Géométrie au C3

Novembre 2013
au cycle 3
R. Charnay - G. Combier - 2013
La géométrie au cycle 3 / Romorantin
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Novembre 2013
De quoi parle-t-on
de l'école au collège ?
Espace sensible et géométrie
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La géométrie au cycle 3 / Romorantin
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Novembre 2013
Du spatial au géométrique
Un problème de mesure
On connaît la longueur et la hauteur d’un mur
d’une pièce « rectangulaire ».
On souhaite déterminer la longueur de la
diagonale de ce mur.
Comment faire ?
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Trois modes de résolution
Résolution "pratique" :
mesure prise sur le mur avec un fil et un escabeau
Résolution "pratique" :
dessin à l’échelle sur une feuille de papier et mesure
Résolution mathématique :
raisonnement utilisant des connaissances géométriques
(théorème de Pythagore)
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Un autre problème de mesure
ABCD est un trapèze de bases [AB] et [CD ].
Les diagonales [AC] et [BD] se coupent en M.
C
D
M
A
B
Les 2 triangles AMD et BMC ont-ils la même aire ?
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Quatre modes de résolution
Résolution perceptive : estimation
Résolution pratique : découpage, collage…
Résolution pratico-mathématique :
reconnaissance de figures, mesurage, calcul (formules)
Résolution mathématique : raisonnement
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C
D
D
h
h
A
C
M
h
M
h
B
A
B
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La géométrie de l'école au collège
C1 et C2
Géométrie de la perception
Est vrai ce qui est "vu" comme tel
Boîte à outils géométrique : l’œil
Fin C2 et C3
Géométrie instrumentée
Sont vraies les propriétés contrôlées à l’aide d'instruments
Boîte à outils géométrique : instruments
Collège
Géométrie déductive
Est vrai ce qui est démontré
Boîte à outils géométrique : théorèmes
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Perception, Instrumentation, Démonstration
Quelle est la nature d’un quadrilatère
dont les sommets sont les milieux
des côtés d’un rectangle ?
Concours des médiatrices
d’un triangle
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Déterminer une longueur…
(éva 6e, 1997)
Sur ce dessin à main levée (les vraies grandeurs sont écrites en cm),
on a représenté un rectangle ABCD et un cercle de centre A qui
passe par D. Ce cercle coupe le segment [AB] au point E.
Trouve la longueur du segment [EB] :
……………………………..
Explique ta réponse :
……………………………….
Victor : 3,5 cm (le cercle est au milieu du segment)
Adrien : 1 cm 8 (j’ai mesuré)
Lise : 3 cm (car 7 cm – 4 cm = 3 cm)
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26,3 %
16,6 %
10,3 %
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Reconnaissance du carré
Au CP, seul A est reconnu comme
un carré
A
Géométrie perceptive
Au CE2, B devrait l'être aussi
B
Géométrie instrumentée
En 6e, C également
Géométrie théorique
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C
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Réponse d'un élève (entrée en 6e)
Réponse correcte : le carré est
un losange, ici en position
standard
Réponse correcte : carré,
pourtant en position non
standard
Réponse oubliée : le losange en
position non standard
Réponse erronée : faux carré,
mais ici en position standard
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pour l'enseignement
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Différents aspects
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Plusieurs aspects pour un même concept
Perpendicularité
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Que faites vous pour décider si
l’angle est droit ou non ?
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Et là ?
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Que faites vous pour décider si
les deux droites sont perpendiculaires ou non ?
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Et pour tracer la perpendiculaire à la droite
passant par le point marqué ?
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Plusieurs aspects pour un même concept
Perpendicularité
Angle particulier :
- « Coin » :
d’un objet de référence (équerre)
ou
d’une figure prototype (carré, rectangle))
- Droite d’équilibre ou demi-angle plat
- Vertical/horizontal
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Plusieurs aspects pour un même concept
Perpendicularité
- Quatre angles égaux de même
sommet recouvrent le plan
(quart de tour)
- Axe de symétrie d'une droite (pliage)
- Plus courte distance d'un point
à une droite
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Plusieurs aspects pour un même concept
Parallélisme
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Plusieurs aspects pour un même concept
Parallélisme
- Ne se rencontrent pas,
non sécantes
- Ecart constant
- Vont dans la même direction
ou
Même inclinaison par
rapport à une droite donnée
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Plusieurs
pour un
un même
Plusieurs aspects
aspects pour
même concept
concept
Parallélisme
- Perpendiculaires à une
même autre droite
- Symétriques par
rapport à un point
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Angle droit et
perpendicularité
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Regard sur quelques difficultés
Exercice 16
B
d
A
C
1- Trace la droite qui passe par les points A et C
2- Trace la droite qui passe par C et qui est
perpendiculaire à la droite d
3- Trace la droite qui passe par B et qui est
parallèle à la droite d
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54 % + 40 % segment
39 %
50 %
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Une première étape au CE1
L'angle droit lié au "coin" du carré
Mise en débat : carré / pas carré
Les gabarits avant l'équerre
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Des angles droits dans
d'autres figures
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Portrait
Qui suis-je ?
