L`arithmétique et la beauté des nombres

Rappels d’arithmétique
La beauté des nombres
REMERCIEMENTS
L’arithmétique et la beauté des nombres
Deuxième journées mathématiques
Maths pour tous-Maths utiles
18-19/01/2017
Khadija Mbarki1
1 Lycée secondaire Imtiez, Tozeur
19/01/2017
Khadija Mbarki
Deuxième journées mathématiques
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Rappels d’arithmétique
La beauté des nombres
REMERCIEMENTS
Plan de la présentation
1
Rappels d’arithmétique
Définitions
Résultats d’arithmétique
2
La beauté des nombres
Nombre premier poupée russe
Nombres heureux
Nombre d’or
Le nombre d’or dans la nature
Le règne végétal
Le règne animal
Le nombre d’or dans le corps humain
Le nombre d’or et la musique
Le nombre d’or et Toyota
Découvertes de Ramanujan
Beauté du nombre π
Nombre taxicab
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Définitions
Division euclidienne
Définition :
Soient a un entier et b un entier non nul. La division euclidienne de a par b est
l’opération qui associe à a et à b deux uniques entiers q et r définis par : a = b × q + r
avec 0 ≤ r < b. a est le dividende, b le diviseur, q le quotient et r est le reste.
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Définitions
Division euclidienne
Exemples :
63 = 5 × 12 + 3 est la division euclidienne de 63 par 5.
63 = 5 × 11 + 8 et 63 = 5 × 13 − 2 ne sont pas de divisions euclidiennes de 63
par 5 ! !
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Définitions
Division euclidienne
Remarque :
Si le reste de la division euclidienne de a par b est 0 alors on dit que b est un diviseur
de a ou que a est divisible par b ou un multiple de b.
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Définitions
Critère de divisibilité par quelques entiers
Divisibilité par 11 :
Un nombre est divisible par 11 si la somme des chiffres situés aux positions paires est
égale à la somme ses chiffres situés aux positions impaires . Ceci fonctionne
également si la différence est divisible par 11.
Exemples :
a) 2475 Positions paires : 2 + 7 = 9 Positions impaires : 4 + 5 = 9 Sommes :9 = 9,
donc OUI, c’est divisible par 11 (2475/11 = 225).
b) 5181 Positions paires :8 + 5 = 13 Positions impaires :1 + 1 = 2 Différence :
13 − 2 = 11 qui est divisible par 11 donc OUI, c’est divisible par 11 (5181/11 = 471).
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Définitions
Critère de divisibilité par quelques entiers
Divisibilité par 7 :
1. On sépare le dernier chiffre du nombre (371) du reste (37).
2. On multiplie ce chiffre par 2 (1 × 2 = 2) et on le soustrait du nombre qui restait (37)
(37 - 2 = 35)
3. Si ce nouveau nombre est divisible par 7, le nombre initial est divisible par 7. (Ici, 35
est divisible par 7, donc 371 l’est aussi)
Note : Il est possible que ce processus doive être répété plusieurs fois, car le résultat
est encore trop difficile à diviser par 7.
Exemple :
On sépare le dernier chiffre : 2961 → 296/1 296 − (2 × 1) = 296 − 2 = 294 Est-ce
que 294 est divisible par 7 ? Trop difficile ! On doit recommencer ... avec 294 au lieu de
2961. 294 → 29/4 29 − (4 × 2) = 29 − 8 = 21 Est-ce que 21 est divisible par 7 ? OUI,
donc 294 est divisible par 7, donc 2961 est divisible par 7. (2961/7 = 423).
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Définitions
Nombres premiers
Définition :
Un nombre est dit premier, s’il admet exactement 2 diviseurs distincts (lui-même et
l’unité). 1 n’est donc pas premier !
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Définitions
Nombres premiers
Crible d’Eratosthène :
C’est une méthode de recherche des nombres premiers plus petits qu’un entier naturel
n donné. Pour ceci, on écrit la liste de tous les nombres jusqu’à n.
On élimine 1.
On souligne 2 et on élimine tous les multiples de 2.
Puis on fait de même avec 3.
On choisit alors le plus petit nombre non souligné et non éliminé ici 5, et on
élimine tous ses multiples.
On réitère le procédé jusqu’à la partie entière de la racine de n.
Les nombres non éliminés sont les nombres premiers jusqu’à n.
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Résultats d’arithmétique
Infinité des nombres premiers
Théorème d’Euclide sur les nombres premiers
Il existe une infinité de nombres premiers.
