Théor`emes de Point Fixe et Applications1

Th´eor`emes de Point Fixe et Applications1
Victor Ginsburgh
Universit´e Libre de Bruxelles
et
CORE, Louvain-la-Neuve
Janvier 1999
Published in C. Jessua, C. Labrousse et D. Vitry, eds., Dictionnaire des Sci-
ences Economiques,Paris: Presses Universitaires de France, 2001.
Introduction
Consid´erons une fonction continue `a une variable g(x) qui applique des points
de I=[0,1] dans I. Comme le montre la Figure 1, il existe n´ecessairement
un point x∗∈Itel que x∗=g(x∗). Un tel point est appel´e point fixe de
l’application continue g.2Remarquons que si l’une des deux hypoth`eses (g
est continue, gapplique des points de Idans I) n’est pas v´erifi´ee, il peut ne
pas exister de point fixe. Ces situations sont illustr´ees dans la Figure 2 pour
une fonction continue qui applique des points de Idans un autre ensemble
que Iet dans la Figure 3 pour une fonction qui applique des points de I
dans I, mais qui n’est pas continue. La situation repr´esent´ee dans la Figure
4 montre cependant qu’il peut exister un point fixe si l’une des hypoth`eses
(en l’occurrence, la continuit´edeg) n’est pas v´erifi´ee.
Ce qui vient d’ˆetre sugg´er´epour une fonction d’une variable peut ˆetre
g´en´eralis´eaucas de rfonctions `a rvariables. Dans la Figure 5, nous illustrons
le cas de deux fonctions (lin´eaires) `a deux variables g1(x1,x
2)=(1−x2)/2
et g2(x1,x
2)=(1−x1)/2, d´efinies pour x1∈Iet x2∈I. Ces deux fonctions
sont continues et appliquent des points appartenant `a I2=I×Idans I2.
Il est facile de voir qu’il existe un point fixe x∗=(x∗
1,x
∗
2)∈I2tel que
x∗
1=(1−x∗ 2)/2etx∗ 2=(1−x∗ 1)/2, avec x∗=(1/3,1/3).
1Je remercie Renato Flores et Jean Gabszewicz pour des commentaires sur une version
pr´eliminaire.
2Notons qu’il peut exister plus d’un point fixe, si, dans la Figure 1, gcroise la diagonale
plus d’une fois.
1

Le th´eor`eme de point fixe de Brouwer
Ces consid´erations intuitives ont ´et´e formalis´ees et d´emontr´ees sous forme
d’un th´eor`eme par le math´ematicien hollandais Brouwer, en 1910.
Th´eor`eme (Brouwer). Consid´erons un ensemble A⊂Rret une fonction
g=(g1,g
2, ..., gr). Si les deux hypoth`eses suivantes sont satisfaites: (a)
l’ensemble Aest non vide, compact et convexe, et (b) gest une application
continue de Adans A, alors g(.)poss`ede un fixe x∗∈Atel que x∗=g(x∗).
L’ensemble I2de l’exemple qui pr´ec`ede est un cas particulier de l’ensemble
A. Dans les applications ´economiques, il arrivera souvent que les coordonn´ees
des points de l’ensemble Asoient non-n´egatives et somment sur 1. Si tel est
le cas, on dira que Aest un simplexe de dimension r, not´e Sret d´efini comme
suit:
D´efinition (Simplexe). L’ensemble Sr={x1,x
2, ..., xr:x1≥0,x 2≥0, ..., xr≥
0,r
k=1 xi=1}est appel´e simplexe de dimension r−1.
Le th´eor`eme de Brouwer peut d`es lors aussi s’´enoncer comme suit: Une
application continue gde Srdans Srposs`ede un point fixe.
Avant de consid´erer des applications du th´eor`eme de Brouwer, il est utile
de noter l’´equivalence entre les deux affirmations suivantes: (a) la fonction g
poss`ede un point fixe x∗et (b) le syst`eme d’´equations x−g(x)=f(x)=0
poss`ede une solution x∗.
Trois exemples d’utilisation du th´eor`eme de Brouwer
Une chaˆıne de Markov. Consid´erons une matrice Ade rlignes et rcolonnes,
dans laquelle l’´el´ement aij donne la probabilit´e qu’un syst`eme poss`ede de
passer de l’´etat j`al’´etat ientre les instants tet t+1(une transition). Par
d´efinition, r
i=1 aij =1,j =1,2, ..., r.Silevecteur xt=(x1t,x
2t, ..., xrt)
repr´esente les probabilit´es que le syst`emead’ˆetre dans chacun des r´etats `a
l’instant t(et que d`es lors xt∈Sr), alors l’´etat du syst`eme `a l’instant t+1
est d´ecrit par les ´equations xt+1 =Axt.Ilest ais´edevoir que le vecteur
xt+1 appartient aussi `a Sr.Lafonction continue Ax applique des points de
Srdans Sret poss`ede par cons´equent un point fixe x∗tel que x∗=Ax∗.
2

