Théorie de Galois

Antoine Chambert-Loir
ALGE
`BRE COMMUTATIVE

Antoine Chambert-Loir
Centre de Mathe´matiques, E
´cole polytechnique, 91128 Palaiseau Cedex.
E-mail : chamber[email protected]
Version du 29 novembre 2001, 16h51
Ce cours est le polycopie´ d’un cours enseigne´ par correspondance a` l’universite´ Pierre et Marie
Curie (Paris 6) pendant l’anne´e scolaire 2000-2001.
La version la plus a` jour est disponible sur le Web a` l’adresse http://www.polytechnique.fr/
~chambert/teach/algcom.pdf

ALGE
`BRE COMMUTATIVE
Antoine Chambert-Loir

Table des matie` res
Pre´sentation ................................................................ vii
Plan provisoire, viii.
1. De´finitions .............................................................. 1
Groupe, 1 ; Groupes abe´liens, 2 ; Anneaux, 2 ; Corps, 3 ; Espaces vectoriels, 3 ;
Alge`bres, 3 ; Polynoˆmes, 3 ; Modules, 4 ; Cate´gories, 4 ; Foncteurs, 5 ;
Relations d’ordre, 5.
2. Anneaux, ide´aux, alge`bres ................................................ 7
Premie`res proprie´te´s, 7 ; Ide´aux, 11 ; Morphismes, 15 ;
Alge`bres et sous-anneaux, 16 ; Exercices, 19 ; Solutions, 20.
3. Anneau quotient, localisation ............................................ 25
Anneaux quotients, 25 ; Localisation, 30 ; Exercices, 37 ;
Solutions, 38.
4. Ide´aux premiers, maximaux .............................................. 43
Ide´aux premiers, ide´aux maximaux, 43 ; Le the´ore`me des ze´ros de Hilbert, 48 ;
Exercices, 53 ; Solutions, 55.
5. Anneaux principaux, factoriels .......................................... 63
De´finitions, 63 ; Anneaux factoriels, 65 ; Sommes de carre´s, 70 ;
Anneaux de polynoˆmes, 73 ; Re´sultant. Un the´ore`me de Be´zout, 76 ;
Exercices, 81 ; Solutions, 82.
6. Modules .................................................................. 87
Premiers pas, 87 ; Ope´rations sur les modules, 90 ; Ge´ne´rateurs, bases, modules
libres, 94 ; Quotients de modules, 95 ; Localisation des modules, 98 ;
Exercices, 102 ; Solutions, 104.