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Cours de Mathématiques en TaleS
Vincent PANTALONI
VERSION DU 7DÉCEMBRE 2010

II
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Table des matières
1 Dérivation et continuité 1
I Rappels : Limites de référence .......................... 1
II Rappels sur la dérivation, notation différentielle ................ 1
III Dérivée de uov.................................. 3
IV Continuité ..................................... 4
IV.1 Définitions, exemples et contre exemples ................ 4
IV.2 La fonction partie entière ......................... 9
IV.3 Prolongement par continuité ....................... 9
V Théorème des valeurs intermédiaires ....................... 10
VI Preuve du T.V.I. par dichotomie ......................... 11
VII Applications .................................... 12
VII.1 Racine d’un polynôme de degré impair ................. 12
VII.2 Fonctions réciproques ........................... 12
2 Suites, raisonnement par récurrence. 13
I Rappels ...................................... 14
I.1 Exercices corrigés ............................. 15
II Comportement global d’une suite ........................ 15
II.1 Monotonie ................................. 15
II.2 Majorée, minorée, bornée ........................ 15
III Raisonnement par récurrence .......................... 16
III.1 Principe .................................. 16
III.2 Analogie : gravir un escalier ....................... 16
III.3 Exemples ................................. 16
IV Étude des suites du type un+1 =f(un)..................... 17
IV.1 Intervalle stable .............................. 17
IV.2 Sens de variation ............................. 18
IV.3 Convergence ................................ 18
3 Exponentielle 19
I Méthode d’Euler ................................ 19
I.1 Aspect graphique ............................. 19
I.2 Aspect calculatoire ............................ 20
II Equation différentielle y’=y ........................... 20
III Méthode d’Euler-valeur approchée de exp(x).................. 21
IV Propriétés algébriques .............................. 22
V Notation exponentielle .............................. 22
VI Étude de la fonction exponentielle ........................ 23
iii

IV TABLE DES MATIÈRES
VI.1 Dérivée et variation ............................ 23
VI.2 Équations et inéquations ......................... 23
VI.3 Courbe, approximation affine ...................... 25
VI.4 Limites — Croissance comparée ..................... 25
4 Nombres Complexes, généralités 27
I Activité d’introduction .............................. 27
I.1 Résolution historique ........................... 27
I.2 Des nombres impossibles ......................... 28
II Introduction-Premières définitions ........................ 28
II.1 Historique ................................. 28
II.2 Construction de C............................ 28
II.3 Conjugué d’un nombre complexe .................... 29
II.4 Module d’un nombre complexe ...................... 31
III Géométrie dans le plan complexe ........................ 31
IV Équation du second degré ............................ 32
IV.1 Forme canonique ............................. 33
IV.2 Formules .................................. 33
IV.3 Application ................................ 33
5 Barycentres et droites de l’espace 35
I Barycentre : rappels ............................... 35
I.1 Droites, segments de l’espace ....................... 36
I.2 Plans et triangles ............................. 37
II Représentations paramétriques d’une droite de l’espace ............ 38
II.1 T.P. sur GeoGebra (cas des droites du plan) .............. 38
II.2 Caractérisation analytique d’une droite de l’espace .......... 38
6 Équations différentielles 41
I Introduction, situation problème ......................... 41
I.1 Vérifier une solution ........................... 41
II Équation y′=ay ................................. 41
III Équation y′=ay +b............................... 43
7 Probabilités et dénombrement 45
I Probabilités conditionnelles ........................... 45
I.1 Rappels .................................. 45
I.2 Modélisation avec des arbres ....................... 45
I.3 Introduction ................................ 45
I.4 Probabilité de B sachant A ........................ 45
I.5 Réprésentation sur un arbre pondéré .................. 46
I.6 Formule des probabilités totales ..................... 46
I.7 Passer de PA(B)àPB(A)........................ 47
I.8 Indépendance de deux événements. ................... 47
II Dénombrement .................................. 48
II.1 Activité : savez vous compter ? ...................... 48
II.2 Dénombrer des listes : choix ordonné .................. 48
II.3 Combinaisons ............................... 49
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TABLE DES MATIÈRES V
8 Nombres Complexes, forme exponentielle et transformations 53
I Forme trigonométrique d’un nombre complexe ................. 53
I.1 Repérage polaire dans le plan ...................... 53
I.2 Forme trigonométrique d’un nombre complexe ............. 54
I.3 Propriétés des arguments ......................... 54
II Forme exponentielle d’un nombre complexe ................... 56
II.1 Paramétrisation d’un cercle ....................... 58
III Transformations complexes ............................ 58
III.1 Translation ................................ 58
III.2 Homothétie ................................ 59
III.3 Rotation .................................. 59
9 Suites adjacentes 61
I Convergence monotone .............................. 61
I.1 Limites par la définition, rappels .................... 61
I.2 L’axiome de la convergence monotone. ................. 62
II Étude des suites du type un+1 =f(un)..................... 62
II.1 Intervalle stable .............................. 62
II.2 Sens de variation ............................. 62
II.3 Convergence ................................ 63
II.4 Différents comportements asymptotiques. ................ 64
II.5 Suite logistique .............................. 65
III Théorèmes de comparaison ............................ 66
IV Suites adjacentes ................................. 67
V Application : preuve du T.V.I. par dichotomie ................. 68
V.1 Énoncés équivalents au T.V.I. ...................... 68
V.2 Démonstration .............................. 68
V.3 Algorithme et programmation ...................... 69
10 Logarithme népérien 73
I Premières propriétés ............................... 73
II Propriétés algébriques .............................. 74
III Propriétés analytiques .............................. 75
III.1 Dérivée .................................. 75
III.2 Résoudre des équations et inéquations avec ln ............. 75
IV Étude de la fonction ln .............................. 76
V Logarithmes et exponentielles de base a..................... 76
V.1 ax..................................... 76
V.2 loga(x)................................... 78
11 Intégration. 79
I Aire sous une courbe. ............................... 79
I.1 Aire sous la parabole. ........................... 79
I.2 Fonction aire. ............................... 80
II Intégrale d’une fonction continue et positive. .................. 80
II.1 Intégrale vue comme une aire. ...................... 80
II.2 Fonction aire, primitives. ......................... 81
II.3 Calcul d’une intégrale à l’aide d’une primitive. ............. 81
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