combinatoires et probabilités

COMBINATOIRES
ET
PROBABILITÉS
4ème année
3.1 Analyse combinatoire
1
3.1.1 Outils
1
3.1.2 Principe de décomposition
3
3.1.3 Permutations
5
3.1.4 Arrangements
7
3.1.5 Combinaisons
10
3.1.6 Développement du binôme *
12
3.1.7 Ce qu’il faut absolument savoir
19
3.2 Probabilités
20
3.2.1 Introduction
20
3.2.2 Expérience aléatoire, événement
20
3.2.3 Notion de probabilité et axiomes
22
3.2.4 Probabilités conditionnelles
30
3.2.5 Épreuves successives
33
3.2.6 Théorème de Bayes
36
3.2.7 Evénements indépendants
41
3.2.8 La loi binomiale
43
Picchione Serge
2015-2016
3.2.9 Variables aléatoires discrètes
45
3.2.10 Moyenne ou espérance mathématique
47
3.2.11 Variance et écart-type
49
3.2.12 Cas particulier de la loi binomiale
55
3.2.13 Variables aléatoires continues
59
3.2.14 Ce qu’il faut absolument savoir
73
3.3 Solutions des exercices
Picchione Serge
74
2015-2016
AVANT-PROPOS
• Ce document a été conçu pour l’enseignement des mathématiques dispensé au Collège de
Genève en quatrième année, en combinatoires et probabilités. Cela dit, il peut servir de support
de cours pour d’autres filières d’enseignement.
• Vous trouverez dans ce chapitre de la théorie (définitions, théorèmes, démonstrations, etc.)
et des exercices qui vous permettront progressivement de vous familiariser et de maîtriser les
diverses notations et concepts mathématiques. À la fin du chapitre se trouvent les solutions des
exercices, des activités et des Q.C.M. à l’exception de ceux faisant intervenir des démonstrations.
• La théorie et les exercices accompagnés d’un astérisque (*), sont destinés aux élèves ayant
choisi l’option, niveau avancé (MA2).
• Pour mieux repérer les points importants de la théorie, les définitions sont dans un encadré
blanc et les théorèmes dans un encadré grisé.
• Pour vérifier votre niveau de compréhension à la fin de l’étude d’un sous chapitre, vous pouvez
vous référer aux sections : « Ce qu’il faut absolument savoir » et « Questionnaire à choix
multiples ».
• Vous pouvez télécharger ce document au format PDF à l’adresse suivante :
http://www.sismondi.ch/disciplines/mathematiques/espace-perso-profs/serge-picchione
• Pour finir, un grand merci aux collègues de divers établissements scolaires qui ont partagé
leurs cours : Nicolas Chabal, Yves Drevous, Bernard Gisin, Alain Klopfenstein, Maurizio
Lalicata, Bernard Lenggenhager, Romanita Nagy Gauxachs, Adrien Schleining et Serge Zoutter.
BON TRAVAIL !
Picchione Serge
2015-2016
Picchione Serge
2015-2016
3.1 Analyse combinatoire
L’analyse combinatoire est la science du dénombrement, elle permet de déterminer le nombre
de réalisations possible d’une expérience donnée. On y rencontrera des problèmes du type :
- De combien de façons peut-on asseoir 10 convives autour d'une table circulaire ?
- Combien y a-t-il d'issues (résultats possibles) lorsqu'on lance trois dés à 6 faces ?
- Dans une course de 20 chevaux, combien y a-t-il de podiums possibles ?
Les réponses à ce type de problèmes sont souvent des nombres gigantesques (la réponse au premier
problème dépasse les 300 mille).
3.1.1 Outils
A. Le tableau
Exemple On lance successivement deux dés à 6 faces. Combien y a-t-il d'issues
(résultats possibles) ?
1
2
3
4
5
6
1
(1;1)
(1;2)
(1;3)
(1;4)
(1;5)
(1;6)
2
(2;1)
(2;2)
(2;3)
(2;4)
(2;5)
(2;6)
3
(3;1)
(3;2)
(3;3)
(3;4)
(3;5)
(3;6)
4
(4;1)
(4;2)
(4;3)
(4;4)
(4;5)
(4;6)
5
(5;1)
(5;2)
(5;3)
(5;4)
(5;5)
(5;6)
6
(6;1)
(6;2)
(6;3)
(6;4)
(6;5)
(6;6)
Réponse : Il y a 6⋅6 = 36 résultats possibles.
Inconvénient du tableau : on ne peut pas y mettre plus de deux paramètres (dans l'exemple, on ne
pourrait pas y mettre trois dés).
B. La liste
Exemple Combien de « mots » peut-on composer avec les lettres A, B, C et D (sans répétition) ?
ABCD
ABDC
ACBD
ACDB
ADBC
ADCB
BACD
BADC
BCAD
BCDA
BDAC
BDCA
CABD
CADB
CBAD
CBDA
CDAB
CDBA
DABC
DACB
DBAC
DBCA
DCAB
DCBA
Réponse : On peut composer avec les lettres A, B, C et D exactement 24 « mots ».
Inconvénient de la liste : très long, et on risque d'oublier des éléments ou de les mettre plusieurs
fois.
P.S. / 2015-2016
1
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
C. L'arbre de classement
Exemple Combien de « mots » peut-on composer avec les lettres A, B, C et D (sans répétition) ?
A
B
C
D
A
C
D
C
B
D
A
B
D
A
B
C
C D B D B C C D A D A C B D A D A B B C
A C A B
D C D B C B D C D A C A D B
C A B A
D A B A C B
L'arbre se lit verticalement ; par exemple, la flèche indique le « mot » B D C A. Il est plus sûr que
la liste, car de par sa symétrie, on voit s'il y a des doublons ou des éléments manquants. Il peut
d'ailleurs être complété de façon partielle ou schématique selon la question qui nous intéresse.
Définition
Un arbre de classement (ou de dénombrement) est un schéma permettant de décrire et de
dénombrer tous les résultats possibles d'une expérience donnée.
D. La notation factorielle
Sur l'exemple précédent, on voit que le premier étage comporte 4 embranchements, le deuxième 3,
le troisième 2 et le dernier 1 seul. L'arbre comporte donc 4⋅3⋅2⋅1 = 24 chemins. On peut ainsi
extrapoler et deviner que si l'on rajoute une lettre à l'énoncé, c’est-à-dire, « Combien de « mots »
peut-on composer avec les lettres A, B, C et D (sans répétition) ? » on va trouver
5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120
possibilités. On a recours à la notation suivante :
Définition
Soit n un entier positif ou nul. On appelle n factorielle, noté n!, le produit des nombres entiers
de 1 à n.
si n = 0
⎧1
n! = ⎨
⎩ 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ .... ⋅ n si n > 0
Exemples
5! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 120
7 ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 = 5040
69! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ....... ⋅ 68 ⋅ 69 ≅ 1,71 ⋅ 10 98
0! = 1
70 ! = ....... dépasse les capacités des calculatrices courantes !
Remarque Sur certaines calculatrices, la touche x! effectue ce type de calcul.
P.S. / 2015-2016
2
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
3.1.2 Principe de décomposition
Activité
Pour aller de la ville A à la ville D, on doit traverser trois rivières. Sur ces rivières, on dispose de
sept ponts x1, x2, y1, y2, y3, z1, z2. (B et C sont aussi des villes)
x1
A
•
y1
B
•
x2
C
•
y2
z1
D
•
z2
y3
a) Combien y a-t-il de trajets différents de A à D ? (sans passer deux fois par la même ville…)
b) Ajoutons, à la situation a), deux ponts z3 et z4 sur la rivière située entre les villes C et D.
Combien y a-t-il de trajets différents de A à D ? (sans passer deux fois par la même ville…)
c) Ajoutons, à la situation a), une ville E et une rivière située entre les villes D et E
avec deux ponts w1 et w2.
Combien y a-t-il de trajets différents de A à E ? (sans passer deux fois par la même ville…)
Principe de décomposition
Si une expérience globale peut se décomposer en k épreuves élémentaires successives,
ces dernières pouvant s'effectuer respectivement de n1 , n2 ,....,nk manières, alors
l’expérience globale peut se faire de n1 ⋅ n2 ⋅ .... ⋅ nk manières différentes.
C'est ce principe fondamental qui sera utilisé dans les paragraphes suivants pour aboutir aux
formules les plus utiles de l'analyse combinatoire.
Exemples
a) On lance successivement trois dés à 6 faces (une expérience globale).
Combien y a-t-il d'issues possibles ? {(121) , ( 641) ,.......}
Réponse :
D1
→
6 chiffres distincts
D2
→
6 chiffres distincts
D3
→
6 chiffres distincts
Selon le principe de décomposition (3 épreuves successives), le nombre d'issues possibles
est de 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 216 .
P.S. / 2015-2016
3
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
b) On veut imprimer une plaque de voiture comportant de gauche à droite, 2 lettres distinctes et
3 chiffres, le premier est différent de zéro (une expérience globale).
A combien s'élève le nombre de plaques de ce type ? {( CH124 ) , ( DE665) ,.........,.......}
Réponse :
L1
→
26 lettres possibles
L2
→
25 pour avoir des lettres distinctes
C3
→
9 chiffres possibles car sans le zéro
C4
→
10 chiffres possibles
C5
→
10 chiffres possibles
Selon le principe de décomposition (5 épreuves successives), le nombre possible de plaques
de ce type est de 26 ⋅ 25 ⋅ 9 ⋅ 10 ⋅ 10 = 585' 000 .
Remarque
Dans les exemples précédents a) et b), la représentation de l'expérience globale avec un arbre de
classement n'est pas conseillée car le nombre de possibilités est trop élevée.
P.S. / 2015-2016
4
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
3.1.3 Permutations
Définition
Si on classe dans un ordre particulier, n éléments distincts, on forme une permutation simple
de ces n éléments.
Exemple
Considérons un ensemble composé de 4 lettres distinctes : { A;B;C; D} et l’arbre de classement
suivant :
A
B
C
D
A
C
D
C
B
D
A
B
D
A
B
C
C D B D B C C D A D A C B D A D A B B C A C A B
D C D B C B D C D A C A D B D A B A C B C A B A
B D C A est une permutation simple. Chaque chemin de cet arbre est une permutation simple.
Dénombrement des permutations simple
En notant Pn le nombre de permutations simples de n éléments et en utilisant
le principe de décomposition (*) nous obtenons les résultats suivants :
• Cas particulier avec l’exemple ci-dessus :
P4 = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24 = 4!
(avec la notation factorielle)
(* )
• Cas général :
Pn = n ⋅ n − 1 ⋅ n − 2 ⋅ ....... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!
(avec la notation factorielle)
(* )
Autres exemples
a) Combien de «mots» différents peut-on former à l’aide des 7 lettres distinctes D, E, F, G, H, I, J ?
Réponse : Il y a P7 = 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 7 ! = 5040 « mots » différents.
b) De combien de façons différentes peut-on asseoir 5 personnes sur un banc ?
Réponse : P5 = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 5! = 120 possibilités.
P.S. / 2015-2016
5
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Question
Combien de « mots » différents peut-on écrire avec toutes les lettres du « mot » E R R E R ?
Partons des permutations simples du mot E R ® e r : on en trouve 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 5! = 120 .
Mais parmi celles-ci, certaines sont indiscernables si l'on emploie le même graphisme pour toutes
les lettres :
Puis, on peut multiplier par 2 ces possibilités
en permutant les deux e ( 2 ! ) :
En partant du « mot » E R R E R, on en trouve
6 en permutant les trois r ( 3 ! ) :
ER®er
ERre®
E®Rer
E®reR
ErRe®
Er®eR
eR®Er
eRrE®
e®REr
e®rER
erRE®
er®ER
Nous avons donc 5! = 120 permutations simples pour le « mot » E R R E R ; on en compte 12 fois
5!
= 10 dont voici la liste :
trop. Ils sont donc au nombre de :
2! ⋅ 3!
{RRREE ; RRERE ; RREER ; RERRE ; RERER ; REERR ; ERRRE ; ERRER ; ERERR ; EERRR}
Les éléments de cette liste sont donc les 10 permutations avec répétitions du « mot » E R R E R.
Définition
Si on classe dans un ordre particulier, n éléments dont :
• n1 sont identiques de type 1,
• n2 sont identiques de type 2,
• ……..
• nk sont identiques de type k,
on forme une permutation avec répétitions de ces n éléments.
Dénombrement des permutations avec répétitions
En notant Pn ( n1 ,n2 ,...,nk ) le nombre de permutations avec répétitions de n éléments
nous obtenons le résultat suivant :
Pn ( n1 , n2 , ..., nk ) =
Pn
n!
=
Pn1 ⋅ Pn2 ⋅ ... ⋅ Pnk n1 !⋅ n2 !⋅ ... ⋅ nk !
(avec la notation factorielle)
Remarques
a) Pn ( n1 ,n2 ,...,nk ) ≤ Pn
b) La barre sur le P signifie « avec répétitions ».
P.S. / 2015-2016
6
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
3.1.4 Arrangements
Définition
Si, parmi n éléments distincts, on choisit r éléments distincts (r ≤ n) en les classant dans
un ordre particulier, on forme un arrangement simple de r éléments choisis parmi n.
Exemple
Considérons un ensemble composé de 4 lettres distinctes : { A;B;C; D} .
En choisissant 3 lettres distinctes parmi 4 distinctes et en tenant compte de l’ordre, nous pouvons
écrire tout les arrangements simples dont voici la liste :
DBC
DCB
BDC
BCD
CDB
CBD
ADC
ACD
DAC
DCA
CAD
CDA
ABD
ADB
BAD
BDA
DAB
DBA
ABC
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA
Remarque
La liste ci-dessus est obtenue facilement à l’aide d’un arbre de classement.
A
B
C
D
A
C
D
C
B
D
A
B
D
A
B
C
C D B D B C C D A D A C B D A D A B B C A C A B
Dénombrement des arrangements simple
En notant Anr le nombre d’arrangements simple de r éléments choisis parmi n et en utilisant
le principe de décomposition (*) nous obtenons les résultats suivants :
• Cas particulier avec l’exemple ci-dessus :
A34 = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 =
(* )
A24 = N
4⋅3 =
(* )
P.S. / 2015-2016
4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 4!
4!
=
=
= 24 (avec la notation factorielle)
1
1! ( 4 − 3 ) !
4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 4!
4!
=
=
= 12
2 ⋅1
2! ( 4 − 2 ) !
(avec la notation factorielle)
7
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
• Cas général :
Arn = n ⋅ n − 1 ⋅ ....... ⋅ n − r + 1
(* )
=
=
n ⋅ ( n − 1) ⋅ ....... ⋅ ( n − r + 1) ⋅ ( n − r ) ⋅ ( n − r − 1) ⋅ ....... ⋅ 2 ⋅ 1
( n − r ) ⋅ ( n − r − 1) ⋅ ....... ⋅ 2 ⋅ 1
n!
(n − r)!
(avec la notation factorielle)
Remarques
n!
n!
=
= n! = Pn
( n − n ) ! 0!
Les permutations simples sont un cas particulier des arrangements simples.
a) Si r = n, Ann =
b) Sur certaines calculatrices, la touche nPr effectue ce type de calcul.
Autres exemples
a) Dans une course de 10 chevaux, combien peut-il y avoir de podiums différents (un podium
comporte 3 places) ?
Réponse : Selon le principe de décomposition (3 épreuves successives) :
1ère place → 10 possibilités
ème
place → 9 possibilités
ème
place → 8 possibilités
2
3
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
Au total : 10 ⋅ 9 ⋅ 8 = 720 possibilités.
On peut arriver à ce résultat en utilisant la notation factorielle :
A310 = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 =
10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 10!
10!
=
=
= 720
7 ⋅6 ⋅5 ⋅4 ⋅3⋅ 2 ⋅1
7 ! (10 − 3 ) !
b) Après les prolongations d'un match de football le nombre de façons de choisir les 5 tireurs
de penalties parmi les 11 joueurs et l'ordre de passage est de :
A511 = 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 =
P.S. / 2015-2016
11!
11!
=
= 55' 440
6 ! ( 11 − 5 ) !
8
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Question
Combien de « mots » différents de 4 lettres peux-t-on former à l’aide des 7 lettres
A, B, C, D, E, F, G si on peut répéter les lettres dans les « mots » ?
{( CCDF) , ( AAAC) , ( ABCD ) ,.......}
Réponse : Selon le principe de décomposition (4 épreuves successives) :
Il y a 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 = 7 4 = 2401 mots différents
Définition
Si, parmi n éléments distincts, on choisit r éléments distincts ou non (on peut choisir plusieurs
fois le même) en les classant dans un ordre particulier, on forme un arrangement avec répétitions
de r éléments choisis parmi n.
Dénombrement des arrangements avec répétitions
En notant Arn le nombre d’arrangements avec répétitions de r éléments choisis parmi n,
et en utilisant le principe de décomposition (*) , nous obtenons le résultat suivant :
Arn = n ⋅ n ⋅ ....... ⋅ n = nr
(* )
Remarques
a) Arn ≤ Arn
b) La barre sur le A signifie « avec répétitions ».
Autre exemple
Combien de séquences différentes peut-on lire sur un compteur kilométrique de voiture à
6 chiffres ?
{( 000345) , ( 998979 ) , (123005) ,.......}
Réponse : Selon le principe de décomposition (6 épreuves successives)
Il y a A610 = 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 10 6 = 1' 000' 000 choix.
P.S. / 2015-2016
9
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
3.1.5 Combinaisons
Définition
Si, parmi n éléments distincts, on choisit r éléments distincts (r ≤ n) sans les classer
dans un ordre particulier, on forme une combinaison simple de r éléments choisis parmi n.
Exemple
Considérons un ensemble composé de 4 lettres distinctes : { A;B;C;D} .
En choisissant 3 lettres distinctes parmi 4 distinctes et en ne tenant pas compte de l’ordre,
nous pouvons écrire toutes les combinaisons simple dont voici la liste :
ABC
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA
ABD
ADB
BAD
BDA
DAB
DBA
DBC
DCB
BDC
BCD
CDB
CBD
ADC
ACD
DAC
DCA
CAD
CDA
Chacune des colonnes est une combinaison simple car dans une colonne on a les mêmes lettres
mais dans un ordre différent.
Dénombrement des combinaisons simple
En notant C nr le nombre de combinaisons simple de r éléments choisis parmi n et en utilisant
le principe de décomposition (*) nous obtenons les résultats suivants :
• Cas particulier avec l’exemple ci-dessus :
Chacune des colonnes donne les mêmes lettres, qui est alors compté 6 fois (les 3! permutations
du trio). Par conséquent, si l'on ne tient pas compte de l'ordre, il faut diviser le nombre
d'arrangements simples par 3! :
4!
( 4 − 3 ) ! = 4! = 4
A
C34 =
=
3!
3!
( 4 − 3 ) ! 3!
4
3
(avec la notation factorielle)
• Cas général :
C rn =
n!
(n − r)!
n
r
A
=
Pr
r!
=
n!
( n − r ) !⋅ r !
(avec la notation factorielle)
Remarques
a) Arn ≥ Crn
car Arn = Crn ⋅ Pr
⎛n⎞
b) Autre notation : Crn = ⎜ ⎟ « coefficients binomiaux ».
⎝r ⎠
c) Sur certaines calculatrices, la touche nCr effectue ce type de calcul.
P.S. / 2015-2016
10
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Autre exemple
De combien de façons différentes peut-on asseoir 5 personnes sur un banc de 3 places si la place
sur le banc est indifférente ?
Réponse : C35 =
5!
= 10 façons.
( 5 − 3 ) ! 3!
Remarque
Nous ne traiterons pas dans ce cours les combinaisons avec répétitions.
Résumé
L’ordre compte
Nombre d’éléments :
Départ : n
Arrivée : n
Nombre d’éléments :
Départ : n
Arrivée : r
(r < n)
P.S. / 2015-2016
L’ordre ne compte pas
Pn
et
/
Pn ( n1 , n2 , ..., nk )
Arn
Crn
et
Arn
11
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
3.1.6 Développement du binôme *
(a + b) = a + b
2
( a + b ) = ( a + b ) ⋅ ( a + b ) = a 2 + 2ab + b2
3
( a + b ) = ( a + b ) ⋅ ( a + b ) ⋅ ( a + b ) = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3
1
........
