3ème COURS : calcul numérique 1° Simplifier et comparer des fractions ► On ne change pas une fraction si on multiplie ou si on divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre. Exemple Réponse 3 Ecrire sous forme d’une fraction de dénominateur 20 4 3 = 3 3 5 15 = = 4 4 5 20 3 3 5 15 = = 1 1 5 5 Ecrire le nombre entier 3 sous forme d’une fraction de dénominateur 5 ► Pour simplifier une fraction on divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre. Exemple Simplifier 18 21 54 et 24 45 14 3 4 Donner une valeur approchée de 5 en pourcentage. 8 ► Pour compare des fractions, on doit transformer ces fractions : soit en nombres décimaux soit en pourcentage soit en fractions ayant un même dénominateur. Exemple Comparer les fractions Réponse 3 = 3 4 = 0,75 4 3 = 3 7 ≈ 0,428 7 3 7 ► On peut écrire une fraction comme un pourcentage. Exemple Ecrire 18 6 3 3 = = (on a divisé 18 et 24 par 6) 24 6 4 4 21 27 7 3 9 3 3 3 9 = = = 45 14 9 5 2 7 5 2 10 ► Une fraction est un quotient : elle peut avoir une valeur décimale exacte ou approchée. Exemple Donner l’écriture décimale de Réponse 2 5 7 , et 3 6 9 Réponse 5 62,5 = 5 8 = 0,625 = = 62,5 % 8 100 Réponse : 2 ≈ 0,66 ; 3 2 Donc < 3 5 7 ≈ 0,83 et ≈ 0,77 6 9 7 5 < 9 6 Autre méthode On cherche un dénominateur commun aux trois fractions : c’est par exemple 18 2 2 6 12 5 5 3 15 7 7 2 14 = = , = = et = = 3 3 6 18 6 6 3 18 9 9 2 18 2 7 5 Donc < < 3 9 6 PAGE 1 / 5 Collège Roland Dorgelès 3ème COURS : calcul numérique 2° Opération sur les fractions ► Pour additionner ou soustraire deux fractions de même dénominateur, on additionne les numérateurs et on garde le dénominateur commun. ► Pour additionner deux fractions qui n’ont pas le même dénominateur ont doit d’abord chercher un dénominateur commun. Exemple Calculer 1 2 3 4 7 + = + = 2 3 6 6 6 3 12 3 9 3= = 4 4 4 4 1 2 3 + et 3 2 3 4 ► Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Exemple Calculer Réponse : 4 7 5 et 3 3 2 5 ► L’inverse d’une fraction 4 7 3 a b est la fraction . b a Exemple Quel est l’inverse de Réponse 3 ? 4 5 20 = 3 21 2 6 = 5 5 Réponse L’inverse de 2= 3 4 est . 4 3 2 1 . L’inverse de 2 est 1 2 Quel est l’inverse de 2 ? ► Pour diviser par une fraction on multiplie par son inverse. Exemple Calculer 4 7 5 4 ; 3 7 3;5 Calculer 4 2 3 ; 10 et 5 3 5 3 2 7 PAGE 2 / 5 1 2 Réponse 4 7 4 7 5 5 4 = 3 7 4 3 = 7 1 =5 2 2 3 = 2 5 5 3 7 7 10 = 10 3 2 4 5 = 4 5 3 3 21 = 5 20 1 4 = 3 21 2 = 10 1 = 2 3 7 14 = 5 15 3 2 20 = 10 = 2 3 3 3= 4 1 4 = 5 3 15 Collège Roland Dorgelès 3ème COURS : calcul numérique ► Pour le brevet Exemple Calculer en montrant toutes les étapes. A= 5 2 7 7 3 A= 5 B= 1 A= 5 3 A= A= A= 5 2 3 7 7 5 2 1 7 7 3 5 2 7 21 15 2 21 21 31 21 1 B= B= B= B= B = PAGE 3 / 5 5 B= 5 3 5 3 5 3 3 5 2 3 2 5 3 3 5 2 15 2 Collège Roland Dorgelès 3ème COURS : calcul numérique 3° Puissance d’un nombre ► Par définition a4 est le produit a × a × a× a et a-4 est l’inverse de a4 c'est-à-dire 1 a4 2-4 = Exemple Calculer 24 Donner les différentes écritures de 2-4. an an ap p an p (a n ) p aa p Exemple Ecrire sous la forme d’une puissance de 5 58 ; (52 ) 3 52 Ecrire sous la forme d’une puissance de 7 53 5 4 ; 6 7 ; (7 2 ) 3 2 7 Calculer de tète 53 × 23 73 7 4 Réponse ● 53 5 4 53 (52 )3 3 ●7 3 (7 2 ) 52 7 4 3 72 4 57 ; 58 52 58 ; 76 7 2 2 56 ; 56 7 3 ( 4) ( 3) 7 7 1 76 ( 2) 6 ; ► ( a b) n a n bn a ( )n b ●53 × 23 = (5×2)3 = 103 = 1000. an bn Exemple Ecrire (3x) 2 sans parenthèses. Calculer de tête 3 5 5 54 5 PAGE 4 / 5 9x2 143 14 = ( ) 3 = 23 = 8 3 7 7 Réponse 1 2 Réponse (3x) 2 32 x 2 143 73 ► Pour le brevet Exemple Ecrire 1 1 = = 0,625 4 16 2 Réponse 51 = 5 50 = 1 ► a1 a ► Pour a ≠ 0, a0 = 1 Exemple Calculer 51 et 50. ► an a p Réponse 24 = 2×2×2×2 = 16 sous forme d’une puissance de 5 53 5 1 53 ( 1) 52 = 4 ( 2) = 6 = 52 4 2 5 5 5 5 (6) = 58 Collège Roland Dorgelès 78 3ème COURS : calcul numérique 4° Puissance de 10 ► Une puissance de 10 est un nombre 1 ; 10 ; 100 ; 1000 ; … ou 0,1 ; 0,01 ; 0,001 … Exemple Calculer 104 et Donner les différentes écritures de 10 4 Réponse 104 = 10×10×10×10 = 10000 (4 zéros après le 1) 1 1 10 4 = 4 = = 0,0001 (4 zéros avant le 1) 10 10000 ►L’écriture scientifique d’un nombre décimal est une Réponse n n écriture de la forme a 10 ou a 10 dans le quel a est un nombre décimal qui possède un seul chiffre avant la virgule, ce chiffre doit différent de zéro. Exemple Donner l’écriture scientifique de 85 000 et de 0,0000275 Donner l’écriture décimale de 2,36×105 et de 1,4×10-3 ► Un ordre de grandeur d’un nombre décimal peut être sous la forme d’une puissance de 10 Exemple Donner un ordre de grandeur de 4319000 et 0,00023 sous la forme de puissance de 10. ► Pour le brevet Exemple (9 105 ) (5 10 2 ) A= 2 10 3 Calculer A (donner son écriture scientifique et son écriture décimale) 85 000 = 8,5×104 0,0000275 = 2,75×10-5 2,36×105 = 236 000 1,4×10-3 = 0,0014 Réponse 4319000 ≈ 4 × 106 ≈ 106 0,00023 ≈ 2 × 10-4 ≈ 10-4 Réponse (9 105 ) (5 10 2 ) A= 2 10 3 A= 9 5 105 10 2 10 3 45 103 2 10 3 A = 22,5 103 2 A= ( 3) A = 22,5 106 A = 22 500 000 (écriture décimale) A = 2,25 107 (écriture scientifique) PAGE 5 / 5 Collège Roland Dorgelès