1 Fonctions en escalier

Int´egration
1 Fonctions en escalier
1.1 Espace des fonctions en escalier
1.1.1 Subdivisions et fonctions en escaliers
D´efinitions
•Soient a < b deux r´eels et n∈N∗un entier. Une subdivision du segment [a,b] en nmorceaux est une famille
finie strictement croissante a=a0< a1<···< an=bde r´eels de [a,b].
•Une fonction en escalier sur le segment [a,b] est une application f: [a,b]→Rtelle qu’il existe une subdivision
σ={a=a0< a1. . . < an=b}de [a,b] telle que, pour tout ide 1 `a n,fsoit constante sur l’intervalle
]xi−1,xi[.
On dit alors que la subdivision σest adapt´ee `a f.
On observe facilement que si l’on ajoute un r´eel suppl´ementaire ou un nombre fini de r´eels suppl´ementaires `a une
subdivision adapt´ee `a une fonction fen escalier, on obtient une nouvelle subdivision qui est encore adapt´ee `a f.
1.1.2 Alg`ebre des fonctions en escalier
Notons Esc([a,b]) l’ensemble de toutes les fonctions en escalier de [a,b] dans R.
Propri´et´e
Esc([a,b]) est une sous-alg`ebre de F([a,b],R) ; cela signifie que :
• ∀f, g ∈Esc([a,b]),∀λ, µ ∈R, λf +µg ∈Esc([a,b])
• ∀f, g ∈Esc([a,b]), fg ∈Esc([a,b])
•La fonction constante x7→ 1 appartient `a Esc([a,b]).
D´emonstration
Le troisi`eme point est ´evident. Pour les deux premiers, on prend une subdivision σfadapt´ee `a f, une autre σg
adapt´ee `a g.
D’apr`es l’observation pr´ec´edente, leur r´eunion est une subdivision σ={a=a0< a1<···< an=b}adapt´ee `a la
fois `a fet g.
Comme fet gsont constantes sur chacun des intervalles ]xi−1,xi[, il en est de mˆeme de λf +µg et de fg ce qui
ach`eve la d´emonstration.
1.2 Int´egrale des fonctions en escalier
1.2.1 D´efinition de Zb
a
f(x)dxpour fen escalier
Proposition
Soit f∈Esc([a,b]), σ ={a=x0< x1<···< xn=b}une subdivision adapt´ee `a f. Pour tout ide 1 `a n, soit yi
la valeur de fsur ]xi−1,xi[. On pose S(f,σ) =
n
X
i=1
yi(xi−xi−1).
Alors S(f,σ) ne d´epend pas de la subdivision adapt´ee `a f.
Id´ee de la d´emonstration
Si l’on ajoute un point x∈]xi−1,xi[ `a la subdivision σ, alors en posant
σ′={a=x0< x1<···< xi−1< x < xi<···< xn=b}, on a S(f,σ′) = S(f,σ) car la valeur de fsur ]xi−1,x[ et
celle sur ]x,xi[ est yide sorte que yi(x−xi−1) + yi(xi−x) = yi(xi−xi−1) ce qui entraˆıne S(f,σ′) = S(f,σ).
De la mˆeme fa¸con, l’ajout d’un nombre fini de points `a σne modifie pas la valeur de S(f,σ).
1

Ensuite, si σet σ′sont adapt´ee `a f, alors σ′′ =σ∪σ′est adapt´ee `a fet l’on a S(f,σ) = S(f,σ′′) = S(f,σ′).
D´efinition
Le nombre S(f,σ), qui ne d´epend `a pr´esent que de fs’appelle l’int´egrale de fsur [a,b] et se note Zb
a
f(x)dxou
Z[a,b]
fou encore Zb
a
f.
Interpr´etation
Pour tout ide 1 `a n,yi(xi−xi−1) repr´esente l’aire alg´ebrique du rectangle d´elimit´e par l’axe des abscisses, la
portion de droite horizontale d’ordonn´ee yiet les droites verticales d’abscisses xiet xi−1.