Exemple * Développons le binôme suivant : ( a + b ) = ( a + b ) ⋅ ( a + b ) ⋅ ( a + b ) ⋅ ( a + b )
4
• a4 s'obtient d'une seule façon. On choisit aucun b dans les quatre parenthèses :
( a + b ) ⋅ ( a + b ) ⋅ ( a + b ) ⋅ ( a + b ) = a4 + .....
Autrement dit, on fait un choix (non ordonné) d’aucune parenthèse parmi quatre : C04 = 1
• a3b s'obtient de 4 façons différentes. On choisit un b dans une parenthèse, et un a dans les trois
autres : ( a + b ) ⋅ ( a + b ) ⋅ ( a + b ) ⋅ ( a + b ) = ..... + a 3b + .....
Autrement dit, on fait un choix (non ordonné) d’une parenthèse parmi quatre : C14 = 4
• a2b2 s'obtient de 6 façons différentes. On choisit un b dans deux parenthèses, et un a dans
les deux autres : ( a + b ) ⋅ ( a + b ) ⋅ ( a + b ) ⋅ ( a + b ) = ..... + a 2b 2 + .....
Autrement dit, on fait un choix (non ordonné) de deux parenthèses parmi quatre : C24 = 6
• ab3 s'obtient de 4 façons différentes. On choisit un b dans trois parenthèses, et un a dans la
dernière : ( a + b ) ⋅ ( a + b ) ⋅ ( a + b ) ⋅ ( a + b ) = ..... + ab 3 + .....
Autrement dit, on fait un choix (non ordonné) de trois parenthèses parmi quatre : C34 = 4
• b4 ne s'obtient que d'une seule façon. On choisit un b dans quatre parenthèses :
( a + b ) ⋅ ( a + b ) ⋅ ( a + b ) ⋅ ( a + b ) = ..... + b4
Autrement dit, on fait un choix (non ordonné) de quatre parenthèses parmi quatre : C44 = 1
En conclusion : ( a + b ) = C04 ⋅ a 4 b0 + C14 ⋅ a 3b1 + C24 ⋅ a 2b 2 + C34 ⋅ a 1b3 + C44 ⋅ a 0 b4
4
= a 4 + 4a 3b + 6a 2b 2 + 4ab3 + b4
Autre exemple : ( a + b ) = C05 ⋅ a 5b0 + C15 ⋅ a 4b1 + C25 ⋅ a 3b 2 + C35 ⋅ a 2b3 + C45 ⋅ a 1b4 + C55 ⋅ a 0 b5
5
En généralisant le processus, on obtient :
Pour tout n ∈ ` * on a :
(a + b)
n
= C0n ⋅ a n b0 + C1n ⋅ a ( n −1)b1 + C2n ⋅ a ( n −2 )b 2 + ... + Cnn−2 ⋅ a 2b( n −2 ) + Cnn−1 ⋅ a 1b( n −1) + Cnn ⋅ a 0 bn
n
On peut utiliser la notation « somme » : ( a + b ) = ∑ Ckn ⋅ a ( n −k )bk
n
k =0
La démonstration de cette relation ce fait par récurrence et ne sera pas exposée dans ce cours.
P.S. / 2015-2016
12
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Propriétés du binôme *
3) C pn + C pn +1 = C pn ++11
2) C pn = Cnn− p ( symétrie )
1) C0n = Cnn = 1
Démonstration en exercice.
Illustration *
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
3
6
10
1
4
10
1
5
1
Exercices (Arbres de classements)
1) On lance une pièce de monnaie et on s'arrête dès qu'on a obtenu trois fois le même côté.
Construire un arbre de classement représentant cette situation. Combien y a-t-il d’issues ?
2) Observer les figures ci-dessous. Faire une liste des critères qui les différencient et décrire à l'aide
d'un arbre de classement toutes les possibilités. Quelles figures manquent sur le dessin ?
3) On désire se rendre de la case A à la case X. Les seuls déplacements autorisés sont des
déplacements d'une case vers la droite ou d'une case vers le bas.
Combien y a-t-il de chemins différents allant de la case A à la case X ?
A
A
X
X
4) Le diagramme ci-dessous représente des îles : A, B, C, D, E et F. Certaines d'entre elles sont
reliées par des ponts. Un touriste part de l'île A et va d'île en île. Il s'arrête pour déjeuner
lorsqu'il ne peut plus continuer sans repasser sur un pont qu'il a déjà traversé lors de sa
promenade. Quel est le nombre de chemins différents qu'il peut prendre avant de déjeuner ?
A
B
D
C
E
P.S. / 2015-2016
F
13
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Exercices ( Principe de décomposition )
5) a) Avec les chiffres 2, 3, 5, 6, 7, 9 combien peut-on avoir de nombres de 3 chiffres ?
(avec et sans répétition)
b) Parmi ceux-ci, combien sont inférieurs à 400 ? (avec et sans répétition)
c) Parmi ceux-ci, combien sont pairs ? (avec et sans répétition)
d) Parmi ceux-ci, combien sont impairs ? (avec et sans répétition)
e) Parmi ceux-ci, combien sont multiples de 5 ? (avec et sans répétition)
6) Cette bande, partagée en 5 cases, doit être coloriée (case par case) et l'on dispose de 8 couleurs.
De combien de manières peut-on procéder si deux cases adjacentes doivent être de couleurs
différentes ?
a) Combien y a-t-il d'issues possibles lorsqu'on lance trois dés à 6 faces ?
7)
b) On lance trois dés à 6 faces. Combien y a-t-il d'issues possibles qui comportent :
i) une seule fois la face 1 .
ii) deux fois la face 1 .
iii) trois fois la face 1 .
iv) au moins une fois la face 1 .
v) aucune face 1 .
8) Douze joueurs d’échec participent à un tournoi dans lequel chaque joueur joue une fois contre
chacun des autres joueurs. Combien y a-t-il de parties disputées ?
Indication : commencer par un tournoi avec 3 joueurs puis avec 4 joueurs, etc.
Exercices ( Notation factorielle )
9) a) Simplifier et calculer les expressions suivantes :
i) 3! ⋅ 4
v)
100!
98!
7!
6!
1
1
vi)
−
4! 5!
ii)
20!
18!
20!
vii)
( 20 − 4 )!
iii)
iv)
8!
7 ! ⋅ 4!
viii)
24!
( 24 − 4 )! 4!
b) Simplifier les expressions suivantes :
i) ( n − 1)! ⋅ n
P.S. / 2015-2016
ii)
n!
( n − 1 )!
iii)
14
( n + 2 )!
( n − 1)!
iv)
( n − r + 1 )!
( n − r − 1 )!
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Exercices ( Permutations )
10) a) Écrire, à l’aide d’un arbre de classement, toutes les permutations simples des 3 lettres
distinctes : E , U et X .
b) Combien de « mots » différents peut-on former avec les lettres des mots suivants ? :
(Attention, les mots formés ne doivent pas forcément avoir un sens)
i) eux
ii) utile
iii) parmi
11) Soient 3 personnes
a) De combien de manières différentes peut-on les mettre en rang ?
b) De combien de manières différentes peut-on les asseoir autour d'une table circulaire ?
c) Mêmes questions qu'en a) et b), mais avec 4 personnes.
12) a) De combien de façons, peut-on asseoir sur un banc 3 garçons et 2 filles ?
b) Même question avec la condition supplémentaire que les garçons restent ensemble et
les filles aussi.
c) Même question, mais les filles s'assoient ensemble.
13) Combien de « mots » différents peut-on écrire avec les lettres du mot ? :
a) arranger
b) rire
14) Combien de numéros de plaques différents peut-on former avec les numéros
de la plaque CH 10902100.
15) a) Combien de « mots » différents peut-on écrire avec les lettres du mot : ELEVES.
b) Combien de ces mots commencent et finissent par E ?
c) Combien sont ceux où les trois E sont adjacents ?
d) Combien commencent par E et se terminent par S ?
Exercices ( Arrangements / Combinaisons )
16) a) Écrire, à l’aide d’un arbre de classement, tous les arrangements simples de 2 lettres choisies
parmi les 4 lettres distinctes : X , Y , Z et T .
Donner le nombre d’arrangements simples de 2 lettres choisies parmi les 4 lettres.
b) Écrire, toutes les combinaisons simples de 2 lettres choisis parmi les 4 lettres distinctes :
X , Y , Z et T .
Donner le nombre de combinaisons simples de 2 lettres choisies parmi les 4 lettres.
P.S. / 2015-2016
15
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
17) De combien de façons peut-on former une cordée de 3 hommes en les choisissant parmi
10 alpinistes ? L’ordre à une importance.
18) On doit envoyer 7 lettres distinctes , mais on ne dispose que de 4 timbres. Combien y a-t-il de
choix d'envoi possibles ?
19) Il y a 8 balles numérotées de 1 à 8 dans une urne. Combien de nombres de 3 chiffres
peut-on former :
a) avec replacement des balles dans l'urne ?
b) sans replacement des balles dans l'urne ?
20) Combien de comités de 3 personnes peut-on former avec 8 personnes ?
21) Combien de comités de 3 hommes et 2 femmes peut-on former avec 7 hommes et 5 femmes ?
22) Une classe compte 24 élèves. De combien de façons peut-on former 3 groupes de 8 élèves ?
23) Combien un village doit-il avoir d'habitants au minimum pour que l'on soit sûr que deux
personnes au moins aient les mêmes initiales ? (initiales = 2 lettres) .
Exercices ( mélangés )
Dans chaque exercice, indiquez les étapes de calculs qui font appels au principe de
décomposition, aux permutations simples, permutations avec répétitions, arrangements
simples, arrangements avec répétitions et combinaisons simples.
24) Dans une assiette nous avons un toast, une tranche de pain et une biscotte.
Mademoiselle Combinatoire a le choix entre quatre confitures différentes pour étaler sur une
tranche de pain, un toast et une biscotte. Combien y a-t-il de possibilités différentes sachant
qu'elle peut éventuellement, en plus de la confiture, les beurrer ?
25) Dans l'alphabet Braille, chaque lettre ou signe est
représenté par 6 points au maximum. Les points étant en relief.
Combien de signes distincts peut-on ainsi composer ?
26) Un questionnaire comprend 8 questions auxquelles
il faut répondre par oui ou par non.
Combien peut-on donner de réponses différentes
avec 4 oui et 4 non ?
P.S. / 2015-2016
16
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
27) Le code de la porte d'entrée de votre immeuble est composé de 4 chiffres
(pas forcément distincts) et ensuite d'une lettre. Exemple : 3 4 3 6 A
Combien de possibilités le concierge a-t-il pour choisir un code d'entrée ?
1
4
7
A
2 3
5 6
8 9
0 B
28) Un jeu de 36 cartes est composé de la façon suivante :
il y a 4 familles ( ♣ , ♦ , ♥ , ♠ ) de 9 cartes chacune ( A , R , D , V , 10 , 9 , 8 , 7 , 6 ) ;
♦ et ♥ sont des cartes rouges, ♣ et ♠ sont des cartes noires.
Au jass (jeu de 36 cartes), chaque joueur reçoit 9 cartes (quand l'on joue à 4 joueurs).
Quel est le nombre de distributions différentes pour un joueur ?
29) De combien de façons peut-on choisir 5 cartes dans un jeu de 36 cartes, de manière que ces
5 cartes contiennent :
a) les 4 as ?
b) les 3 as ?
c) les 2 as ?
d) 1 as ?
e) 0 as ?
f) 2 as et 2 rois ?
g) au moins 1 as ?
Indication : Sur 36 cartes, 32 ne sont pas des as et 32 cartes ne sont pas des rois.
30) Une entreprise pharmaceutique décide d’étiqueter tous ces produits avec un sigle composé
trois lettres de l'alphabet. L’ordre des lettres à une importance mais on peut choisir plusieurs
fois la même lettre. Exemples : DFX, XDF, AAG, …..
a) Combien de sigles peut-on former avec toutes les lettres de l'alphabet ?
b) Combien de sigles peut-on former comportant une consonne et deux voyelles ?
c) Combien de sigles peut-on former comportant une consonne et deux voyelles différentes ?
Rappel : L'alphabet français comprend 26 lettres, dont 20 consonnes et 6 voyelles.
31) Parmi les arrangements simples de 5 lettres du mot EQUATIONS,
a) Combien ne contiennent que des voyelles ?
b) Combien contiennent toutes les consonnes ?
c) Combien commencent par E et se terminent par S ?
d) Combien commencent par une consonne ?
e) Combien contiennent N ?
32) Un club de football est composé de 20 joueurs dont 3 gardiens de but. Combien d'équipes
différentes de 11 joueurs dont un gardien peut-on former? (On ne tient pas compte de la place
des joueurs, sauf pour les gardiens qui ne peuvent jouer que dans les buts).
33) Combien de nombres de 4 chiffres supérieurs à 3000 pouvons-nous former avec les chiffres
2,3,4,5 si la répétition des chiffres :
a) n'est pas permise ?
P.S. / 2015-2016
b) est permise ?
17
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
34) Pour jouer à l'Euro Millions, il faut cocher 5 numéros sur une carte qui en comporte 50 et
2 numéros sur une carte qui en comporte 9.
a) Combien y a-t-il de possibilités ?
b) Parmi ces possibilités, combien permettent-elles de trouver :
i) les 5 numéros gagnants sur une carte qui en comporte 50 et 2 numéros gagnants
sur une carte qui en comporte 9 ? (1er prix)
ii) les 5 numéros gagnants sur une carte qui en comporte 50 et 1 numéros gagnants
sur une carte qui en comporte 9 ? (2ème prix)
iii) les 5 numéros gagnants sur une carte qui en comporte 50 et 0 numéros gagnants
sur une carte qui en comporte 9 ? (3ème prix)
iv) les 4 numéros gagnants sur une carte qui en comporte 50 et 2 numéros gagnants
sur une carte qui en comporte 9 ?(4ème prix)
v) aucun numéro gagnant sur une carte qui en comporte 50 et aucun numéro gagnant
sur une carte qui en comporte 9 ? (aucun prix)
c) Si on joue une grille, quelle est la probabilité (en %) d’obtenir :
i) le 1er prix ?
ii) le 3ème prix?
iii) aucun prix ?
35) Un étudiant doit résoudre 8 problèmes sur 10 lors d'une épreuve écrite.
a) Combien de choix différents peut-il faire ?
b) Même question en supposant qu'il doit obligatoirement résoudre :
i) les 3 premiers problèmes
ii) 4 des 5 premiers problèmes (et le reste dans les 5 derniers)
36) On jette 20 fois de suite une pièce de monnaie.
Déterminer le nombre de séquences qui contiennent exactement :
a) 1 fois pile.
b) 2 fois pile.
c) 3 fois pile.
d) 10 fois pile.
e) 19 fois pile.
f) 20 fois pile.
P.S. / 2015-2016
18
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
37) a) Combien de « mots » différents peut-on écrire avec toutes les lettres du mot MISSISSIPPI ?
b) Parmi ces « mots », combien commencent et se terminent par la lettre S ?
38) De combien de façons peuvent s'asseoir 3 filles et 3 garçons dans une rangée, sachant que les
filles et les garçons doivent alterner ?
39) * Soit un ensemble E contenant n éléments. Quel est le nombre de sous-ensembles de E ?
40) * Soit C pn =
n ⋅ ( n − 1) ⋅ ...........⋅ ( n − p + 1)
n!
=
1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ...... ⋅ p
( n − p ) ! ⋅ p!
avec n et p ∈ ` et p ≤ n
Montrer que :
1) C0n = Cnn = 1
2) C pn = Cnn− p ( symétrie )
3) C pn + C pn +1 = C pn ++11
3.1.7 Ce qu’il faut absolument savoir
1♥ Construire un arbre de classement d’une expérience donnée
ok
2♥ Connaître la notation factorielle
ok
3♥ Connaître et comprendre le principe de décomposition
ok
4♥ Connaître la définition d’une permutation simple de n éléments
ok
5♥ Comprendre et connaître la formule permettant de calculer le nombre
de permutations simples
ok
6♥ Connaître la définition d’une permutation avec répétitions de n éléments
ok
7♥ Comprendre et connaître la formule permettant de calculer le nombre
de permutations avec répétitions
ok
8♥ Connaître la définition d’un arrangement simple de r éléments choisis parmi n
ok
9♥ Comprendre et connaître la formule permettant de calculer le nombre
d’arrangements simples
ok
10♥ Connaître la définition d’un arrangement avec répétitions de r éléments
choisis parmi n
ok
11♥ Comprendre et connaître la formule permettant de calculer le nombre
d’arrangements avec répétitions
ok
12♥ Connaître la définition d’une combinaison simple de r éléments choisis parmi n
ok
13♥ Comprendre et connaître la formule permettant de calculer le nombre
de combinaisons simples
ok
14♥ * Connaître le développement du binôme avec la notation des combinaisons simples
ok
P.S. / 2015-2016
19
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
3.2 Probabilités
3.2.1 Introduction
Le calcul des probabilités a pour objectif un traitement mathématique de la notion intuitive de
hasard. Ses origines remontent au XVIIe siècle durant lequel des mathématiciens célèbres, Pascal,
Fermat et Jacques Bernouilli, se sont penchés sur des questions se rapportant aux jeux de hasard.
Cette association explique pourquoi les probabilités, en tant que discipline mathématique, ont
toujours gardé un caractère un peu particulier. Pendant une période, elles ne constituaient en effet
guère plus qu'une collection de méthodes combinatoires et algébriques.
Ensuite, les probabilités ont trouvé un nombre croissant d'applications dans des domaines plus
scientifiques ; d'abord dans des problèmes de statistique démographique, en théorie des erreurs
d'observation et en biologie. Au XXe siècle, un nombre croissant de disciplines, qui s'étendent
des sciences naturelles et techniques jusqu'aux sciences sociales et économiques, utilisent des
méthodes probabilistes et statistiques. On peut ainsi étudier de manière rigoureuse des
phénomènes pour lesquels les modèles mathématiques déterministes s'avèrent inappropriés.
Cette extension de la théorie des probabilités au-delà des jeux de hasard n'a été possible que grâce
à un développement théorique auquel de nombreux mathématiciens ont contribué. Ce n'est que
dans la première partie du XXe siècle qu'une base axiomatique a été établie, qui attache au calcul
des probabilités une théorie rigoureuse et qui en fait ainsi une branche à part entière des
mathématiques.
3.2.2 Expérience aléatoire, événements
Définition
Une expérience est dite aléatoire ou stochastique s'il est impossible de prévoir son résultat.
En principe, on admet qu'une expérience aléatoire peut être répétée indéfiniment dans des
conditions identiques son résultat peut donc varier d'une réalisation à l'autre.
Exemples
a) On jette un dé et l'on observe le résultat obtenu.
b) Si l'on lance trois fois de suite une pièce de monnaie, on peut distinguer 8 résultats possibles :
PPP, PPF, ....,FFF.
c) On jette une pièce de monnaie jusqu'à ce que le côté face sorte pour la première fois.
Définitions
• L'ensemble, noté en général Ω, de tous les résultats d'une expérience aléatoire est appelé univers
ou espace des résultats possibles de cette expérience. Selon la nature de cette dernière,
l'ensemble Ω peut être fini (exemples a) et b) ou infini (exemple c)).
• Le nombre d'éléments d'un ensemble Ω est noté #Ω.
Exemples : a) Ω = {1,2,3,4,5,6 } #Ω = 6
c) Ω = { f , pf , ppf , pppf ,.......}
#Ω = ∞
• On appelle événement tout sous-ensemble de Ω.
Un événement qui contient un unique élément de Ω est un événement élémentaire.
P.S. / 2015-2016
20
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Exemples Si on jette un dé à 6 faces non truqué : Ω = {1;2;3;4;5;6 } et # Ω = 6
A est l’événement « un nombre pair est tiré » alors A = {2;4;6 }
B est l’événement « un nombre impair est tiré » alors B = {1;3;5}
C est l’événement « un nombre ≥ 4 » alors C = {4;5;6 }
D est l’événement élémentaire « le plus petit nombre » alors D = {1}
Rappel : opérations de la théorie des ensembles
Définition
Notation
L'intersection de deux ensembles A et B
est l'ensemble des éléments qui se trouvent
à la fois dans A et dans B.
