la colonne O.
(f) Appuyer en même temps sur les touches Ctrl+Maj+F9. Que remarquez-vous ?
(g) L’objectif de cette question est de faire apparaître un diagramme en barre.
Sélectionner la plage D1 à N1 puis la plage D3 à N3. Ensuite, créer un diagramme Colonne.
(h) Quels sont les résultats qui apparaissent le plus souvent ?
(i) Quelle stratégie permet de gagner le plus souvent possible ?
11.1.3 De la modélisation ! Vive la théorie !
1. Répertorier tous les tirages que l’on peut obtenir avec les deux dés en utilisant la méthode de votre choix.
2. Calculer la somme obtenue pour chaque tirage.
3. Compléter le tableau suivant :
Somme de deux dés
Effectif
Fréquence théorique
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Total
4. Comparer les résultats obtenus avec ceux du tableur.
5. Comment les fréquences obtenues par simulation peuvent-elles devenir de plus en plus proche des fréquences
théoriques ?
Cette notion s’appelle la loi des grands nombres.
Elle a été mise en place par Jacques Bernoulli au XVIIe siècle.
N. SANS
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11.1.4 Une nouvelle simulation pour valider un modèle
On dispose d’un dé à 6 faces non truqué et on le lance.
1. Donner toutes les issues possibles.
2. Donner une valeur théorique d’obtenir l’issue 2.
3. Quel nom mathématique, utilise-t-on pour cette valeur théorique ?
4. Le problème est de prouver cette valeur ...
Pour cela nous allons simuler cette expérience et vérifier la fréquence d’apparition de chaque issue.
(a) Avec un tableur, en cellule A1 , entrer la formule : =ALEA.ENTRE.BORNES(1 ;6) .
(b) Appuyer sur CTRL+MAJ+F9 en même temps. Que se passe-t-il ?
(c) Recopier cette formule jusqu’à la cellule A100.
(d) Quelle est la taille de l’échantillon de simulation ?
(e) Appuyer sur CTRL+MAJ+F9 en même temps. Que se passe-t-il ?
Ce phénomène s’appelle fluctuation d’échantillonnage sur des séries de taille 100.
(f) Si vous appuyez 10 fois de suite sur CTRL+MAJ+F9 en même temps, combien de lancers de dés avez-vous
effectué ?
(g) En cellule C1, écrire Issues. En cellule D1, Effectif et en cellule E1, Fréquence.
(h) De la cellule C2 à la cellule C7, écfire les issues de 1 à 6.
(i) En cellule D2, entrer la formule : NB.SI($A$1 :$A$100 ;C2) .
(j) Récopier cette formule jusqu’à la cellule D7.
(k) Quelle formule pouvez-vous entrer en cellule E2 afin d’obtenir la fréquence d’apparition de l’issue 1 ?
(l) Recopier cette formule jusqu’à la cellule E7.
(m) Faire apparaître le diagramme des fréquences.
(n) Interpréter la fluctuation d’échantillonnage des séries de taille 100 avec votre graphique.
(o) Interpréter votre simulation.
(p) Améliorer votre simulation afin d’obtenir des échantillon de taille 1000.
(q) Quelle différence obtenez-vous entre un échantillon de taille 100 et un de taille 1000 ?
(r) L’expérience aléatoire « lancer un dé équilibré à 6 faces » est-elle une situation d’équiprobabilité ?
11.1.5 Une dernière simulation : Fille ou garçon ?
On se propose d’utiliser le tableur pour résoudre le problème suivant :
« Pour une famille avec deux enfants non jumeaux, a-t-on autant de chances d’avoir deux filles que deux enfants de
sexes différents ? »
On suppose pour simplifier les choses qu’un enfant sur deux qui nait est une fille et l’autre un garçon.
1. Que conjecturez-vous a priori quant au sexe des enfants ? Quant à la question posée ?
2. On se propose d’utiliser la colonne A pour simuler le sexe du premier enfant, la colonne B pour celui du second
enfant et la colonne C pour compter le nombre de garçons.
Proposer une formule utilisant la fonction ALEA.ENTRE.BORNES permettant de simuler le sexe d’un enfant dans
les cases A1 et B1 et une formule adaptée pour compter le nombre de garçons de la fratrie dans la case C1.