-J'ai un seul angle droit
-J'ai 6 angles droits et
un axe de symétrie
-J'ai 4 côtés et 2 angles
droits
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Une deuxième étape au CE2
Des gabarits aux équerres
utilisées pour
Différentes équerres
- Identifier des angles droits
- Reconnaître des figures
(carré, rectangle, triangle
rectangle)
- Reproduire, compléter,
construire des figures
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Une troisième étape au CE2
La perpendicularité
Point de départ
Lien avec angle droit
- Horizontal / vertical
2 directions déterminées par
le fil à plomb et le niveau à bulle
Retrouver la trace du fil à
plomb lorsque qu'on fera coïncider
cette ligne avec le niveau à bulle.
Définition
Deux droites qui se coupent
en formant un angle droit
sont deux droites perpendiculaires.
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Une quatrième étape au CE2
Enrichir la perpendicularité
Tracer, identifier
à vue, à main levée
avec l'équerre
Une autre image de la
perpendicularité
le pliage
Plier une 2e fois
pour avoir
2 droites
perpendiculaires
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Une cinquième étape au CM1
L'angle droit parmi d'autres angles
Angle droit = quart de tour
2 perpendiculaires : 4 angles droits
Géomette a tracé sur sa feuille 4
angles qui ont tous le même sommet.
Les 4 angles ne sont pas égaux.
Saurais-tu faire apparaître 4 angles
tous égaux et qui ont tous pour
sommet le point dessiné ?
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Une sixième étape au CM1
Perpendicularité outil
Exemple : pour le parallélisme
Avec uniquement l'équerre, sans
mesurer, tracer une droite qui
passe par le point A et qui est
parallèle à la droite d.
A
d
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Une septième étape au CM2
Un nouvel aspect de la perpendicularité
A
1) Trouver le point de la droite d
qui est le proche du point A.
d
2) Ecrire une méthode qui permet
de trouver, du premier coup,
le point d'une droite qui est
le plus proche d'un point
qui n'est pas sur la droite.
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d
A
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Une huitième étape au CM2
Réinvestissement de la perpendicularité
- Pour décrire une figure
- Pour reproduire une figure
- Pour construire une figure
- A partir d’une description
- A partir d’un schéma
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La suite au collège
- Tracé à la règle et au compas (relation avec médiatrice)
- Mesure : 90°, rapporteur
- Double perpendicularité et parallélisme
- Perpendicularité et distance d'un point à une droite
- Perpendicularité et Pythagore
- Perpendicularité et demi-cercle
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Une approche par les
problèmes
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Une approche de la géométrie par les problèmes
Localiser : décrire une position, repérer
Reproduire
Décrire, en vue de faire reproduire ou reconnaître
Description verbale : informations ou programme de construction
Description schématique (schéma codé avec cotes, à main levée ou non)
Représenter, en vue de faire reproduire ou reconnaître
Construire, à partir d'une description, d'un programme de
construction, d'un schéma
Classer
Agrandir, réduire
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Quelles notions (propriétés) ?
Relations spatiales ordinaires
Alignement
Égalité de longueurs, milieu
Perpendicularité
Parallélisme
Egalité d’angles
Axes de symétrie
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Des compétences attendues
sur les objets suivants
Objets de base (mais pas premiers !) :
point, droite, segment, angle
Polygones : triangles et cas particuliers,
carré, rectangle, losange,
parallélogramme
(angles, côtés, pas les diagonales)
Cercle
Polyèdres : cube, pavé droit,
prisme droit, pyramide, cylindre
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Quels instruments et techniques ?
Gabarits : angle droit, angles, longueurs
Règle graduée ou non, équerres (ordinaire,
réquerre, téquerre)
Guide-âne
Compas
Calque, pliage, papier quadrillé
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Vocabulaire : une attention particulière
Les mots ne sont pas les concepts
Polysémie : exemple du mot "droit"
Formulations spécifiques
La droite d est parallèle à la droite f
Les droites d et f sont parallèles
Tracer la droite parallèle à la droite d qui passe
par le point A
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autour du cercle…
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Au CE2…
Utilise tes instruments de géométrie.
Prends sur la figure A toutes les
informations qui te seront utiles pour
tracer les cercles sur la figure B.
Ensuite, utilise ces informations pour
tracer les cercles sur la figure B.
Une fois les tracés terminés, la figure
B doit être superposable à la figure A.
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Au CE2…
Utiliser ses connaissances
- Associer figures et descriptions
- Rédiger une description d’un cercle pour le faire reconnaître
- Construire à partir d’une description
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Au CM1…
- Exemples de pièces qui “passent” ou qui ne “passent pas”.
- Résolution du problème.
- A la fin, une validation expérimentale est possible.
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Au CM1
Utiliser ses connaissances
Analyser la figure,
dans le but d'en compléter
un agrandissement…
dans une position différente.
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autour de l’angle…
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Agrandir une figure
(CM1 – CM2)
Voici un losange
et un agrandissement
de ce losange.
La figure et son agrandissement restent affichés au
tableau.
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Agrandir une figure
(CM1 – CM2)
Où l’angle est un outil
incontournable.
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En conclusion
Un concept géométrique
Des références spatiales
Des problèmes et différentes aspects
Différents langages : vocabulaire, dessin
précis, schéma à main levée (coté ou non)
Des techniques et des instruments de
référence
Un outil pour le raisonnement
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Un exemple de problème "de raisonnement"
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La réquerre
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La téquerre
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Le guide-âne
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