A∩B
(se lit "A inter B")
La réunion de deux ensembles A et B est
l'ensemble des éléments qui se trouvent
dans A, dans B ou dans leur intersection.
A∪B
(se lit "A union B")
Le complémentaire d'un ensemble A est
l'ensemble des éléments qui ne se trouvent
pas dans A.
A
(se lit "A barre")
La différence de deux ensembles A et B est
l'ensemble des éléments contenus dans A,
mais pas dans B.
A-B
(se lit "A diff. B")
L'ensemble vide est l'ensemble qui ne
contient aucun élément
Illustration
A
B
Ω
A
Ω
B
Ω
A
Ω
A
Ω
B
Ω
∅
Opérations sur les événements
Les événements associés à une expérience aléatoires étant par définition des sous-ensembles de
l'univers Ω, il est naturel de définir des opérations sur les événements à l'image des opérations de
la théorie des ensembles. Ainsi :
A ∩ B est appelé événement « A et B » (réalisation de A et B)
A ∪ B est appelé événement « A ou B » (réalisation de A ou B ou que les deux se réalisent)
A est appelé événement « contraire de A » (non réalisation de A)
A − B = événement « A mais pas B » (réalisation de A mais pas de B)
Deux événements A, B sont dits incompatibles s'ils ne peuvent êtres réalisés simultanément,
c'est-à-dire si A ∩ B = ∅ .
P.S. / 2015-2016
21
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Exemples
A ∪ C = {2;4;5;6 } = événement "un nombre pair ou plus grand que quatre".
B ∩ C = {5} = événement élémentaire "un nombre impair et plus grand que quatre".
C = {1;2;3} = événement "un nombre plus petit que quatre".
B − C = {1;3} = événement "un nombre impair mais pas plus grand que quatre".
A∩ B = ∅
les deux événements sont incompatibles
(un nombre ne peut pas être pair et impair à la fois)
3.2.3 Notion de probabilité et axiomes
Le but de la présente section est d'attribuer à chaque événement A ∈ Ω un nombre réel, appelé
probabilité de cet événement et noté P(A). La valeur P(A) est une mesure des chances de réalisation
de l'événement A lors de l'expérience aléatoire considérée.
Probabilités « combinatoires »
Soit Ω un univers fini constitué de N événements élémentaires sur lequel on fait l’hypothèse
d’équiprobabilité de réalisation des N événements élémentaires. On suppose ainsi que tous les
événements élémentaires ont « la même chance » de se réaliser.
Soit A un événement quelconque constitué de k événements élémentaires de Ω .
On en déduit que la probabilité d'un événement A noté P(A) est le nombre :
Cette formule s’énonce souvent comme : P( A ) =
k
N
# A nombre de cas favorables
=
#Ω
nombre de cas possibles
Exemples
a) Quelle est la probabilité « d'obtenir un nombre pair » en lançant un dé à six faces ?
Cas favorables : 3
Cas possibles : 6
P( A ) =
3 1
= ou 50%
6 2
b) Quelle est la probabilité « d'obtenir trois fois le même côté » en lançant trois fois une pièce
de monnaie ?
Cas favorables : 2
Cas possibles : 23 = 8
P( A ) =
2 1
= = 25%
8 4
c) On choisit un comité de 3 personnes parmi 5 hommes et 7 femmes.
5
Quelle est la probabilité que les trois personnes
choisies soient « deux hommes et une femme » ?
Cas favorables : C25 ⋅ C17 = 10 ⋅ 7 = 70
P.S. / 2015-2016
Cas possibles : C312 = 220
22
P( A ) =
7
70
≅ 31,8%
220
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Axiome des probabilités (règles qu'on se fixe)
Soit Ω un univers. On dit que l'on définit une probabilité sur les événements Ω si :
à tout événement A ∈ Ω on associe un nombre P(A), appelé probabilité de l'événement A.
Illustration
\
Ω
A
1
• P(B)
B
P
• P(A)
0
Une probabilité doit « intuitivement » satisfaire aux trois axiomes suivants :
I) P( A ) ≥ 0 ∀A ∈ Ω
(La probabilité de tout événement est un nombre positif).
II) P( Ω ) = 1
(La probabilité de l'événement certain Ω est égale à 1 = 100%)
III) Si A ∩ B = ∅ alors P( A ∪ B ) = P( A ) + P( B )
A et B sont incompatibles
(La probabilité de la réunion de deux événements incompatibles
est égale à la somme de leurs probabilités).
Remarque
Une probabilité P est une application de l’ensemble des événements Ω dans l’intervalle [0;1] .
Exemple
Si on jette un dé à 6 faces non truqué : Ω = {1;2;3;4;5;6 }
A est l’événement "un nombre pair est tiré" alors A = {2;4;6 }
B est l’événement "un nombre impair est tiré" alors B = {1;3;5}
On a Ω = A ∪ B et A ∩ B = ∅ alors P( Ω ) = P( A ∪ B ) = P( A ) + P( B ) =
3 3
+ =1
6 6
Exercice 41
Un joueur lance deux dés à 6 faces. Quelle est la probabilité :
a) que la somme des points sur la face supérieure soit de 7
b) qu'elle soit de 8
c) qu'elle soit de 10 ou plus
Exercice 42
Dans le canton de Genève, il y a eu 200’000 immatriculations automobiles qui ont été délivrées.
Les plaques sont numérotées de 1 à 200'000. Quelle est la probabilité en rencontrant au hasard une
voiture que son numéro de plaque commence par 1 ? (réponse en %)
P.S. / 2015-2016
23
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Exercice 43
On propose à Pierre de lancer simultanément trois pièces de monnaie parfaitement symétriques de
10, 20 et 50 centimes respectivement. Il pourra conserver les pièces qui présentent le côté pile.
a) Décrire l'univers.
b) Quelle probabilité a-t-il de gagner i) 20 centimes ?
ii) moins de 50 centimes?
iii) plus de 20 centimes?
Exercice 44
a
Si une fléchette atteint le disque, quelle est la probabilité en %
qu'elle se trouve dans la zone ombrée sachant que a = 1 ?
Exercice 45
Dans une enquête portant sur les pannes de voitures qui se sont produites au cours d'une année, on a
pris en considération, pour un type de voiture déterminé, les possibilités suivantes :
Ao : il n'y a pas eu de panne;
A1 : il y a eu une panne;
A2 : il y a eu deux pannes;
A3 : il y a eu plus de deux pannes.
Le dépouillement de l'enquête a montré que ces possibilités se sont produites respectivement 233,
310, 156 et 81 fois.
Quelle probabilité y a-t-il, pour un possesseur d'une voiture de ce type de tomber en panne dans
l'année qui vient : (réponse en %)
a) moins de deux fois ?
b) au moins une fois ?
Exercice 46
Dans un chapeau, on a mis 3 billes jaunes et une bleue.
Est-il plus probable de sortir 2 billes jaunes ou 1 bille jaune et 1 bille bleue ?
Indication : utilisez les combinaisons.
Exercice 47
Dans un lot de 80 vaccins, 10 sont périmés.
Si on en tire 2 au hasard, quelle est la probabilité en % :
a) de tirer 0 vaccin périmé ?
b) de tirer 1 vaccin périmé ?
c) de tirer 2 vaccins périmés ?
d) de tirer au moins un vaccin périmé ?
e) de tirer au plus un vaccin périmé?
Indication : utilisez les combinaisons.
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Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Exercice 48
Un jeu de 36 cartes est composé de la façon suivante :
il y a 4 familles ( ♣ , ♦ , ♥ , ♠ ) de 9 cartes chacune (A , R , D , V , 10 , 9 , 8 , 7 , 6 ) ;
♦ et ♥ sont des cartes rouges, ♣ et ♠ sont des cartes noires.
On tire 4 cartes d’un jeu de 36 cartes.
Quelle est la probabilité d’obtenir ( réponses sous forme de pourcentage ) :
a) 4 piques ?
e) 2 cartes noires ?
b) 3 cœurs ?
f) au moins 1 cœur ?
c) au plus 1 as ?
g) 3 cartes d’une même famille ?
d) aucune cartes noires ?
h) un valet et deux rois ?
Indication : utilisez les combinaisons.
Exercice 49 *
Un jeu de 52 cartes est composé de la façon suivante :
il y a 4 familles ( ♣ , ♦ , ♥ , ♠ ) de 13 cartes chacune (A , R , D , V , 10 , 9 , 8 , 7 , 6 , 5, 4 , 3 , 2) ;
♦ et ♥ sont des cartes rouges, ♣ et ♠ sont des cartes noires.
On admet que les C552 mains (ensemble de 5 cartes sans répétitions et sans ordre)
possibles au poker sont équiprobables.
Quelle est la probabilité de recevoir les mains suivantes dans l’ordre d’importance :
(réponse sous forme d’une fraction irréductible et avec le nombre 1 au numérateur)
a) une quinte royale (10, V, D, R, A de la même famille) ?
b) une quinte flush (cinq cartes consécutives de la même famille, mais pas une quinte royale ;
p. ex. A ♥, 2 ♥, 3 ♥, 4 ♥, 5 ♥) ?
c) un carré (quatre cartes de même valeur ; p. ex. D ♠, D ♣, D ♦, D ♥, 2 ♠) ?
d) un full, i.e. brelan + paire (p. ex. V ♠, V ♣, V ♦, 4 ♦, 4 ♥) ?
e) un flush (cinq cartes de la même famille mais pas une quinte royale ou flush ;
p. ex. 2 ♥, 3 ♥, 4 ♥, 9 ♥, V ♥) ?
f) une quinte (cinq cartes consécutives de familles variées, mais pas une quinte royale ou flush ;
p. ex. 2 ♥, 3 ♣, 4 ♣, 5 ♦, 6 ♠) ?
g) un brelan (trois cartes de même valeur ; p. ex. A ♠, A ♣, A ♦, 5 ♦, 8 ♠) ?
h) deux paires (p. ex. 6 ♠, 6 ♣, 9 ♦, 9 ♠, 10 ♦) ?
i) une paire (deux cartes de même valeur ; p. ex. R ♠, R ♣, 7 ♦, 3 ♦, 2 ♠) ?
Indication : utilisez les combinaisons.
P.S. / 2015-2016
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Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Activité 1
Soit A et B deux événements. Montrer à l’aide d’un dessin ensembliste que :
Ω
a) A ∪ B = A ∩ B
A
Ω
B
A
B
b) A ∩ B = A ∪ B
c) B ∩ A = B − A
d) A ∩ B = A − B
Ω
Théorème 1
P( A ) = 1 − P( A )
A
A
Démonstration
A ∪ A = Ω et A ∩ A = ∅ ( A et A sont incompatibles )
Donc
1 = P( Ω ) = P( A ∪ A ) = P( A ) + P( A ) ⇒ P( A ) = 1 − P( A )
Ax . II
Ax . III
Exemple
Quelle est la probabilité d'avoir au moins une fois pile en lançant 4 fois une pièce de monnaie ?
Ω
tirages
avec 0 piles
tirages
avec
1 pile
tirages
avec
2 piles
tirages
avec
3 piles
tirages
avec 4 piles
P (0 fois pile ) + P ( 1 fois pile ) + P ( 2 fois pile ) + P ( 3 fois pile ) + P ( 4 fois pile ) = 1
⇔ P (1 fois pile ) + P ( 2 fois pile ) + P ( 3 fois pile ) + P ( 4 fois pile ) = 1 − P ( 0 fois pile )
⎛
⎞
⎛
⎞
1 15
⇔ P ⎜ au moins une fois pile ⎟ = 1 − P ⎜ 0 fois pile ⎟ = 1 − 4 =
= 93,75%
⎜
⎟
⎜
⎟
2
16
A
⎝
⎠
A
⎝
⎠
P.S. / 2015-2016
26
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Ω
Théorème 2 P( B − A ) = P( B ) − P( B ∩ A )
A
B
B−A = B∩A
Démonstration
B∩A
( B ∩ A) ∪ ( B ∩ A) = B et ( B ∩ A) ∩ ( B ∩ A) = ∅ ( B ∩ A et B ∩ A sont incompatibles )
Donc P( B ) = P ( ( B ∩ A) ∪ ( B ∩ A) ) = P( B ∩ A ) + P( B ∩ A ) ⇒ P( B ∩ A ) = P( B ) − P( B ∩ A )
Ax . III
Remarque
Si A ⊆ B alors A ∩ B = A et donc P( B − A ) = P( B ) − P( A )
Thm.2
Théorème 3
Ω
Si A ⊆ B alors P( B ) ≥ P( A )
B
A
B−A = B∩A
Démonstration
B = A ∪ ( A ∩ B ) et A ∩ ( A ∩ B ) = ∅
Donc
( A et A ∩ B sont incompatibles )
P( B ) = P( A ∪ ( A ∩ B )) = P( A ) + P( A ∩ B ) ≥ P( A ) car P( A ∩ B ) ≥ 0
Ax . III
Remarque ∅ ⊆ A ⊆ Ω
Théorème 4
Ax . I
⇒ N
P( ∅ ) ≤ P( A ) ≤ P( Ω ) ⇒ 0 ≤ P( A ) ≤ 1
Thm.3
=0
=1
∀ A,B ∈ Ω
P( A ∪ B ) = P( A ) + P( B ) − P( A ∩ B )
Démonstration
Ω
A
B
B−A = B∩A
A∩B
P( ∅ )
a) Si A ∩ B = ∅ alors P( A ∪ B ) = P( A ) + P( B ) − N
Ok Ax.III
=0
b) Si A ∩ B ≠ ∅
non vide
A∪ B = ( B − A)∪ A
Donc
et ( B − A ) ∩ A = ∅
( B − A et A sont incompatibles )
P( A ∪ B ) = P(( B − A ) ∪ A ) = P(( B − A )) + P( A ) = P( B ) − P( B ∩ A ) + P( A )
Ax . III
Thm.2
= P( A ) + P( B ) − P( A ∩ B )
P.S. / 2015-2016
27
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Activité 2
Dans une entreprise qui compte 400 personnes, 300 personnes sont assurées contre la maladie,
160 contre les accidents et 120 à la fois contre la maladie et les accidents.
a) Illustrer le problème à l’aide d’un dessin ensembliste.
b) En utilisant les notations ensemblistes et les théorèmes étudiés précédemment, déterminer
la probabilité en % qu’une personne choisie au hasard dans l'entreprise soit assurée :
b.i) contre la maladie, mais pas contre les accidents ?
b.ii) contre la maladie ou (non exclusif) les accidents ?
b.iii) ni contre la maladie, ni contre les accidents ?
Exercice 50
Dans une localité, 47 % des habitants se déclarent adeptes de la religion X, mais 15 % seulement
pratiquent effectivement cette religion.
Après avoir donné une transcription ensembliste de la situation, déterminer la probabilité en %
qu’en choisissant au hasard un habitant de cette localité, on se trouve en présence d'un adepte non
pratiquant de la religion X.
Indication : utilisez les théorèmes.
P.S. / 2015-2016
28
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Exercice 51
Le système de sécurité dans un habitacle de voiture est formé de deux composants.
Le composant A est un airbag (de l’anglais, littéralement « sac à air ») et le composant B,
une ceinture de sécurité .
À la suite de tests statistiques, on sait que :
• le composant A fonctionne avec une probabilité de 0,8 ;
• le composant B fonctionne avec une probabilité de 0,7 ;
• le composant A et B sont simultanément en panne avec une probabilité de 0,1 ;
• le composant A fonctionne mais pas le composant B avec une probabilité de 0,2 ;
Après avoir donné une transcription ensembliste de la situation, déterminer la probabilité en
% de chacun des événements suivants :
a) le composant A est en panne ;
b) au moins un des deux composants fonctionne ;
c) les deux composants fonctionnent ;
d) le composant B fonctionne mais pas le composant A ;
e) un seul des deux composants fonctionne ;
Indication : utilisez les théorèmes.
Exercice 52
Deux lignes téléphoniques L1 et L2 aboutissent à un standard.
La probabilité que la ligne L1 soit occupée est de 70 %.
La probabilité que la ligne L2 soit occupée est de 50 %.
La probabilité que les deux lignes soient occupées simultanément est de 30 %.
Calculer la probabilité en % de chacun des événements suivants après en avoir donné une
transcription ensembliste :
a) une ligne au moins est occupée ;
b) les deux lignes sont libres ;
c) une ligne seulement est occupée ;
Indication : utilisez les théorèmes.
Exercice 53
On prend au hasard 6 ampoules électriques d'un lot de 15 ampoules dont 5 sont défectueuses.
Calculer la probabilité en % de chacun des événements suivants après en avoir donné une
transcription ensembliste :
a) aucune ampoule ne soit défectueuse;
b) une ampoule soit défectueuse;
c) deux ampoules soit défectueuses;
d) trois ampoules soit défectueuses;
e) au moins une ampoule soit défectueuse.
f) au moins deux ampoules soit défectueuses.
Indication : utilisez les théorèmes.
P.S. / 2015-2016
29
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
3.2.4 Probabilités conditionnelles
Définition
La probabilité qu'un événement A se réalise sachant que B s'est produit est appelée
P ( A ∩ B)
probabilité conditionnelle. Par définition, elle vaut : P ( A B ) =
P ( B)
Remarques
a) P( A B ) peut s’interpréter comme le fait que Ω se restreint à B et que les résultats de A
se restreignent à A ∩ B.
Ω
A
A∩B
B
b) Si A ∩ B = ∅ (A et B sont incompatibles), A ne peut pas se réaliser
P( A ∩ B ) P( ∅ )
si B s'est déjà produit et donc P( A B ) =
=
=0.
P( B )
P( B )
A
( )
c) P ( A B ) + P A B = 1
Ω
B
d) En général P( A B ) ≠ P( B A )
Exemple
On jette un dé à 6 faces non truqué : Ω = {1;2;3;4;5;6 } et #Ω = 6
A = « 2 sorte »
P ( A) =
B = « nb pair sorte »
1
6
P (B) =
1
2
P( A ∩ B ) =
1
6
• La probabilité que « 2 sorte » sachant qu’il s’agit « d’un nombre pair » est de :
P( A B ) =
P( A ∩ B ) 1
=
P( B )
3
• La probabilité qu’un « nombre pair » sorte sachant qu’il s’agit de « 2 » est de :
P( B A ) =
P( B ∩ A )
=1
P( A )
Dans ce cas P( A B ) ≠ P( B A )
• La probabilité que « 2 ne sorte pas» sachant qu’il s’agit « d’un nombre pair » est de :
( )
P A B = 1 − P ( A B) = 1 −
P.S. / 2015-2016
1 2
=
3 3
30
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Théorème 5
Soit A, B, C des événements d’un univers Ω .
a) P( A ∩ B ) = P( A ) ⋅ P( B A )
b) P( A ∩ B ∩ C ) = P( A ) ⋅ P( B A ) ⋅ P ( C ( A ∩ B ) )
Démonstration
a) Définition de probabilité conditionnelle : P( B A ) =
P( A ∩ B )
⇒ P( A ∩ B ) = P( A ) ⋅ P( B A )
P( A )
b) Définition de probabilité conditionnelle : P ( C ( A ∩ B ) ) =
P (( A ∩ B ) ∩ C )
P ( A ∩ B)
⇒ P ( A ∩ B ∩ C ) = P ( A ∩ B ) ⋅ P ( C ( A ∩ B ) ) = P( A ) ⋅ P( B A ) ⋅ P ( C ( A ∩ B ) )
a)
Exercice 54
Un sac contient 20 jetons. La moitié d'entre eux sont noirs, les autres blancs. Un quart des jetons
portent en plus une marque spéciale. Trois d'entre eux sont noirs. On tire au hasard un jeton du sac.
Quelle est la probabilité en % que ce jeton :
a) soit noir et porte une marque ?
c) ne porte pas de marque ?
b) soit noir sachant qu'il porte une marque ?
d) ne porte pas de marque sachant qu'il est blanc ?
