Théor`emes de Point Fixe et Applications1

Théorèmes de Point Fixe et Applications1
Victor Ginsburgh
Université Libre de Bruxelles
et
CORE, Louvain-la-Neuve
Janvier 1999
Published in C. Jessua, C. Labrousse et D. Vitry, eds., Dictionnaire des Sciences Economiques, Paris: Presses Universitaires de France, 2001.
Introduction
Considérons une fonction continue à une variable g(x) qui applique des points
de I = [0, 1] dans I. Comme le montre la Figure 1, il existe nécessairement
un point x∗ ∈ I tel que x∗ = g(x∗ ). Un tel point est appelé point fixe de
l’application continue g.2 Remarquons que si l’une des deux hypothèses (g
est continue, g applique des points de I dans I) n’est pas vérifiée, il peut ne
pas exister de point fixe. Ces situations sont illustrées dans la Figure 2 pour
une fonction continue qui applique des points de I dans un autre ensemble
que I et dans la Figure 3 pour une fonction qui applique des points de I
dans I, mais qui n’est pas continue. La situation représentée dans la Figure
4 montre cependant qu’il peut exister un point fixe si l’une des hypothèses
(en l’occurrence, la continuité de g) n’est pas vérifiée.
Ce qui vient d’être suggéré pour une fonction d’une variable peut être
généralisé au cas de r fonctions à r variables. Dans la Figure 5, nous illustrons
le cas de deux fonctions (linéaires) à deux variables g1 (x1 , x2 ) = (1 − x2 )/2
et g2 (x1 , x2 ) = (1 − x1 )/2, définies pour x1 ∈ I et x2 ∈ I. Ces deux fonctions
sont continues et appliquent des points appartenant à I 2 = I × I dans I 2 .
Il est facile de voir qu’il existe un point fixe x∗ = (x∗1 , x∗2 ) ∈ I 2 tel que
x∗1 = (1 − x∗2 )/2 et x∗2 = (1 − x∗1 )/2, avec x∗ = (1/3, 1/3).
1
Je remercie Renato Flores et Jean Gabszewicz pour des commentaires sur une version
préliminaire.
2
Notons qu’il peut exister plus d’un point fixe, si, dans la Figure 1, g croise la diagonale
plus d’une fois.
1
Le théorème de point fixe de Brouwer
Ces considérations intuitives ont été formalisées et démontrées sous forme
d’un théorème par le mathématicien hollandais Brouwer, en 1910.
Théorème (Brouwer). Considérons un ensemble A ⊂ Rr et une fonction
g = (g1 , g2 , ..., gr ). Si les deux hypothèses suivantes sont satisfaites: (a)
l’ensemble A est non vide, compact et convexe, et (b) g est une application
continue de A dans A, alors g(.) possède un fixe x∗ ∈ A tel que x∗ = g(x∗ ).
L’ensemble I 2 de l’exemple qui précède est un cas particulier de l’ensemble
A. Dans les applications économiques, il arrivera souvent que les coordonnées
des points de l’ensemble A soient non-négatives et somment sur 1. Si tel est
le cas, on dira que A est un simplexe de dimension r, noté S r et défini comme
suit:
Définition (Simplexe). L’ensemble S r = {x1 , x2 , ..., xr : x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, ..., xr ≥
0, rk=1 xi = 1} est appelé simplexe de dimension r − 1.
Le théorème de Brouwer peut dès lors aussi s’énoncer comme suit: Une
application continue g de S r dans S r possède un point fixe.
Avant de considérer des applications du théorème de Brouwer, il est utile
de noter l’équivalence entre les deux affirmations suivantes: (a) la fonction g
possède un point fixe x∗ et (b) le système d’équations x − g(x) = f (x) = 0
possède une solution x∗ .