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Résultats d’arithmétique
Théorème fondamental de l’arithmétique
Théorème
Pour tout entier naturel n ≥ 2, il existe des nombres premiers p1 , p2 , ..., pr et des
entiers naturels non nuls α1 , α2 , ..., αr tels que
α
α
n = p1 1 × p2 2 × ... × prαr .
De plus, cette décomposition est unique.
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Résultats d’arithmétique
Théorème fondamental de l’arithmétique
Exemples
2961 = 31 × 71 × 471 .
1575 = 32 × 53 × 71 .
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Nombre premier poupée russe
Nombre premier poupée russe
Le nombre 357686312646216567629137 est appelé nombre premier poupée russe.
C’est un nombre premier et il reste un nombre premier même si on supprime n’importe
quel nombre de chiffres de la gauche !
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Nombres heureux
Nombres heureux
En mathématiques, un entier naturel est un nombre heureux si, lorsqu’on calcule la
somme des carrés de ses chiffres dans son écriture en base dix puis la somme des
carrés des chiffres du nombre obtenu et ainsi de suite, on aboutit au nombre 1.
On peut démontrer qu’en appliquant un tel processus, à partir d’un entier quelconque
non nul, on finit pour boucler sur un des cycles suivants : {1}, ou
{4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20}. Un nombre est malheureux quand il boucle sur le cycle
long.
Les dix plus petits nombres heureux sont : 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44. Les autres
entiers entre 1 et 44 sont donc malheureux !
Les nombres heureux premiers sont 7, 13, 19, 23, 31, 79, etc.
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Nombre d’or
Définition
√
Le "nombre d’or" est le nombre Φ = 1+2 5 = 1, 61803... Les géomètres et les
philosophes ont calculé ce nombre qui donne l’harmonie parfaite d’une forme ou d’une
construction. C’est la proportion, définie initialement en géométrie, comme l’unique
rapport entre deux longueurs telles que le rapport de la somme de deux longueurs
(a + b) sur la plus grande(a) soit égal à celui de la plus grande (a) sur la plus petite
(b) c’est-à-dire lorsque
(a + b)/a = a/b = Φ.
Le découpage d’un segment en deux longueurs vérifiant cette propriété est appelée
par Euclide découpage en extrême et moyenne raison.
Le nombre d’or est désigné par la lettre Φ (Phi), pour faire allusion au célèbre sculpteur
Phidias (V ème siècle avant J.C) qui participa à la décoration de l’Acropole à Athènes.
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Nombre d’or
Le nombre d’or et la suite de Fibonacci
La suite de Fibonacci est une suite d’entiers dans laquelle chaque nombre est la
somme de deux nombres qui le précèdent. Ses premiers nombres sont : 0, 1, 1, 2, 3,
5, 8, 13, 21, etc.
On remarque que le rapport de deux termes consécutifs est alternativement inférieur
et supérieur au nombre d’or. Ce rapport tend vers le nombre d’or lorsque le rang des
termes tend vers l’infini.
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Le nombre d’or dans la nature
Le règne végétal
Il existe un très grand nombre de fleurs comportant cinq pétales régulièrement répartis
telle que la geranium rivulare. Les extrémités de ces pétales sont placées aux
extrémités d’un pentagone régulier.
Les nombres de Fibonacci se manifestent dans la disposition des rameaux sur le
pédoncule d’une plante au cours de son développement
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Le nombre d’or dans la nature
Fleur de tournesol
On distingue des spirales sur beaucoup de végétaux . Ce qui est étonnant, c’est que la
suite de Fibonacci apparaît dans ces spirales. Une fleur de tournesol est constituée de
deux groupes de spirales : qui comptent souvent 21 spirales dans un sens et 34 dans
l’autre.
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Le nombre d’or dans la nature
Pomme de Pin
La pomme de pin montre clairement les spirales de Fibonacci : 8 vertes dans un sens,
13 rouges dans l’autre sens. 8 et 13 sont deux termes consécutifs de la suite de
Fibonacci : 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13. Ses écailles sont alignées selon la spirale de Fibonacci :
on repr ésente les 4 coins des écailles de la pomme de pin par des points. Lorsqu’on
relie ces points, on obtient des spirales qui tournent vers la droite et d’autres vers la
gauche.
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Le nombre d’or dans la nature
L’ananas
On le retrouve ainsi dans l’ananas. Les écailles que l’on voit sur ce fruit forment des
termes successifs de la suite de Fibonacci.