Exercice 55
Dans une ville imaginaire, 40 % de la population ont les cheveux bruns, 25 % ont les yeux bruns et
15 % ont les yeux et les cheveux bruns. On choisit au hasard une personne.
a) Si elle a les cheveux bruns, quelle est la probabilité qu'elle ait les yeux bruns ?
b) Si elle a les yeux bruns, quelle est la probabilité qu'elle n'ait pas les cheveux bruns ?
c) Quelle est la probabilité qu'elle n'ait ni les cheveux bruns ni les yeux bruns ?
Exercice 56
Les 2000 habitants d’un village se répartissent
de la manière suivante en fonction du groupe
sanguin et du facteur Rhésus.
Rh +
Rh -
A
656
144
B
162
38
AB
83
17
O
720
180
Si un habitant de ce village (suite à un accident ou lors d’une opération) à besoin d’une transfusion
sanguine, quelle est la probabilité en % qu’il aie besoin :
a) de sang O et Rh + ?
b) de sang Rh – sachant qu’il a un groupe sanguin AB ?
c) de sang B et Rh - ?
d) de sang A sachant qu’il a un facteur Rh – ?
e) de facteur Rh – sachant qu’il a un sang A ?
P.S. / 2015-2016
31
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Exercice 57
La probabilité pour les hommes d’atteindre 65 ans est de 80 % et celle d’atteindre 80 ans est
de 42 %. Quelle est la probabilité en % pour un homme de 65 ans de vivre jusqu'à 80 ans ?
Exercice 58
On sort d'un jeu de cartes les 4 as et les 4 rois. On tire ensuite simultanément 2 cartes de ces 8
cartes. Quelle probabilité en % a-t-on de tirer :
a) deux as?
b) deux as rouges ?
c) un as au moins ?
d) deux as sachant qu'une des deux cartes au moins est un as ?
P.S. / 2015-2016
32
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
3.2.5 Épreuves successives
On a souvent affaire à des problèmes qui se décomposent en épreuves successives (indépendantes
ou non). On représente souvent ce type de problème à l’aide d'un arbre.
Exemple (Épreuves successives dépendantes)
Une urne contient 6 boules rouges et 4 boules vertes. On tire successivement et sans remise 2
boules de l'urne. On peut représenter cette situation par un arbre. Au bout de chaque branche, on
note l’événement qu’elle représente et, sur la branche, on note la probabilité de l’événement
associé. Cela donne :
6/10
4/10
6 5 1
⋅ =
10 9 3
5/9
R2
P ( R1 ∩ R2 ) = P ( R1 ) ⋅ P ( R2 R1 ) =
4/9
V2
P ( R1 ∩ V2 ) = P ( R1 ) ⋅ P (V2 R1 ) =
6 4 4
⋅ =
10 9 15
6/9
R2
P (V1 ∩ R2 ) = P (V1 ) ⋅ P ( R2 V1 ) =
4 6 4
⋅ =
10 9 15
3/9
V2
P (V1 ∩ V2 ) = P (V1 ) ⋅ P (V2 V1 ) =
4 3 2
⋅ =
10 9 15
R1
V1
Propriétés / remarques
a) Les chemins de l’arbre sont des événements élémentaires et incompatibles deux à deux.
On a donc : P ( Ω ) =P ( ( R1 ∩ R2 ) ∪ ( R1 ∩ V2 ) ∪ (V1 ∩ R2 ) ∪ (V1 ∩ V2 ) )
= P ( R1 ∩ R2 ) +P ( R1 ∩ V2 ) +P (V1 ∩ R2 ) +P (V1 ∩ V2 )= 1
b) La probabilité d’un chemin est égale au produit des probabilités des branches qui forment ce
chemin. (voir théorème 5)
c) Pour calculer la probabilité d’un événement qui est la réunion de plusieurs chemins,
on additionne les probabilités de ces chemins.
Activité 3
Quelle probabilité a-t-on :
a) de tirer deux boules de même couleur ?
b) de tirer en dernier lieu une boule verte ?
c) de tirer deux boules de couleur verte ?
d) de tirer trois boules de même couleur ?
e) de tirer un boule rouge sachant qu’une boule verte à été tirée ?
P.S. / 2015-2016
33
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Indication : Pour chaque exercice, représenter la situation à l’aide d’un arbre en indiquant les
probabilités correspondantes sur chaque branche.
Exercice 59
On dispose de deux urnes. La première, appelée A, contient 2 boules vertes, 3 boules rouges et 5
boules jaunes. La seconde, appelée B, contient 5 boules vertes et 3 boules rouges.
On procède à l’expérience suivante. On lance un dé à 6 faces bien équilibré :
- si le nombre de points obtenu est inférieur ou égal à 2, on tire une boule de l’urne A.
- si le nombre de points obtenu est strictement supérieur à 2, on tire une boule de l’urne B.
Calculer les probabilités de : (donner les réponses sous forme de fractions irréductibles)
a) tirer une boule verte.
b) tirer une boule verte sachant que le nombre de points obtenu est strictement plus grand que 2.
Exercice 60
Une urne contient 3 billes rouges et 7 billes blanches. On tire une bille de l’urne et l’on remplace
la bille de l’urne par une bille de l’autre couleur. Ensuite, on tire une seconde bille de l’urne.
On demande (réponses sous forme de fractions irréductibles) :
a) Quelle est la probabilité d’obtenir au deuxième tirage, une bille rouge ?
b) Si les deux billes sont de la même couleur, quelle est la probabilité pour qu’elles soient
blanches ?
c) Quelle est la probabilité de tirer une bille rouge au deuxième tirage sachant qu’au premier
tirage on a obtenu une bille rouge ?
Exercice 61
Trois machines A, B et C produisent respectivement 50 % , 30 % et 20 % du nombre total
de pièces fabriquées dans une usine. Les pourcentages de pièces défectueuses produites par
ces machines sont respectivement de 3 %, 4 % et 5 % .
a) Si l'on prend une pièce au hasard, quelle est la probabilité (en %) pour que cette pièce soit
défectueuse ?
b) Si l'on prend une pièce au hasard, quelle est la probabilité (en %) pour que cette pièce soit
non défectueuse ?
c) Quelle est la probabilité (en %) d’obtenir une pièce non défectueuse sachant qu’elle a été
produite par la machine C.
Exercice 62
Une boîte contient 5 ampoules dont deux sont défectueuses. Les ampoules sont testées
les unes après les autres jusqu'à ce que les 2 ampoules défectueuses soit trouvées.
a) Quelle est la probabilité (en %) que la recherche cesse après le deuxième test ?
b) Quelle est la probabilité (en %) que la recherche cesse après le troisième test ?
Indications : i) Construire un arbre à 3 niveaux.
ii) On ne remet pas dans la même boîte une ampoule testée (sans remise).
P.S. / 2015-2016
34
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Exercice 63 ( introduction à la formule de Bayes )
Dans une entreprise :
10 % des employés ont fait des études supérieures ;
70 % de ceux qui ont fait des études supérieures occupent un poste administratif ;
20 % de ceux qui n'ont pas fait d'études supérieures occupent un poste administratif.
a) On choisit au hasard un employé. Quelle est la probabilité (en %) qu’il occupe un poste
administratif ?
b) On choisit au hasard un employé. Quelle est la probabilité (en %) qu’il occupe un poste
administratif sachant qu’il a fait des études supérieures ?
c) On choisit au hasard un employé. Quelle est la probabilité (en %) qu’il aie fait des études
supérieures sachant qu’il occupe un poste administratif?
Exercice 64 *
Une entreprise horlogère a mis au point un protocole pour vérifier la qualité de
ses produits. Les montres qu’elle fabrique sont vendues par lots de 50 et, pour
effectuer le contrôle de la qualité, on prélève une montre au hasard et on la
teste. Si la montre est en mauvais état, on retourne la boîte au département de la
production. Si la montre est en bon état on en teste une deuxième parmi les
montres restantes et on la vérifie également. Si elle est en mauvais état, on retourne le lot, sinon on
fait subir le test à une troisième montre également choisie au hasard parmi les montres restantes.
Lorsque 3 montres choisies successivement au hasard ont subi le test avec succès, le lot est approuvé
et acheminé aux distributeurs.
a) Représenter cette expérience aléatoire sous la forme d'un arbre.
Indication :
Di = « la i ème montre testée est défectueuse ».
Di = « la i ème montre testée est en bon état ».
b) En utilisant l’arbre obtenu au point a), quelle est la probabilité en % qu'un lot
de 50 montres contenant 2 montres défectueuses soit rejeté « R » ? accepté « A » ? (3 tests)
c) En utilisant l’arbre obtenu du point a), quelle est la probabilité en % qu'un lot
de 50 montres contenant 10 montres défectueuses soit rejeté « R » ? accepté « A » ? (3 tests)
d) En utilisant l’arbre obtenu du point a), quelle est la probabilité en % qu'un lot
de 50 montres contenant 25 montres défectueuses soit rejeté « R » ? accepté « A » ? (3 tests)
e) Compléter le tableau suivant afin de comparer les résultats obtenus aux points b), c) et d).
k = nombre de montres défectueuses dans un lot (paramètre).
n = 50 (nombre de montres dans un lot).
t = 3 (nombre de montres testées dans un lot).
k
n
2 / 50 = 4 %
10 / 50 = 20 %
25 / 50 = 50 %
P ( A ) (lot accepté)
P ( R ) ( lot rejeté )
…….
…….
…….
…....
…….
……..
P ( A ) …………si
P.S. / 2015-2016
k
n
………..
35
P ( R ) …………si
k
n
………..
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
3.2.6 Théorème de Bayes
Introduction
Un patient arrive aux urgences pour un « mal de ventre ».
Le médecin essaie donc d’établir un diagnostic parmi plusieurs afin de choisir l’examen clinique
et le traitement le plus approprié pour guérir la douleur aiguë à l’abdomen de son patient.
On estime que 50% des patients ont une appendicite, 30% une perforation d’ulcère et 20% un autre
diagnostic. La probabilité que le patient ait comme signe, la fièvre ( ≥ 38,5D ) est respectivement
de 50% , 90% et 50% que l’on peut aussi estimer .
0,5
Avec arbre :
D1 = « diagnostique de l’appendicite »
0,5
D1
D2 = « diagnostique de perforation de l’ulcère »
0,3
D3 = « autre diagnostique »
0,5
S
0,9
S
0,1
S
0,5
S
0,5
S
D2
S = « le patient à de la fièvre »
0,2
S = « le patient n’a pas de la fièvre »
S
D3
Supposons que le patient ait de la fièvre. Le problème du médecin est celui de calculer la
probabilité
que le patient ait un certain diagnostic sachant qu’il a de la fièvre. On retiendra le diagnostique qui
à
la plus grande probabilité.
Calculons d’abord : P( D1 S ) =
P( D1 ∩ S )
P( D1 ∩ S )
=
P( S )
P( D1 ∩ S ) + P( D2 ∩ S ) + P( D3 ∩ S )
0,5 ⋅ 0,5
=
≅ 40,32 %
0,5 ⋅ 0,5 + 0,3 ⋅ 0,9 + 0,2 ⋅ 0,5
On a trois événements supposés incompatibles D1 , D2 et D3 tel que Ω = D1 ∪ D2 ∪ D3 .
De plus, on dispose de l’information qu’un événement S s’est réalisé.
On a alors la formule de Bayes : P( D1 S ) =
Calculons encore : P( D2 S ) =
P( S D1 )P( D1 )
P( S D1 )P( D1 ) + P( S D2 )P( D2 ) + P( S D3 )P( D3 )
P( D2 ∩ S )
≅ 43,55 %
P( S )
et P( D3 S ) =
P( D3 ∩ S )
≅ 16 ,13 %
P( S )
Conclusion : Le médecin peut établir que le patient qui arrive aux urgences pour un « mal de
ventre » et qui à de la fièvre à « certainement » une perforation de l’ulcère.
Remarques : i) P( Di S ) ≠ P( S Di ) ∀i
ii) La formule de Bayes se généralise à n diagnostics (événements) incompatibles.
P.S. / 2015-2016
36
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Théorème de Bayes (Thomas Bayes, mathématicien anglais, 1702-1761)
Si B1 ,B2 ,B3 sont trois événements incompatibles deux à deux
c’est-à-dire Bi ∩ B j = ∅ ∀i ≠ j et tels que B1 ∪ B2 ∪ B3 = Ω .
Alors
P( Bk A ) =
P( A Bk ) ⋅ P( Bk )
P( A B1 ) ⋅ P( B1 ) + P( A B2 ) ⋅ P( B2 ) + P( A B3 ) ⋅ P( B3 )
Illustration
k ∈ {1;2;3}
Ω
B2
B1
A
B3
Démonstration
P( B ∩ A )
( définition de probabilité conditionnelle )
P( A )
(II) P ( A ∪ B ) = P( A ) + P( B ) si A ∩ B = ∅ ( axiome des probabilités )
• Rappels : (I) P ( B A) =
• Nous avons par hypothèse que : B1 ∪ B2 ∪ B3 = Ω avec Bi ∩ B j = ∅ ∀i ≠ j
Nous en déduisons que (voir illustration) :
( A ∩ B1 ) ∪ ( A ∩ B2 ) ∪ ( A ∩ B3 ) = A
avec ( A ∩ Bi ) ∩ ( A ∩ B j ) = ∅ ∀i ≠ j
• Calculons la probabilité :
P ( ( A ∩ B1 ) ∪ ( A ∩ B2 ) ∪ ( A ∩ B3 ) ) = P( A )
( II )
⇔ P ( A ∩ B1 ) + P ( A ∩ B2 ) + P ( A ∩ B3 ) = P( A )
(I )
⇔ P ( A B1 ) P( B1 ) + P ( A B2 ) P( B2 ) + P ( A B3 ) P( B3 ) = P( A ) ( formule des probabilités totales )
• Finalement :
(I )
P( Bk A ) =
P( A Bk ) ⋅ P( Bk )
P( Bk ∩ A ) P( A ∩ Bk ) ( III )
=
=
P( A )
P( A )
P ( A B1 ) P( B1 ) + P ( A B2 ) P( B2 ) + P ( A B3 ) P( B3 )
Remarques
a) Le théorème de Bayes à été présenté et démontré dans le cas ou on a n = 3 événements Bi
incompatibles deux à deux. Il est valable pour tout n ≥ 2 .
b) L’application du théorème de Bayes est à la base de toute une branche de la statistique appelée
statistique Bayesienne.
P.S. / 2015-2016
37
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Indication : Pour chaque exercice, représenter la situation à l’aide d’un arbre en indiquant les
probabilités correspondantes sur chaque branche.
Exercice 65
Un patient arrive aux urgences pour un « mal de ventre ».
Le médecin essaie donc d’établir un diagnostic parmi plusieurs afin de choisir l’examen clinique
et le traitement le plus approprié pour guérir la douleur aiguë à l’abdomen de son patient.
On estime que 50% des patients ont une appendicite, 30% une perforation d’ulcère et 20% un autre
diagnostic. La probabilité que le patient ait comme signe, la fièvre ( ≥ 38,5D ) est respectivement
de 50% , 90% et 50% que l’on peut aussi estimer .
Supposons que le patient n’ait pas de fièvre. Le problème du médecin est celui de calculer la
probabilité que le patient ait un certain diagnostic sachant qu’il n’a de fièvre. On retiendra le
diagnostique qui à la plus grande probabilité.
Exercice 66
Dans un collège imaginaire, 20 % des garçons et 45 % des filles ont choisi l'option forte de
mathématiques. De plus, dans ce collège, il y a 60 % de filles. Si un élève est choisi au hasard dans
les cours de mathématiques fortes, déterminer la probabilité en % qu'il s'agisse d'une fille ?
Exercice 67
Une compagnie d’assurance répartit ses clients en trois classes R1 , R2 et R3 : les bons risques, les
risques moyens, et les mauvais risques. Les effectifs de ces trois classes représentent 20 % de la
population totale pour la classe R1 , 50 % pour la classe R2 , et 30 % pour la classe R3 .
Les statistiques indiquent que les probabilités d’avoir un accident au cours de l’année pour une
personne de l’une de ces trois classes sont respectivement de 5 % , 15 % et 30 % .
a) Quelle est la probabilité (en %) qu’une personne choisie au hasard dans la population ait un
accident dans l’année ?
b) Si M. Dupont a eu un accident cette année, quelle est la probabilité en % qu’il soit un
bon risque ?
c) Si M. Martin n’a pas eu d’accident cette année, quelle est la probabilité en % qu’il soit un
bon risque ?
Exercice 68
Une usine fabrique des pièces, avec une proportion de 5 % de pièces défectueuses.
Le contrôle des fabrications est tel que :
- si la pièce est bonne, elle est acceptée avec la probabilité de 96 % .
- si la pièce est mauvaise, elle est refusée avec la probabilité de 98 % .
On choisit une pièce au hasard et on la contrôle. Quelle est la probabilité :
a) qu’il y ait une erreur de contrôle ?
b) qu’une pièce soit mauvaise sachant qu’elle a été acceptée ?
P.S. / 2015-2016
38
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Exercice 69 * (tests de dépistage)
Un laboratoire pharmaceutique propose des tests de dépistage de diverses maladies.
Son service de communication met en avant les caractéristiques suivantes :
- la probabilité qu'une personne malade M présente un test positif T est de 99 % ;
- la probabilité qu'une personne saine M présente un test positif T est de 0,1%.
a) Pour une maladie qui vient d'apparaître, le laboratoire élabore un nouveau test.
Une étude statistique permet d'estimer que le pourcentage de personnes malades M
parmi la population d'une métropole est égal à 0,1 %. On choisit au hasard une personne
dans cette population et on lui fait subir le test.
On note M l'événement « la personne choisie est malade » et l'événement T « le test est positif ».
a.1) Traduire l'énoncé sous la forme d'un arbre.
a.2) Démontrer que la probabilité P( T ) de l'évènement T est égale à 1,989 ⋅ 10 −3 .
a.3) L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ? Justifier la réponse.
Affirmation: « Si le test est positif, il y a moins d'une chance sur deux que la personne
soit malade ».
b) Le laboratoire décide de commercialiser un test dès lors que la probabilité qu'une personne
testée positivement soit malade est supérieure ou égale à 95 %. On désigne par x la proportion
de personnes atteintes d'une certaine maladie dans la population.
À partir de quelle valeur de x le laboratoire commercialise t’il le test correspondant ?
P.S. / 2015-2016
39
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Exercice 70 *
Le problème de Monty Hall est un casse-tête probabiliste librement inspiré du jeu télévisé
américain Let's Make a Deal. Il est simple dans son énoncé mais non intuitif dans sa résolution et
c'est pourquoi on parle parfois à son sujet de paradoxe de Monty Hall. Il porte le nom de celui qui a
présenté ce jeu aux États-Unis pendant treize ans, Monty Hall.
Voici son énoncé :
John vient de gagner la finale d’un jeu télévisé. En guise de récompense, l’animateur du jeu lui
présente 3 portes et l’informe que derrière l’une d’entre elles est parquée une voiture de luxe qu’il
pourra emporter s’il ouvre la bonne porte. Il lui demande d’en désigner une sans l’ouvrir.
L’animateur ouvre alors l’une des 2 autres portes derrière laquelle il sait qu’il n’y a pas la voiture.
John se retrouve donc en face de 2 portes fermées, celle qu’il a choisie et une autre. L’animateur lui
propose alors d’ouvrir l’une des 2 portes, soit celle qu’il avait choisie initialement, soit de changer
d’avis et d’ouvrir l’autre.
John choisit de maintenir son choix et d’ouvrir la porte qu’il avait désignée initialement.
A-t-il raison ? N’aurait-il pas augmenté ses chances de gagner la voiture en changeant de choix ?
Vous pouvez réfléchir ou faire quelques parties avec un comparse qui jouera le rôle de l’animateur.
Remarque :
Ce problème est peut-être le casse-tête probabiliste le plus célèbre du 20e siècle.
Mis en lumière dans les années 90, il a valu à son auteur plus de 10’000 lettres de critiques, y
compris de la part de professeurs d’université. Certains prétendaient que quelle que soit la solution
choisie par le candidat, il gardait 1 chance sur 3 de gagner la voiture, d’autres que ses chances de
gain étaient dans les deux cas de 1 sur 2.
