3ème COURS : calcul numérique PAGE 1 / 5 Collège Roland

3ème COURS : calcul numérique
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1° Simplifier et comparer des fractions
► On ne change pas une fraction si on multiplie ou si
on divise le numérateur et le dénominateur par un même
nombre.
Exemple
Ecrire
4
3
sous forme d’une fraction de dénominateur 20
Ecrire le nombre entier 3 sous forme d’une fraction de
dénominateur 5
Réponse
4
3
=
54 53
=
20
15
3 =
1
3
=
51 53
=
5
15
► Pour simplifier une fraction on divise le numérateur
et le dénominateur par un même nombre.
Exemple
Simplifier
24
18
et
1445 5421
Réponse
24
18
=
46 36
=
4
3
(on a divisé 18 et 24 par 6)
1445 2721
=
7259
3937
=
25 33
=
10
9
► Une fraction est un quotient : elle peut avoir une
valeur décimale exacte ou approchée.
Exemple
Donner l’écriture décimale de
4
3
Donner une valeur approchée de
7
3
Réponse
4
3
= 3 4 = 0,75
7
3
= 3 7 ≈ 0,428
► On peut écrire une fraction comme un pourcentage.
Exemple
Ecrire
8
5
en pourcentage.
Réponse
8
5
= 5 8 = 0,625 =
100
5,62
= 62,5 %
► Pour compare des fractions, on doit transformer ces
fractions : soit en nombres décimaux soit en pourcentage
soit en fractions ayant un même dénominateur.
Exemple
Comparer les fractions
3
2
,
6
5
et
9
7
Réponse :
3
2
≈ 0,66 ;
6
5
≈ 0,83 et
9
7
≈ 0,77
Donc
3
2
<
9
7
<
6
5
Autre méthode
On cherche un dénominateur commun aux trois
fractions : c’est par exemple 18
3
2
=
63 62
=
18
12
,
6
5
=
36 35
=
18
15
et
9
7
=
29 27
=
18
14
Donc
3
2
<
9
7
<
6
5

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2° Opération sur les fractions
► Pour additionner ou soustraire deux fractions de
même dénominateur, on additionne les numérateurs et on
garde le dénominateur commun.
► Pour additionner deux fractions qui n’ont pas le
même dénominateur ont doit d’abord chercher un
dénominateur commun.
Exemple
Calculer
2
1
+
3
2
et 3 -
4
3
Réponse :
2
1
+
3
2
=
6
3
+
6
4
=
6
7
3 -
4
3
=
4
12
-
4
3
=
4
9
► Pour multiplier deux fractions, on multiplie les
numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Exemple
Calculer
7
4
3
5
et 3
5
2
Réponse
7
4
3
5
=
21
20
3
5
2
=
5
6
► L’inverse d’une fraction
b
a
est la fraction
a
b
.
Exemple
Quel est l’inverse de
4
3
?
Quel est l’inverse de 2 ?
Réponse
L’inverse de
4
3
est
3
4
.
2 =
1
2
. L’inverse de 2 est
2
1
► Pour diviser par une fraction on multiplie par son
inverse.
Exemple
Calculer
7
4
3
5
;
7
4
3 ; 5
2
1
Calculer
7
5
3
2
;
2
3
10
et
3
5
4
Réponse
7
4
3
5
=
7
4
5
3
=
20
21
7
4
3 =
7
4
3
1
=
21
4
5
2
1
= 5
1
2
= 10
7
5
3
2
=
3
2
7
5
=
3
2
5
7
=
15
14
2
3
10
=
2
3
10
=
3
2
10
=
3
20
3
5
4
=
3
5
4
=
3
1
5
4
=
15
4

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► Pour le brevet
Exemple
Calculer en montrant toutes les étapes.
A =
7
5
-
7
2
3 B =
3
5
1
5
A =
7
5
-
7
2
3
A =
7
5
-
7
2
3
1
A =
7
5
-
21
2
A =
21
15
-
21
2
A =
21
31
B =
3
5
1
5
B =
3
5
3
35
B =
3
2
5
B =
3
2
5
B =
2
3
5
B =
2
15

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3° Puissance d’un nombre
► Par définition a4 est le produit a × a × a× a et a-4 est
l’inverse de a4 c'est-à-dire
4
1
a
Exemple
Calculer 24
Donner les différentes écritures de 2-4.
Réponse
24 = 2×2×2×2 = 16
2-4 =
4
2
1
=
16
1
= 0,625
►
aa1
► Pour a ≠ 0, a0 = 1
Exemple
Calculer 51 et 50.
Réponse
51 = 5
50 = 1
►
pnpn aaa
pn
p
na
a
a
papn aa )(
Exemple
Ecrire sous la forme d’une puissance de 5
43 55
;
2
8
5
5
;
32 )5(
Ecrire sous la forme d’une puissance de 7
43 77
;
2
6
7
7
;
32 )7(
Calculer de tète 53 × 23
Réponse
●
74343 5555
;
628
2
855
5
5
;
63232 55)5(
●
1)4(343 7777
;
8)2(6
2
677
7
7
6)3(232 77)7(
●53 × 23 = (5×2)3 = 103 = 1000.
►
nnn baba )(
n
n
nb
a
b
a)(
Exemple
Ecrire
2
)3( x
sans parenthèses.
Calculer de tête
3
3
7
14
Réponse
2222 93)3( xxx
3
3
7
14
=
3
)
7
14
(
=
3
2
= 8
► Pour le brevet
Exemple
Ecrire
24
13
55 55
sous forme d’une puissance de 5
Réponse
24
13
55 55
=
)2(4
)1(3
5
5
=
6
2
5
5
=
)6(2
5
=
8
5

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4° Puissance de 10
► Une puissance de 10 est un nombre 1 ; 10 ; 100 ;
1000 ; … ou 0,1 ; 0,01 ; 0,001 …
Exemple
Calculer 104 et
Donner les différentes écritures de
4
10
Réponse
104 = 10×10×10×10 = 10000 (4 zéros après le 1)
4
10
=
4
10
1
=
10000
1
=
0001,0
(4 zéros avant le 1)
►L’écriture scientifique d’un nombre décimal est une
écriture de la forme
n
a10
ou
n
a10
dans le quel a
est un nombre décimal qui possède un seul chiffre
avant la virgule, ce chiffre doit différent de zéro.
Exemple
Donner l’écriture scientifique de 85 000 et de
0,0000275
Donner l’écriture décimale de 2,36×105 et de
1,4×10-3
Réponse
85 000 = 8,5×104
0,0000275 = 2,75×10-5
2,36×105 = 236 000
1,4×10-3 = 0,0014
► Un ordre de grandeur d’un nombre décimal peut être
sous la forme d’une puissance de 10
Exemple
Donner un ordre de grandeur de 4319000 et 0,00023
sous la forme de puissance de 10.
Réponse
4319000 ≈ 4 × 106 ≈ 106
0,00023 ≈ 2 × 10-4 ≈ 10-4
► Pour le brevet
Exemple
A =
3
25
102)105()109(
Calculer A (donner son écriture scientifique et son
écriture décimale)
Réponse
A =
3
25
102)105()109(
A =
3
25
102101059
A =
3
3
1021045
A =
)3(3
105,22
A =
6
105,22
A = 22 500 000 (écriture décimale)
A =
7
1025,2
(écriture scientifique)