Chapitre IV. Matrices. Marc de Crisenoy Convention: K désigne un

Chapitre IV. Matrices.
Marc de Crisenoy
Convention: Kd´esigne un corps commutatif. (En pratique K=Q,Rou C).
Remarque. Par souci de simplification, certains r´esultats de ce chapitre ne sont ´enonc´es
que pour des endomorphismes alors qu’ils sont valables pour des applications lin´eaires quelcon-
ques.
D´ef. 1. Soient n, p ∈N∗. On appelle matrice de type (n, p) `a coefficients dans Ktoute
application de {1, . . . , n}×{1, . . . , p}dans K.
Notations 2. Soient n, p ∈N∗. Soit Aune matrice de type (n, p) `a coefficients dans K.
Pour tout (i, j)∈ {1, . . . , n}×{1, . . . , p}, notons aij l’image de (i, j) par A. Avec la notation
”familiale” on a donc A= (aij )(i,j)∈{1,...,n}×{1,...,p}. On se contente souvent de noter A= (aij ).
Rq. 3. Soient n, p ∈N∗. Alors une matrice de type (n, p) `a coefficients dans Kest sou-
vent repr´esent´ee sous forme d’un tableau d’´el´ements de Kayant nlignes et pcolonnes.
Notation 4. Soient n, p ∈N∗.
On note Mn,p(K) l’ensemble des matrices de type (n, p) `a coefficients dans K.
Notation 5. Soient n, p ∈N∗.
On note On,p la matrice de type (n, p) `a coefficients dans Kdont tous les coefficients sont nuls.
D´ef. 6.
a) Soient n, p ∈N∗. Une matrice de type (n, p) `a coefficients dans Kest dite carr´ee si n=p.
b) Soit n∈N∗. Une matrice carr´ee d’ordre (ou de taille) n`a coefficients dans Kest une matrice
de type (n, n) `a coefficients dans K.
Notation 7. Soit n∈N∗.
On note Mn(K) l’ensemble des matrices carr´ees de taille n`a coefficients dans K.
Notation 8. Soit n∈N∗.
On note Onla matrice carr´ee de taille n`a coefficients dans Kdont tous les coefficients sont nuls.
D´ef. 9. Soit n∈N∗. Soit A= (aij )∈Mn(K).
On dit que Aest triangulaire sup´erieure si ∀(i, j)∈ {1, . . . , n}2(i>j=⇒aij = 0).
On dit que Aest triangulaire inf´erieure si ∀(i, j)∈ {1, . . . , n}2(j > i =⇒aij = 0).
On dit que Aest diagonale si ∀(i, j)∈ {1, . . . , n}2(i6=j=⇒aij = 0).
Rq. 10. Soit n∈N∗. Soit A∈Mn(K).
Alors Aest diagonale ssi Aest triangulaire sup´erieure et triangulaire inf´erieure.
Notation 11. Soit n∈N∗. Soient b1, . . . , bn∈K.A= (aij )∈Mn(K) est d´efinie ainsi:
soit (i, j)∈ {1, . . . , n}2; si i=jalors aii =bi, si i6=jalors aij = 0.
Aest not´ee diag(b1, . . . , bn).
1

Notation 12. Soit n∈N∗. On pose In= diag(1,...,1) ∈Mn(K).
D´ef. 13. Soient n, p ∈N∗.
1) Soient A= (aij ) et B= (bij ) des matrices de type (n, p) `a coefficients dans K.
On d´efinit C= (cij ) matrice de type (n, p) `a coefficients dans Kainsi:
∀(i, j)∈ {1, . . . , n}×{1, . . . , p}cij =aij +bij .
Par d´efinition, la matrice A+Best la matrice C.
2) Le 1) d´efinit une application +: Mn,p(K)×Mn,p(K)→Mn,p(K).
Ex. 14. Soit n∈N∗. Soient a1, . . . , an∈K. Soient b1, . . . , bn∈K.
Alors diag(a1, . . . , an) + diag(b1, . . . , bn) = diag(a1+b1, . . . , an+bn).