P.S. / 2015-2016
40
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
3.2.7 Evénements indépendants
Imaginons que le fait de savoir qu’un événement A s’est produit n’a aucune influence sur la
probabilité d’un autre événement B . Autrement dit : P(B A) = P(B)
On en déduit que P( B A ) =
Mais alors P( A B ) =
P( A ∩ B )
= P( B ) d’où P( A ∩ B ) = P( A ) ⋅ P( B )
P( A )
P( A ∩ B ) P( A ) ⋅ P( B )
=
= P( A )
P( B )
P( B )
En d’autres termes, si B ne dépend pas de A, A ne dépend pas non plus de B.
Définition
On dit que deux événements A et B d’un univers Ω sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B)
Dans le cas contraire on dit qu’ils sont dépendants.
Exemples (Épreuves successives indépendantes)
a) Soit deux jets successifs d’une pièce de monnaie. Ω = {( p; p ) ; ( p; f ) ; ( f ; p ) ; ( f ; f )}
{( p; p ) ; ( p; f )}
B = « face au deuxième jet » = {( p; f ) ; ( f ; f )}
Soit les événements
A = « pile au premier jet » =
A ∩ B = « pile au premier jet et face au deuxième jet » =
P( A ) =
On a
1
2
P( B ) =
1
2
P( A ∩ B ) =
et
{( p; f )}
1
4
Ces probabilités vérifiant l’égalité P( A ∩ B ) = P( A ) ⋅ P( B ) , A et B sont des événements
indépendants. Attention, A et B ne sont pas incompatibles, c’est-à-dire A ∩ B ≠ ∅ .
Remarque : L'indépendance en probabilité des événements A et B est ici tout à fait en accord avec
l'intuition ; la pièce n'a pas de « mémoire ».
b) Un joueur lance un dé à 6 faces, trois fois.
1/2
Cherchons la probabilité qu'il obtienne un nombre pair à chaque lancer.
Soit les événements :
1/2
p1 = « nombre pair au premier lancer »
p2 = « nombre pair au deuxième lancer »
1/2
1/2
{
p2
p1
1/2
p3
i3
i2
p3 = « nombre pair au troisième lancer »
p1 ∩ p2 ∩ p3 = « nombre pair à chaque lancer »
1/2
p2
1/2
On a P ( p1 ) =
{
i1
1
1
1
, P ( p2 ) = , P ( p3 ) =
2
2
2
1/2
i2
3
1
⎛1⎞
(Evénements indépendants)
P ( p1 ∩ p2 ∩ p3 ) = P( p1 ) ⋅ P( p2 ) ⋅ P( p3 ) = ⎜ ⎟ =
⎝2⎠ 8
P.S. / 2015-2016
41
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Indication : Utiliser si nécessaire un arbre.
Exercice 71
Une première urne contient 4 boules blanches et 4 boules noires ; une seconde contient 3 boules
blanches et 6 boules noires ; enfin une troisième contient 1 boule blanche et 5 boules noires.
Si M. Martin tire une boule de chaque urne, quelle est la probabilité que toutes soient blanches.
Exercice 72
Un joueur lance un dé à 6 faces, trois fois. Trouver la probabilité :
a) qu'il obtienne un nombre impair à chaque lancer.
b) qu'il obtienne une seule fois un nombre impair.
c) que la somme des trois lancers soit paire.
Exercice 73 (Introduction à la loi binomiale)
Une pièce de monnaie dissymétrique présente en moyenne 5 fois le côté pile pour 4 fois le côté
face.
Quelle probabilité y a-t-il en lançant la pièce trois fois de suite d'obtenir :
a) 3 fois pile.
b) 2 fois pile.
c) plus de piles que de faces ?
d) plus de faces que de piles ?
Exercice 74 (Introduction à la loi binomiale)
a) Si la probabilité qu’un garçon naisse est de 4/10 et celle d'une fille de 6/10,
déterminer la probabilité qu'une famille de 3 enfants soit constituée de :
i) 3 filles
ii) 2 filles
iii) 1 fille
iv) 0 filles
b) Si la probabilité qu’un garçon naisse est de 4/10 et celle d'une fille de 6/10,
déterminer la probabilité qu'une famille de 4 enfants soit constituée de :
i) 4 filles
ii) 3 filles
iii) 2 filles
iv) 1 fille
v) 0 filles
c) Si la probabilité qu’une fille naisse est de p et celle d’un garçon de 1-p, trouver une formule
qui donne la probabilité qu'une famille de n enfants soit constituée de k filles ? ( 0 ≤ k ≤ n )
Indication : La représentation par arbre de classement est la bienvenue !
P.S. / 2015-2016
42
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
3.2.8 La loi binomiale
Considérons une situation où chaque épreuve ne possède que deux issues possibles et que le résultat
d’une épreuve n’influence pas la suivante (épreuves successives indépendantes).
Alors la probabilité d’obtenir k succès lors de n épreuves est donnée par :
B(k;n;p) = Cnk ⋅ p k ⋅ ( 1 − p )
n−k
avec n = nombre de répétitions de l’épreuve
k = nombre de succès parmi les n épreuves (0 ≤ k ≤ n)
p = probabilité de succès (S) lors d’une épreuve
q = 1 − p = probabilité d’échec (E) lors d’une épreuve
Exemples
S
a) Avec n = 3 :
S
p
p
q
p
q
E
p
q
q
p
S
q
E
q
p
E
p
q
S
p ⋅ p ⋅ p = p 3 ⋅ q0
E
p ⋅ p ⋅ q = p 2 ⋅ q1
S
p ⋅ q ⋅ p = p 2 ⋅ q1
E
p ⋅ q ⋅ q = p1 ⋅ q 2
S
q ⋅ p ⋅ p = p 2 ⋅ q1
E
q ⋅ p ⋅ q = p1 ⋅ q 2
S
q ⋅ q ⋅ p = p1 ⋅ q 2
E
q ⋅ q ⋅ q = p0 ⋅ q3
k = 0 → p0 ⋅ q3 = 1 ⋅ p0 ⋅ q 3−0 = C03 ⋅ p0 ⋅ ( 1 − p )3−0 = B( 0;3; p )
k = 1 → 3 ⋅ p1 ⋅ q 2 = 3 ⋅ p1 ⋅ q3−1 = C13 ⋅ p1 ⋅ ( 1 − p )3−1 = B( 1;3; p )
k = 2 → 3 ⋅ p 2 ⋅ q1 = 3 ⋅ p 2 ⋅ q3−2 = C23 ⋅ p 2 ⋅ ( 1 − p )3−2 = B( 2;3; p )
k = 3 → p 3 ⋅ q0 = 1 ⋅ p 3 ⋅ q3−3 = C33 ⋅ p 3 ⋅ ( 1 − p )3−3 = B( 3;3; p )
b) Quelle est la probabilité d’obtenir 7 piles en lançant 10 fois une pièce de monnaie ?
7
3
1⎞
⎛
⎛1⎞ ⎛1⎞
⇒ B ⎜ 7;10; ⎟ = C710 ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ≅ 11,7%
2⎠
⎝
⎝2⎠ ⎝2⎠
1
1 1
k = 7 ; n = 10 ; p = ; q = 1 − =
2
2 2
c) Quelle est la probabilité d’obtenir deux fois la face 6 en jetant 5 fois un dé ?
1⎞
⎛
⎛1⎞
⇒ B ⎜ 2;5; ⎟ = C25 ⋅ ⎜ ⎟
6⎠
⎝
⎝6 ⎠
1
1 5
k=2 ; n=5; p=
; q = 1− =
6
6 6
P.S. / 2015-2016
43
2
3
⎛5⎞
⋅ ⎜ ⎟ ≅ 16 ,1%
⎝6 ⎠
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Indication : Utiliser la formule de la loi binomiale sans faire d’arbres.
Exercice 75
Une pièce bien équilibrée est lancée 6 fois :
a) Quelle est la probabilité « d'avoir exactement 2 piles »?
b) Quelle est la probabilité « d'avoir au moins 4 piles »?
c) Quelle est la probabilité « d'avoir au moins 1 pile » ?
Exercice 76
Un dé à 6 faces bien équilibré est lancé 5 fois.
a) Quelle est la probabilité que n'apparaissent que des chiffres plus petit que 3 exactement 3 fois ?
b) Quelle est la probabilité que n'apparaissent que des chiffres plus grands que 2 ?
Exercice 77
Une urne contient 2 boules blanches et 3 noires. Monsieur Dupont tire 5 boules successivement en
replaçant chaque boule après l'avoir tirée.
Déterminer la probabilité en % :
a) que les 4 premières boules tirées soient blanches et la dernière soit noire.
b) qu'exactement 4 boules soient blanches.
c) qu'au moins 4 boules soient blanches.
d) qu'au moins 1 boule soit blanche.
Exercice 78
Un centre de transfusion a établi le tableau suivant donnant la répartition des principaux groupes
sanguins de ses donneurs:
O
A
B
AB
Rhésus +
37 %
38,1 %
6,2 %
2,8 %
Rhésus -
7%
7,2 %
1,2 %
0,5 %
a) Quelle est la probabilité qu'un donneur pris au hasard soit A + ?
b) Quelle est la probabilité qu'un donneur pris au hasard soit O ?
c) Quelle est la probabilité que, dans un groupe de 10 donneurs aucun ne soit O - ?
d) Quelle est la probabilité que, dans un groupe de 10 donneurs quatre soient A+ ?
e) Si on convoque dix donneurs, quelle est la probabilité d'avoir au moins les trois donneurs O+
nécessaires à une opération ?
P.S. / 2015-2016
44
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
3.2.9 Variables aléatoires discrètes
Définition
Dans de nombreuses expériences aléatoires, nous sommes amenés à attacher un nombre réel à
chaque issue de l'univers Ω.
Une telle application X de Ω vers
est appelée variable aléatoire.
Exemple 1
On jette une pièce de monnaie deux fois de suite.
L'univers est : Ω = {( p; p ) ,( p; f ) ,( f ; p ) ,( f ; f )}
Notons X la variable aléatoire indiquant le nombre de « faces » obtenues.
⎧( p ; p )
⎪( p ; f )
⎪
X :⎨
⎪( f ; p )
⎪⎩( f ; f )
→
→
→
→
0
1
1
2
X peut prendre diverses valeurs : il s'agit donc bien d'une variable.
Comme la valeur que prend X dépend de l'issue réalisée donc du hasard, X est donc aléatoire.
Exemple 2
Une urne contient trois boules numérotées 2 ; 3 et 5.
On tire successivement avec remises deux boules de cette urne.
L'univers est : Ω = {( 2;2 ) ,( 2;3 ) ,( 2;5 ) ,( 3;2 ) ,( 3;3 ) ,( 3;5 ) ,( 5;2 ) ,( 5;3 ) ,( 5;5 )} .
Notons Y la variable aléatoire indiquant la somme des points obtenus.
Y :
( j ; k)
→ j+k
Exemple 3
La loi binomiale avec Z comme variable aléatoire indiquant le nombre de succès.
Définition
On dit qu'une variable aléatoire est discrète si elle ne peut prendre qu'un nombre fini ou
dénombrable de valeurs.
Par exemple, les variables aléatoires définies dans les exemples précédents sont discrètes :
X ne peut prendre que trois valeurs, 0 ; 1 ou 2,
Y ne peut prendre que six valeurs, 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ou 10.
Z ne peut prendre que n+1 valeurs, 0 ;1 ; 2 ; 3 ; ... ; k ; ..... ; n − 1 ; n .
P.S. / 2015-2016
45
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Loi de probabilité ou distribution de probabilité
Considérons Ω l'univers attaché à une expérience aléatoire et X une variable aléatoire pouvant
prendre un nombre fini de valeurs.
Si à chacune de ces valeurs nous associons la probabilité de l'événement correspondant, nous
obtenons alors la loi de probabilité ou la distribution de probabilité de la variable aléatoire X.
Notations
La variable X peut prendre les valeurs x1 ; x2 ;.....; xk ;.....; xn-1 ; xn .
On note pk = P ( X = xk ) la probabilité que X prenne la valeur xn .
Ces valeurs peuvent être présentées dans un tableau appelé tableau de distribution de X :
X
x1
x2
...
xn
P
p1
p2
...
pn
Exemple 1
Reprenons la variable X indiquant le nombre de « faces » obtenues après avoir lancé une pièce
deux fois de suite. Le tableau de distribution de X est :
X
0
1
2
P
1
4
2
4
1
4
Exemple 2
Reprenons la variable aléatoire Y indiquant la somme des points obtenus après deux tirages avec
remise. Le tableau de distribution de Y est :
Y
4
5
6
7
8
10
P
1
9
2
9
1
9
2
9
2
9
1
9
Remarques
n
1) Dans un tableau de distribution,
∑p
i =1
i
= 1 . Autrement dit : p1 + p2 + ... + pn = 1 .
2) Il est possible de visualiser ces distributions à l'aide de diagrammes en bâtons.
Variable Y
60
30
40
20
%
%
Variable X
20
0
0
0
P.S. / 2015-2016
10
1
4
2
46
5
6
7
8 10
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
3.2.10 Moyenne ou espérance mathématique
« Les dés honnêtes et les autres » :
On lance un dé une fois.
Notons X la variable aléatoire indiquant le nombre de points affiché par le dé.
X
1
2
3
1
1
1
6
6
6
Une telle distribution est dite uniforme.
P
4
5
6
1
6
1
6
1
6
Considérons maintenant un dé pipé, c'est-à-dire déséquilibré dans le but de faire apparaître certaines
faces plus souvent que d'autres.
Notons Y la variable aléatoire indiquant le nombre de points affiché par ce nouveau dé et
supposons que la distribution de Y soit donnée par le tableau ci-dessous.
Y
1
2
3
4
5
6
P
2
18
2
18
3
18
3
18
4
18
4
18
Question
En lançant un très grand nombre de fois l'un ou l'autre de ces dés, quelle sera en moyenne
le nombre de points obtenus ?
• Commençons avec le dé équilibré.
En lançant N fois ce dé, nous devrions obtenir théoriquement : N/6 fois le 1
N/6 fois le 2
...
N/6 fois le 6
N
N
N
N
N
N
⋅1 + ⋅ 2 + ⋅ 3 + ⋅ 4 + ⋅5 + ⋅6
7
6
6
6
6
6
La moyenne des points serait donc : m X = 6
= = 3,5 .
N
2
• En utilisant le dé pipé, cette moyenne serait alors :
mY =
N
2
2
3
3
4
4
⋅1+ N
⋅2+ N
⋅3 + N
⋅4 + N
⋅5 + N
⋅6
18
18
18
18
18
18 = 71 ≅ 3,94 .
N
18
En moyenne, nous pouvons nous attendre à obtenir environ 0,44 points de plus avec le dé pipé
qu'avec le dé équilibré.
Remarque Ces moyennes ne dépendent pas du nombre N de lancers.
P.S. / 2015-2016
47
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Définition
Considérons X une variable aléatoire pouvant prendre les valeurs x1 ; x2 ; ... ; xn
avec des probabilités respectives p1 ; p2 ; ... ; pn .
L'espérance mathématique de X est : E( X ) = p1 x1 + p2 x2 + ... + pn xn =
n
∑p x
i=1
i
i
E(X) se note parfois μ lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté.
Remarque
Il est possible de compléter le tableau de distribution de X pour y faire figurer l'espérance
mathématique.
Pour le dé équilibré :
Σ (somme)
1
2
3
4
5
6
1
6
1
6
1
6
2
6
1
6
1
6
1
6
3
6
4
6
5
6
1
6
6
6
21
= 3,5 = μ
6
Y
1
2
3
4
5
6
Σ (somme)
P
2
18
2
18
3
18
3
18
4
18
4
18
1
P⋅Y
2
18
4
18
9
18
12
18
20
18
24
18
71
≅ 3,94 = μ
18
X
P
P⋅X
1
Pour le dé pipé :
P.S. / 2015-2016
48
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
3.2.11 Variance et écart-type
Considérons trois variables aléatoires dont les distributions sont représentées ci-dessous.
Variable X
20
20
10
%
20
%
%
Variable Z
Variable Y
30
0
0
0
1
2
3
4
5
1
6
2
3
4
5
1
6
2
3
4
5
X
1
2
3
4
5
6
∑
P
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
P⋅X
1
6
2
6
3
6
4
6
5
6
6
6
21
= 3,5 = μ
6
Y
1
2
3
4
5
6
∑
P
5
20
4
20
1
20
1
20
4
20
5
20
1
P⋅Y
5
20
8
20
3
20
4
20
20
20
30
20
70
= 3,5 = μ
20
Z
1
2
3
4
5
6
∑
P
1
20
4
20
5
20
5
20
4
20
1
20
1
P⋅Z
1
20
8
20
15
20
20
20
20
20
6
20
70
= 3,5 = μ
20
6
Malgré des distributions différentes, ces trois variables aléatoires ont la même espérance
mathématique. Nous remarquons cependant que la distribution de Z est la plus regroupée autour de
la moyenne.
Il est possible de quantifier les différences entre ces distributions, par exemple en calculant la
probabilité que ces variables prennent une valeur proche de 3,5. (moyenne ou espérance)
Par exemple, la probabilité que la variable prenne une valeur située entre 3 et 4 est :
2
≅ 33,33 %
6
2
P(3 ≤ Y ≤ 4) = P(Y = 3) + P(Y = 4) =
= 10 %
20
10
P (3 ≤ Z ≤ 4) = P(Z = 3) + P(Z = 4) =
= 50 %
20
P(3 ≤ X ≤ 4) = P(X = 3) + P(X = 4) =
P.S. / 2015-2016
49
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
La variance et l'écart-type sont deux mesures du degré de dispersion des distributions.
Ce degré de dispersion n'est pas toujours très visible dans un diagramme ou un tableau.
Définitions
• La variance de X, notée V(X) est, en notant μ = E(X) :
n
V ( X ) = p1 ( x1 − μ )2 + p2 ( x2 − μ )2 + ... + pn ( xn − μ )2 = ∑ p i ( xi − μ )2
i=1
• L'écart-type de X, noté σ(X) est :
σ( X ) =
V( X )
(même unité que X)
Remarque
Il serait aussi possible de mesurer le degré de dispersion en remplaçant ( xi – μ )2 par | xi − μ |
dans la formule de la variance. Ce choix à été fait pour des raisons théoriques essentiellement.
Activité 1
Calculer la variance et l'écart-type des variables X, Y et Z définies à la page précédente.
• E( X ) =
• V(X) =
• σ (X) =
_______________________________________________________________________________
• E( Y ) =
• V( Y ) =
• σ(Y ) =
_______________________________________________________________________________
• E( Z ) =
• V( Z ) =
• σ( Z ) =
Remarque
Plus l’écart-type est « grand », plus la distribution est « éloignée » de la moyenne.
Plus l’écart-type est « petit », plus la distribution est « proche » de la moyenne.
P.S. / 2015-2016
50
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Proposition
La variance de X, notée V(X) peut se calculer, en notant μ = E(X) :
V ( X ) = p1 x12 + p2 x22 + ..... + pn xn2 − μ 2 =
n
∑p x
i=1
i
2
i
− μ 2 = E( X 2 ) − μ 2
Démonstration
n
∑p (x −μ)
V(X) =
i =1
i
n
=
∑ p (x
i =1
∑( p x
2
i i
i =1
n
=
∑p x
i =1
n
=
2
i
i
n
=
2
i i
∑p x
i =1
2
Définition de V(X)
i
2
i i
− 2xi μ + μ 2 )
Identité remarquable
− 2 μ p i xi + μ 2 p i )
Distributivité
n
n
i =1
i =1
− 2 μ ∑ p i xi + μ 2 ∑ p i
n
− 2 μ ∑ p i xi + μ
i =1
2
n
∑p
i =1
=
∑p x
i =1
2
i i
− 2μ 2 + μ 2=
n
∑p
Définition de E ( X ) = μ et
i
i =1
i
=1
=1
=μ
n
Propriétés des sommes
n
∑p x
i =1
2
i i
− μ2
Algèbre
= E( X 2 ) − μ 2
Notation
Exemple
Calculons la variance et l'écart-type de la variable X définie à la page précédente.
Pour des raisons pratiques, nous ajouterons encore une ligne au tableau des distributions.