Trois exemples d’utilisation du théorème de Brouwer
Une chaı̂ne de Markov. Considérons une matrice A de r lignes et r colonnes,
dans laquelle l’élément aij donne la probabilité qu’un système possède de
passer de l’état j à l’état i entre les instants t et t + 1 (une transition). Par
définition, ri=1 aij = 1, j = 1, 2, ..., r. Si le vecteur xt = (x1t , x2t , ..., xrt )
représente les probabilités que le système a d’être dans chacun des r états à
l’instant t (et que dès lors xt ∈ S r ), alors l’état du système à l’instant t + 1
est décrit par les équations xt+1 = Axt . Il est aisé de voir que le vecteur
xt+1 appartient aussi à S r . La fonction continue Ax applique des points de
S r dans S r et possède par conséquent un point fixe x∗ tel que x∗ = Ax∗ .
2
En ce point fixe, les probabilités (x∗1 , x∗2 , ..., x∗r ) ne se modifient plus lors des
transitions suivantes.
Un jeu non coopératif. Considérons une situation dans laquelle r agents
repérés par l’indice j = 1, 2, ..., r (les joueurs) interagissent sur un marché.
Chacun d’eux choisit dans son ensemble de stratégies Yj ⊂ R (par exemple l’ensemble de ses possibilités de production) une action yj (sa production) de manière à maximiser son profit. Le profit de l’agent j, Πj (yj , y−j ),
dépend bien entendu de sa propre action yj , mais aussi des actions y−j =
(y1 , y2 , ...yj−1 , yj+1 , ..., yr ) prises par ses concurrents. Si le choix de j est
unique pour chaque y−j , il est donné par la fonction (appelée fonction de
réaction de j), gj (y−j ) = argmaxyj ∈Yj Πj (yj , y−j ), qui prend nécessairement
ses valeurs dans Yj . Un équilibre de Nash de ce jeu est un vecteur y ∗ =
∗
(y1∗ , y2∗ , ..., yj∗ , ..., yr∗ ), tel que pour chaque producteur j, yj∗ = argmax Πj (yj , y−j
).
Un tel vecteur, s’il existe, doit donc être solution du système de r équations
∗
à r inconnues yj∗ = gj (y−j
).
Définissons la fonction g(y) = (g1 (y−1 ), g2 (y−2 ), ..., gj (y−j ), ..., gr (y−r )),
qui applique des points de Y = Y1 × Y2 × ... × Yj × ... × Yr dans Y . Si Y est
non vide, compact et convexe (ce qui est assuré si chacun des ensembles de
production Yj est non vide, compact et convexe) et que la fonction g(y) est
continue (ce qui est le cas si Πj (yj , y−j ) est une fonction continue et strictement (quasi) concave), le théorème de Brouwer implique que g(y) possède un
point fixe y ∗ tel que y ∗ = g(y ∗ ); ce point fixe est bien un équilibre de Nash.
Voir par exemple Friedman (1986) pour les détails.
Dans les deux exemples que nous venons de considérer, le modèle pour
lequel il faut prouver l’existence d’un point fixe se présente de façon naturelle sous la forme d’une application g(x) pour laquelle les conditions
d’application du théorème de Brouwer sont satisfaites, ce qui permet de conclure à l’existence d’un point fixe. Il n’en est pas toujours ainsi. En particulier, dans le modèle d’équilibre concurrentiel, on doit prouver qu’il existe
un vecteur de prix p∗ ≥ 0 tel que la demande soit inférieure ou égale à l’offre
sur chaque marché, ou encore que la demande excédentaire z(p∗ ) (obtenue
en retranchant l’offre de la demande) soit non-positive. Ici, il faudra, dans
une première étape, construire une fonction (artificielle) qui satisfasse les
hypothèses requises pour invoquer le théorème de Brouwer; il s’agira, ensuite, de démontrer qu’au point fixe p∗ , l’on obtient bien le résultat voulu,
3
en l’occurence, z(p∗ ) ≤ 0.
