S´eries enti`eres et fonctions holomorphes Denis

S´ eries enti` eres
et fonctions holomorphes
Denis-Charles Cisinski
Notes de cours pour la pr´ eparation au concours de l’agr´ egation
de math´ ematiques, Universit´ e Paul Sabatier, automne 

Table des mati` eres
Pr´ eambule v
Chapitre . S´ eries enti` eres et fonctions analytiques 
. Fonctions d´ eveloppables en s´ eries enti` eres 
. Le principe des z´ eros isol´ es 
. Exponentielle 
Chapitre . Formes diff´ erentielles complexes 
. Formes diff´ erentielles de degr´ e 
. Image r´ eciproque de formes diff´ erentielles 
. Int´ egrales curvilignes 
. Primitives 
. D´ eformation des chemins d’int´ egration 
. Le th´ eor` eme de Poincar´ e
Chapitre . Fonctions holomorphes 
. D´ erivation complexe 
. Le th´ eor` eme de Cauchy 
. D´ eterminations du logarithme 
. Indice d’un lacet par rapport ` a un point 
. La formule int´ egrale de Cauchy 
Chapitre . Applications classiques de la th´ eorie de Cauchy 
. D´ eveloppements en s´ eries enti` eres 
. Le principe du maximum 
. Lemme de Schwarz 
. Fonctions harmoniques 
Chapitre . Fonctions m´ eromorphes 
. Points singuliers et s´ eries de Laurent 
. Calcul des r´ esidus 
Chapitre . L’espace des fonctions holomorphes 
. Convergence des suites de fonctions holomorphes 
. Topologie des fonctions holomorphes 
. Le th´ eor` eme d’Ascoli 
. Le th´ eor` eme de Montel 
Chapitre . Transformations holomorphes 
. Caract´ erisation locale 
iii

iv TABLE DES MATI ` ERES
. Th´ eor` eme fondamental de la repr´ esentation conforme 
. Rotations 
Bibliographie 

Pr´ eambule
Ces notes traitent, pour l’essentiel, de la th´ eorie des fonctions ho-
lomorphes, c’est-` a-dire des fonctions d´ erivables ` a une variable au
sens complexe, comme par exemple les fonctions d´ eveloppables en
s´ eries enti` eres. Mis ` a part les erreurs et les impr´ ecisions, on ne trou-
vera rien d’original ici. On suivra pour l’essentiel la pr´ esentation de
Cartan [Car], avec pas mal d’emprunts ` a Rudin [Rud]. En parti-
culier, l’accent est mis sur le fait qu’une forme diff´ erentielle ωadmet
localement une primitive si et seulement si, pour tout lacet γhomo-
tope ` a un chemin constant, on a
Zγ
ω=.
Le th´ eor` eme principal est que, pour toute fonction continue f, holo-
morphe en chaque point, sauf peut-ˆ etre en quelques points isol´ es, la
forme diff´ erentielle ω=f(z)dza justement cette propri´ et´ e. La plu-
part des r´ esultats fondamentaux de la th´ eorie des fonctions holo-
morphes en d´ ecoulent : la formule int´ egrale de Cauchy, l’existence
d’une primitive holomorphe sur un ouvert simplement connexe, l’a-
nalycit´ e des fonctions holomorphes, le principe du maximum, le
th´ eor` eme des r´ esidus. On ´ etudiera par ailleurs l’espace vectoriel to-
pologique des fonctions holomorphes. La compr´ ehension des sous-
espaces compacts en tant que ferm´ es born´ es (th´ eor` eme de Montel)
est essentiellement le fruit de la conjonction du principe du maxi-
mum et du th´ eor` eme d’Ascoli. Ce petit passage par l’analyse fonc-
tionnelle ouvre la voie pour une preuve du th´ eor` eme de la repr´ e-
sentation conforme de Riemann : un ouvert simplement connexe
du plan complexe est soit le plan tout entier, soit l’image par une
transformation holomorphe du disque ouvert unit´ e. En particulier,
le groupe des automorphismes holomorphes d’un ouvert simple-
ment connexe du plan complexe est soit celui des transformations
affines complexes, soit celui des homographies. Autrement dit, dans
un ouvert simplement connexe du plan complexe, seules deux g´ eo-
m´ etries peuvent s’incarner via l’analyse complexe : la g´ eom´ etrie eu-
clidienne ou bien la g´ eom´ etrie hyperbolique.
Dans ce qui suit, on verra le corps Cdes nombres complexes
comme un corps de rupture du polynˆ ome X+au-dessus du corps
v