Mémoire - David Augier

Mémoire demaster 2
Mathématiquesfondamentales
Propriétédedécroissance rapidepourlesgroupesdeLie connexes
DavidAUGIER
Directeurdestage:SamiMUSTAPHA,Professeuràl’UPMC

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Tabledesmatières
Introduction1
INotionspréliminaires3
1Quelquesnotations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2Fonctionslongueur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3Structuresliéesàla convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.1Algèbredegroupe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2CasdeL1(G). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3CasdeL2(G). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.4EspacesdeSobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4Propriétédedécroissance rapide(DR). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5Groupesmoyennables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6Intégration surlesespaceshomogènes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
II Croissance desgroupes21
1Introduction àla croissance desgroupes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2GroupesdeLiedetypeR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
III Moyennabilité etgroupesdeLie réels semi-simplesconnexesàcentre fini33
1PropriétéDRetmoyennabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2PropriétéDRsurlesgroupesdu typeG=PK. . . . . . . . . . . . . . . 35
3Application aux groupesdeLieréels semi-simplesconnexesde centrefini.40
IV Caractérisation desgroupesdeLie connexesDR 49
1Notions surune classification (algébrique)desalgèbresdeLie....... 49
2Distorsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3Extensionscentrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4Application aux groupesdeLie connexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Conclusion63
Bibliographie65

TABLE DESMATIÈRES
4

Introduction
Lanotion dedécroissance rapide(DR)apparaît pourlapremièrefoisdanslestravaux de
HAAGERUP[Haa79].Cetermededécroissance rapideprovientdu fait qu’un groupepossède
lapropriétéDRsietseulementsi toutefonction décroissantsuffisammentvites’identifie à
un opérateurde convolution pourlesfonctionsde carrésommablesurlegroupe.Enfait,la
propriétéDRpermetde contrôlerlanormede cetopérateurde convolution pourlesfonctions
continuesàsupportcompactenfonction delatailledeleursupportetdeleurnormeL2.
Parlasuite,JOLISSAINT[Jol90]a étudiélapropriétéDR,principalementdansle casdes
groupesengendrésparunepartiefinie.Ainsi,HAAGERUPamontrélapropriétéDRpour
lesgroupeslibres,JOLISSAINTpourceux à croissance polynomiale etDE LAHARPEpour
lesgroupeshyperboliques.D’autrestravaux ontcontinué cette étudepourd’autrestypesde
groupes.Notamment,CHATTERJI,PITTET etSALOFF-COSTE ontcaractérisé exactement
lesgroupesdeLie connexespossédant lapropriétéDR[CPS07].
Ilestassez aiséd’établirquelesgroupesdeLieàcroissance polynomialeont lapropriété
DR.Ilrestedonc à s’intéresseraux groupesdeLieàcroissance exponentielle.
Letravail deCHATTERJI,PITTET etSALOFF-COSTE utiliseprincipalement lesrésultats
detravaux précédents:
•GUIVARC’H,JENKINSontétudiéla croissance desgroupes,notammentcelledes
groupesdeLie connexes[Gui73][Jen73].IlsontmontréquelesgroupesdeLie con-
nexesde croissance polynomiale étaientexactementceux detypeR;
•l’estimation dela croissance delanormeL2delafonction sphérique élémentairede
HARISH-CHANDRAsurlesboulesbornéescentrées[CGH94]permetd’établirqueles
groupesdeLieréelsconnexes semi-simplesà centrefinipossèdent lapropriétéDR;
•VAROPOULOSa classifiélesalgèbresdeLiedemanière algébrique entrelestypesB
etNB[Var96].Ilalié cette classification à certainsrésultatsanalytiquespouvantêtre
rapprochésdelapropriétéDR[Var96].
Danslasuiteserontdétailléslesprincipaux résultatsde cestravaux,menantàla caractéri-
sation desgroupesdeLiepossédant lapropriétéDR.Le chapitreIdéfinit lesnotionsmises
enjeu pourétudierlapropriétéDR,notamment la convolution pourlesfonctionsdéfinies
surun groupelocalementcompact,lesfonctionslongueurset lesgroupesmoyennables.Il
établit un premierlienentrepropriétéDRetmoyennabilité.Le chapitreII traitedela crois-
sance desgroupeslocalementcompactsengendrésparun compactetdelarelation entrela
moyennabilité et la croissance.Dansle casdesgroupesdeLie connexes,on établit l’alter-
native croissance polynomiale(typeR)/croissance exponentielle.Le chapitreIII,grâce aux
propriétésdesgroupesmoyennablesetàune estimation delafonction sphérique élémen-