4
Le modèle concurrentiel d’échange. Dans une économie d’échange il y a m
consommateurs, repérés par un indice i = 1, 2, ..., m qui procèdent à des
échanges de biens sur r marchés, repérés par un indice k = 1, 2, ..., r. Soit ωi
le vecteur à r éléments qui représente la dotation initiale du consommateur i
et xi le vecteur à r éléments qui représente un choix possible de sa consommation. Chaque consommateur fait, à prix donnés p0 , un choix optimal obtenu
en maximisant son utilité ui (xi ) sous sa contrainte budgétaire p0 xi ≤ p0 ωi ,
où p0 xi et p0 ωi représentent respectivement sa dépense et son revenu. Sous
des hypothèses appropriées (essentiellement, que ui (xi ) est une fonction continue, croissante, strictement (quasi) concave3 ), la contrainte budgétaire est
satisfaite avec égalité et le choix optimal est unique pour chaque vecteur
de prix p0 ; la demande optimale est alors une fonction continue4 des prix,
notée xi (p). La demande excédentaire z(p) est alors simplement obtenue
en soustrayant l’offre agrégée ri=1 ωi de la demande agrégée ri=1 xi (p):
z(p) = ri=1 xi (p) − ri=1 ωi . Cette fonction est continue.
Nous montrons maintenant que z(p) possède deux propriétés supplémentaires. D’une part, le choix optimal ne se modifie pas lorsque les prix sont
multipliés par un nombre positif (en effet, une telle opération ne modifie
en rien la contrainte budgétaire); par conséquent, z(p) est une fonction homogène de degré 0 en p et il est permis, sans perte de généralité, de normaliser les prix en les contraignant à appartenir au simplexe S r = {p : p ≥
0, rk=1 pk = 1}. Par ailleurs, comme, en chaque optimum, les contraintes
budgétaires sont satisfaites avec égalité, on peut, en les additionnant membre
m
à membre, voir que p( m
i=1 xi (p) −
i=1 ωi ) = pz(p) = 0, pour tout p ≥ 0 (la
loi de Walras).
Pour démontrer l’existence d’un vecteur de prix p∗ ≥ 0 tel que z(p∗ ) ≤ 0,
on procède en suivant les deux étapes décrites plus haut:
(a) Construction d’une fonction artificielle qui satisfait les hypothèses du
théorème de Brouwer. Cette fonction est
pk + max{0, zk (p)}
gk (p) = r
, k = 1, 2, ..., r.
r
j=1 pj +
j=1 max{0, zj (p)}
Par construction, la fonction g(p) = (g1 (p), g2 (p), ..., gr (p)) est continue
et applique de points du simplexe des prix S r dans le simplexe S r = {g(p) :
3
Ces hypothèses peuvent être légèrement relachées.
La continuité nécessite des hypothèses techniques pour assurer que la demande reste
finie lorsqu’un ou plusieurs prix pk sont nuls.
4
5
g(p) ≥ 0, k gk (p) = 1}. En vertu du théorème de Brouwer, elle possède un
point fixe p∗ ∈ S r tel que p∗ = g(p∗ ).
(b) Ce point fixe est un équilibre. En effet, en p∗ , on a bien:
p∗k
r
max{0, zj (p∗ )} = max{0, zk (p∗ )}, k = 1, 2, ..., r.
j=1
En multipliant les deux membres par zk∗ et en additionnant toutes les égalités
ainsi obtenues membre à membre, on trouve:
r
k=1
p∗k zk (p∗ )
r
∗
max{0, zj (p )} =
j=1
zk (p∗ )max{0, zk (p∗ )}.
k=1
Puisque, par la loi de Walras,
r
r
r
k=1
p∗k zk (p∗ ) = 0, on a aussi
zk (p∗ )max{0, zk (p∗ )} = 0.
k=1
Cette égalité est vérifiée si et seulement si zk (p∗ ) ≤ 0 pour tout k, ce qui
montre que p∗ ∈ S r est bien un vecteur de prix qui assure que la demande
est inférieure ou égale à l’offre.
Le théorème de point fixe de Kakutani
Le théorème de Brouwer est utilisé pour montrer qu’une fonction g continue
possède un point fixe. Rappelons qu’une fonction (ou application) associe à
tout élément x ∈ A un et un seul élément y ∈ B (ou ∈ A lui-même, comme
dans les cas considérés plus haut). En économie, l’on est souvent amené à
considérer des correspondances; une correspondance g associe à tout élément
x ∈ A un sous-ensemble non vide Y ∈ B: Y peut donc contenir plusieurs
éléments appartenant à B.
