Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance - Hi

Introduction au calcul stochastique
appliqué à la finance
Damien Lamberton Bernard Lapeyre

Avant-Propos
Pour cette seconde édition, nous avons apporté quelques modifications au texte primitif.
Les premières concernent la correction d’erreurs plus ou moins importantes. L’erreur la plus
sérieuse était une affirmation fausse concernant les intégrales stochastiques (voir le résumé des
propriétés de l’intégrale stochastique à la fin de la section 4.1 du chapitre 3 et l’exercice 15, qui
nous a été inspiré par Marc YOR).
Nous avons ajouté quelques sujets de problèmes à la fin du chapitre 4. Ces problèmes per-
mettent d’introduire et de traiter divers exemples d’options exotiques.
Nous avons complété la bibliographie de quelques titres récents, en particulier sur le thème
des marchés incomplets, le chapitre 7 ne faisant qu’effleurer le sujet.
Enfin, nous avons récrit les programmes de simulation et d’analyse numérique dans le lan-
gage Cqui se répand de plus en plus dans les banques.
Nous remercions les collègues qui nous ont signalé des erreurs ou des coquilles. Il en reste
hélas sûrement et nous espérons que les lecteurs de cette nouvelle édition voudront bien nous
les signaler.
Damien Lamberton et Bernard Lapeyre.

Table des matières
Introduction 9
1 Le problème des options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 La notion d’arbitrage et la relation de parité call-put . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Le modèle de Black-Scholes et ses extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Plan du livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5 Remerciements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1 Modèles discrets 13
1 Le formalisme des modèles discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1 Les actifs financiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Les stratégies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Stratégies admissibles et arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Martingales et arbitrages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1 Martingales et transformées de martingales . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Marchés financiers viables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Marchés complets et évaluation des options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1 Marchés complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Evaluation et couverture des actifs conditionnels dans les marchés com-
plets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Première approche des options américaines . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Problème corrigé : le modèle de Cox, Ross et Rubinstein . . . . . . . . . . . . 23
2 Problème d’arrêt optimal et options américaines 27
1 Notion de temps d’arrêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 Enveloppe de Snell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Décomposition des surmartingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 Enveloppe de Snell et chaînes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5 Application aux options américaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.1 Exercice et couverture des options américaines . . . . . . . . . . . . . 33
5.2 Options américaines et options européennes . . . . . . . . . . . . . . . 34
6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Mouvement brownien et équations différentielles stochastiques 39
1 Généralités sur les processus à temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2 Le mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3 Martingales à temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4 Intégrale stochastique et calcul d’Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.1 Construction de l’intégrale stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Calcul d’Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
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