7. Dérivées et applications

CQFD 5
e
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Chapitre 7 – Dérivées et applications 1
7. Dérivées et applications
Expliciter les savoirs et les procédures
1. Lecture sur le graphique
h
est la variation de la variable x, entre les va-
leurs a et
a h+
.
( )f a
est l’image du réel a ; c’est l’ordonnée du
point d’abscisse a.
( )f a h+
est l’image du réel
( )a h+
; c’est l’or-
donnée du point d’abscisse
( )a h+
.
( ) ( )f a h f a+ −
est la différence des ordonnées ;
elle est représentée par le segment coloré sur l’axe
Oy.
( ) ( )f a h f a
h
+ −
est la pente de la sécante CD
passant par les points d’abscisses a et
( )a h+
.
0
( ) ( )
lim
h
f a h f a
h
→
+ −
est le nombre dérivé de f en
a ; c’est la pente de la tangente au graphique de f
au point C de coordonnées
( )
; ( )a f a
.
2. Variations
a.
( )f x x∆ y∆
y
x
∆
∆
2
5 8
x x+ −
1,6 2 0,4 − = −
(1, 6) (2) 3, 44
f f− = −
3, 44 8,6
0,4
−=
−
2
2 4
1
x
x
−
+
2,7 1, 2 1,5− =
(2,7) (1,2) 0,825
f f− =
0,825 0,55
1,5 =
b. 8,6 est la pente de la sécante passant par les points
( )
2;6
et
( )
1,6;2,56
.
0,55 est la pente de la sécante passant par les points
( )
1,2; 0,656−
et
( )
2,7;0,169
.
aa+h
f(a)
f(a+h)
f(a+h)-f(a)
0 1
1
x
y
C
D

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Chapitre 7 – Dérivées et applications 2
3. Terminologie
a. Expressions équivalentes à « taux de variation instantané » (dans le contexte adéquat) : nombre dérivé,
vitesse ponctuelle, pente de tangente, débit instantané, valeur en un point de la fonction dérivée.
b. Expressions équivalentes à « taux de variation moyen » (dans le contexte adéquat) : vitesse moyenne,
rythme moyen, pente de sécante, coût moyen.
4. Vrai ou faux
Les réponses correctes sont les suivantes.
a.
( 0,5) 0, 45
f
′
− =
b.
(1,5) 0
f
′
=
c.
(3) 3
f
′
= −
5. Utiliser la définition
A.
a.
( 2) 8 3 11
f
− = − − = −
et
(
)
(
)
2 4 2 3 11 4
f h h h
− + = − + − = − +
0 0
11 4 11 4
( 2) lim lim
h h
h h
fh
→ →
− + +
′− = = h
4
=
(0) 4 0 3 3
f
= ⋅ − = −
et
(0 ) 4(0 ) 3 4 3
f h h h
+ = + − = −
0 0
4 3 3 4
(0) lim lim
h h
h h
fh
→ →
− +
′= = h
4
=
b.
2
(1) 8 (1) 1 7
f
= − ⋅ + = −
et
2 2 2
(1 ) 8(1 ) 1 8(1 2 ) 1 7 16 8
f h h h h h h
+ = − + + = − + + + = − − −
2
0 0
7 16 8 7
(1) lim lim
h h
h h h
fh
→ →
− − − +
′= = ( 16 8 )h
h
− −
16
= −
2
1 1
8 1 1
2 2
f   
= − ⋅ + = −
    et
2
2
1 1
8 1 1 8 8
2 2
f h h h h
+ = − + + = − − −
2
0 0
1 1 8 8 1
lim lim
2
h h
h h h
fh
→ →
− − − +
′= =
( 8 8 )h
h
− −
8
= −
c.
2
1 1
(3)
9
3
f
= =
et
2 2
1 1
(3 ) (3 ) 9 6 f h
h h h
+ = =
+ + +
2
2
2
0 0
2
2
0
0
9 9 6
1 1
9(9 6 )
9
9 6
(3) lim lim
6 1
lim 9(9 6 )
lim
h h
h
h
h h
h h
h h
fh h
h h
h
h h
h
→ →
→
→
− − −
−+ +
+ +
′= =
− −
= ⋅
+ +
=( 6 )
9
h
h
− −
2
6 2
81 27
(9 6 )h h
− −
= =
+ +