Ceci sera, par exemple, le cas dans un programme linéaire (Figure 6) dans
lequel un producteur doit choisir les niveaux de production x1 et x2 qui maximisent son profit c1 x1 + 4x2 à contribution c1 donnée, sous les contraintes
technologiques 2x1 + 4x2 ≤ 8, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. Supposons que la question soit
de décrire la (ou les) solution(s) optimale(s) lorsque c1 varie entre 0 et 3. Il
est facile de vérifier que pour c1 = 2, la solution optimale est unique (elle
vaut x1 = 4, x2 = 0 si c1 > 2 et x1 = 0, x2 = 2 si c1 < 2). Lorsque c1 = 2,
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toutes les solutions x1 telles que 2 ≤ x1 ≤ 4 sont optimales. La Figure 7
illustre la correspondance x1 = f (c1 ). Celle-ci possède plusieurs propriétés
que nous définissons maintenant.
Définition (Correspondance hemi-continue supérieure). Une correspondance
f qui associe à tout élément x ∈ A un sous ensemble non vide et compact
Y ∈ B est hemi-continue supérieure (hcs) si et seulement si son graphe, c’està-dire l’ensemble {(x, y) ∈ A × B : y ∈ f (x)} est fermé.
Il est clair que la correspondance de la Figure 6 satisfait aux conditions
de la définition: à tout c1 , est associé un ensemble non vide et compact (qui
peut ne contenir qu’un seul élément) et le graphe est fermé. Dans la Figure 8,
on trouvera une correspondance dont le graphe est fermé, mais pour laquelle
B n’est pas compact; la Figure 9 illustre un autre cas d’une correspondance
hcs (x ∈ [0, 1]); cependant, si l’on exclut le point Q, le graphe n’est plus
fermé et la correspondance n’est pas hcs. Une comparaison des Figures 6 et
9, qui représentent deux correspondances hcs, fait apparaı̂tre une différence
importante: dans la Figure 6, les valeurs x1 ∈ f (2) engendrent un ensemble
convexe, ce qui n’est pas le cas pour la correspondance de la Figure 8, au
point x0 .
Le théorème suivant, démontré par Kakutani en 1941, généralise le théorème de Brouwer en faisant appel à des correspondances hcs, à valeurs convexes:
Théorème (Kakutani). Considérons un ensemble B ⊂ Rr et une correspondance g = (g1 , g2 , ..., gr ). Si les hypothèses suivantes sont satisfaites: (a)
l’ensemble B est non vide, compact et convexe, (b) g est une correspondence
hcs de B dans B, et (c) l’ensemble g(x) ∈ B est non vide et convexe pour
tout x ∈ B, alors g(.) possède un point fixe x∗ ∈ B tel que x∗ ∈ g(x∗ ).
La Figure 10 illustre le théorème dans une situation similaire à celle considérée dans la Figure 1, dans le cas où g(x) n’est pas une fonction continue,
mais une correspondance hcs à valeurs convexes. Il est facile de voir que
si l’une de hypothèses n’est pas satisfaites (par exemple, l’absence de convexité), il peut ne pas exister de point fixe.
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Utilisations du théorème de Kakutani
Un jeu non coopératif. Revenons au jeu décrit précédemment, mais dans
lequel le choix optimal calculé par les agents n’est pas unique. Ceci sera
le cas si la fonction de profit de j, Πj (yj , y−j ) est (quasi) concave en yj au
lieu d’être strictement (quasi) concave. Les choix optimaux pour y−j fixé
pourront néanmoins être représentés par une correspondance hcs à valeurs
convexes et le théorème de Kakutani permettra d’assurer qu’il existe une
solution au jeu.