L’aire est dite alg´ebrique car elles est positive quand le rectangle est au-dessus de l’axe des abscisses et n´egative
si ledit rectangle est en-dessous.
L’int´egrale de frepr´esente alors la somme des aires alg´ebriques de ces rectangles. On peut dire que c’est l’aire
alg´ebrique du domaine compris entre l’axe des abscisses et la courbe de la fonction en escalier.
1.2.2 Lin´earit´e
Proposition
Quelles que soient f, g ∈Esc([a,b]), quels que soient λ, µ ∈R,Z[a,b]
λf +µg =λZ[a,b]
f+µZ[a,b]
g.
D´emonstration
Soit σ={a=x0< x1<···< xn=n}une subdivision adapt´ee `a la fois `a fet `a g.
Pour tout ide 1 `a n, posons yiet ziles valeurs respectives de fet gsur ]xi−1,xi[.
Exercice 1
Avec les notations ci-dessus, finir la d´emonstration.
1.2.3 Positivit´e, croissance
Il s’agit des propri´et´es suivantes :
•Positivit´e : Si fappartenant `a Esc([a,b]) est positive alors Z[a,b]
f>0
•Croissance :∀f, g ∈Esc([a,b]), f 6g⇒Z[a,b]
f6Z[a,b]
g.
D´emonstrations :
•Positivit´e :
Avec les notations du paragraphe pr´ec´edent, les yisont positifs de mˆeme que les xi−xi−1donc Z[a,b]
f>0.
•Croissance :g−f>0⇒Z[a,b]
g−Z[a,b]
f=Z[a,b]
g−f>0. C.Q.F.D.
1.2.4 Additivit´e par rapport aux intervalles
Il s’agit de la propri´et´e suivante :
Propri´et´e
Soient a < b < c trois r´eels et f∈Esc([a,c]). Alors f|[a,b]∈Esc([a,b]), f|[b,c]∈Esc([b,c]) et
Z[a,c]
f=Z[a,b]
f+Z[b,c]
f
2

D´emonstration
On prend une subdivision adapt´ee `a fsur [a,c] et incluant le point b:
σ={a=x0<···< xm=b < xm+1 <···< xn=c}.
Avec les notations habituelles, on a Z[a,b]
f=
m
X
i=1
yi(xi−xi−1),Z[b,c]
f=
n
X
i=m+1
yi(xi−xi−1)
D’o`u Z[a,c]
f=
n
X
i=1
yi(xi−xi−1) =
m
X
i=1
yi(xi−xi−1) +
n
X
i=m+1
yi(xi−xi−1) = Z[a,b]
f+Z[b,c]
f
2 Int´egration des fonctions continues
2.1 Approximations des fonctions continues par les fonctions en escalier
2.1.1 Approximation uniforme
On admet la propri´et´e suivante :
Propri´et´e
Soit a < b deux r´eels et f: [a,b]→Rune application continue.
Pour tout ε > 0, il existe ϕ∈Esc([a,b]) telle que ∀x∈[a,b],|f(x)−ϕ(x)|6ε.
2.1.2 Encadrements par des fonctions en escalier
On d´eduit la propri´et´e suivante de la pr´ec´edente.
Propri´et´e
Soit a < b deux r´eels et f: [a,b]→Rune application continue.
Pour tout ε > 0, il existe u, v ∈Esc([a,b]) telles que u6f6vet Z[a,b]
v−u6ε.
On peut interpr´eter cette propri´et´e en disant que la courbe repr´esentative de fpeut ˆetre incluse dans une r´eunion
de rectangles d’aire totale arbitrairement petite.
D´emonstration
Soit ε > 0. D’apr`es la propri´et´e pr´ec´edente, il existe ϕ∈Esc([a,b]) telle que ∀x∈[a,b],|f(x)−ϕ(x)|6ε
2(b−a).