Demander au professeur de valider les deux formules avant d’aller plus loin.
3. « Tirer la poignée » verticalement de façon à simuler 100 familles de deux enfants.
4. Dans la plage F4 : J5 dresser un tableau de la forme suivante :
Nombre de garçons
Effectif
0
1
2
total
où les cases Effectif seront automatiquement complétées par le tableur (utiliser la fonction NB.SI)
5. En appuyant plusieurs fois sur les touches CTRL+MAJ+F9 , indiquer autour de quels effectifs semblent osciller les
types de famille.
6. En utilisant un diagramme et en augmentant la taille de votre échantillon, répondre au problème posé.
N. SANS
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11.1.6 Un premier bilan intermédiaire très utile pour le lycée !
On entend par expérimentation ou simulation, le fait d’essayer un grand nombre de fois une expérience aléatoire, d’en
observer les issues possibles et de calculer les fréquences d’apparition de chacune de ces issues.
On entend par modélisation la fait de proposer un modèle pour mathématiser l’expérience proposée.
À retenir pour simuler avec un tableur :
• La fonction « ALEA.ENTRE.BORNES(a ; b) » donne un nombre aléatoire compris entre a et b.
• La fonction « NB.SI(plage ;critère) » compte le nombre de fois où le résultat choisi apparaît sur une plage de
cellule.
Par exemple, « NB.SI(A1 :A100 ;3) » donne le nombre de 3 dans la plage de cellules allant de A1 à A100.
• Vous devez faire attention à la syntaxe des formules .
Pour une plage de cellules, on utilise les deux points : pour dire à l’ordinateur d’aller de la cellule A1 à la
cellule A100.
11.2 Du calcul probabiliste
E XERCICE 1 (Expérience aléatoire et vocabulaire des événements)
Chaque lettre de l’alphabet est représentée sur un jeton. On place tous ses jetons dans un sac puis on tire un jeton au
hasard et on note la lettre obtenue.
1. Pourquoi cette expérience est-elle aléatoire ?
4. Citer un événement élémentaire.
2. Combien d’issues comporte cette expérience ?
5. Citer un événement, puis un événement certain puis
un événement impossible.
3. Quelles sont les issues de cette expérience.
E XERCICE 2 (Avec des boules)
Une urne contient 20 boules numérotées de 1 à 20.
On choisit une boule au hasard et on regarde son numéro.
Chaque boule a la même probabilité d’être tirée.
1. Est-ce une situation d’équiprobabilité ? Justifier !
2. Quelle est la probabilité de l’événement A : « tirer la boule numéro 7 » ?
3. Quelle est la probabilité de l’événement B : « tirer une boule portant un numéro impair » ?
4. Quelle est la probabilité de l’événement C : « tirer une boule avec un numéro multiple de 3 » ?
5. Quelle est la probabilité de l’événement D : « tirer une boule portant un numéro supérieur ou égal à 21 » ?
E XERCICE 3 (Avec un jeu de 32 cartes)
Dans un jeu de 32 cartes, il y a quatre couleurs (pique, cœur, carreau, trèfle) et pour chacune d’elles, il y a huit cartes
différentes (7, 8, 9, 10, valet, dame, roi et as).
Julien tire une carte de ce jeu au hasard. Toutes les cartes ont la même probabilité d’être choisies.
5. Quelle est la probabilité de tirer un roi ou un pique ?
1. Quelle est la probabilité de tirer un roi ?
2. Quelle est la probabilité de tirer un carte rouge ?
6. Quelle est la probabilité de tirer le 5 de cœur ?
3. Quelle est la probabilité de tirer un carreau ?
4. Quelle est la probabilité de tirer le roi de trèfle ?
7. Quelle est la probabilité de tirer une carte ?
E XERCICE 4 (Polynésie française 2009)
A un stand du « Heiva », on fait tourner la roue de loterie ci-dessous.
On admet que chaque secteur a autant de chance d’être désigné.
On regarde la lettre désignée par la flèche : A, T ou M, et on considère
les évènements suivants :
• A : « on gagne un autocollant» ;
• T : « on gagne un tee-shirt » ;
• M : « on gagne un tour de manège ».