X
1
2
3
4
5
6
∑
P
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
P ⋅X
1
6
2
6
3
6
4
6
5
6
6
6
21
= 3,5
6
P ⋅X2
1
6
4
6
9
6
16
6
25
6
36
6
91
6
σ( X ) =
105
≅ 1,71
36
Nous obtenons alors : E(X) =
21
= 3,5
6
2
91 ⎛ 21 ⎞
105
V(X) =
−⎜ ⎟ =
≅ 2,92
6 ⎝6 ⎠
36
P.S. / 2015-2016
51
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Exercice 79
On jette une pièce de monnaie trois fois.
a) Décrire l'univers Ω .
b) Décrire la variable aléatoire Y associant à chaque évènement de Ω, « le nombre de faces
moins le nombre de piles ».
c) Etablir la distribution de probabilité de Y et le diagramme en bâton correspondant.
d) Déterminer l'espérance mathématique, la variance et l’écart-type de Y.
Exercice 80
On jette 6 fois une pièce de monnaie. Si X représente « le nombre de piles » obtenu :
a) Établir la distribution de probabilité de X et le diagramme en bâton correspondant.
b) Déterminer l'espérance mathématique, la variance et l’écart-type de X.
Exercice 81
Au lieu de corriger les travaux de ses élèves, un professeur décide de mettre les notes de la façon
suivante. Pour chaque travail, il lance deux dés à 6 faces et retient, comme note pour le travail,
le plus petit des deux nombres indiqués par les dés.
a) A quelle « moyenne » de classe ce professeur ( imaginaire bien sûr ! ) peut-il s'attendre ?
b) Quel sera probablement le pourcentage de notes insuffisantes ?
c) Quelle serait la moyenne de classe s'il retenait le plus grand des deux nombres indiqués par
les dés ?
Exercice 82
Un échantillon de 3 objets est choisi au hasard d'une boîte contenant 12 objets parmi lesquels 3 sont
défectueux. Si X détermine le nombre d’objets défectueux :
a) Établir la distribution de probabilité de X et un diagramme en bâton .
b) Déterminer l'espérance mathématique X.
Exercice 83
Une boîte contient 4 ampoules dont deux sont défectueuses. Les ampoules sont testées
les unes après les autres jusqu'à ce que les 2 ampoules défectueuses soit trouvées.
On ne remet pas dans la même boîte une ampoule testée (sans remise).
Soit X la variable aléatoire qui représente le nombre de test nécessaire pour obtenir les deux
ampoules défectueuses.
a) Calculer l'espérance mathématique de X.
b) Si une personne met 5 secondes pour faire le test d’une ampoule et qu’il vérifie 200 boîtes,
combien de temps en minutes aura-t-il peut-être besoin pour obtenir toutes les ampoules
défectueuses ?
P.S. / 2015-2016
52
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Exercice 84
Une revue professionnelle est proposée en deux versions : une édition papier et une édition
électronique consultable via internet. Il est possible de s’abonner à une seule des deux éditions ou
de s’abonner à l’édition papier et à l’édition électronique. L’éditeur de la revue a chargé un centre
d’appel de démarcher les personnes figurant sur une liste de lecteurs potentiels.
On admet que lorsqu’un lecteur potentiel est contacté par un employé du centre d’appel, la
probabilité qu’il s’abonne à l’édition papier est égale à 0, 2 ; s’il s’abonne à l’édition papier, la
probabilité qu’il s’abonne aussi à l’édition électronique est égale à 0, 4 ; s’il ne s’abonne pas à
l’édition papier, la probabilité qu’il s’abonne à l’édition électronique est égale à 0, 1.
Partie I
Une personne figurant sur la liste de lecteurs potentiels est contactée par un employé du centre
d’appel. On note :
• A l’évènement « la personne s’abonne à l’édition papier »,
• B l’évènement « la personne s’abonne à l’édition électronique »,
a) Faire un arbre récapitulant cette situation.
b) i) Calculer la probabilité que la personne contactée s’abonne à l’édition papier et à l’édition
électronique.
ii) Justifier que la probabilité de l’évènement B est égale à 0, 16.
Partie II
Pour chacune des personnes contactées, le centre d’appel reçoit de l’éditeur de la revue :
• 2 euros si la personne ne s’abonne à aucune des deux éditions ;
• 10 euros si la personne s’abonne uniquement à l’édition électronique ;
• 15 euros si la personne s’abonne uniquement à l’édition papier ;
• 20 euros si la personne s’abonne aux deux éditions.
c) Compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la somme reçue par le centre
d’appel pour une personne contactée.
Somme reçue en euro
Probabilité
2
10
15
20
d) Proposer, en expliquant votre démarche, une estimation de la somme que le centre d’appel
recevra de l’éditeur s’il parvient à contacter 5000 lecteurs potentiels.
P.S. / 2015-2016
53
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Exercice 85
Dans une salle de jeux un appareil comporte 4 roues, chacune portant à sa périphérie 8 images de
fruits différents : ananas, bananes, cerises, dattes, fraises, groseilles, poires et raisins.
Une mise de 1 euro déclenche le fonctionnement de l'appareil pour une partie. Chacune des 4 roues
affiche au hasard dans une fenêtre un de ces 8 fruits. On admettra l’équiprobabilité de tous les
affichages.
a) Calculer la probabilité des évènements suivants :
E = « On obtient 4 fruits identiques »
F = « On obtient 3 fruits identiques »
G = « On obtient 4 fruits distincts »
b) Certains résultats permettent de gagner de l'argent : 50 euros pour 4 fruits identiques, 5 euros
pour 3 fruits identiques, 1 euro pour 4 fruits distincts et rien pour les autres résultats.
Soit X la variable aléatoire qui à chaque résultat associe le gain du joueur.
b.1) Quelle est la probabilité de l'évènement H = « obtenir un gain nul » ?
b.2) Déterminer et interpréter l'espérance mathématique de X .
b.3) Ce jeu est-il vraiment « équitable » ? Quel critère définit si un jeu est équitable ou non ?
Exercice 86
Sur la Plaine de Plainpalais, un forain propose le jeu suivant, pour 10 francs la partie :
dix enveloppes sont placées dans une corbeille, dont une contient un carton vert, deux contiennent
un carton rouge et sept contiennent un carton blanc.
Le jeu consiste, après versement des 10 francs, à choisir une enveloppe au hasard dans la corbeille,
à l'ouvrir et à regarder la couleur du carton.
Un carton vert donne droit à un gros lot, un carton rouge donne droit à un lot simple et un carton
blanc
donne droit à un lot de consolation.
Les lots simples reviennent à 8 francs au forain, alors que les lots de consolation ne lui reviennent
qu'à 3 francs.
Soit X la variable aléatoire égale au bénéfice du forain sur une partie.
Quel est le prix maximal auquel le forain peut acheter ses gros lots, s'il désire gagner en moyenne au
moins 4 francs par partie ?
P.S. / 2015-2016
54
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
3.2.12 Cas particulier de la loi binomiale
Considérons une série de n épreuves successives indépendantes.
Pour chacune de ces n épreuves, nous avons deux possibilités : soit l'événement A se réalise avec
une probabilité p, soit l'événement A ne se réalise pas avec un probabilité de 1 − p .
Notons X la variable aléatoire indiquant le nombre k de réalisations de l'événement A dans la
série de n épreuves.
Nous savons que X suit une loi binomiale : X ∼ B ( n; p )
avec 0 ≤ k ≤ n
Question Quelle est l'espérance mathématique, la variance et l’écart-type d’une variable
aléatoire X qui suit une loi binomiale ?
Exemple
Dans une famille de n = 4 enfants, on admet que la probabilité d’avoir un garçon est de p =
1
.
2
Si X représente le nombre de garçons parmi les 4 enfants alors on a :
0
4
1⎞
⎛
⎛1⎞ ⎛1⎞
P( X = 0 ) = B ⎜ 0;4; ⎟ = C04 ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = 0,0625
2⎠
⎝
⎝2⎠ ⎝2⎠
1
2
⎛1⎞
⋅ ⎜ ⎟ = 0,375
⎝2⎠
3
⎛1⎞
⋅ ⎜ ⎟ = 0,25
⎝2⎠
1⎞
⎛
⎛1⎞
P( X = 2 ) = B ⎜ 2;4; ⎟ = C24 ⋅ ⎜ ⎟
2⎠
⎝
⎝2⎠
1⎞
⎛
⎛1⎞
P( X = 3 ) = B ⎜ 3;4; ⎟ = C34 ⋅ ⎜ ⎟
2⎠
⎝
⎝2⎠
3
⎛1⎞
⋅ ⎜ ⎟ = 0,25
⎝2⎠
1⎞
⎛
⎛1⎞
P( X = 4 ) = B ⎜ 4;4; ⎟ = C44 ⋅ ⎜ ⎟
2⎠
⎝
⎝2⎠
4
40
30
2
P en %
1⎞
⎛
⎛1⎞
P( X = 1 ) = B ⎜ 1;4; ⎟ = C14 ⋅ ⎜ ⎟
2⎠
⎝
⎝2⎠
1
20
10
0
0
0
⎛1⎞
⋅ ⎜ ⎟ = 0,0625
⎝2⎠
1
2
3
4
X
Remarque : X suit une loi binomiale et le diagramme à une forme de « cloche symétrique ».
X
0
1
2
3
4
∑
P
0,0625
0,25
0,375
0,25
0,0625
1
P ⋅X
0
0,25
0,75
0,75
0,25
2
P ⋅X2
0
0,25
1,5
2,25
1
5
• E( X ) = 0,25 ⋅ 1 + 0,375 ⋅ 2 + 0,25 ⋅ 3 + 0,0625 ⋅ 4 = 2 garçons (axe de symétrie de la cloche)
• V ( X ) = (0,25 ⋅ 12 + 0,375 ⋅ 2 2 + 0,25 ⋅ 32 + 0,0625 ⋅ 4 2 ) − 2 2 = 1
• σ ( X ) = 1 = 1 garçon
Remarque
P.S. / 2015-2016
n
n
k =0
k =0
∑P(X = k) = ∑C
n
k
⋅ p k ⋅ ( 1 − p )n −k = 1
55
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Proposition
Dans le cas de la loi binomiale on a :
a ) E( X ) = n ⋅ p
b ) V ( X ) = n ⋅ p ⋅ ( 1 − p ) et σ ( X ) = n ⋅ p ⋅ ( 1 − p )
Vérification par rapport à l’exemple précédant :
1
1 1
E( X ) = 4 ⋅ = 2 , V ( X ) = 4 ⋅ ⋅ = 1 et σ ( X ) = 1 = 1
2
2 2
Démonstration *
Partie a) *
E( X ) =
n
∑k ⋅ P ( X = k ) =
k =0
=
n
∑k ⋅C
k =1
=
n
n
k
n
∑k ⋅C
k =0
n
k
⋅ p k ⋅ q n −k
⋅ p k ⋅ q n −k
n!
∑ k ⋅ k ! (n − k )! ⋅ p
Définition de E(X) avec q = 1 − p
Le premier terme de la somme vaut 0 .
k
⋅ q n −k
Définition des coefficients binomiaux .
k =1
( n − 1) ! ⋅ p k −1 ⋅ q n−k
k = 1 ( k − 1) ! ( n − k ) !
Simplification et mise en évidence .
( n − 1) !
n −1 − k −1
⋅ p k −1 ⋅ q ( ) ( )
k = 1 ( k − 1) ! ( ( n − 1) − ( k − 1) ) !
Changement d’écriture .
n
= np ∑
n
= np ∑
n
= np ∑ Ckn−−11 ⋅ p k −1 ⋅ q ( n −1)−( k −1)
Définition des coefficients binomiaux .
k =1
n −1
= np ∑ Crn −1 ⋅ p r ⋅ q( n −1)−r
Changement de variable : k − 1 = r .
r=0
n −1
∑P(X = k) = 1
= np ⋅ 1
k =0
= np
L’espérance mathématique d’une variable aléatoire qui suit une loi binomiale est égale au produit
de la probabilité de succès p par le nombre d’épreuves n , c’est-à-dire E( X ) = n ⋅ p
P.S. / 2015-2016
56
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Partie b) *
Calculons et simplifions d’abord E ( X 2 ) afin de calculer V ( X ) = E ( X 2 ) − ⎣⎡ E ( X )⎦⎤ .
2
E( X 2 ) =
n
∑k2 ⋅ P ( X = k ) =
k =0
=
n
∑k
2
⋅ Ckn ⋅ p k ⋅ q n −k
2
⋅
k=1
=
n
∑k
k=1
n
∑k
2
k=0
Définition de E ( X 2 ) .
⋅ Ckn ⋅ p k ⋅ q n −k
Le premier terme de la somme vaut 0 .
n!
⋅ p k ⋅ q n −k
k ! (n − k )!
Définition des coefficients binomiaux .
k ( n − 1) !
⋅ p k −1 ⋅ q n −k
k = 1 ( k − 1) ! ( n − k ) !
Simplification et mise en évidence .
k ⋅ ( n − 1) !
n −1 − k −1
⋅ p k −1 ⋅ q ( ) ( )
k = 1 ( k − 1) ! ( ( n − 1 ) − ( k − 1) ) !
Changement d’écriture .
n
= np ∑
n
= np ∑
n
= np ∑ k ⋅ Ckn−−11 ⋅ p k −1 ⋅ q ( n −1)−( k −1)
Définition des coefficients binomiaux .
k=1
n −1
= np ∑ ( r + 1) Crn −1 ⋅ p r ⋅ q( n −1)−r
Changement de variable : k -1 = r .
r=0
n −1
= np ∑ ⎡⎣ r ⋅ Crn −1 ⋅ p r ⋅ q( n −1)− r + Crn −1 ⋅ p r ⋅ q( n −1)− r ⎤⎦
Distributivité .
r=0
n −1
n −1
r=0
r=0
= np ∑ r ⋅ Crn −1 ⋅ p r ⋅ q( n −1)−r + np ∑ Crn −1 ⋅ p r ⋅ q( n −1)−r
= np ( n − 1) p + np
Propriétés des sommes .
Prop. partie a) et
n −1
∑P(X = k) = 1
.
k =0
= n 2 p 2 − np 2 + np
Algèbre .
D’où
V ( X ) = E ( X 2 ) − ⎡⎣ E ( X )⎤⎦ = n 2 p 2 − np 2 + np − [np ] = np − np 2 = np (1 − p )
2
2
La variance d’une variable aléatoire qui suit une loi binomiale est égale au produit
des probabilités de succès p et d’échec 1-p par le nombre d’épreuves n , c’est-à-dire
V ( X ) = n ⋅ p ⋅ (1 − p ) .
P.S. / 2015-2016
57
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Exercice 87
Un habitué des casinos joue régulièrement à la roulette.
Le cylindre de la roulette comporte 37 cases numérotées de 0 à 36 :
18 cases sont de couleur rouge, 18 cases sont de couleur noire,
et 1 case est de couleur verte pour le numéro zéro.
Chaque samedi, il mise 20 fois de suite sur le 7.
En moyenne, combien de fois par semaine ce joueur va-t-il gagner ?
Exercice 88
Un questionnaire de type QCM est composé de 24 questions.
Pour chacune de ces questions, trois réponses sont proposées dont une seule est la bonne.
En répondant au hasard à ce questionnaire, combien de bonnes réponses pouvons-nous espérer ?
Exercice 89
Une compagnie de transports désire optimiser les contrôles afin de limiter l’impact des fraudes et
les pertes occasionnées par cette pratique.
Cette compagnie effectue une étude basée sur deux trajets par jour pendant les 20 jours ouvrables
d’un mois, soit au total 40 trajets. On admet que les contrôles sont indépendants les uns des autres
et que la probabilité pour tout voyageur d’être contrôlé est égale à p.
Le prix de chaque trajet est de 10 euros ; en cas de fraude, l’amende est de 100 euros. Claude fraude
systématiquement lors des 40 trajets soumis à cette étude.
Soit X la variable aléatoire qui correspond au nombre de fois où Claude est contrôlé durant l’étude.
a) Déterminer la loi de probabilité de X.
1
.
20
b.1) Calculer les probabilités suivantes : P ( X = 0 ) , P ( X = 1) et P ( X = 2 ) .
b) Pour cette partie on suppose que p =
b.2) Calculer la probabilité que Claude soit contrôlé au plus 2 fois.
c) Soit Z la variable aléatoire qui prend pour valeur le gain algébrique réalisé par le fraudeur.
Justifier l’égalité Z = 400 − 100 X , puis calculer l’espérance mathématique de Z pour p =
Remarque : E ( aX + b ) = a ⋅ E ( X ) + b
P.S. / 2015-2016
58
1
.
20
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
3.2.13 Variables aléatoires continues
Définition
Une variable aléatoire est dite continue lorsqu'elle peut prendre un nombre infini non
dénombrable de valeurs. Cela revient à dire qu'une telle variable peut prendre toutes
les valeurs d'un intervalle réel.
Exemple La "marmite" (course de l'escalade)
Notons X la variable indiquant le temps exact (en minutes) que met un concurrent choisi au hasard
pour terminer la course de l'escalade.
Si nous attribuons une probabilité non nulle à chacune de ces valeurs (il y en a une infinité), la
somme de toutes ces probabilités dépasserait 100 % .
Dans cette situation, nous avons des probabilités non nulles lorsqu'elles sont attribuées à des laps de
temps, par exemple lorsqu'elles sont de la forme P ( 20 ≤ X ≤ 30 ) .
De manière générale, ces calculs se font à l'aide de la notion de densité de probabilité.
Définition
La fonction f est appelée densité de probabilité attachée à la variable aléatoire X si elle vérifie
les conditions suivantes :
1) f ( x ) ≥ 0
+∞
∀x ∈
2)
∫
f ( x )dx = 1
3) P ( a ≤ X ≤ b ) =
−∞
b
∫ f ( x )dx
a
Illustration
f
0
a
b
X
Remarques
1) La probabilité que X prenne une valeur comprise entre a et b c’est-à-dire P ( a ≤ X ≤ b ) ,
correspond à l'aire du domaine hachuré.
2) L'aire totale sous f mesure 1. ( 100 % )
3) P ( X = a ) =
a
∫ f ( x )dx = 0
a
4) P ( X ≤ a ) + P ( X ≥ a ) = 1 ⇒ P ( X ≥ a ) = 1 − P ( X ≤ a )
5) P ( a ≤ X ≤ b ) = P ( X ≤ b ) − P ( X ≤ a )
P.S. / 2015-2016
59
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Exemple
M. Carrel reçoit chaque semaine son ami M. Schmid pour une partie d’échec, mais ce dernier n’est
pas très ponctuel. M Carrel a pu établir que le retard X (en minutes) de son ami est une variable
aléatoire continue qui peut être décrite par la fonction de densité :
y
⎧ 6
2
⎪ 3 ( 60x − x ) si 0 ≤ x ≤ 60
f ( x ) = ⎨ 60
⎪⎩ 0
sinon
0.0288
f
30
0
60
X
• Montrons que f est bien une fonction de densité.
i) f ( x ) ≥ 0
∞
ii)
∫
−∞
∀x ∈
60
60
60
6
6
6 ⎛ x2 x3 ⎞
f ( x )dx = ∫ 3 ( 60x − x 2 ) dx = 3 ∫ 60 x − x 2dx = 3 ⎜ 60 − ⎟ = 1
60
60 0
60 ⎝
2
3 ⎠0
0
• Combien de fois par année, M.Schmid a-t-il plus de trois quarts d’heure de retard ?
60
60
6
6 ⎛ x2 x3 ⎞
P( 45 ≤ X ≤ 60 ) = 3 ∫ 60 x − x 2dx = 3 ⎜ 60 − ⎟ = 0.15625 = 15.625%
60 45
60 ⎝
2
3 ⎠ 45
Donc 0.15625 ⋅ 52 ≅ 8 fois.
