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Ça termine la démonstration. □
1. La fonction de Carmichael
Pour chaque n∈N, on définit
λ(n) = min{k≥1 : ak≡1 (mod n),∀a∈(Z/nZ)∗}.
La fonction λest appelée la fonction de Carmichael. Elle est bien définie car aϕ(n)≡
1 (mod n), pour chaque a∈(Z/nZ)∗. En particulier, c’implique que λ(n)≤ϕ(n).
On a le résultat suivant qui donne une définition alternative pour λ.
Proposition 1.1. Pour chaque n∈N, on a que
λ(n) = max{ordn(a) : (a, n) = 1}.
En particulier, λ(n)|ϕ(n).
On a besoin le lemme auxiliaire suivant :
Lemme 1.2. Soient a, b, n ∈Ntels que (a, n) = (b, n) = 1.
(a) Si (ordn(a),ordn(b)) = 1, alors ordn(ab) = ordn(a) ordn(b).
(b) Si ordn(a) = dm, alors ordn(ad) = m.
Démonstration. (a) Soit k= ordn(a),ℓ= ordn(b)et m= ordn(ab). Puisque k|kℓ, on a
que akℓ ≡1 (mod n). De même, on trouve que bkℓ ≡1 (mod n)et donc (ab)kℓ ≡1 (mod m).
C’implique que m|kℓ. Alors il suffit de montrer que kℓ|m. En effet, puisque m|mk, on a
que (ab)mk ≡1 (mod n). Mais amk ≡1 (mod n)et alors bmk ≡1 (mod n). Par la suite,
ℓ|mk. En combinant cette relation avec notre hypothèse que (k, ℓ)=1, on déduit que ℓ|m.
En commençant de la relation (ab)mℓ ≡1 (mod n)et en appliquant un argument similaire,
on trouve que k|mégalement. Puisque (k, ℓ) = 1, on conclut que kℓ|m. Ça termine la
démonstration.
(b) On a que (ad)k=adk ≡1 (mod n)si et seulement si md = ordn(a)|dk, si et seulement
si m|k. Donc ordn(ad) = m, comme clamé. □
Démonstration de la Proposition ??.Soit k= max{ordn(a):(a, n)=1}. Il existe g∈
(Z/nZ)∗tel que k= ordn(g). De la définition de λ(n), on a que gλ(n)≡1 (mod n). Par
la suite, k|λ(n), qui implique que k≤λ(n). Il reste de montrer que k≥λ(n)également.
Pour montrer ça, il suffit de prouver que ak≡1 (mod k), pour chaque a∈(Z/nZ)∗, ou, de
façon équivalente, que ordn(a)|k, pour chaque a∈(Z/nZ)∗. Supposons, au contraire, qu’il
existe a∈(Z/nZ)∗tel que ordn(a)∤k. Donc, si on pose ℓ= ordn(a), on trouve qu’il existe
un nombre premier ppour lequel vp(ℓ)> vp(k). On écrit ℓ=pwℓ1et k=pvk1, où w=
vp(ℓ)> vp(k) = v. En particulier, p∤ℓ1k1. On va construire un élément de (Z/nZ)∗d’ordre
pwk1> k, qui est une contradiction à notre hypothèse que k= max{ordn(a) : (a, n) = 1}.
Pour faire ça, on utilise le Lemme ??. Si a1:= aℓ1et g1:= gpw, Lemme ??(b), nous
donne que ordn(a1) = pvet ordn(b1) = k1. Puisque (k1, pv)=1, Lemme ??(a) implique que
ord(a1g1) = pwk1> pvk1=k, qui est impossible comme nous avons déjà vu. Donc ℓ|k, qui
est ce qu’il fallait démontrer. □
Corollaire 1.3. Le nombre n∈Npossède des racines primitives si et seulement si λ(n) =
ϕ(n).