Geometrie au cycle 3 - Accueil ien montbrison
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La géométrie au cycle 3 R. Charnay - G. Combier - 2009 1 A propos des programmes Deux points importants pour penser leur mise en œuvre R. Charnay - G. Combier - 2009 Montbrison 1er avril 2009 2 1 Sur les enjeux La pratique des mathématiques développe le goût de la recherche et du raisonnement, l’imagination et les capacités d’abstraction, la rigueur et la précision. L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification. R. Charnay - G. Combier - 2009 3 Sur la résolution de problèmes La maîtrise des principaux éléments de mathématiques s'acquiert et s'exerce essentiellement par la résolution de problèmes, notamment à partir de situations proches de la réalité. (Socle commun, 2006) La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages. (Programmes, 2008) R. Charnay - G. Combier - 2009 Montbrison 1er avril 2009 4 2 Géométrie De quoi parleparle-t-on de l'école au collège ? R. Charnay - G. Combier - 2009 5 Du spatial au géométrique Le plus court chemin A B R. Charnay - G. Combier - 2009 Montbrison 1er avril 2009 6 3 Trois modes de résolution Résolution "pratique", sur le terrain Résolution "pratique", sur le papier, avec modélisation des objets (maisons : points, rivière : droite) Résolution mathématique : utilisation de connaissances R. Charnay - G. Combier - 2009 7 A B P M C R. Charnay - G. Combier - 2009 Montbrison 1er avril 2009 8 4 Comparaison d'aires Les 2 triangles ont-ils la même aire ? R. Charnay - G. Combier - 2009 9 Quatre modes de résolution Résolution perceptive : estimation Résolution pratique : découpage, collage… Résolution praticopratico-mathématique : mesurage, calcul (formules) Résolution mathématique : raisonnement R. Charnay - G. Combier - 2009 Montbrison 1er avril 2009 10 5 D C M h h A B R. Charnay - G. Combier - 2009 11 La géométrie de l'école au collège C1 et C2 Géométrie de la perception Est vrai ce qui est "vu" comme tel Boîte à outils géométrique : l’œil Fin C2 et C3 Géométrie instrumentée Sont vraies les propriétés contrôlées à l’aide d'instruments Boîte à outils géométrique : instruments Collège Géométrie déductive Est vrai ce qui est démontré Boîte à outils géométrique : théorèmes R. Charnay - G. Combier - 2009 Montbrison 1er avril 2009 12 6 Déterminer une longueur… (éva 6e, 1998) Sur ce dessin à main levée (les vraies grandeurs sont écrites en cm). On a représenté un rectangle ABCD et un cercle de centre A qui passe par D. Ce cercle coupe le segment [AB] au point E. Trouve la longueur du segment [EB] : …………………………….. Explique ta réponse : ………………………………. Victor : 3,5 cm (le cercle est au milieu du segment) Adrien : 1 cm 8 (j’ai mesuré) Lise : 3 cm (car 7 cm – 4 cm = 3 cm) 26,3 % 16,6 % 10,3 % R. Charnay - G. Combier - 2009 13 Reconnaissance du carré Au CP, seul A est reconnu comme un carré Au CE2, B devrait l'être aussi En 6e, C également A B C R. Charnay - G. Combier - 2009 Montbrison 1er avril 2009 14 7 Evaluation 6e 2004 Losange ou carré 53,2% Carré 40,7% Losange et carré 5,1% Rectangle 29,6% R. Charnay - G. Combier - 2009 15 QUELQUES REPÈRES pour l'enseignement R. Charnay - G. Combier - 2009 Montbrison 1er avril 2009 16 8 Un concept Différents aspects R. Charnay - G. Combier - 2009 17 Perpendicularité R. Charnay - G. Combier - 2009 Montbrison 1er avril 2009 18 9 Montbrison 1er avril 2009 R. Charnay - G. Combier - 2009 19 R. Charnay - G. Combier - 2009 20 10 Montbrison 1er avril 2009 R. Charnay - G. Combier - 2009 21 R. Charnay - G. Combier - 2009 22 11 Plusieurs aspects pour un même concept Perpendicularité Angle particulier : - angle d'une figure connue (carré, rectangle) - limite aigu/obtus - quart de tour ou 4 angles égaux de même sommet recouvrent le plan R. Charnay - G. Combier - 2009 23 Plusieurs aspects pour un même concept Perpendicularité - Vertical/horizontal - Droite d’équilibre ou demi-angle plat - Axe de symétrie d'une droite (pliage) - Plus courte distance d'un point à une droite R. Charnay - G. Combier - 2009 Montbrison 1er avril 2009 24 12 Parallélisme R. Charnay - G. Combier - 2009 25 Plusieurs aspects pour un même concept Parallélisme - Ne se rencontrent pas, non sécantes - Vont dans la même direction ou Même inclinaison par rapport à une droite donnée - Ecart constant R. Charnay - G. Combier - 2009 Montbrison 1er avril 2009 26 13 Plusieurs aspects pour un même concept Parallélisme - Perpendiculaires à une même autre droite - Symétriques par rapport à un point R. Charnay - G. Combier - 2009 27 Perpendicularité Evolution de la notion à l’école R. Charnay - G. Combier - 2009 Montbrison 1er avril 2009 28 14 Une première étape au CE1 L'angle droit lié au "coin" du carré Mise en débat : carré / pas carré Les gabarits avant l'équerre R. Charnay - G. Combier - 2009 29 R. Charnay - G. Combier - 2009 30 Des angles droits dans d'autres figures Montbrison 1er avril 2009 15 Portrait : Qui suis-je ? -J'ai un seul angle droit - J’ai 8 côtés, 6 angles droits et un axe de symétrie -J'ai 4 côtés et 2 angles droits R. Charnay - G. Combier - 2009 31 Une deuxième étape au CE2 Des gabarits aux équerres Différentes équerres - Repérage des angles droits Les équerres pour - Identifier des angles droits - Reconnaître des figures (carré, rectangle, triangle rectangle) - Reproduire, compléter, construire des figures R. Charnay - G. Combier - 2009 Montbrison 1er avril 2009 32 16 Une troisième étape au CE2 La perpendicularité Point de départ Lien avec angle droit - Horizontal / vertical 2 directions déterminées par le fil à plomb et le niveau à bulle Retrouver la trace du fil à plomb lorsque qu'on fera coïncider cette ligne avec le niveau à bulle. Définition Deux droites qui se coupent en formant un angle droit sont deux droites perpendiculaires. R. Charnay - G. Combier - 2009 33 Une quatrième étape au CE2 Entraîner et enrichir la perpendicularité Identifier à vue avec l'équerre Tracer, à main levée avec l'équerre R. Charnay - G. Combier - 2009 Montbrison 1er avril 2009 34 17 Une cinquième étape au CM1 L'angle droit parmi d'autres angles Angle droit = quart de tour 2 perpendiculaires : 4 angles droits R. Charnay - G. Combier - 2009 35 Optimisation du tracé de deux droites perpendiculaires Tracé 1 Tracé 2 R. Charnay - G. Combier - 2009 Montbrison 1er avril 2009 Tracé 3 36 18 Une sixième étape au CM1 Perpendicularité outil Exemple : pour le parallélisme Exemple : pour la symétrie Avec uniquement l'équerre, sans mesurer, tracer une droite qui passe par le point A et qui est parallèle à la droite d. AA d R. Charnay - G. Combier - 2009 37 Une septième étape au CM2 Un nouvel aspect de la perpendicularité A 1) Trouver le point de la droite D qui est le proche du point A. 2) Ecrire une méthode qui permet de trouver, du premier coup, le point d'une droite qui est le plus proche d'un point qui n'est pas sur la droite. d d A R. Charnay - G. Combier - 2009 Montbrison 1er avril 2009 38 19 Une huitième étape au CM2 Réinvestissement de la perpendicularité - Pour