Symétrie
de f
• P (0 ≤ X ≤ 15 ) = P ( 45 ≤ X ≤ 60 ) = 0.15625 = 15.625%
• P (0 ≤ X ≤ 15 ) + P (15 ≤ X ≤ 45 ) + P ( 45 ≤ X ≤ 60 ) = 1
Symétrie
de f
⇔ P ( 15 ≤ X ≤ 45 ) = 1 − P (0 ≤ X ≤ 15 ) − P ( 45 ≤ X ≤ 60 ) = 1 − 2 ⋅ 0.15625 = 68,75 %
P.S. / 2015-2016
60
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Espérance mathématique, variance et écart-type
Par analogie avec le cas discret et en utilisant la définition de l’intégrale comme la limite d’une
somme, les définitions de l’espérance mathématique de la variance et de l’écart-type dans le cas
continu sont données par :
Si f est la densité de probabilité d'une variable aléatoire continue X, alors :
1) μ = E( X ) =
+∞
∫ x ⋅ f ( x )dx
( Espérance )
−∞
+∞
2) V ( X ) =
∫
f ( x ) ⋅ ( x − μ ) dx ( Variance )
2
−∞
3) σ (X) = V ( X )
( Ecart-type )
Remarque
( )
Dans ce cas aussi, on montre que la variance peut se calculer par la formule : V ( X ) = E X 2 − μ 2
+∞
En effet : V ( X ) =
∫
f ( x ) ⋅ ( x − μ ) dx =
+∞
+∞
2
−∞
=
∫
+∞
∫
f ( x ) ⋅ ( x 2 − 2xμ + μ 2 ) dx
−∞
f ( x ) ⋅ x dx − 2 μ ⋅
2
−∞
∫
+∞
f ( x ) ⋅ x dx + μ ⋅
2
−∞
= E ( X )= μ
+∞
=
∫
∫
f ( x )dx
−∞
+∞
f ( x ) ⋅ x 2dx − 2 μ 2 + μ 2 =
−∞
∫
=1
f ( x ) ⋅ x 2dx − μ 2 = E ( X 2 ) − μ 2
−∞
( )
E X2
Exemple
• Calculons le retard moyen de M.Schmid.
+∞
60
60
6
6 ⎛ x3 x4 ⎞
μ = E( X ) = ∫ x ⋅ f ( x )dx = ∫ x 3 ( 60 x − x 2 ) dx = 3 ⎜ 60 − ⎟ = 30
60
60 ⎝
3
4 ⎠0
−∞
0
• Calculons la variance et l’écart-type de M.Schmid.
V (X ) = E(X
2
)−μ
+∞
2
=
∫x
2
⋅ f ( x )dx − μ =
2
−∞
60
∫x
0
2
6
60x − x 2 ) dx − 30 2
3 (
60
60
=
6 ⎛ x4 x5 ⎞
60 − ⎟ − 30 2 = 180
3 ⎜
60 ⎝
4
5 ⎠0
σ ( X ) = V ( X ) = 180 ≅ 13,41 min .
P.S. / 2015-2016
61
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
La loi normale de Gauss
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) est l’un des mathématiciens les plus illustres que
l’Allemagne ait vu naître. Dès l’âge de 24 ans, il publia ses Disquisitiones arithmetcae,
un ouvrage considérable avec lequel il a fondé la théorie moderne des nombres. Gauss
gagna sa vie avec l’arpentage exact du Royaume de Hanovre qui lui prit 25 ans de
travail.
Définition
On dit que la variable aléatoire X suit une loi normale (de Gauss) de moyenne μ et d'écart-type σ
(σ > 0 )
si sa densité de probabilité est la fonction :
−
1
f( x)=
e
σ 2π
( x − μ )2
2σ 2
Illustration
f
μ
μ -σ
0
x
μ +σ
Remarques
1) Cette loi se note en général : X ∼ N ( μ ; σ ) .
+∞
2) f ( x ) > 0
∫
∀x ∈
f ( x )dx = 1
−∞
+∞
3) E( X ) =
∫ x ⋅ f ( x )dx = μ
−∞
+∞
;
V( X ) =
∫
f ( x ) ⋅ x 2dx − μ 2 = σ 2
;
σ( X ) = V( X ) = σ
−∞
4) La fonction f est symétrique par rapport à l'axe vertical passant par la moyenne μ.
5) Cette fonction est souvent appelée « courbe en cloche ».
6) La fonction f admet deux points d'inflexion (changement de courbure) en x = μ ± σ.
7) La fonction f est continue et possède donc des primitives mais il n'est pas possible d'exprimer
ces primitives sous forme analytique.
b
Cette dernière remarque signifie que pour calculer : P ( a ≤ X ≤ b ) = ∫ f ( x )dx
a
il faut calculer l'intégrale par des méthodes numériques d'approximations successives.
Les résultats de ces calculs se trouvent, en particulier, dans le formulaire C.R.M. pour la loi
N ( 0; 1) appelée loi normale centrée réduite.
8) La distribution normale (de Gauss) est la forme de distribution la plus importante en statistique,
car elle se présente naturellement dans l’étude de nombreux phénomènes.
P.S. / 2015-2016
62
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Exemples
⎛ 1⎞
N ⎜ 0; ⎟
⎝ 2⎠
N ( 0; 1)
0.9
0.8
0.7
0.6
N ( 0; 2 )
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
-6.4
-5.6
-4.8
-4
-3.2
-2.4
-1.6
-0.8
0
0.8
1.6
2.4
3.2
4
4.8
5.6
6.4
-6.8
-6
-5.2
-4.4
-3.6
-2.8
-2
-1.2
-0.4
0.4
1.2
2
2.8
3.6
4.4
5.2
6
6.8
La loi normale centrée réduite N(0;1)
Définition
On dit que la variable aléatoire X * suit une loi normale centrée réduite de moyenne μ = 0
2
1 − x2
e
2π
et d'écart-type σ = 1 si sa densité de probabilité est la fonction : f ( x ) =
Illustration
f
0
-1
x
1
Remarques
1) La loi normale centrée réduite se note N ( 0;1) .
Cette loi est un cas particulier de la loi normale N ( μ ;σ ) .
+∞
2) f ( x ) > 0
∫
∀x ∈
f ( x )dx = 1
−∞
+∞
3) E( X*) =
∫ x ⋅ f ( x )dx =
−∞
1
2π
+∞
V ( X*) =
∫
f ( x ) ⋅ x dx − μ =
2
2
−∞
∞
∫ xe
−
x2
2
−∞
1
2π
2
1 − x2
dx = −
e
2π
∞
∫e
−
x2
2
P .P .
⋅ x dx =
2
−∞
+∞
= 0 (= μ )
−∞
2
x
−
1
xe 2
2π
0
∞
1
−
2π
−∞
∞
∫e
−
x2
2
dx = 1 ( = σ 2 )
−∞
=1 car f densité
σ ( X*) = V ( X*) = 1 ( = σ ) .
4) La fonction f est symétrique par rapport à l'axe vertical passant par la moyenne μ = 0.
P.S. / 2015-2016
63
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Extrait du formulaire C.R.M. (édition 2000-2002)
Définition
Φ ( x ) = P ( X* ≤ x ) =
x
∫
1
2π
f ( t )dt =
−∞
0
a) La fonction Φ est strictement croissante sur
∫e
−
t2
2
dt
−∞
f
Φ( x )
Remarques
x
x
t
.
b) On lit les décimales dans les lignes, et les centièmes dans les colonnes.
Par exemple, la valeur de Φ (1,65 ) se trouve à l'intersection de la ligne 1.6 et de la colonne 0.05 ;
on trouve Φ (1,65 ) = 0,95053 .
P.S. / 2015-2016
64
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Utilisation de la table numérique avec la loi normale centrée réduite
Cette table donne les valeurs de P ( X* ≤ x ) notée Φ ( x ) pour "toutes" les valeurs positives de x.
CRM
Par exemple, P(X* ≤ 2,14) = Φ ( 2,14 ) = 0,98382 = 98,382 %
Nous pouvons ensuite en déduire que :
CRM
P(X* ≥ 2,14)= 1 − P(X* ≤ 2,14) =1 −Φ ( 2,14 ) = 1 − 0,98382 = 1,618 %
En utilisant la symétrie de la courbe en cloche, nous pouvons ensuite remarquer que la probabilité
que X * prenne des valeurs inférieures à – 2,14 est aussi de 1,618 %
SYM
CRM
car P(X* ≤ −2,14) = 1 − P(X* ≤ 2,14) =1 −Φ ( 2,14 ) = 1 − 0,98382 = 1,618 %
f
Φ( x )
-x
0
X*
x
Propriétés de Φ ( x )
a) P ( X* ≤ − x ) = Φ ( − x ) = 1 − Φ ( x )
b) P ( a ≤ X* ≤ b ) = Φ ( b ) − Φ ( a )
c) P ( − x ≤ X* ≤ x ) = 2Φ ( x ) − 1
Rappel Φ ( x ) = P ( X* ≤ x )
( aire grisée )
Explications
def . de Φ
a) Φ ( − x ) =
P ( X* ≤ − x )
sym. de f
=
def . de Φ
1 − P ( X* ≤ x ) = 1 − Φ ( x )
b) P ( a ≤ X* ≤ b ) = P ( X* ≤ b ) − P ( X* ≤ a ) = Φ ( b ) − Φ ( a )
(b)
(a)
b) P ( − x ≤ X* ≤ x ) = Φ ( x ) − Φ ( − x ) = Φ ( x ) − (1 − Φ ( x )) = 2Φ ( x ) − 1
Activité 2
Vérifier que si X* suit une loi normale centrée réduite, la probabilité P ( −1 ≤ X* ≤ 1)
est de 68,26 %.
P.S. / 2015-2016
65
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Exercice 90
Calculer les probabilités (en %) suivantes, sachant que X* suit la loi normale centrée réduite :
a) P (0 ≤ X* ≤ 1,2 )
b) P ( −0.68 ≤ X* ≤ 0 )
d) P ( X* ≤ −0.68 )
e) P ( X* ≥ −1,28 )
c) P ( −0,46 ≤ X* ≤ 2,21)
Exercice 91
On considère une variable aléatoire X * suivant la loi normale N (0;1) .
Déterminer t pour que :
a) P (0 ≤ X * ≤ t ) ≅ 0,4236
P.S. / 2015-2016
b) P ( X * ≤ t ) ≅ 0,0655
66
c) P ( t ≤ X * ≤ 2 ) ≅ 0,1
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Une propriété importante pour les lois normales
Proposition
Si la variable X suit une loi normale de moyenne μ et d'écart-type σ,
X −μ
alors la variable X* =
suit une loi normale centrée réduite.
σ
b−μ ⎞
⎛a−μ
⎛b−μ ⎞
⎛a−μ ⎞
Autrement dit : P ( a ≤ X ≤ b ) = P ⎜
≤ X* ≤
=Φ ⎜
−Φ ⎜
⎟
⎟
⎟
σ ⎠
⎝ σ
⎝ σ ⎠
⎝ σ ⎠
(La démonstration de cette proposition, sort du cadre de ce cours et ne sera donc pas exposée ici).
Illustration
y
N ( 0;1)
N ( μ ;σ )
a−μ
σ
0
b−μ
σ
x
b
a
Exemple
Supposons qu'en un endroit donné les températures du mois de juillet suivent une loi normale
de moyenne μ = 18,2° avec un écart-type de σ = 3,6°.
• Sous ces conditions, quelle est la probabilité que la température, un jour de juillet, soit comprise
entre 20° et 25° ?
Notons X la variable aléatoire indiquant la température en question.
Comme X suit une loi N ( 18,2 ;3,6 ) , nous savons que la variable X* =
suit une loi normale centrée et réduite N ( 0;1) .
X − 18,2
3,6
Nous avons donc, selon la proposition ci-dessus :
25 − 18,2 ⎞
⎛ 20 − 18,2
P ( 20 ≤ X ≤ 25 ) = P ⎜
≤ X* ≤
= P (0,5 ≤ X* ≤ 1,89 )
3,6 ⎟⎠
⎝ 3,6
(b)
CRM
= Φ ( 1,89 ) − Φ ( 0,5 ) = 0,97062 − 0,69146 = 27,916 %
• Comment calculer la probabilité que cette même température soit inférieure à 15° ?
En utilisant la proposition ci-dessus :
(a)
15 − 18,2 ⎞
⎛
Φ
P ( X ≤ 15 ) = P ⎜ X* ≤
P
X*
0,8
0,8
=
≤
−
=
−
= 1 − Φ 0,8
3,6 ⎟⎠
⎝
(
)
(
)
( )
CRM
≅ 1 − 0,81327 ≅ 18,67 %
P.S. / 2015-2016
67
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Exercice 92
Le poids moyen de 1000 colis entreposés dans un hangar est de 141 kg et l'écart-type est de 15 kg.
En supposant que ces poids sont normalement distribués, calculer le nombre de colis
a) entre 120 et 155 kg
b) ayant plus de 185 kg.
Exercice 93
Le diamètre intérieur moyen d'un échantillon de 200 corps de stylos est de 0,502 cm et l'écart-type
moyen est de 0,005 cm. Ne peuvent être acceptées uniquement les pièces dont le diamètre est
compris entre 0,496 et 0,508 cm, les autres étant considérées comme défectueuses.
Quel est alors le pourcentage de corps de stylos défectueux, sachant que les diamètres des pièces
sont distribués normalement.
Exercice 94
Soit X une variable aléatoire continue qui suit une loi normale de moyenne μ et d'écart-type σ.
Autrement dit : X ∼ N ( μ ;σ ) .
Démontrer que :
a) P ( μ − σ ≤ X ≤ μ + σ )
68 %
b) P ( μ − 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ )
95%
Exercice 95
Une entreprise produisant des bouteilles d'un litre de sirop ne veut pas mettre en vente des
bouteilles contenant moins de 0,97 litres. D'autre part, les bouteilles contenant plus de 1,05 litres
ne peuvent
pas être fermées convenablement.
a) Le système de remplissage est réglé sur 1,0 litre mais on sait que sa précision n'est pas absolue
et que la quantité donnée à chaque bouteille suit une loi normale d'écart-type 0,2 litres et de
moyenne 1 litre .
Calculer le pourcentage de bouteilles acceptées.
b) Est-il plus avantageux de régler le système de remplissage sur 1,01 litres ?
c) L’entreprise achète un niveau système de remplissage beaucoup plus précis qui possède cette
fois un écart type de 0,02 litres. On règle le système sur 1,01 litres.
Calculer le pourcentage de bouteilles acceptées.
P.S. / 2015-2016
68
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Exercice 96
Supposons que le poids de 2000 gorilles est distribué normalement avec une espérance (moyenne)
de 155 kg et un écart-type de 20 kg.
a) Trouver le nombre de gorilles dont le poids est compris entre 120 et 130 kg.
b) Trouver le nombre de gorilles dont le poids est inférieur à 110 kg ?
c) Quelle est la proportion de gorilles dont le poids est supérieur à 110 kg ?
d) Si, lors d'une étude, on veut « éliminer » les 15 % des gorilles trop légers, quel sera le poids
minimum des gorilles concernés par l'étude.
Exercice 97
Une usine utilise une machine automatique pour remplir des flacons contenant un certain produit en
poudre. Par suite de variations aléatoires dans le mécanisme, le poids de poudre par flacon est une
variable aléatoire de loi normale de moyenne m et d’écart-type 1,1 mg. Les flacons sont vendus
comme contenant 100 mg de produit.
a) La machine est réglée sur m = 101,2 mg. Quelle est la probabilité que le poids de produit dans
un flacon soit inférieur au poids annoncé de 100 mg ?
b) Sur quelle valeur de m faut-il régler la machine pour qu’au plus 4 % des flacons aient un poids
inférieur au poids annoncé de 100 mg ?
Exercice 98 *
Une machine permet de remplir automatiquement des paquets de farine. La masse M désirée
est réglable. En réalité, la masse de farine effectivement versée est une variable aléatoire X qui suit
une loi normale de moyenne M et d’écart-type égal à 3 % de M. Sur quelle valeur de M faut-il
régler
la machine pour que 95 % des paquets contiennent au moins 1 Kg ?
Exercice 99 *
On admet que la longueur du pied d’un homme adulte suit une loi normale de moyenne 24 cm et
d’écart-type 3 cm. Un fabriquant de chaussettes étudie cette loi pour programmer sa production de
chaussettes en taille et en quantité. Il décide de répartir sa production selon 5 tailles numérotées de
1
à 5 de la façon suivante : il prend un intervalle symétrique autour de la moyenne, de probabilité
0, 9 ; il divise cet intervalle en 3 intervalles égaux correspondant aux tailles 2, 3 et 4 . Il obtient
donc ainsi son total de 5 tailles.
a) Déterminer les longueurs de pied qui délimitent ces 5 intervalles.
b) Quelle est la part, en pourcentage, de la production totale à affecter respectivement à chacune
des 5 tailles ?
P.S. / 2015-2016
69
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Exercice 100 *
On a étudié le poids d’une population d’individus présentant certaines caractéristiques précises ;
on a obtenu les résultats suivants : 20 % des poids sont inférieures à 60 Kg et 30 % des poids sont
supérieures à 80 Kg.
Si on suppose que le poids des individus présentant ces caractéristiques suit une loi normale,
déterminer la moyenne et l’écart-type de cette loi.
Approximation de la loi binomiale par la loi normale
Introduction
La compagnie aérienne Airdreamer a constaté que, sur les liaisons aériennes fréquentées en
majorité par des hommes d’affaires, en moyenne seulement 88 % environ des passagers ayant
réservé se présentent à l’embarquement. Comme la compagnie perd de l’argent sur chaque siège
vide, elle souhaiterait dorénavant pratiquer une surréservation sur de telles lignes, c’est-à-dire
vendre plus de
billets que de places effectives.
Tant que tous les passagers ne se présentent pas, ce calcul se justifie. Les passagers qui, pour cause
de surréservation, ne peuvent pas prendre le vol engendrent des frais pour transfert de réservation
ou
prise en charge de nuits d’hôtels, sans parler d’une possible atteinte à l’image de la société.
Airdreamer décide de vendre 220 billets sur un vol comportant 200 places.
Calculons la probabilité de ne pouvoir acheminer tous les passagers qui se présentent
à l’embarquement :
• Notons X = le nombre de passagers se présentant à l’embarquement .
88 ⎞
⎛
• X suit une loi binomiale X ∼ B ⎜ 220;
⎟
100 ⎠
⎝
n = 220 ;
p=
88
100
;
0 ≤ k ≤ 220
et P ( X = k ) = Ck220 ⋅ 0,88 k ⋅ 0,22 220 −k
10
8
6
4
2
0
171
173
175
177
179
181
183
185
187
189
191
193
195
197
199
201
203
205
207
209
211
213
215
217
219
P en %
• Avec CALC :
X
• Calculer l’espérance E ( X ) = n ⋅ p = 220 ⋅
88
≅ 194 passagers ne répond pas à la question.
100
• La probabilité de ne pouvoir acheminer tous les passagers qui se présentent
220
à l’embarquement est la somme :
∑
P(X = k) =
k = 201
220
∑C
k = 201
220
k
⋅ 0,88 k ⋅ 0,22 220 −k ≅ 0,072 = 7,2% .
Remarque : Le calcul précédant, n’est pas pratique et nécessite beaucoup d’opérations.
Nous allons utiliser une propriété qui permet de calculer cette probabilité avec la loi normale.
P.S. / 2015-2016
70
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Proposition
Si X suit une loi binomiale B ( n; p ) avec n grand, np ≥ 5 et n (1 − p ) ≥ 5 ,
(
)
on peut estimer P ( a ≤ X ≤ b ) à l’aide de la loi normale N np; np (1 − p ) .
1
1
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜ b + 2 − np ⎟
⎜ a − 2 − np ⎟
Autrement dit : P ( a ≤ X ≤ b ) ≈ Φ ⎜
⎟− Φ ⎜
⎟
⎜ np ( 1 − p ) ⎟
⎜ np ( 1 − p ) ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
(La démonstration de cette proposition, sort du cadre de ce cours et ne sera donc pas exposée ici).