D´ef. 15. Soient n, p ∈N∗.
1) Soit A= (aij ) une matrice de type (n, p) `a coefficients dans K. Soit α∈K.
On d´efinit C= (cij ) matrice de type (n, p) `a coefficients dans Kainsi:
∀(i, j)∈ {1, . . . , n}×{1, . . . , p}cij =αaij .
Par d´efinition, la matrice αA est la matrice C.
2) Le 1) d´efinit une application .:K×Mn,p(K)→Mn,p(K).
Prop. 16. Soient n, p ∈N∗. Alors Mn,p(K) est un K-espace vectoriel.
D´ef. 17. Soient n, p ∈N∗. Soient k∈ {1, . . . , n}et `∈ {1, . . . , p}. On d´efinit Mk` = (mij )
ainsi: si (i, j)6= (k, `) alors mij = 0 et mk` = 1.
Prop. 18. Soient n, p ∈N∗. Alors:
a) (Mk`)(k,`)∈{1,...,n}×{1,...,p}est une base de Mn,p(K).
b) Mn,p(K) est de dimension finie et sa dimension vaut np.
D´ef. 19. Soient n, p, q ∈N∗.
Soit A= (aij ) une matrice de type (n, p) `a coefficients dans K.
Soit B= (bij ) une matrice de type (p, q) `a coefficients dans K.
On d´efinit C= (cij ) matrice de type (n, q) `a coefficients dans Kainsi:
∀(i, j)∈ {1, . . . , n}×{1, . . . , q}cij =
p
X
k=1
aikbkj .
Par d´efinition AB est la matrice C.
Prop. 20. Soient n, p, q ∈N∗. Alors:
a) ∀A∈Mn,p(K)AOp,q =On,q , b) ∀B∈Mp,q(K)On,pB=On,q.
Lemme 21. Soit n∈N∗. Soient a1, . . . , an∈K. Soient b1, . . . , bn∈K.
Alors diag(a1, . . . , an)diag(b1, . . . , bn) = diag(a1b1, . . . , anbn).
Exo. 22. Exhiber A, B ∈M2(K) v´erifiant A, B 6=O2et AB =O2.
Lemme 23. Soient n, p ∈N∗. Soit A∈Mn,p(K). Alors InA=Aet AIp=A.
Exo. 24. Soit n∈N∗. Soient i, j, k, ` ∈ {1, . . . , n}. On d´efinit δjk ainsi: δjk = 1 si j=ket
δjk = 0 sinon. Montrer que Mij Mk` =δjkMi`.
2

Prop. 25.
a) Soient n, p, q, r ∈N∗. Soient A∈Mn,p(K), B∈Mp,q (K) et C∈Mq,r(K).
Alors (AB)C=A(BC).
b) Soient n, p, q ∈N∗. Soient α∈K,A∈Mn,p(K) et B∈Mp,q (K).
Alors (αA)B=α(AB) = A(αB).
c) Soient n, p, q ∈N∗. Soient α, β ∈K,A∈Mn,p(K) et B∈Mp,q(K).
Alors (αA)(βB) = (αβ)(AB).
d) Soient n, p, q ∈N∗. Soient A∈Mn,p(K) et B, C ∈Mp,q(K). Alors A(B+C) = AB +AC.
e) Soient n, p, q ∈N∗. Soient A, B ∈Mn,p(K) et C∈Mp,q(K). Alors (A+B)C=AC +BC.
D´ef. et notation 26. Soit Eun K-ev de dimension finie non nulle. On note n= dim E.
Soit e= (e1, . . . , en) une base de E. Soit u∈L(E). On appelle matrice de udans la base ela
matrice (aij ) carr´ee de taille n`a coefficients dans Ko`u ∀j∈ {1, . . . , n}u(ej) =
n
X
i=1
aij ei. Elle
est not´ee Mat(u, e).
Rq. 27. Soit Eun K-ev de dimension finie non nulle. On note n= dim E. Soit eune base de E.