En ce point fixe, les probabilit´es (x∗
1,x
∗
2, ..., x∗ r)nesemodifient plus lors des
transitions suivantes.
Un jeu non coop´eratif. Consid´erons une situation dans laquelle ragents
rep´er´es par l’indice j=1,2, ..., r (les joueurs) interagissent sur un march´e.
Chacun d’eux choisit dans son ensemble de strat´egies Yj⊂R(par exem-
ple l’ensemble de ses possibilit´es de production) une action yj(sa produc-
tion) de mani`ere `a maximiser son profit. Le profit de l’agent j,Π
j(yj,y −j),
d´epend bien entendu de sa propre action yj, mais aussi des actions y−j=
(y1,y
2, ...yj−1,y j+1, ..., yr) prises par ses concurrents. Si le choix de jest
unique pour chaque y−j,ilest donn´e par la fonction (appel´ee fonction de
r´eaction de j), gj(y−j)=argmaxyj∈YjΠj(yj,y
−j), qui prend n´ecessairement
ses valeurs dans Yj.Un´equilibre de Nash de ce jeu est un vecteur y∗=
(y∗
1,y
∗
2, ..., y∗ j, ..., y∗ r), tel que pour chaque producteur j,y∗ j= argmax Πj(yj,y
∗
−j).
Un tel vecteur, s’il existe, doit donc ˆetre solution du syst`eme de r´equations
`a rinconnues y∗
j=gj(y∗ −j).
D´efinissons la fonction g(y)=(g1(y−1),g
2(y−2), ..., gj(y−j), ..., gr(y−r)),
qui applique des points de Y=Y1×Y2×... ×Yj×... ×Yrdans Y.SiYest
non vide, compact et convexe (ce qui est assur´esichacun des ensembles de
production Yjest non vide, compact et convexe) et que la fonction g(y) est
continue (ce qui est le cas si Πj(yj,y
−j) est une fonction continue et stricte-
ment (quasi) concave), le th´eor`eme de Brouwer implique que g(y)poss`ede un
point fixe y∗tel que y∗=g(y∗); ce point fixe est bien un ´equilibre de Nash.
Voir par exemple Friedman (1986) pour les d´etails.
Dans les deux exemples que nous venons de consid´erer, le mod`ele pour
lequel il faut prouver l’existence d’un point fixe se pr´esente de fa¸con na-
turelle sous la forme d’une application g(x)pour laquelle les conditions
d’application du th´eor`eme de Brouwer sont satisfaites, ce qui permet de con-
clure `a l’existence d’un point fixe. Il n’en est pas toujours ainsi. En parti-
culier, dans le mod`ele d’´equilibre concurrentiel, on doit prouver qu’il existe
un vecteur de prix p∗≥0 tel que la demande soit inf´erieure ou ´egale `a l’offre
sur chaque march´e, ou encore que la demande exc´edentaire z(p∗) (obtenue
en retranchant l’offre de la demande) soit non-positive. Ici, il faudra, dans
une premi`ere ´etape, construire une fonction (artificielle) qui satisfasse les
hypoth`eses requises pour invoquer le th´eor`eme de Brouwer; il s’agira, en-
suite, de d´emontrer qu’au point fixe p∗, l’on obtient bien le r´esultat voulu,
3

en l’occurence, z(p∗)≤0.
4

Le mod`ele concurrentiel d’´echange. Dans une ´economie d’´echange il y a m
consommateurs, rep´er´es par un indice i=1,2, ..., m qui proc`edent `a des
´echanges de biens sur rmarch´es, rep´er´es par un indice k=1,2, ..., r. Soit ωi
le vecteur `a r´el´ements qui repr´esente la dotation initiale du consommateur i
et xile vecteur `a r´el´ements qui repr´esente un choix possible de sa consomma-
tion. Chaque consommateur fait, `a prix donn´es p0,unchoix optimal obtenu
en maximisant son utilit´e ui(xi) sous sa contrainte budg´etaire p0xi≤p0ωi,
o`up0xiet p0ωirepr´esentent respectivement sa d´epense et son revenu. Sous
des hypoth`eses appropri´ees (essentiellement, que ui(xi) est une fonction con-
tinue, croissante, strictement (quasi) concave3), la contrainte budg´etaire est
satisfaite avec ´egalit´eetlechoix optimal est unique pour chaque vecteur
de prix p0;lademande optimale est alors une fonction continue4des prix,
not´ee xi(p). La demande exc´edentaire z(p) est alors simplement obtenue
en soustrayant l’offre agr´eg´ee r
i=1 ωide la demande agr´eg´ee r i=1 xi(p):
z(p)=r
i=1 xi(p)−r i=1 ωi. Cette fonction est continue.
Nous montrons maintenant que z(p)poss`ede deux propri´et´es suppl´emen-
taires. D’une part, le choix optimal ne se modifie pas lorsque les prix sont
multipli´es par un nombre positif (en effet, une telle op´eration ne modifie
en rien la contrainte budg´etaire); par cons´equent, z(p) est une fonction ho-
mog`ene de degr´e0enpet il est permis, sans perte de g´en´eralit´e, de nor-
maliser les prix en les contraignant `a appartenir au simplexe Sr={p:p≥
0,r
k=1 pk=1}.Par ailleurs, comme, en chaque optimum, les contraintes
budg´etaires sont satisfaites avec ´egalit´e, on peut, en les additionnant membre
`a membre, voir que p(m
i=1 xi(p)−m i=1 ωi)=pz(p)=0,pour tout p≥0 (la
loi de Walras).
Pour d´emontrer l’existence d’un vecteur de prix p∗≥0 tel que z(p∗)≤0,
on proc`ede en suivant les deux ´etapes d´ecrites plus haut:
(a) Construction d’une fonction artificielle qui satisfait les hypoth`eses du
th´eor`eme de Brouwer. Cette fonction est
gk(p)= pk+max{0,z
k(p)}
r
j=1 pj+r j=1 max{0,z
j(p)},k =1,2, ..., r.
Par construction, la fonction g(p)=(g1(p),g
2(p), ..., gr(p)) est continue
et applique de points du simplexe des prix Srdans le simplexe Sr={g(p):
3Ces hypoth`eses peuvent ˆetre l´eg`erement relach´ees.
4La continuit´en´ecessite des hypoth`eses techniques pour assurer que la demande reste
finie lorsqu’un ou plusieurs prix pksont nuls.
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