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Chapitre 7 – Dérivées et applications 3
2
1
( 1) 1
( 1)
f
− = =
−
et
2 2
1 1
( 1 ) ( 1 ) 1 2 f h
h h h
− + = =
− + − +
( )
2
2
2
0 0
0
111 1 2
1 2
( 1) lim lim 1 2
lim
h h
h
h h
h h
fh
h h h
h
→ →
→
−− + −
− +
′− = =
− +
=(2 )h
h
−
( )
2
2
1 2h h
=
− +
d.
3 2
(2) 6
2 1
f
⋅
= =
−
et
3(2 ) 6 3
(2 ) (2 ) 1 1
h h
f h
h h
+ +
+ = =
+ − +
0 0
0
6 3 6 3 6 6
6
1 1
(2) lim lim
3
lim
h h
h
h h h
h h
fh h
h
→ →
→
+ + − −
−
+ +
′= =
−
=1
1hh
⋅
+3
  = −
3 0
(0) 0
0 1
f
⋅
= =
−
et
3(0 ) 3
(0 )
(0 ) 1 1
h h
f h
h h
+
+ = =
+ − −
0 0
303
1
(0) lim lim
h h
h
h
h
fh
→ →
−
−
′= = 1
1hh
⋅
−
3
= −
e.
(5) 16 4
f
= =
et
(5 ) 16 2
f h h
+ = +
(
)
(
)
( ) ( )
( )
0 0 0
0
16 2 4 16 2 4
16 2 4 16 2 16
(5) lim lim lim
16 2 4 16 2 4
2 1
lim 4
16 2 4
h h h
h
h h
h h
fhh h h h
h
h h
→ → →
→
+ − ⋅ + +
+ − + −
′= = =
+ + + +
= =
+ +
f
n’est pas dérivable en
3
−
car
3 dom
d
f
− ∉
: en effet,
(
)
3 et ( 3) 0
f h h f
− + = − =
.
3 3 3
( 3 ) ( 3) 0 1
lim lim lim
h h h
f h f h
h h h
→− →− → −
− + − − −
= = = + ∞
, ce qui n’est pas un réel.
f.
(2) sin 7
f
=
et
(
)
(2 ) sin 7 2
f h h
+ = +
(
)
(
)
( )
0 0 0
sin 7 2 sin 7 2cos 7 sin 2sin
(2) lim lim lim cos 7 2cos7
h h h
h h h h
f h
h h h
→ → →
+ − +
′= = = ⋅ + =
(
)
sin3
fπ = et
(
)
(
)
sin 2 3
f h h
π + = +
( )
(
)
(
)
( )
0 0 0
sin 2 3 sin 3 2cos 3 sin 2sin
lim lim lim cos 3 2cos3
h h h
h h h h
f h
h h h
→ → →
+ − + ⋅
′π = = = ⋅ + =