Cela ´equivaut `a dire que ∀x∈[a,b], ϕ(x)−ε
2(b−a)6f(x)6ϕ(x) + ε 2(b−a).
On pose alors ∀x∈[a,b], u(x) = ϕ(x)−ε
2(b−a)et v(x) = ϕ(x) + ε 2(b−a).
uet vsont bien des fonctions en escalier v´erifiant u6f6vet l’on a Z[a,b]
v−u=Z[a,b]
ε
b−a=ε. C.Q.F.D.
2.2 Construction succincte de Z[a,b] fpour fcontinue
On se donne a < b deux r´eels et f: [a,b]→Rune application continue.
On d´efinit I−(f), ensemble des int´egrales des fonctions en escalier minorant fet I+(f) l’ensemble des int´egrales
des fonctions en escalier majorant f.
Autrement dit :
I−(f) = (Z[a,b]
u, u ∈Esc([a,b]) et u6f)=(y∈R,∃u∈Esc([a,b]), u 6fet y=Z[a,b]
u)
I+(f) = (Z[a,b]
v, v ∈Esc([a,b]) et f6v)=(z∈R,∃v∈Esc([a,b]), f 6vet z=Z[a,b]
v)
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2.2.1 L’´egalit´e fondamentale
Du fait que fest continue sur le segment [a,b], elle est born´ee c’est-`a-dire minor´ee et major´ee par des fonctions
constantes donc en escalier. Il en r´esulte que I−(f) et I+(f) sont non vides.
Observons ensuite que ∀y∈I−(f) et ∀z∈I+(f) on a y6z.
En effet, il existe u∈Esc([a,b]), u 6fet il existe v∈Esc([a,b]), f 6vtelles que y=R[a,b]uet z=R[a,b]v. Comme
on a u6f6v, il r´esulte y6z.
Ensuite, nous allons refaire l’exercice suivant :
Exercice 2
Soient Aet Bdeux parties non vides de Rtelles que ∀a∈Aet ∀b∈B, a 6b.
Montrer que Aadmet une borne sup´erieure, B, une borne inf´erieure et que sup(A)6inf(B).
Il r´esulte de cet exercice que I−(f) est major´e, que I+(f) est minor´e et que sup(I−(f)) 6inf(I+(f)).
Proposition
sup(I−(f)) = inf(I+(f))
D´emonstration
On montre que, pour tout ε > 0,inf(I+(f)) −sup(I−(f)) 6ε. Il en r´esultera que inf(I+(f)) −sup(I−(f)) 60
et comme on sait d´ej`a que inf(I+(f)) −sup(I−(f)) >0, cela entraˆınera notre conclusion.
Soit donc ε > 0. On sait qu’il existe u, v ∈Esc([a,b]) avec u6f6vet Z[a,b]
v−u6εc’est-`a-dire Z[a,b]
v−Z[a,b]
u6ε
Il en r´esulte inf(I+(f)) 6Z[a,b]
v6Z[a,b]
u+ε6sup(I−(f)) + εcar Z[a,b]
v∈I+(f) et Z[a,b]
u∈I−(f) d’o`u
l’in´egalit´e puis la proposition.
2.2.2 Interpr´etation
Pour une fonction positive, sup(I−(f)) repr´esente l’aire du domaine situ´e entre l’axe des abscisses et la courbe.
Pour une fonction n´egative, inf(I+(f)) est l’aire, compt´ee n´egativement, du domaine compris entre la courbe et
l’axe des abscisses.
Lorsque fchange de signe, l’int´egrale est l’aire alg´ebrique du domaine compris entre la courbe et l’axe des abscisses.
2.2.3 D´efinition, notations
D´efinition
Pour f∈C([a,b],R), le nombre sup(I−(f)) = inf(I+(f)) est l’int´egrale de fsur le segment [a,b].
Elle se note Z[a,b]
fou Zb
a
f(x)dxou encore Zb
a
f.
