3ème Calcul numérique (cours) Le : 1° Simplifier et comparer des

3ème
Calcul numérique (cours)
Le :
1° Simplifier et comparer des fractions
► On ne change pas une fraction si on multiplie ou si
on divise le numérateur et le dénominateur par un même
nombre.
Exemple
Réponse
3
Ecrire sous forme d’une fraction de dénominateur 20
4
3 =
3
3  5 15
=
=
4
4  5 20
3 3 5
15
=
=
1
1 5
5
Ecrire le nombre entier 3 sous forme d’une fraction de
dénominateur 5
► Pour simplifier une fraction on divise le numérateur
et le dénominateur par un même nombre.
Exemple
Simplifier
18
21  54
et
24
45  14
3
4
Donner une valeur approchée de
5
en pourcentage.
8
► Pour compare des fractions, on doit transformer ces
fractions : soit en nombres décimaux soit en pourcentage
soit en fractions ayant un même dénominateur.
Exemple
Comparer les fractions
Réponse
3
= 3  4 = 0,75
4
3
= 3  7 ≈ 0,428
7
3
7
► On peut écrire une fraction comme un pourcentage.
Exemple
Ecrire
18
6 3 3
=
=
(on a divisé 18 et 24 par 6)
24 6  4 4
21  27 7  3  9  3 3  3 9
=
=
=
45  14 9  5  2  7 5  2 10
► Une fraction est un quotient : elle peut avoir une
valeur décimale exacte ou approchée.
Exemple
Donner l’écriture décimale de
Réponse
2 5
7
,
et
3 6
9
Réponse
5
62,5
= 5  8 = 0,625 =
= 62,5 %
8
100
Réponse :
2
≈ 0,66 ;
3
2
Donc
<
3
5
7
≈ 0,83 et
≈ 0,77
6
9
7 5
<
9 6
Autre méthode
On cherche un dénominateur commun aux trois
fractions : c’est par exemple 18
2 2  6 12 5 5  3 15
7 7  2 14
=
=
, =
=
et
=
=
3 3  6 18 6 6  3 18
9 9  2 18
2 7 5
Donc < <
3 9 6
Collège Roland Dorgelès 1/5
3ème
Calcul numérique (cours)
Le :
2° Opération sur les fractions
► Pour additionner ou soustraire deux fractions de
même dénominateur, on additionne les numérateurs et on
garde le dénominateur commun.
► Pour additionner deux fractions qui n’ont pas le
même dénominateur ont doit d’abord chercher un
dénominateur commun.
Exemple
Calculer
1
2 3
4
7
+
=
+
=
2
3 6
6
6
3
12 3 9
3=
=
4
4 4
4
1
2
3
+
et 3 2
3
4
► Pour multiplier deux fractions, on multiplie les
numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Exemple
Calculer
Réponse :
4 5
2

et 3 
7 3
5
► L’inverse d’une fraction
a
b
est la fraction
.
b
a
Exemple
Quel est l’inverse de
3
?
4
Réponse
4 5
20

=
7 3
21
2
6
3
=
5
5
Réponse
L’inverse de
2=
3
4
est .
4
3
2
1
. L’inverse de 2 est
1
2
Quel est l’inverse de 2 ?
► Pour diviser par une fraction on multiplie par son
inverse.
Exemple
Calculer
4 5 4
1
 ; 3 ; 5 
7 3 7
2
Calculer
2
4
3 ; 10 et 5
3
5
3
2
7
Réponse
4 5
4 3
21


=
=
7 3
7 5
20
4
4 1
4
3 =
 =
7
7 3
21
1
2
5  = 5  = 10
2
1
2
3 = 2  5 = 2  7 = 14
5
3 7
3 5 15
7
3
20
2
10
= 10  = 10  =
3
2
3
3
2
4
5 = 4 3= 4  1 = 4
5
5 3 15
3
Collège Roland Dorgelès 2/5
3ème
Calcul numérique (cours)
► Pour le brevet
Exemple
Calculer en montrant toutes les étapes.
A=
5
2
- 3
7
7
B=
A=
5
1
A=
5
3
A=
A=
A=
5
2
- 3
7
7
5
2 1
- 
7
7 3
5
2
7
21
15
2
21 21
31
21
Le :
B=
5
1
B=
5
3
5
3 5