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Chapitre 7 – Dérivées et applications 4
B.
a. Dérivée d’une fonction constante
( )
f x k
=
( ) ( ) 0
f x h f x k k
+ − = − =
Taux de variation de f entre x et
x h
+
:
( ) ( ) 0
0
f x h f x
h h
+ −
= =
Fonction dérivée :
0 0
( ) ( )
( ) lim lim 0
h h
f x h f x k k
f x
h h
→ →
+ − −
′
= = =
b. Dérivée de la fonction identique
( )
f x x
=
Taux de variation de f entre x et
x h
+
:
( ) ( )
1
f x h f x x h x
h h
+ − + −
= =
Fonction dérivée :
0
( ) lim 1
h
x h x
f x
h
→
+ −
′
= =
c. Dérivée de la fonction
( )
f x k x
= ⋅
Taux de variation de f entre x et
x h
+
:
( ) ( )f x h f x k x k h k x
k
h h
+ − ⋅ + ⋅ − ⋅
= =
Fonction dérivée :
0 0
( ) lim lim
h h
k x k h k x
f x k k
h
→ →
⋅ + ⋅ − ⋅
′
= = =
d. Dérivée de la fonction carré
2
( )
f x x
=
Taux de variation de f entre x et
x h
+
:
(
)
2 2 2
2
( ) ( ) 2 2
h x h
f x h f x x xh h x
x h
h h h
+
+ − + + −
= = = +
Fonction dérivée :
(
)
( )
0 0
2
( ) lim lim 2 2
h h
h x h
f x x h x
h
→ →
+
′
= = + =
e. Dérivée de la fonction puissance
( )
n
f x x
=
On ne considère que le cas où
n
∈
ℕ
; la formule reste vraie si
, etn n n
∈ ∈ ∈
ℤ ℚ ℝ
.
On a montré que la formule est vraie si
0, 1 et 2
n n n
= = =
(voir a. , b. et d. ci-dessus)
Supposons la formule vraie pour la fonction
1
n
x
−
(c-à-d.
( )
( )
1 2
1
n n
x n x
− −
′= −
) et montrons qu’elle
vraie pour
n
x
.
Taux de variation entre x et
x h
+
:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
11 1 1
11 1
( ) ( )
(1)
nn
nn n n
nn n
x h x
f x h f x
h h
x h x h x x h x x h x x
h
x h x h x x x
−− − −
−− −
+ −
+ − =
+ + − + + + −
=
+ + − +
=
h x+ −
( )
h

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Chapitre 7 – Dérivées et applications 5
Fonction dérivée :
( ) ( )
111
0 0 0
( ) lim lim lim
nnn
h h h
x h x x h
f x x h h
−−−
→ → →
+ −
′
= + ⋅ +
h
( )
2 1 1
(2)
1
n n n
x n x x n x
− − −
= ⋅ − + =
En (1), on a utilisé un artifice de calcul ; en (2), on utilise les propriétés des limites d’une somme et
d’un produit, ainsi que la formule supposée établie pour
1
( )
n
f x x
−
=
.
f. Dérivée de la fonction
1
( )f x
x
=
Taux de variation entre x et
x h
+
:
( )
1 1
( ) ( )f x h f x x x h h
x h x
h h h x h x
−
+ − − − −
+
= = =
+h
( ) (
)
1
x h x
x h x
−
=+
+
Fonction dérivée :
( )
2
0
1 1
( ) lim
h
f x
x h x x
→
− −
′= =
+
g. Dérivée de la fonction ( )
f x x
=
Taux de variation entre x et
x h
+
:
( )
( ) ( )f x h f x x h x x h x h
h h h x h x
+ − + − + −
= = =
+ + h
( )
1
x h x
x h x
=+ +
+ +
Fonction dérivée :
0
1 1
( ) lim 2
h
f x
x h x x
→
′= =
+ +
Pour démontrer les formules de dérivées des fonctions trigonométriques, on peut utiliser les formules de
Simpson (voir h et j ) ou les formules d’addition ( i ).
h. Dérivée de la fonction
( ) sin
f x x
=
Taux de variation entre x et
x h
+
:
( )
2
sin sin
( ) ( ) x h x f x h f x
h h
+ −
+ − = =
cos sin
2 2
2
h h
x +
2
h
Fonction dérivée :
0 0
sin 2
( ) lim limcos 1 cos cos
2
2
h h
h
h
f x x x x
h
→ →
′= ⋅ + = ⋅ =