La résolution de problèmes

Apprentissage des
mathématiques
Résolution de problèmes
Roland Charnay - 2007
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Des enjeux complémentaires
• Acquérir des outils mathématiques…
• Etre capable de les utiliser dans différents
domaines, en autonomie
• Préparer la suite des apprentissages
(collège…)
• Développer des compétences générales
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Plan
• Etat des lieux : quelques données sur
les acquis des élèves
• Analyse des difficultés
• Pistes pour l’action pédagogique
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Etat des lieux
Quelques données
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Evaluation sixième 2004
• Plus d'1 élève sur 5 a des difficultés avec les
"compétences nécessaires pour profiter
pleinement des situations pédagogiques de
sixième" (pour plus de 2/3 des items considérés).
• Deux domaines particuliers de difficultés
– le calcul mental
– la résolution de problèmes
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Calcul mental – Evaluations CE2 et 6e
2004 : 28 % d'échec aux "questions de base"
6e
CE2
24+6
36+11
32+9
10x9
45+15
21x2
48- 11
51- 30
43- 5
83%
79%
77%
68%
64%
55%
52%
49%
49%
33+27
M
oitié de 9
?+15=60
3,5+1,5
14x4
57- 9
Quart de 100
2,3x10
4x2,5
52: 4
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88%
87%
80%
78%
77%
75%
66%
56%
49%
37%
6
Priorité au calcul mental
parmi tous les moyens de calcul
sous ses 2 aspects