3 3
5
B=
2

3
2
B = 5
3
3
B =  5
2
15
B = 
2
Collège Roland Dorgelès 3/5
3ème
Calcul numérique (cours)
Le :
3° Puissance d’un nombre
► Par définition a4 est le produit a × a × a× a et a-4 est
l’inverse de a4 c'est-à-dire
1
a4
Exemple
Calculer 24
Donner les différentes écritures de 2-4.
► a1  a
► Pour a ≠ 0, a0 = 1
Exemple
Calculer 51 et 50.
(a n ) p  a a p
Exemple
Ecrire sous la forme d’une puissance de 5
58
; (52 ) 3
52
Ecrire sous la forme d’une puissance de 7
53  5 4 ;
6
7
; (7 2 ) 3
2
7
Calculer de tète 53 × 23
7 3  7 4 ;
► (a  b) n  a n  b n
a
an
( )n  n
b
b
Exemple
Ecrire (3x) 2 sans parenthèses.
Calculer de tête
2-4 =
1
1
=
= 0,625
4
16
2
Réponse
51 = 5
50 = 1
an
 a n p
ap
► a n  a p  a n p
Réponse
24 = 2×2×2×2 = 16
Réponse
● 53  54  53 4  57 ;
58
 582  56 ;
52
(52 )3  523  56
● 7 3  7 4  7 3 ( 4 )  7 1 ;
76
 7 6( 2)  78
2
7
(7 2 ) 3  7 2( 3)  7 6
●53 × 23 = (5×2)3 = 103 = 1000.
Réponse
(3x) 2  32 x 2  9 x 2
14
143
= ( ) 3 = 23 = 8
3
7
7
143
73
► Pour le brevet
Exemple
53  51
Ecrire  4  2 sous forme d’une puissance de 5
5 5
Réponse
53  51
53 ( 1)
52
=  4 ( 2 ) = 6 = 52 ( 6 ) = 58
4
2
5 5
5
5
Collège Roland Dorgelès 4/5
3ème
Calcul numérique (cours)
Le :
4° Puissance de 10
► Une puissance de 10 est un nombre 1 ; 10 ; 100 ;
1000 ; … ou 0,1 ; 0,01 ; 0,001 …
Exemple
Calculer 104 et
Donner les différentes écritures de 10 4
Réponse
104 = 10×10×10×10 = 10000 (4 zéros après le 1)
1
1
10 4 = 4 =
= 0,0001 (4 zéros avant le 1)
10
10000
►L’écriture scientifique d’un nombre décimal est une
Réponse
n
écriture de la forme a 10 ou a 10 dans le quel a
n
est un nombre décimal qui possède un seul chiffre
avant la virgule, ce chiffre doit différent de zéro.
Exemple
Donner l’écriture scientifique de 85 000 et de
0,0000275
Donner l’écriture décimale de 2,36×105 et de
1,4×10-3
► Un ordre de grandeur d’un nombre décimal peut être
sous la forme d’une puissance de 10
Exemple
Donner un ordre de grandeur de 4319000 et 0,00023
sous la forme de puissance de 10.
► Pour le brevet
Exemple
(9 105 )  (5 102 )
A=
2 103
Calculer A (donner son écriture scientifique et son
écriture décimale)
85 000 = 8,5×104
0,0000275 = 2,75×10-5
2,36×105 = 236 000
1,4×10-3 = 0,0014
Réponse
4319000 ≈ 4 × 106 ≈ 106
0,00023 ≈ 2 × 10-4 ≈ 10-4
Réponse
(9 105 )  (5 102 )
A=
2 103
A=
9  5 105 10 2
2 10 3
45 103
2 10 3
A = 22,5 103( 3)
A=
A = 22,5 106
A = 22 500 000 (écriture décimale)
A = 2,25 107 (écriture scientifique)
Collège Roland Dorgelès 5/5