2.3 Propri´et´es
2.3.1 Lin´earit´e
Il s’agit de prouver que pour toutes fonctions fet g, continues sur le segment [a,b], pour tous λ, µ ∈R,
Z[a,b]
λf +µg =λZ[a,b]
f+µZ[a,b]
g. Cela va se faire en trois ´etapes :
• ∀f1, f2∈C([a,b],R),Z[a,b]
f1+f2=Z[a,b]
f1+Z[a,b]
f2.
En effet, si u1et u2appartiennent `a Esc([a,b]) avec u16f1et u26f2alors u1+u2∈Esc([a,b]) et
u1+u26f1+f2donc Z[a,b]
u1+Z[a,b]
u26Z[a,b]
f1+f2.
4

En passant `a la borne sup´erieure pour u1∈Esc([a,b]) et u16f1, il vient :
Pour toute u2∈Esc([a,b]) telle que u26f2, on a Z[a,b]
f1+Z[a,b]
u26Z[a,b]
f1+f2.
On passe `a nouveau `a la borne sup´erieure pour u2∈Esc([a,b]) et u26f2, il vient :
Z[a,b]
f1+Z[a,b]
f26Z[a,b]
f1+f2.
En raisonnant de mˆeme avec v1, v2∈Esc([a,b]),f16v1et f26v2, on obtient l’in´egalit´e contraire d’o`u
l’´egalit´e.
•Pour tout f: [a,b]→Rcontinue et pour tout λ>0,Z[a,b]
λf =λZ[a,b]
f.
En effet, si u∈Esc([a,b]) et u6falors λu ∈Esc([a,b]) et λu 6λf d’o`u λZ[a,b]
u=Z[a,b]
λu 6Z[a,b]
λf puis,
en passant `a la borne sup´erieure en sachant que, pour toute partie Anon vide major´ee de Ret tout r´eel
λ>0, on a sup(λA) = λsup(A), on obtient λZ[a,b]
f6Z[a,b]
λf.
En raisonnant de mˆeme sur les fonctions en escalier majorant f, on obtient l’in´egalit´e contraire d’o`u l’´egalit´e.
•Pour toute fonction continue f: [a,b]→R,Z[a,b]−f=−Z[a,b]
f.
En effet, pour toute u∈Esc([a,b]) telle que u6f, on a −f6−uet −u∈Esc([a,b]) d’o`u :
Z[a,b]−f6Z[a,b]−u=−Z[a,b]
u.
On sait que toute partie Anon vide major´ee de f, on a inf(−A) = −sup(A). Il en r´esulte que :
Z[a,b]−f6−Z[a,b]
fpuis, en raisonnant sur les fonctions en escalier majorant f, on obtient l’in´egalit´e
contraire d’o`u, `a nouveau, l’´egalit´e.
2.3.2 Positivit´e, croissance
•Positivit´e
Si f∈C([a,b],R) est positive, alors Z[a,b]
f>0.
En effet, la fonction nulle est, dans ce cas, une fonction en escalier minorant f.
Il en r´esulte que 0 = Z[a,b]
06Z[a,b]
f.
•Croissance :
Pour toutes fet g∈C([a,b],R), f 6g⇒Z[a,b]
f6Z[a,b]
g.
En effet ∀f, g ∈C([a,b],R), f 6g⇒g−f>0⇒Z[a,b]
g−f>0⇒Z[a,b]
g−Z[a,b]
f>0. C.Q.F.D.
2.3.3 L’in´egalit´e de la valeur absolue
Proposition :
Soit f: [a,b]→Rcontinue ; alors
Zb
a
f(x)dx
6Zb
a|f(x)|dx
D´emonstration :
On a f6|f|et −f6|f|d’o`u Z[a,b]
f6Z[a,b]|f|et −Z[a,b]
f=Zb
a−f6Z[a,b]|f|d’o`u
Z[a,b]
f
= max (Z[a,b]
f, −Z[a,b]
f)6Z[a,b]|f|.
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