A
T
T
M
M
T
T
M
1. Quelle est la probabilité de l’évènement A ?
3. Quelle est la probabilité de l’évènement M ?
2. Quelle est la probabilité de l’évènement T ?
4. Exprimer à l’aide d’une phrase ce qu’est l’évènement non A puis donner sa probabilité.
N. SANS
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E XERCICE 5 (Avec des tee-shirts)
Dans l’armoire d’Hugo, il y a :
• 4 tee-shirts rouges ;
• 6 tee-shirts blancs ;
• 7 tee-shirts noirs ;
• 3 tee-shirts verts.
Tous les tee-shirts sont pliés et rangés dans son armoire.
Il choisit un tee-shirt au hasard.
1. Quel est le nombre d’issues possibles ?
2. On note R l’événement : « le tee-shirt est rouge » .
Déterminer p(R).
3. Déterminer la probabilité que le tee-shirt choisi ne soit pas rouge.
E XERCICE 6 (A corriger)
Julie doit résoudre le problème suivant :
« Dans un jeu de Lego, il y a 35 briques jaunes, 25 briques rouges et 15 briques bleues. On prend une brique au hasard.
Quelle est la probabilité que cette brique soit bleue ? »
Elle propose la réponse suivante à son professeur :
Il y a 15 briques bleues.
Il y a 60 briques d’une autre couleur puisque 35+25=60.
15/60=0,25 donc la probabilité que la brique soit bleue est 0,25.
La réponse de Julie est-elle correcte ? Si non, proposer la bonne réponse.
E XERCICE 7 (En géométrie)
Les forces de l’ONU larguent par avion des vivres et du matériel sur des zones difficiles d’accès par la route.
Voici, vu du ciel, une zone de largage rectangulaire composée d’une zone d’herbe (en blanc) et d’une zone humide (en
hachure).
50 m
50 m
100 m
50 m
250 m
Le largage est effectué au hasard sur la zone.
Quelle est la probabilité que le matériel largué tombe sur la zone d’herbe ? Et sur la zone humide ?
11.2.1 Probabilités au brevet
E XERCICE 8 (Pondichery 2012)
Dans un pot au couvercle rouge on a mis 6 bonbons à la fraise et 10 bonbons à la menthe.
Dans un pot au couvercle bleu on a mis 8 bonbons à la fraise et 14 bonbons à la menthe.
Les bonbons sont enveloppés de telle façon qu’on ne peut pas les différencier.
Antoine préfère les bonbons à la fraise.
Dans quel pot a-t-il le plus de chance de choisir un bonbon à la fraise ?
Justifier votre réponse.
N. SANS
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E XERCICE 9 (Asie 2012)
Dans un jeu de société, les jetons sont des supports de format carré, de mêmes couleurs, sur lesquels une lettre de
l’alphabet est inscrite. Le revers n’est pas identifiable.
Il y a 100 jetons. Le tableau ci-dessous donne le nombre de jetons du jeu pour chacune des voyelles :
Lettres du jeu
Effectif
A
9
E
15
I
8
O
6
U
6
Y
1
On choisit au hasard une lettre de ce jeu.
1. Quelle est la probabilité d’obtenir la lettre I ?
2. Quelle est la probabilité d’obtenir une voyelle ?
3. Quelle est la probabilité d’obtenir une consonne ?
E XERCICE 10 (France 2012)
Pour chacune des deux questions suivantes, plusieurs propositions de réponse sont faites. Une seule des propositions est
exacte.
Aucune justification n’est attendue.
1. Alice participe à un jeu télévisé. Elle a devant elle trois portes fermées. Derrière l’une des portes, il y a une voiture ;
derrière les autres, il n’y a rien.
Alice doit choisir l’une de ces portes. Si elle choisit la porte derrière laquelle il y a la voiture, elle gagne cette
voiture.
Alice choisit au hasard une porte. Quelle est la probabilité qu’elle gagne la voiture ?
a.
1
2
b.
1
3
c.
2
3
d. On ne peut pas savoir
2. S’il y a quatre portes au lieu de trois et toujours une seule voiture à gagner, comment évolue la probabilité qu’a
Alice de gagner la voiture ?
a. augmente
b. diminue
c. reste identique
d. on ne peut pas savoir
E XERCICE 11 (Polynésie 2012)
L’hôtel « la ora na »accueille 125 touristes :
• 55 néo-calédoniens dont 12 parlent également anglais.
