combinatoires et probabilités

Picchione Serge 2015-2016
COMBINATOIRES
ET
PROBABILITÉS
4ème année
3.1 Analyse combinatoire 1
3.1.1 Outils 1
3.1.2 Principe de décomposition 3
3.1.3 Permutations 5
3.1.4 Arrangements 7
3.1.5 Combinaisons 10
3.1.6 Développement du binôme * 12
3.1.7 Ce qu’il faut absolument savoir 19
3.2 Probabilités 20
3.2.1 Introduction 20
3.2.2 Expérience aléatoire, événement 20
3.2.3 Notion de probabilité et axiomes 22
3.2.4 Probabilités conditionnelles 30
3.2.5 Épreuves successives 33
3.2.6 Théorème de Bayes 36
3.2.7 Evénements indépendants 41
3.2.8 La loi binomiale 43

Picchione Serge 2015-2016
3.2.9 Variables aléatoires discrètes 45
3.2.10 Moyenne ou espérance mathématique 47
3.2.11 Variance et écart-type 49
3.2.12 Cas particulier de la loi binomiale 55
3.2.13 Variables aléatoires continues 59
3.2.14 Ce qu’il faut absolument savoir 73
3.3 Solutions des exercices 74

Picchione Serge 2015-2016
AVANT-PROPOS
• Ce document a été conçu pour l’enseignement des mathématiques dispensé au Collège de
Genève en quatrième année, en combinatoires et probabilités. Cela dit, il peut servir de support
de cours pour d’autres filières d’enseignement.
• Vous trouverez dans ce chapitre de la théorie (définitions, théorèmes, démonstrations, etc.)
et des exercices qui vous permettront progressivement de vous familiariser et de maîtriser les
diverses notations et concepts mathématiques. À la fin du chapitre se trouvent les solutions des
exercices, des activités et des Q.C.M. à l’exception de ceux faisant intervenir des démonstrations.
• La théorie et les exercices accompagnés d’un astérisque (*), sont destinés aux élèves ayant
choisi l’option, niveau avancé (MA2).
• Pour mieux repérer les points importants de la théorie, les définitions sont dans un encadré
blanc et les théorèmes dans un encadré grisé.
• Pour vérifier votre niveau de compréhension à la fin de l’étude d’un sous chapitre, vous pouvez
vous référer aux sections : « Ce qu’il faut absolument savoir » et « Questionnaire à choix
multiples ».
• Vous pouvez télécharger ce document au format PDF à l’adresse suivante :
http://www.sismondi.ch/disciplines/mathematiques/espace-perso-profs/serge-picchione
• Pour finir, un grand merci aux collègues de divers établissements scolaires qui ont partagé
leurs cours : Nicolas Chabal, Yves Drevous, Bernard Gisin, Alain Klopfenstein, Maurizio
Lalicata, Bernard Lenggenhager, Romanita Nagy Gauxachs, Adrien Schleining et Serge Zoutter.
BON TRAVAIL !

Picchione Serge 2015-2016

P.S. / 2015-2016 1 Combinatoires et probabilités / 4 N-A
3.1 Analyse combinatoire
L’analyse combinatoire est la science du dénombrement, elle permet de déterminer le nombre
de réalisations possible d’une expérience donnée. On y rencontrera des problèmes du type :
- De combien de façons peut-on asseoir 10 convives autour d'une table circulaire ?
- Combien y a-t-il d'issues (résultats possibles) lorsqu'on lance trois dés à 6 faces ?
- Dans une course de 20 chevaux, combien y a-t-il de podiums possibles ?
Les réponses à ce type de problèmes sont souvent des nombres gigantesques (la réponse au premier
problème dépasse les 300 mille).
3.1.1 Outils
A. Le tableau
Exemple On lance successivement deux dés à 6 faces. Combien y a-t-il d'issues
(résultats possibles) ?
1 2 3 4 5 6
1 (1;1) (1;2) (1;3) (1;4) (1;5) (1;6)
2 (2;1) (2;2) (2;3) (2;4) (2;5) (2;6)
3 (3;1) (3;2) (3;3) (3;4) (3;5) (3;6)
4 (4;1) (4;2) (4;3) (4;4) (4;5) (4;6)
5 (5;1) (5;2) (5;3) (5;4) (5;5) (5;6)
6 (6;1) (6;2) (6;3) (6;4) (6;5) (6;6)
Réponse : Il y a 6 ⋅ 6 = 36 résultats possibles.
Inconvénient du tableau : on ne peut pas y mettre plus de deux paramètres (dans l'exemple, on ne
pourrait pas y mettre trois dés).
B. La liste
Exemple Combien de « mots » peut-on composer avec les lettres A, B, C et D (sans répétition) ?
A B C D
A B D C
A C B D
A C D B
A D B C
A D C B
B A C D
B A D C
B C A D
B C D A
B D A C
B D C A
C A B D
C A D B
C B A D
C B D A
C D A B
C D B A
D A B C
D A C B
D B A C
D B C A
D C A B
D C B A
Réponse : On peut composer avec les lettres A, B, C et D exactement 24 « mots ».
Inconvénient de la liste : très long, et on risque d'oublier des éléments ou de les mettre plusieurs
fois.