Illustration
(
N np; np (1 − p )
)
Exemple
Reprenons le problème de surréservation précédant et calculons la probabilité de ne pouvoir
acheminer tous les passagers qui se présentent à l’embarquement à l’aide de la proposition
ci-dessus :
X = nombres de passagers se présentant à l’embarquement suit une loi binomiale B ( n; p )
On a :
n = 220 billets vendus
p=
88
( probabilité qu’un passager ayant réservé se présentent à l’embarquement)
100
np = 193.6 ≥ 5
n (1 − p ) = 26.4 ≥ 5
np ( 1 − p ) ≅ 4.82
P ( X > 200 ) = 1 − P ( X ≤ 200 ) = 1 − P ( 0 ≤ X ≤ 200 )
1
1
⎡ ⎛
⎞
⎛
⎞⎤
⎢ ⎜ 200 + 2 − 193.6 ⎟
⎜ 0 − 2 − 193.6 ⎟ ⎥
≈ 1 − ⎢Φ ⎜
⎟− Φ ⎜
⎟ ⎥ ≅ 1 − ⎡⎣Φ (1.43 ) − Φ ( −40.26 )⎤⎦
4.82
4.82
⎢ ⎜
⎟
⎜
⎟⎥
⎠
⎝
⎠⎦
⎣ ⎝
Pr op .
CRM
≅ 1 − ⎡⎣Φ (1.43 )− ( 1 − Φ ( 40.26 ) ) ⎤⎦ ≅ 1 − Φ (1.43 ) + 1 − Φ ( 40.26 ) ≅ 7,6%
P.S. / 2015-2016
71
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Exercice 101 *
On effectue un contrôle de fabrication sur des pièces dont une proportion p = 0,02 est défectueuse.
a) On contrôle un lot de 1000 pièces :
Soit X la variable aléatoire : « nombre de pièces défectueuses parmi 1000 » .
Quelle est la loi de probabilité de X ? quel est sont espérance et son écart-type ?
b) En approchant cette loi par celle d’une loi normale adaptée, calculer la probabilité pour que X
soit compris entre 20 et 30.
Exercice 102 *
À la suite d’une campagne de vaccination lancée par l’Organisation Mondiale de la Santé (OMS)
pour lutter contre une pandémie, on estime que, dans une population donnée, il ne reste plus que 1%
de personnes non vaccinées.
D’après une étude, on estime également que 95% des personnes vaccinées sont immunisées contre
le virus de la pandémie et que 20% des personnes non vaccinées sont naturellement immunisées
contre ce virus.
On choisit au hasard une personne dans la population concernée.
On note V l’évènement : « la personne choisie est vaccinée », et I l’évènement : « la personne
choisie est immunisée contre le virus ».
a) Calculer la probabilité qu’une personne choisie au hasard dans cette population, soit immunisée
contre le virus.
b) On prélève au hasard 900 personnes de cette population. On considère la variable aléatoire X
qui associe le nombre de personnes n’ayant pas été vaccinées.
i) Quelle est la loi de probabilité de X ? quel est sont espérance et son écart-type ?
ii) En approchant cette loi par celle d’une loi normale adaptée, calculer la probabilité pour que
le nombre de personnes n’ayant pas été vaccinées soit entre 6 et 12 parmi les 900 personnes.
P.S. / 2015-2016
72
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
3.2.14 Ce qu’il faut absolument savoir
15♥ Connaître la définition d’une expérience aléatoire
ok
16♥ Connaître la définition d’un univers Ω
ok
17♥ Connaître la définition d’un événement et d’un événement élémentaire de Ω
ok
18♥ Connaître les opérations de la théorie des ensembles
ok
19♥ Comprendre la notion de probabilité sur les événements Ω
ok
20♥ Calculer une probabilité « combinatoire »
ok
21♥ Connaître les axiomes des probabilités
ok
22♥ Connaître et comprendre l’énoncé des théorèmes 1 à 5
ok
23♥ Connaître la définition d’une probabilité conditionnelle
ok
24♥ Calculer une probabilité conditionnelle
ok
25♥ Résoudre une épreuve successive à l’aide d’un arbre de classement
ok
26♥ * Connaître et comprendre l’énoncé du théorème de Bayes
ok
27♥ Connaître la définition d’événements indépendants
ok
28♥ Connaître et savoir utiliser la loi binomiale
ok
29♥ Connaître la définition d’une variable aléatoire discrète
ok
30♥ Calculer l’espérance, la variance et l’écart-type d’une variable aléatoire discrète
ok
31♥ Connaître la définition d’une variable aléatoire continue
ok
32♥ Connaître la définition d’une densité de probabilité
ok
33♥ Connaître et savoir utiliser la loi normale centrée réduite
ok
34♥ Connaître et savoir utiliser la loi normale
ok
P.S. / 2015-2016
73
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
3.3 Solutions des exercices
Ex 1 20 issues.
Ex 2 L'arbre donne 18 possibilités ; il manque le petit carré noir et le grand rond blanc.
Ex 3 Il y a 2 chemins différents pour la petite grille et 6 chemins différents pour la grande.
Ex 4 Il y a 11 chemins différents.
Ex 5
a)
b)
c)
d)
e)
Avec répétition
216
72
72
144
36
Sans répétition
120
40
40
80
20
Ex 6 Le nombre possible de coloriage est de 19'208.
Ex 7 a) 216 issues possibles
b.i) 75
b.ii) 15
b.iii) 1
b.iv) 91
b.v) 125
Ex 8 66 parties.
Ex 9 a)
7!
=7
6!
8!
8! 1
8 1
iv)
=
⋅ =
=
7 ! ⋅ 4 ! 7 ! 4 ! 24 3
i) 3! ⋅ 4 = 24
iii)
ii)
20 !
= 20 ⋅ 19 = 380
18 !
100 !
= 99 ⋅ 100 = 9' 900
98 !
20!
= 17 ⋅ 18 ⋅ 19 ⋅ 20 = 116' 280
vii)
( 20 − 4 )!
v)
b)
i) ( n − 1 )! ⋅ n = n !
iii)
Ex 10 b)
( n + 2 )!
= ( n + 2 ) ⋅ ( n + 1) ⋅ n
( n − 1)!
i) 6
ii) 120
1
1 5! − 4! 4! ( 5 − 1) 4
4
−
=
=
=
=
4! 5! 4!⋅ 5!
5! 120
4! ⋅ 5!
24!
= 21 ⋅ 22 ⋅ 23 = 10' 626
viii)
( 24 − 4 )! 4!
n!
ii)
=n
( n − 1)!
( n − r + 1 )!
iv)
= ( n − r + 1) ⋅ ( n − r )
( n − r − 1 )!
vi)
ii) 120
Ex 11 a) 6 possibilités (en rang).
b) 2 manières différentes (permutation circulaire).
c) 24 possibilités (en rang).
6 manières différentes (permutation circulaire).
Ex 12 a) 120
b) 24 manières différentes
Ex 13 a) 3' 360
b) 12
c) 48 manières différentes.
Ex 14 840
Ex 15 a) 120
mots
Ex 16 a) 12
b) 24 mots
c) 24 mots.
d) 12 mots.
b) 6
Ex 17 720 possibilités.
Ex 18 35 possibilités.
Ex 19 a) 512
P.S. / 2015-2016
b) 336
74
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Ex 20 56
Ex 21 350
Ex 22 9' 465' 511' 770
façons
Ex 23 677 habitants
Ex 24 512 possibilités différentes.
Ex 25 64
Ex 26 70, les oui étant déterminés, les non le seront aussi.
Ex 27 20'000 possibilités.
Ex 28 94' 143' 280 distributions différentes pour un joueur.
Ex 29 a) 32 façons.
d) 143'840 possibilités.
g) 175'616 possibilités.
Ex 30 a) 17'576 sigles
b) 1'984 possibilités.
e) 201'376 possibilités
b) 2'160 sigles
Ex 31 a) 120 possibilités.
d) 6' 720 possibilités.
c) 29'760 possibilités.
f) 1008 possibilités.
c) 1'800 sigles
b) 600 possibilités.
c) 210 possibilités différentes.
e) 8'400 possibilités.
Ex 32 58'344 équipes possibles.
Ex 33 a) 18 nombres différents.
b) 192 nombres différents.
Ex 34
a) 76' 275' 360 possibilités différentes à l'Euro Millions.
b)
i) 1er prix : 1 possibilité.
iii) 3ème prix : 21 possibilités.
v) Aucun prix : 25' 656' 939 possibilités.
ii) 2ème prix : 14 possibilités.
iv) 4ème prix : 225 possibilités.
c)
1
≅ 0,000000013 %
76' 275' 360
21
ii) Probabilité « d’obtenir le 3ème prix si on joue une grille » =
≅ 0,000000275%
76' 275' 360
25' 656' 939 1
iii) Probabilité « d’obtenir aucun prix si on joue une grille » =
≅ ≅ 33 %
76' 275' 360 3
i) Probabilité « d’obtenir le 1er prix si on joue une grille » =
Ex 35 a) 45 choix possibles
b) i) 21 possibilités différentes.
b) ii) 25 choix.
Ex 36 a) 20
b) 190
c) 1140
e) 20
Ex 37 a) 34' 650
b) 3' 780
d) 184' 756
f) 1
Ex 38 72 possibilités différentes.
Ex 39 * 2n sous-ensembles différents (y compris l'ensemble vide et l'ensemble Ω).
P.S. / 2015-2016
75
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Ex 41 a)
1
6
b)
5
36
c)
1
6
Ex 42 P ("plaques qui commencent par 1" ) ≅ 55,6%
1
8
Ex 43 b.i)
b.ii)
1
2
b.iii)
5
8
Ex 44 P("la fléchette se trouve dans la zone ombrée") =
Ex 45 a) ≅ 69,6%
8 +π
≅ 44,32%
8 ⋅π
b) ≅ 70,1%
Ex 46 Les deux événements sont équiprobables.
Ex 47
a) P(" tirer 0 vaccin périmé ") ≅ 76 ,42%
b) P(" tirer 1 vaccin périmé ") ≅ 22,15%
c) P(" tirer 2 vaccins périmés ") ≅ 1,42%
d) P(" tirer au moins un vaccin périmé ") ≅ 23,57 %
e) P(" tirer au plus un vaccin périmé ") ≅ 98,57 %
Ex 48 a) P(« 4 piques ») ≅ 0,21 %
b) P(« 3 coeurs ») ≅ 3,85 %
c) P(« au plus 1 as ») ≅ 94,73 %
d) P(« aucune cartes noires ») ≅ 5,19 %
e) P(« 2 cartes noires ») ≅ 39,74 %
f) P(« au moins 1 coeur ») ≅ 29,79 %
g) P(« 3 cartes d ' une même famille ») ≅ 15,40 %
h) P(« un valet et deux rois ») ≅ 1,14 %
Ex 49 *
a) P(« quinte royale ») ≅
1
649' 740
b) P(« quinte flush») ≅
1
4165
1
e) P(« flush») ≅
509
1
g) P(« brelan») ≅
47
1
i) P(« paire») ≅
2,36
1
72' 193
1
694
1
f) P(« quinte») ≅
255
c) P(« carré») ≅
d) P(« full») ≅
h) P(« deux paires») ≅
1
21
Ex 50 32 %
Ex 51 a) 20 %
b) 90 %
c) 60 %
Ex 52 a) 90 %
b) 10 %
c) 60 %
Ex 53 a) ≅ 4,2%
d) ≅ 23,98 %
b) ≅ 25,17 %
e) ≅ 95,8 %
c) ≅ 41,96 %
f) ≅ 70,63 %
Ex 54 a) 15%
b) 60 %
c) 80 %
Ex 55 a) 37,5%
b) 40%
c) 50%
Ex 56 a) 36 %
b) 17 %
c) 1.9 %
P.S. / 2015-2016
d) 10 %
e) 30 %
d) 80 %
d) 38 %
76
e) 18 %
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Ex 57 52,5%
Ex 58 a) ≅ 21,4%
b) ≅ 3,6%
Ex 59 a)
29
60
b)
5
8
Ex 60
a)
17
50
b)
21
24
Ex 61
a) 3,7 %
b) 30 %
Ex 63
a) 25 %
b) 70 %
Ex 65
P D1 S ≅ 65,79 %
d) ≅ 27,3%
1
5
c)
b) 96,3 %
Ex 62 a) 10 %
(
c) ≅ 78,6%
c) 95 %
c) 28 %
)
(
)
(
P D2 S ≅ 7,89 %
)
P D3 S ≅ 26 ,32%
Le médecin peut établir que le patient qui arrive aux urgences pour un « mal de ventre » et qui n’a pas
de fièvre à « certainement » une appendicite.
Ex 66 77 %
Ex 67 a) 17,5 %
b) 5,7 %
Ex 68 a) 3,9 %
b) 0,1 %
Ex 71
c) 23 %
1
36
Ex 72 a)
1
8
b)
3
8
c)
1
2
Ex 73 a)
125
729
b)
300
729
c)
425
729
d)
304
729
Ex 74
⎛ 6 ⎞
i) ⎜ ⎟
⎝ 10 ⎠
3
a)
⎛ 6 ⎞ ⎛ 4 ⎞
ii) 3 ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠
2
⎛ 6 ⎞⎛ 4 ⎞
iii) 3 ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠
4
b)
⎛ 6 ⎞
i) ⎜ ⎟
⎝ 10 ⎠
⎛ 6 ⎞ ⎛ 4 ⎞
ii) 4 ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠
3
⎛ 6 ⎞ ⎛ 4 ⎞
iii) 6 ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠
2
2
⎛ 4 ⎞
iv) ⎜ ⎟
⎝ 10 ⎠
2
3
⎛ 6 ⎞⎛ 4 ⎞
iv) 4 ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠
Ex 75
a) ≅ 23,4%
b) ≅ 34,4%
Ex 76
a) ≅ 16 ,46%
b) ≅ 13,17%
Ex 77
a) ≅ 1,54 %
b) ≅ 7,68 %
Ex 78
a) P ( A+ ) = 0,381 = 38,1%
b) P ( O ) = 0,37 + 0,07 = 0,44 = 44 %
c) P ( aucun O- ) = 48,4 %
d) P ( 4 A+ ) = 24,9%
3
⎛ 4 ⎞
v) ⎜ ⎟
⎝ 10 ⎠
4
c) ≅ 98,43%
c) ≅ 8,70 %
d) ≅ 92,22 %
e) P ( au moins 3 donneurs O+ ) = 77,95%
P.S. / 2015-2016
77
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Activité 1
Ex 79
• m=E(X) = 3,5
V(X) ≅ 2,92
σ (X) ≅ 1,71
• m=E(Y) = 3,5
V(Y) ≅ 4,05
• m=E(Z) = 3,5
V(Z) ≅ 1,65
σ (Y) ≅ 2,01
σ (Z) ≅ 1,28
a) Ω = { ppp; ppf ; pfp; fpp; pff ; ffp; fpf ; fff }
b) Y = le nombre de «faces» moins le nombre de « piles » se présentant à l'épreuve.
c)
Y
-3
-1
1
3
P
1
8
3
8
3
8
1
8
d) E( Y ) = 0
Ex 80
X ∈ {0;1;2;3;4;5;6 }
a) X = le nombre de piles obtenu si on jette 6 fois une pièce de monnaie.
X
0
1
2
3
4
5
6
∑
P
1
64
6
64
15
64
20
64
15
64
6
64
1
64
1
b) E( X ) = 3
Ex 81
σ ( Y ) ≅ 1,73
V(Y ) = 3
σ ( X ) ≅ 1,22
V ( X ) = 1,5
a) Il peut s'attendre à une moyenne de 2,53.
b) 75 % de notes insuffisantes.
c) En retenant le plus grand des deux nombres, la moyenne serait : 4,47.
Ex 82
X ∈ {0;1;2;3}
a) X = le nombre d’objets défectueux.
X
0
1
2
3
∑
P
84
220
108
220
27
220
1
220
1
b) E( X ) = 0,75
Ex 83
a) 2,67 tests
b) ≅ 44 min utes
Ex 84
Partie I
b.i) P ( A ∩ B ) = 8 %
Partie II
c)
b.ii) P( B ) = 16 %
X = Somme reçue en euro
Probabilité
2
10
15
20
0.72
0.08
0.12
0.08
d) E( X ) = 5,64 euros
Pour 5000 lecteurs, le centre d’appel recevra 5000 ⋅ 5,64 = 28' 200 euros
P.S. / 2015-2016
78
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
8
4096
2184
b.1) P( H ) =
4096
Ex 85
P( E ) =
a)
P( F ) =
224
4096
P( G ) =
1680
4096
b.2) E ( X ) ≅ −0,22 < 0 représente le « gain moyen » du joueur par partie.
Dans ce cas le joueur perd environ 0,22 euros par partie en moyenne.
b.3) Ce jeu n’est pas équitable.
Un jeu est équitable si E ( X ) = 0 ; en moyenne, on ne gagne rien et on ne perd rien.
Ex 86
Le prix ne doit pas dépasser 23 francs .
Ex 87
Le joueur peut s'attendre à gagner environ 0,54 fois par semaine.
Ex 88
Nous pouvons espérer 8 bonnes réponses.
Ex 89
a) X = le nombre de fois où Claude est contrôlé durant l’étude.
X suit une loi binomiale :
X ∼ B ( 40; p )
n = 40
;
p ;
0 ≤ k ≤ 40
b) P( X ≤ 2 ) ≅ 67,67 %
c) E ( Z ) = 200
Le « gain » moyen de Claude sur un mois et pour 40 trajets est de 200 euros.
La probabilité d’être contrôlé est trop faible et cela « vaut le coup » de frauder.
Activité 2
(b)
(a)
CRM
P ( −1 ≤ X* ≤ 1) = Φ ( 1 ) − Φ ( −1 ) = Φ ( 1 ) − [1 − Φ ( 1 )] = 2 ⋅Φ ( 1 ) − 1 = 2 ⋅ 0,8413 − 1 = 0,6826 = 68,26 %
Ex 90 a) ≅ 38,49 %
b) ≅ 25,18 %
d) ≅ 24,83%
e) ≅ 89,97 %
Ex 91 a) t ≅ 1,43
c) ≅ 66 ,37 %
b) t ≅ −1,51
c) t ≅ 1,16
Ex 92 a) Il y a environ 740 colis entre 120 et 155 kg
b) Il y a environ 1,7 colis de plus de 185 kg
Ex 93 Il y donc environ 23% de stylos défectueux.
Ex 94 a) P ( μ − σ ≤ X ≤ μ + σ ) = P ( −1 ≤ X* ≤ 1) = 68 %
b) P ( μ − 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ ) = P ( −2 ≤ X* ≤ 2 ) ≅ 95 %
Ex 95 a) Le pourcentage de bouteilles acceptées est de 15,83 %
b) Oui car le pourcentage de bouteilles acceptées serait alors de 15,86 %.
c) 95 %
Ex 96 a) Environ 132 gorilles
c) 98,8 %
Ex 97 a) P ( X ≤ 100 ) = 13,79 %
P.S. / 2015-2016
b) Environ 24 gorilles
d) Le poids minimum des gorilles concernés par l'étude est de 134,2 Kg .
b) m ≥ 101,925 [ mg ]
79
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Ex 98 *
μ = M ≅ 1,05 et
σ=
3
M ≅ 0,0315
100
Ex 99 *
a)
b)
Taille 1 : inférieure à 19,05
Taille 1 : ≅ 5 %
Taille 2 : entre 19,05 et 22,35
Taille 2 : ≅ 24 %
Taille 3 : entre 22,35 et 25,65
Taille 3 : ≅ 42 %
Taille 4 : entre 25,65 et 28,95
Taille 4 : ≅ 24 %
Taille 5 : supérieur à 28,95
Taille 5 : ≅ 5 %
Ex 100 *
m ≅ 72,3 Kg
Ex 101 *
a) X = « nombre de pièces défectueuses parmi 1000 »
σ ≅ 14,6 kg
La loi de X est la loi binomiale B ( 1000;0,02 ) , d’espérance 20 et d’écart type ≅ 4.43 .
Pr op .
CRM
b) P ( 20 ≤ X ≤ 30 ) ≈ Φ ( 2.37 ) − Φ ( −0.11) ≅ 53,5%
Ex 102 *
a) P( I ) = 94.25 %
b.i)
X = « le nombre de personnes n’ayant pas été vaccinées parmi 400 ».
La loi de X est la loi binomiale B ( 900;0,01) , d’espérance 9 et d’écart type ≅ 3 .
Prop .
CRM
b.ii) P ( 6 ≤ X ≤ 12 ) ≈ Φ (1.17 ) − Φ ( −1.17 ) ≅ 76 %
P.S. / 2015-2016
80
Combinatoires et probabilités / 4 N-A
Notes personnelles
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Notes personnelles
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