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Le nombre d’or dans la nature
L’exemple des abeilles
En remontant les générations, on trouve donc des nombres d’ancêtres égaux aux
nombres de la suite de Fibonacci. On remarque également qu’à chaque génération,
les nombres de femelles et de mâles sont deux nombres consécutifs de cette suite.
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Le nombre d’or dans la nature
L’étoile de mer
On peut également trouver un rapport entre les étoiles de mer et le nombre d’or du fait
que l’étoile de mer est en effet un pentagone régulier étoilé qui lui même est en relation
directe avec le nombre d’or.
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Le nombre d’or dans la nature
L’ammonite
L’enroulement régulier d’une ammonite se fait suivant une spirale logarithmique, la
spirale d’or, comme de nombreux coquillages qui sont formés ainsi.
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Le nombre d’or dans la nature
D’autres animaux...
Chez ces trois animaux le nombre d’or est présent : en faisant le rapport de la longueur
jaune par le rapport de la longueur verte, on obtient constamment le nombre d’or.
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Le nombre d’or dans le corps humain
Le corps humain
Le nombre d’or est présent dans le corps humain en divisant les longueurs des parties
du même organe colorées avec deux couleurs différentes.
On peut même l’observer dans une séquence d’une chaîne d’ADN !
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Le nombre d’or et la musique
La musique
On mesure l’intervalle séparant 2 notes de musique en calculant le rapport des
fréquences caractérisant respectivement la note la plus aiguë et la note la plus grave.
La fréquence étant le nombre de vibration par seconde de la note. Voici le tableau de
fréquence des principales note de musique :
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Le nombre d’or et Toyota
Toyota
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Découvertes de Ramanujan
Photo de Ramanujan
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Découvertes de Ramanujan
Nombre π
Ramanujan a expliqué comment on trouve la valeur exacte du nombre π. Il a remarqué
q’on peut écrire π comme suite de fractions continues :
Théorème de Ramanujan
12
π =3+
6+
32
6+
6+
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52
72
2
6+ 9
6+...
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Découvertes de Ramanujan
Histoire du nombre taxicab
1729 est également connu sous le nom de «nombre de Hardy-Ramanujan » ; il s’agit
du plus petit entier naturel s’écrivant de deux manières différentes comme somme de
deux cubes :
1729 = 123 + 13 = 103 + 93 .
Son nom est lié à une anecdote relatée par le mathématicien britannique Godfrey
Harold Hardy après une visite à son collègue indien hospitalisé Srinivasa Ramanujan,
en 1917 :« Je me souviens d’une fois où j’arrivai à son chevet à Putney. J’avais été
conduit par le taxi numéro 1729 ; la morosité qui semblait émaner de ce nombre avait
attiré mon attention. J’espérais qu’il ne constituait pas un mauvais présage. “Non, me
répondit-il, c’est un nombre fort intéressant ; c’est le plus petit que l’on puisse exprimer
comme somme de deux cubes de deux manières différentes.” »
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Découvertes de Ramanujan
Puzzle
Ce Puzzle a été suggéré par une des expositions au musée de Ramanujan à
l’université de SASTRA à Kumbakonam, Inde :
Qu’est-ce que chacune des paires suivantes partagent ?
(3, 3, 12) = (1, 8, 9)
(4, 8, 9, 21) = (3, 7, 14, 18)
(4, 7, 21, 36) = (1, 12, 27, 28)
(5, 7, 10, 14, 27) = (3, 6, 15, 18, 21)
(5, 85, 85, 169, 425) = (13, 17, 125, 289, 325)
(17, 21, 24, 48, 54, 238) = (3, 4, 14, 119, 126, 136).
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Découvertes de Ramanujan
Solution
Vous avez peut-être remarqué que pour chaque paire, on a la même somme de
chiffres des nombres. De plus, les produits contiennent les mêmes facteurs premiers,
bien qu’ils ne soient pas égaux. Ce qui est égal est le produit de x x :
33 33 1212 = 11 88 99
4 8 9
4 8 9 2121 = 33 77 1414 1818
447721213636 = 11 1212 2727 2828
55 77 1010 1414 2727 = 33 66 1515 1818 2121
5
85
5 85 8585 169169 425425 = 1313 1717 125125 289289 325325
1717 2121 2424 4848 5454 238238 = 33 44 1414 119119 126126 136136 .
Ramanujan a trouvé plusieurs autres exemples de ce type.
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