Notation de Dirac

Premier postulat
Dénition de l'état quantique ou principe de superposition
A tout système quantique on peut associer un espace de Hilbert H. L'état du système est alors décrit
par un élément |ψi de H, qu'on appelle vecteur d'état ou vecteur ket en notation de Dirac.
Rappel
Un espace de Hilbert est un espace vectoriel complexe (ie un ensemble (H ) dôté d'une loi de
composition interne (+ : H × H → H ) et d'une loi de composition externe (. : C × H → H ))
avec un produit scalaire (, ) : H × H → C. L'espace peut être de dimension nie ou innie.
Cette structure implique le théorème de superposition : si |ψ1 i et |ψ2 i sont deux états du système
(ie deux vecteurs de H), alors |ψ1+2 i = |ψ1 i + |ψ2 i est aussi un état possible du système.
Notation de Dirac
Soit |ψi un élément de H. On appelle |ψi un ket.
On appelle bra l'ensemble des formes linéaires sur H, ie des opérateurs H → C. En particulier, à chaque
ket |ψi est associé un bra hψ| tel que ∀ |φi ∈ H, hψ |φi = (ψ, φ), où (ψ, φ) est le produit scalaire entre
|ψi et |φi.
Exemples
1. Pour décrire le mouvement d'une particule, on prend H = L2 R3 (ensemble des fonctions de
R3 dans C de carré intégrable). C'est un espace de dimension inni et on note ses éléments
R3
ψ: →
−
r
→
C
. Ces éléments sont appelés fonctions d'onde.
−
→ ψ(→
r)
La loi de composition interne est simplement la somme de fonctions :
R3
ψ1 + ψ2 : →
−
r
→
→
C
.
−
−
ψ1 (→
r ) + ψ2 (→
r)
Le produit externe est simplement le produit de la fonction par un complexe :
R3
λψ : →
−
r
→
C
.
−
→ λψ(→
r)
Le produit scalaire est déni par :
(ψ1 , ψ2 ) = hψ1 |ψ2 i =
´
R3
−
−
−
ψ1∗ (→
r )ψ2 (→
r )d3 →
r.
2. Pour décrire les degrés de libertés interne d'une particule dans l'expérience de Stern
et
Gerlach,
on prend H = R2 . C'est un espace de dimension 2 et on prend une base |+i =
0
1
1
0
. On note alors les éléments de X sous la forme |ψi = ψ |+i + ψ |−i =
+
−
et |−i =
ψ+
ψ−
,
avec ψ ∈ R et ψ ∈ R.
La composition interne
est
alors
simplement
la
somme
de
vecteurs
:
|ψ1 i+|ψ2 i = ψ1+ + ψ2+ |+i+
−
+
ψ1− + ψ2− |−i =
ψ1+ + ψ2+
ψ1− + ψ2−
.
+
Le produit externe est
simplement le produit du vecteur par un complexe : λ |ψi = λψ |+i +
λψ − |−i =
λψ +
λψ −
.
Le produit scalaire
le produit hermitien entre deux vecteurs : (ψ1 .ψ2 ) =
∗ est simplement
∗
hψ1 |ψ2 i = ψ1+ ψ2+ + ψ1− ψ2− .
3. On peut assembler plusieurs espaces de Hilbert ensemble par un produit tensoriel :
• Pour décrire une particule dôtée d'un
degré de liberté interne de spin et d'un mouvement
orbitalaire, on prend H = L2 R3 ⊗ R2 (avec L2 R3 pour le mouvement orbitalaire et
R2 pour le spin).
• Pour décrire le spin de deux particules, on prend H = R2 ⊗ R2 .
Deuxième postulat
Principe de correspondance
Toute grandeur O du système pouvant faire l'objet d'une mesure est reliée à un opérateur hermitique
Ô :
H
ψ
→
H
.
→ Ô(ψ)
Ces opérateurs sont appelés les observables du système.
1
Penangol
Remarque Il faut bien distinguer O, grandeur physique du système (qui est un nombre réel), de Ô, opérateur
hermitien, qui agit sur H. Le lien entre Ô et O est donné par le troisième postulat.
Rappel
opérateur hermitique
Un opérateur Ô est hermitique si et seulement si il est égal à son transconjugué, ce qu'on note
Ô† = Ô. L'adjoint
B̂ tel que
d'un opérateur
 est a priori un opérateur pour
toutψ1 , ψ2 , on
ait ψ1 , Â (ψ2 ) = B̂ (ψ1 ) , ψ2 (ou en notation de Dirac, hψ1 | Â |ψ2 i = hψ1 | B̂ |ψ2 i). On
montre facilement que B̂ = t¯Â.
Tout opérateur hermitique est diagonalisable dans une base orthonormale (ie il existe une base
{|ψi i} de H sur laquelle Ô est diagonal et telle que hψi |ψj i = δij ) et ses valeurs propres sont
réelles : c'est le théorème spectral.
Conséquence :
P
Tout vecteur d'état peut s'écrire dans la base propre de Ô comme : |ψi = µi |φi i,
où |φi i est le vecteur propre de Ô associé à la valeur propre ai (ie Ô |φi i = ai |φi i) et
µi = hψ |φi i.
Exemples
1. Dans H = L2 R3 , on dénit x̂ l'opérateur position suivant x par x̂ :
H
|ψi
R3
→
−
ρ
→
C
(idem avec y et z ).