Mémoriser des résultats et des procédures

Construire des résultats
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La résolution de
problèmes
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Evaluation 6e - 2003
Xavier range les 50 photos de ses dernières
vacances dans un classeur.
Chaque page contient 6 photos.
a) Combien y a-t-il de pages complètes ?
b) Combien y a-t-il de photos sur la page incomplète ?
Il y a ……… pages complètes.
54 %
Il y a ……… photos sur la page incomplète. 57 %
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Procédures possibles
Problème des photos
• Division par 6
• Division (CM1)
• Essais de produits par 6
• Table de multiplication (CE2)
• Addition de 6 en 6
• Addition (CE1)
• Schématisation des pages et des photos
• Dénombrement (CP)
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Une question
Pourquoi des élèves qui disposent de
l’une ou l’autre des connaissances
permettant de résoudre ce problème…
- ne pensent-ils pas…
- n’osent-ils pas…
- ne se croient-ils pas autorisés…
… (à) les utiliser pour répondre à la
question?
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Comparaison internationale (PISA 2003)
Deux points faibles caractéristiques
• "Les élèves ont des connaissances, mais elles sont peu
disponibles. Pour la plupart d'entre eux, si on ne leur dit pas
explicitement quelles connaissances mathématiques il
convient d'utiliser dans une situation donnée, ils ne la
trouveront pas d'eux-mêmes, même s'ils possèdent le ou les
éléments de connaissance correspondants".
• Manque d'autonomie : "Ils ne s'attaquent qu'aux questions
qu'ils pensent pouvoir résoudre, ils ne disposent pas de
stratégies pour aborder un problème qui ne leur est pas
familier : essayer, expérimenter, bricoler… ne font pas partie
des modes d'approche possibles".
•
Antoine Bodin, Les mathématiques face aux évaluations, revue Repères (IREM), octobre 2006
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Un exemple
Un menuisier dispose de 32 m de planches et souhaite s'en servir pour
faire la bordure d'une plate-bande dans un jardin. Il envisage d'utiliser un
des tracés suivants pour cette bordure :
Indiquez pour chacun des tracés s'il peut être réalisé avec les 32 m de planches.
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Analyse des difficultés
Quelques pistes
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Julie (éva 6e)
Julie a acheté pour un goûter :
- deux tablettes de chocolat à 8 F. chacune
- quatre bouteilles de limonade à 6 F. chacune
- un sac de brioches.
Elle a payé 56 F.
Quel est le prix du sac de brioches ?
8 F x 6 F = 54 F
Le prix du sac de brioches est 2 F.
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Schéma d’analyse sommaire
Connaissances
- en lecture
- sur le contexte
- mathématiques
- sens des notions
Connaissances
- sur ce qui est attendu
- sur ce qui est permis
- sur ce qui marche souvent
- sur "l'accueil" des erreurs
- raisonnement
- calcul
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A la bonne place (éva CE2)
Ecris, dans le bon ordre, chaque nombre à la place qui convient.
367
300
300
582
400
309
400
309
500
367
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500
600
582
600
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Quelques pistes…
… pour le travail avec les
élèves
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Apprendre ce qu’est chercher
Un mot à double sens
• Chercher parmi les solutions expertes
déjà éprouvées
• Chercher, bricoler une solution nouvelle,
originale, personnelle, comme le
chercheur
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Exemples en GS
Exemple 1 : Résolution à l'aide du matériel
– 24 objets, 6 pochettes
– mettre 3 ou 4 ou 5 objets par pochette
– Contrainte supplémentaire : il doit y avoir tous les types de
pochettes
– Autre contrainte : même nombre d'objets dans chaque pochette
Exemple 2 : Résolution à l'aide du matériel
– Trouver toutes les répartitions de 12 objets dans 3 pochettes
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Aide à la prise de conscience du comportement
de chercheur et de stratégies efficaces
• Narration de recherche
– Rédiger un compte-rendu de sa recherche, en décrivant toutes les
idées, toutes les pistes, y compris celles qui n'ont pas abouti (IREM de
Montpellier)
– Faire des mathématiques, chest accepter de tâtonner, de faire des
hypothèses, d'essayer, de se tromper, de corriger, de
recommencer…
• Mise en commun
– Comprendre et discuter d'autres démarches
• Synthèse sur des stratégies efficaces
–
–
–
–
Faire une hypothèse, la tester (pour voir)
Faire un schéma (pour comprendre, pour chercher)
Déduire de l'information d'un essai
Systématiser des essais…
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Aider à l’appropriation du
problème
• Plusieurs supports de présentation
– Vécu
– Dessin, schéma, document
– Oral
– Ecrit
• Aux cycles 1 et 2, le travail sur fiche est
peu favorable, dans la phase d’apprentissage
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Dix dans la boîte
(Cap maths CP)
- deux joueurs
- 1, 2 ou 3 jetons dans la boîte à chaque coup.
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Dix dans la boîte : 3 problèmes
• Se souvenir de ce qui est mis dans la boîte à
chaque coup
• Plusieurs solutions… dont les nombres
• Connaître le contenu de la boîte
• Vers l’addition
• Savoir s’il est possible de gagner au coup
suivant
• Vers le complément
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ANTICIPER / VALIDER : un aspect
essentiel de ce type de situation
Situation réelle
Favorise
l’appropriation de la
situation et du
problème
Permet la validation de
la réponse ou d'une
procédure
Anticiper
Incite à l'expérience
mentale
Oblige à élaborer des
procédures
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Limiter les références possibles à des
indices « extérieurs » au problème.
• Ne pas lier systématiquement les
problèmes aux apprentissages en cours
• Se méfier des aides « de surface »
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Exploiter la diversité des
procédures
• Favoriser la diversité
• Exploiter la diversité
• Aider au progrès des élèves
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Correction ou mise en commun ?
Correction
Mise en commun
• Aboutir au corrigé, à
LA solution
• Conséquence :
« résolution » unique
dont il faut
s’approcher le plus
possible
• Inventorier les
« résolutions »
• Débattre de leur
validité
• Les comparer
• Conséquence : la
diversité est possible
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Trace écrite ?
• Pas de trace écrite cette fois-ci
• Une « résolution » correcte, au choix de
chaque élève
• Un montage de différentes « résolutions »
correctes
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Aider à progresser…
• Prise de conscience au cours de la mise en
commun
• Mise en lien, établissement de ponts entre des
« résolutions » en apparence différentes
• Choix des variables
Exemple : 250 passagers, 240 adultes
• Expérience mettant en évidence l’équivalence de 2
« résolutions » (ici validation expérimentale)
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Accorder un autre statut à l'erreur
• Se tromper est « normal », dans la phase
d'apprentissage
• Dans cette phase, l'erreur ne doit donc
pas être sanctionnée
• On apprend aussi en travaillant sur les
erreurs
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Un exemple en calcul mental
Question : calculer "6 fois 15"
Réponse sur l'ardoise : 36
Analyse (hypothèse confirmée par l'explication de l'élève)
L'élève a calculé 6 x 5 = 30 et 6 x 1 = 6,
puis 30 + 6 = 36
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Travail possible
• Faire expliciter la procédure utilisée
• Pourquoi est-on sûr que cette réponse est
fausse (sans refaire le calcul) ?
– Parce que chest plus grand que 6 x 10
• Faire expliciter (éventuellement de plusieurs
manières) une procédure correcte qui s'appuie
sur une décomposition de 15
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Exemples d'explicitations…
• Oralement
– 15 chest 10 + 5, pour avoir 6 fois 15, il faut prendre 6
fois 10 et 6 fois 5
• Oralement, avec appui sur un dessin
– 6 fois ça
et 6 fois ça
• Essentiellement par le dessin (ou matériel, doigts)
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Et retour sur la procédure erronée
Quel calcul réalise-t-on en
faisant
6 fois 5 plus 6 fois 1 ?
Explications du même type que précédemment (oral,
dessin…)
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La culture mathématique, chest …
• Des connaissances
• Des connaissances utilisables (donc qui ont
du sens)
• Des connaissances cohérentes (reliées entre
elles)
• La capacité à les utiliser pour justifier
• L'initiation à une pratique "mathématisante"
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