Alors Mat(IdE, e) = Inet Mat(0L(E), e) = On. Plus g´en´eralement ∀α∈KMat(αIdE, e) = αIn.
Prop 28. Soit Eun K-ev de dimension finie non nulle. On note n= dim E. Soit eune
base de E. Alors l’application de L(E) dans Mn(K) qui `a uassocie Mat(u, e) est un isomor-
phisme de K-espaces vectoriels.
Rq. 29. Soit Eun K-ev de dimension finie non nulle.
On note n= dim E. Soit eune base de E. Soit u∈L(E). Soit α∈K.
Alors Mat(u, e) = αIn⇐⇒ u=αIdE.
Cor. 30. Soit Eun K-ev de dimension finie.
Alors L(E) est de dimension finie et sa dimension vaut (dim E)2.
Prop. 31. Soit Eun K-ev de dimension finie non nulle. On note n= dim E.
Soit eune base de E. Soit u∈L(E). On note M= Mat(u, e).
Soit x∈E. On note Xla matrice colonne (appartenant `a Mn,1(K)) form´ee des coordonn´ees
de xdans la base e.
On pose y=u(x). On note Yla matrice colonne (appartenant `a Mn,1(K)) form´ee des coor-
donn´ees de ydans la base e.
Alors Y=MX.
Prop. 32. Soit Eun K-ev de dimension finie non nulle.
Soit eune base de E. Soient u, v ∈L(E).
Alors Mat(v◦u, e) = Mat(v, e)Mat(u, e).
D´ef. et prop. 33. Soit n∈N∗. Soit A∈Mn(K).
On consid`ere l’application ϕA:Mn,1(K)→Mn,1(K) d´efinie par ϕA(X) = AX.
Alors ϕAest un endomorphisme de Mn,1(K). ϕAest appel´e endomorphisme canoniquement
associ´e `a A. La matrice de ϕAdans la base canonique de Mn,1(K) est ´egale `a A.
3

D´ef. 34. Soit n∈N∗. Soit A∈Mn(K).
On dit que Aest inversible s’il existe B∈Mn(K) telle que AB =Inet BA =In.
Ex. 35. Soit n∈N∗. Alors Inest inversible, Onne l’est pas.
Notation 36. Soit n∈N∗. On note GLn(K) = {A∈Mn(K)|Aest inversible}.
Prop. 37. Soit n∈N∗. Alors:
i) ∀A, A0∈GLn(K)AA0∈GLn(K).
ii) GLn(K) (muni de la loi de multiplication induite) est un groupe. Inest son ´el´ement neutre.
Rq. 38. Soit n∈N∗. Soient A∈GLn(K) et α∈K∗.
Alors αA ∈GLn(K) et (αA)−1=α−1A−1.
Prop. 39. Soit Eun K-ev de dimension finie non nulle. On note n= dim E. Soit e
une base de E.
a) Soit u∈L(E). Alors u∈GL(E)⇐⇒ Mat(u, e)∈GLn(K).
b) L’application de GL(E) dans GLn(K) qui `a uassocie Mat(u, e) est un isomorphisme de
groupes.
Cor. 40. Soit n∈N∗. Soit A∈Mn(K).
a) S’il existe B∈Mn(K) telle que AB =Inalors Aest inversible et A−1=B.
b) S’il existe B∈Mn(K) telle que BA =Inalors Aest inversible et A−1=B.
Indications pour a).
On pose E=Knet l’on note ela base canonique de E.
Justifier qu’il existe u∈L(E) tel que Mat(u, e) = Aet v∈L(E) tel que Mat(v, e) = B.
Justifier que u◦v= IdE. En d´eduire que uest surjectif. Conclure.
D´ef. 41. Soit Eun K-ev de dimension finie non nulle. On note n= dim E.
Soient e= (e1, . . . , en) et e0= (e0
1, . . . , e0 n) des bases de E.
On d´efinit P= (aij )∈Mn(K) ainsi: ∀j∈ {1, . . . , n}e0
j=
n
X
i=1
aij ei.