−
→ ρx ψ(→
ρ)
Dans H = L2 R3 , on dénit pˆx l'opérateur impulsion suivant x par pˆx :
x |ψi :
→
H
avec
→ x |ψi
R3
→
H
|ψi
→
H
→ pˆx |ψi
C
avec pˆx |ψi : →
(idem avec y et z ).
−
−
ρ → −i~∂x ψ(→
ρ)
2. Dans H = R2 décrivant un spin 1/2, on dénit Sz l'opérateur de spin suivant z par Sˆz |+i =
+ ~2 |+i et Sˆz |−i = − ~2 |−i.
3. Dans un produit tensoriel d'espace de Hilbert, on peut dénir un opérateur comme produit
tensoriel d'opérateurs agissant sur chacun des sous espaces
• Pour décrire le spin de deux particules dans H = R2 ⊗ R2 , on peut dénir S1,z = Sz ⊗ Id
agissant uniquement sur la particule 1 ou S2,z = Id ⊗ Sz agissant uniquement sur la
particule 2. On peut aussi dénir Stot,z = S1,z + S2,z agissant sur les deux particules à la
fois.
• Pour une particule dans H = L2 R3 ⊗ R2 ayant à la fois un spin et un mouvement
orbitalaire, on peut dénir les grandeurs sur mouvement comme pˆx ⊗ Id par exemple. On
peut aussi considérer des opérateurs agissant sur les deux sous espaces à la fois, comme
dans le cas de l'interaction Spin - Orbite.
Troisième postulat
Postulat de la mesure
La mesure de la grandeur du système associée à l'observable Ô ne peut aboutir qu'à une valeur propre
ai de cet observable.
La valeur moyenne de la mesure de Ô sur un état |ψi est donnée par hψ| Ô |ψi.
Conséquences
• Si l'état du système avant mesure est un état propre |φi i de Ô, alors la mesure de O donne
de manière certaine ai .
• Si l'état du système n'est pas un état propre de Ô, alors la mesure de O ne peut donner que
aj ∈ Sp(Ô) mais ce résultat peut changer si on refait l'expérience (cependant, ce sera toujours
une valeur propre de Ô). La valeur moyenne des résultats sur un grand nombre d'expérience
sera donc une combinaison linéaire des ai et vaut hψ| Ô |ψi.
Exemples
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Penangol
1. Pour décrire la position suivant x d'une particule, on utilise l'observable x̂, dont les vecteurs
propres sont les {|x0 i} avec x0 (x) = δ(x − x0 ). Les seules valeurs de la position mesurables
sur
sont donc les {x0 }. La valeur moyenne de la position est donnée par hxi =
´ une mesure
2
x |ψ(x)| dx.
Les vecteurs propres de pˆx sont les |px,i i avec px,i (x) = √1L eipx,i x/~ . Les seules valeurs de
la position mesurables sur une mesure sont
´ donc les {x0 }. La valeur moyenne de l'impulsion
suivant x est donc donnée par hpx i = −i~ ψ ∗ (x) (∂x ψ(x)) dx
2. Si on prépare un système de spin dans l'état |ψi = √12 |+i + √12 |−i, la valeur moyenne de spin
suivant z est donnée par 21 (h+| + h−|) Sz (|+i + |−i) = 12 21 + 0 + 0 + − 12 = 0.
Quatrième postulat
Postulat de Born
Cas discret :
Lors d'une mesure sur |ψi d'une grandeur discrête, la probabilité de trouver la valeur ai est
égale à |hψ |φi i|2 .
Cas continu :
Lors d'une mesure sur |ψid'une grandeur continue, la probabilité de trouver la valeur α à
2
dα près est égale à |hψ |φ(α)i| dα.
Exemples
1. La probabilité de mesurer la particule entre x0 et x0 + dx0 est donnée par |hψ |x0 i|2 dx0 =
´
ψ ∗ (x)δ(x − x0 )2 dx = |ψ(x0 )|2 dx0 .
La probabilité de trouver la valeur px,i à dpx,i près sur une mesure de |ψi vaut donc |hψ |px,i i|2 dpx,i =
2
´ ip x/~ ∗
1 e x,i ψ (x)dx dpx,i .
L
2. On prépare un spin 12 dans l'état |ψi = √15 |+i + √25 |−i. La probabilité de mesurer + ~2 vaut
2
2
|hψ |+i| = 51 . La probabilité de mesurer − ~2 vaut |hψ |−i| = 45 .
Cinquième postulat
Réduction du paquet d'onde
Si la mesure donne pour résultat ai , alors le vecteur d'état du système est projeté sur le sous espace
propre Eai associé à la valeur mesurée ai .
Conséquence
Si on refait une mesure juste après avoir trouvé ai , on trouvera obligatoirement ai . Par contre, si
on laisse l'état évoluer un certain temps, rien n'oblige à retrouver la même valeur.
Exemple
1. Si on trouve la particule entre x0 et x0 +dx0 , alors on trouvera la particule entre x0 et x0 +dx0
juste après la mesure.
2. Si on trouve + ~2 juste après une mesure de spin, alors la particule se trouve dans l'état |+i
juste après la mesure.
Sixième postulat
Évolution du paquet d'onde
L'évolution de l'état d'un système au cours du temps est régie par l'équation de Schrödinger :
i~
∂ |ψi
= Ĥ |ψi,
∂t
où Ĥ désigne le hamiltonien du système, c'est à dire l'observable associée à l'énergie.
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