• 45 américains parlant uniquement l’anglais.
• Le reste étant des polynésiens dont 8 parlent également anglais.
Les néo-calédoniens et les polynésiens parlent tous le français.
1. Si je choisis un touriste pris au hasard dans l’hôtel, quelle est la probabilité des évènements suivants :
(a) Évènement A : « Le touriste est un américain »
(b) Évènement B : « Le touriste est un polynésien ne parlant pas anglais »
(c) Évènement C : « Le touriste parle anglais »
2. Si j’aborde un touriste dans cet hôtel, ai-je plus de chance de me faire comprendre en parlant en anglais ou en
français ? Justifie ta réponse. (Toute trace de recherche, même incomplète sera prise en compte dans l’évaluation)
E XERCICE 12 (Amérique du Nord 2010)
Julien fait construire une maison et aujourd’hui il visite le chantier.
Il observe un électricien.
Il constate que celui-ci a, à coté de lui, 2 boîtes.
Dans la première il y a 40 vis à bout rond et 60 vis à bout plat.
Dans la deuxième il y a 38 vis à bout rond et 12 vis à bout plat.
1. L’électricien prend au hasard une vis dans la première boîte. Quelle est la probabilité que cette vis soit à bout
rond ?
2. L’électricien a remis cette vis dans la première boîte. Les deux boîtes sont donc inchangées.
Il prend maintenant, toujours au hasard, une vis dans la première boîte puis une vis dans la deuxième boîte.
(a) Quels sont les différents tirages possibles ?
(b) Montrer qu’il a plus d’une chance sur deux d’obtenir deux vis différentes.
N. SANS
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E XERCICE 13 (France métropolitaine Juin 2011)
35
Un dé cubique a 6 faces peintes : une en bleu, une en rouge,
une en jaune, une en vert et deux en noir.
1. On jette ce dé cent fois et on note à chaque fois la couleur de la face obtenue. Le schéma ci-contre donne la
répartition des couleurs obtenues lors de ces cent lancers.
30
25
20
15
(a) Déterminer la fréquence d’apparition de la couleur jaune.
10
(b) Déterminer la fréquence d’apparition de la couleur noire.
5
0
bleu rouge jaune vert
noir
2. On suppose que le dé est équilibré.
(a) Quelle est la probabilité d’obtenir la couleur jaune ?
(b) Quelle est la probabilité d’obtenir la couleur noire ?
3. Expliquer l’écart entre les fréquences obtenues à la question 1 et les probabilités trouvées à la question 2.
E XERCICE 14 (France métropolitaine Juin 2014)
Un sac contient 20 jetons qui sont soit jaunes, soit verts, soit rouges, soit bleus. On considère l’expérience suivante :
tirer au hasard un jeton, noter sa couleur et remettre le jeton dans le sac. Chaque jeton a la même probabilité d’être tiré.
1. Le professeur, qui connaît la composition du sac, a simulé un grand nombre de fois l’expérience avec un tableur.
Il a représenté ci-dessous la fréquence d’apparition des différentes couleurs après 1 000 tirages.
(a) Quelle couleur est la plus présente dans le sac ? Aucune justification n’est attendue.
(b) Le professeur a construit la feuille de calcul suivante :
1
A
Nombre de tirages
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
Nombre de fois où un
jeton rouge est apparu
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
C
Fréquence d’apparition de
la couleur rouge
0
0
0
0
0
0,166 666 667
0,142 857 143
0,125
0,111 111 111
0,1
Quelle formule a-t-il saisie dans la cellule C2 avant de la recopier vers le bas ?
2. On sait que la probabilité de tirer un jeton rouge est de
Combien y a-t-il de jetons rouges dans ce sac ?
N. SANS
1
.
5
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11.2.2 Expérience en deux temps
E XERCICE 15 (Un exemple)
L’idée de ce premier exemple est de comprendre la notion d’expériences à deux étapes et de la représentation sous la
forme d’un arbre.
E XERCICE 16 (Encore un)
Un jeu consiste à tirer une boule dans le sac ci-dessous puis à lancer un dé équilibré à six faces.