Pest appel´ee matrice de passage de e(”ancienne base”) `a e0(”nouvelle base”) et est not´ee Pe→e0.
Prop. 42. Soit Eun K-ev de dimension finie non nulle. On note n= dim E.
Soient e, e0des bases de E. On note P=Pe→e0.
Soit x∈E. On note X(resp. X0) la matrice colonne (appartenant `a Mn,1(K)) form´ee des
coordonn´ees de xdans la base e(resp. e0). Alors X=P X0.
Prop. 43. Soit Eun K-ev de dimension finie non nulle. On note n= dim E.
Soient e, e0des bases de E. Alors Pe→e0∈GLn(K) et (Pe→e0)−1=Pe0→e.
Prop. 44. Soit Eun K-ev de dimension finie non nulle. On note n= dim E. Soit P∈GLn(K).
a) Soit eune base de E. Alors il existe une et une seule base e0de Etelle que Pe→e0=P.
b) Soit e0une base de E. Alors il existe une et une seule base ede Etelle que Pe→e0=P.
Prop. 45. Soit Eun K-ev de dimension finie non nulle. On note n= dim E.
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Soient e, e0des bases de E. On pose P=Pe→e0∈GLn(K).
Soit u∈L(E). On pose M= Mat(u, e) et M0= Mat(u, e0). Alors M0=P−1MP .
Rq. 46. Il existe une formule plus g´en´erale valable pour des applications lin´eaires quel-
conques (pas forc´ement des endomorphismes) et lorsque l’on change de base dans Eet dans F.
D´ef. 47. Soit n∈N∗. Soient M, M 0∈Mn(K).
On dit que M0est semblable `a Ms’il existe P∈GLn(K) telle que M0=P−1MP .
Prop. 48. Soit n∈N∗. La relation de similitude est une relation d’´equivalence sur Mn(K).
Rq. 49. Soit Eun K-ev de dimension finie non nulle.
Soient e, e0des bases de E. Soit u∈L(E). Alors Mat(u, e) et Mat(u, e0) sont semblables.
Lemme 50. Soit n∈N∗. Soit M∈Mn(K). Alors:
a) Mest semblable `a Inssi M=In, b) Mest semblable `a Onssi M=On.
Plus g´en´eralement:
Lemme 51. Soit n∈N∗. Soit α∈K. Soit M∈Mn(K).
Alors Mest semblable `a αInssi M=αIn.
D´ef. 52. Soit n∈N∗. Soit A= (aij )∈Mn(K). On appelle trace de A, et l’on note
tr(A), la somme des coefficients diagonaux de A: tr(A) =
n
X
i=1
aii. C’est un ´el´ement de K.
Ex. 53. Soit n∈N∗.
a) Soient a1, . . . , an∈K. Alors tr(diag(a1, . . . , an)) =
n
X
i=1
ai.
b) Soit α∈K. Alors tr(αIn) = nα.
Lemme 54. Soit n∈N∗. L’application trace tr: Mn(K)→Kqui `a Aassocie tr(A) est lin´eaire.
Prop. 55. Soit n∈N∗. Soient A, B ∈Mn(K). Alors tr(AB) = tr(BA).
Cor. 56. Soit n∈N∗. Soient M, M 0∈Mn(K). On suppose que Met M0sont semblables.
Alors tr(M) = tr(M0).
Exo. 57. Soit n∈N∗. On suppose n≥2.
Exhiber M, M0∈Mn(K) ayant la mˆeme trace et n’´etant pas semblables.
Lemme 58. Soit Eun K-ev de dimension finie non nulle.
Soit u∈L(E). Soient eet e0deux bases de E.
Alors tr(Mat(u, e)) = tr(Mat(u, e0)).
D´ef. et notation 59. Soit Eun K-ev de dimension finie non nulle. Soit u∈L(E).
Alors tr(Mat(u, e)) ne d´epend pas du choix de la base e.
Par d´efinition, c’est la trace de u; on la note tr(u). C’est un ´el´ement de K.
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