décrire une figure - Pour reproduire une figure - Pour construire une figure - d'après une description - d'après un schéma… R. Charnay - G. Combier - 2009 39 La suite au collège - Tracé à la règle et au compas (relation avec médiatrice et axe de symétrie) - Mesure : 90°(utilisation du rapporteur) - Perpendicularité et distance d'un point à une droite - Perpendicularité et Pythagore ABC est rectangle en A<=> BC2=AB2+AC2 - Perpendicularité et demi-cercle R. Charnay - G. Combier - 2009 Montbrison 1er avril 2009 40 20 Enseigner la géométrie à l’école R. Charnay - G. Combier - 2009 41 Une approche par les problèmes Localiser : décrire une position, repérer Reproduire Décrire, en vue de faire reproduire ou reconnaître Représenter Construire, à partir d'une description, d'un programme de construction, d'un schéma Classer Agrandir, réduire R. Charnay - G. Combier - 2009 Montbrison 1er avril 2009 42 21 Quelles notions (relations) ? Relations spatiales ordinaires Alignement Égalité de longueurs, milieu Perpendicularité Parallélisme Comparaison et égalité d’angles Axes de symétrie R. Charnay - G. Combier - 2009 43 Des compétences attendues sur les objets suivants Objets de base (mais pas premiers !) : point, droite, segment, angle Polygones : triangles et cas particuliers (hauteur), carré, rectangle, losange, parallélogramme (angles, côtés, pas les diagonales) Cercle Polyèdres : cube, pavé droit, prisme droit, pyramide, cylindre R. Charnay - G. Combier - 2009 Montbrison 1er avril 2009 44 22 Quels instruments et techniques ? Gabarits : angle droit, angles, longueurs Règle graduée ou non, équerres (ordinaire, réquerre, téquerre) Guide-âne Compas Calque, pliage, géomiroir, papier quadrillé, papier pointé R. Charnay - G. Combier - 2009 45 Vocabulaire : une attention particulière Les mots ne sont pas les concepts Polysémie : exemple du mot "droit" Formulations spécifiques La droite d est parallèle à la droite f Les droites d et f sont parallèles Tracer la droite parallèle à la droite d qui passe par le point A R. Charnay - G. Combier - 2009 Montbrison 1er avril 2009 46 23 Quelques exemples de problèmes Autour du cercle… R. Charnay - G. Combier - 2009 47 Au CM1… Des exemples de pièces qui "passent" ou qui ne "passent pas" sont montrés au préalable. A la fin une validation expérimentale est possible. R. Charnay - G. Combier - 2009 Montbrison 1er avril 2009 48 24 Problème : faire apparaître un diamètre 1ère étape : tous les moyens sont possibles. 2e étape : les instruments de géométrie sont interdits. R. Charnay - G. Combier - 2009 49 Utiliser ses connaissances Analyser la figure, dans le but d'en compléter un agrandissement… dans une position différente. R. Charnay - G. Combier - 2009 Montbrison 1er avril 2009 50 25 Triangles CM2 R. Charnay - G. Combier - 2009 51 Exercices R. Charnay - G. Combier - 2009 Montbrison 1er avril 2009 52 26 Triangles particuliers Groupes A : équerre et calque Groupes B : équerre et compas Choisir un triangle et le décrire pour qu'un groupe différent qui dispose du même matériel puisse le reconnaître R. Charnay - G. Combier - 2009 53 En conclusion Un concept géométrique Des références spatiales Des problèmes et différentes conceptions Différents langages : vocabulaire, dessin précis, schéma Des techniques et des instruments de référence Un outil pour le raisonnement R. Charnay - G. Combier - 2009 Montbrison 1er avril 2009 54 27 Deux exemples de problèmes "de raisonnement" R. Charnay - G. Combier - 2009 Montbrison 1er avril 2009 55 28