Le modèle d’équilibre général avec producteurs. Il est possible de généraliser
le modèle d’équilibre concurrentiel considéré plus haut en y incorporant des
producteurs, dont chacun maximise, à prix donnés, son profit sous des contraintes décrivant son ensemble de production. Si les rendements de chaque
producteur sont décroissants (les contraintes de l’ensemble de production forment un ensemble strictement convexe), alors son choix optimal est unique et
l’on peut définir un modèle dans lequel la fonction de demande excédentaire
continuera de jouir des mêmes propriétés que celles qui ont été décrites
précédemment. Par contre, si les ensembles de production sont convexes,
comme dans la Figure 6, les producteurs pourront faire face à des solutions optimales multiples: la demande excédentaire ne sera plus une fonction, mais une correspondance hcs à valeurs convexes.5 Ici aussi, l’utilisation
du théorème de Kakutani permettra de démontrer l’existence de prix qui
assurent l’équilibre sur tous les marchés. Une première démonstration de ce
résultat a été donnée par Wald en 1935-36; Arrow, Debreu et McKenzie ont
largement contribué à ces résultats d’existence durant les années 1950. Voir
Debreu (1966) pour un traitement exhaustif. Voir aussi Ekeland (1979) ou
Mas-Colell et al. (1995).
Le calcul de points fixes
Les deux théorèmes de point fixe décrits dans ce qui précède permettent
de conclure à l’existence de solutions pour un grand nombre de modèles
économiques, mais ne donnent aucune indication sur la manière de les cal5
Il suffit qu’un des ensembles de production soit convexe. Ceci sera également le cas
dans le modèle d’échanges sans producteurs, si la fonction d’utilité d’un des consommateurs
est (quasi) concave et non plus strictement (quasi) concave.
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culer. L’on connaissait depuis longtemps des méthodes numériques permettant de résoudre des systèmes d’équations non-linéaires f (x) = 0 (voir, par
exemple, Ortega and Rheinboldt (1970)) et donc également des problèmes
de point fixe (on peut trouver un point fixe de g(x) en résolvant le système
f (x) = g(x) − x = 0). Cependant, aucune des méthodes ne garantissait la
convergence des calculs vers une solution. En 1967, Scarf découvre un algorithme permettant de calculer un point fixe approximatif d’une fonction et
pour lequel la convergence est garantie. Cet algorithme a d’ailleurs conduit
à une nouvelle preuve du théorème de Brouwer (et, un peu plus tard, du
théorème de Kakutani, toujours par Scarf). La découverte a également ouvert le champ à de nombreuses recherches algorithmiques ainsi qu’au calcul
numérique de solutions de modèles d’équilibre général, encore que l’on se soit
rendu compte, peu de temps après, que des algorithmes plus simples et plus
rapides, mais sans garantie de convergence, pouvaient être utilisés de façon
plus efficace. Voir Scarf (1973) pour les premiers algorithmes de point fixe
et Kehoe (1991) pour les approches plus récentes. Voir aussi Ginsburgh and
Keyzer (1997) pour les modèles d’équilibre général calculables.
Références
Debreu, G. (1966), Théorie de la Valeur, Paris: Dunod.
Ekeland, I. (1979), Eléments d’Economie Mathématique, Paris: Hermann.
Friedman, J. (1986), Game Theory with Applications to Economics, Oxford:
Oxford University Press.
Ginsburgh, V. and M. Keyzer (1997), The Structure of Applied General
Equilibrium Models, Cambridge, MA: MIT Press.
Kehoe, T. (1991), Computation and multiplicity of equilibria, in W. Hildenbrand and H. Sonnenschein, eds., Handbook of Mathematical Economics,
vol.4, Amsterdam: North Holland.
Mas-Colell, A., M. D. Whinston and J. R. Green (1995), Microeconomic
Theory, Oxford: Oxford University Press.
Ortega, J. M. and W. C. Rheinboldt (1970), Iterative Solutions of Nonlinear
Equations in Several Variables, New York: Academic Press.
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Scarf, H., with the collaboration of T. Hansen (1973), The Computation of
Economic Equilibria, New Haven: Yale University Press.
Smart, D. R. (1974), Fixed Point Theorems, Cambridge: Cambridge University Press.
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