On gagne lorsqu’on a tiré une boule bleue et obtenu un multiple de 3 sur le dé.
Quelle est la probabilité de gagner ?
E XERCICE 17 (Un autre)
Un sac contient 4 jetons indiscernables au toucher portant les lettres : A, B, C et D.
Julien tire au hasard , successivement et sans remise deux jetons du sac.
Il forme ainsi un mot de deux lettres.
Par exemple, avec A comme première lettre et C comme deuxième, il obtient le mot « AC »
1. Réaliser un arbre de dénombrement.
2. Pourquoi chaque chemin a la même probabilité de se réaliser ?
3. Quelle est la probabilité que Julien obtienne le mot « DA » ?
4. Quelle est la probabilité d’obtenir un mot contenant la lettre B ?
E XERCICE 18 (Un petit dernier)
Une urne contient sept boules indiscernables au toucher : quatre boules bleues et 3 boules rouges.
On tire au hasard, successivement et avec remise deux boules de l’urne.
1. Calculer la probabilité que la première boule soit bleue et la seconde boule soit rouge.
N. SANS
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2. Calculer la probabilité que les deux boules aient la même couleur.
E XERCICE 19 (Amérique Nord 2012)
Dans un collège de Caen (Normandie) est organisé un échange avec le Mexique pour les élèves de 3e qui étudient
l’espagnol en seconde langue.
Partie 1 - L’inscription des élèves
Le tableau ci-dessous permet de déterminer la répartition de la seconde langue étudiée par les 320 élèves de 4e et de 3e
de ce collège.
Seconde langue étudiée
4e
3e
Espagnol
Allemand
Italien
Total
84
22
62
24
50
Total
320
1. Combien d’élèves peuvent être concernés par cet échange ?
2. 24 élèves vont participer à ce voyage.
Est-il vrai que cela représente plus de 12 % des élèves de 3e ?
Partie II - Le financement
Afin de financer cet échange, deux actions sont mises en œuvre : un repas mexicain et une tombola.
1. Le repas mexicain, où chaque participant paye 15 (.
Au menu, on trouve un plat typique du Mexique, le Chili con carne.
Recette pour 4 personnes
50 g de beurre
2 gros oignons
2 gousses d’ail
30 cl de bouillon de bœuf
500 g de bœuf haché
65 g de concentré de
tomate
400 g de haricots rouges
50 personnes participent à ce repas.
(a) Donner la quantité de bœuf haché, de haricots rouges, d’oignons et de concentré de tomate nécessaire.
(b) Les dépenses pour ce repas sont de 261 (, quel est le bénéfice ?
2. La tombola, où 720 tickets sont vendus au prix de 2 (.
Les lots sont fournis gratuitement par trois magasins qui ont accepté de sponsoriser le projet.
Il y a trois lots à gagner : un lecteur DVD portable, une machine à pain et une mini-chaîne Hifi.
Un élève achète 1 ticket.
(a) Quelle probabilité a-t-il de gagner l’un des lots ?
(b) Quelle probabilité a-t-il de gagner la mini-chaîne Hifi ?
3. Montrer que la somme récupérée par les deux actions est de 1 929 (.
Partie II - Le voyage
Le voyage se décompose en deux parties : le trajet Caen-Paris (256 km) se fait en bus puis le trajet Paris-Mexico (9 079 km)
en avion.
1. Le prix d’un billet d’avion aller-retour coûte 770,30 ( par personne.
L’argent récolté par le repas mexicain et la tombola permet de réduire équitablement ce prix pour les 24 élèves
participants.
Quelle est la participation demandée par élève pour les billets d’avion ? (arrondir à l’unité)
2. Le décollage se fait à 13 h 30. Cependant, les élèves et les accompagnateurs doivent être impérativement à l’aéroport de Paris-Roissy à 11 h 30.
On estime la vitesse moyenne du bus à 80 km/h.
Jusqu’à quelle heure peut-il partir de Caen ?
3. L’avion arrive à Mexico à 17 h 24 heure locale. Il faut compter 7 heures de décalage avec la France.
(a) Quelle est la durée du trajet ?
(b) Quelle est la vitesse moyenne de l’avion ? (arrondir à l’unité)
N. SANS
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