PGCD, PPCM, nombres premiers, décomposition en produit de

PGCD, PPCM, nombres premiers, décomposition en
produit de facteurs premiers
Denis Vekemans
Ceci n’est pas un cours, c’est une illustration du cours sur des
exemples ! Ceci peut donc aider à comprendre le cours !
Le PGCD étymologiquement
Les diviseurs de 120 sont :
Le PGCD étymologiquement
Les diviseurs de 120 sont :
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120.
Le PGCD étymologiquement
Les diviseurs de 120 sont :
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120.
Les diviseurs de 84 sont :
Le PGCD étymologiquement
Les diviseurs de 120 sont :
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120.
Les diviseurs de 84 sont :
1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84.
Le PGCD étymologiquement
Les diviseurs de 120 sont :
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120.
Les diviseurs de 84 sont :
1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84.
Les diviseurs qui sont communs à 120 et 84 sont donc :
Le PGCD étymologiquement
Les diviseurs de 120 sont :
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120.
Les diviseurs de 84 sont :
1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84.
Les diviseurs qui sont communs à 120 et 84 sont donc :
1, 2, 3, 4, 6, 12.
Le PGCD étymologiquement
Les diviseurs de 120 sont :
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120.
Les diviseurs de 84 sont :
1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84.
Les diviseurs qui sont communs à 120 et 84 sont donc :
1, 2, 3, 4, 6, 12.
Parmi ceux-ci, le plus grand, s’appelle le PGCD (Plus Grand
Commun Diviseur).
Le PGCD étymologiquement
Les diviseurs de 120 sont :
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120.
Les diviseurs de 84 sont :
1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84.
Les diviseurs qui sont communs à 120 et 84 sont donc :
1, 2, 3, 4, 6, 12.
Parmi ceux-ci, le plus grand, s’appelle le PGCD (Plus Grand
Commun Diviseur). On note PGCD(120; 84) = 12.
Le PGCD étymologiquement
Les diviseurs de 120 sont :
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120.
Les diviseurs de 84 sont :
1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84.
Les diviseurs qui sont communs à 120 et 84 sont donc :
1, 2, 3, 4, 6, 12.
Parmi ceux-ci, le plus grand, s’appelle le PGCD (Plus Grand
Commun Diviseur). On note PGCD(120; 84) = 12.
En fait, les diviseurs qui sont communs à 120 et 84 sont les
diviseurs du PGCD(120; 84) et ceci donne au PGCD son titre de
noblesse : si on connait le PGCD de deux nombres, on connait tous
les diviseurs communs à ces deux nombres.
Les nombres premiers (1)
Un nombre premier est un nombre qui possède exactement deux
diviseurs distincts : 1 et lui-même.
Par exemple :
• 2, 3, 5, 7, 11, 13, . . . sont des nombres premiers, mais
Les nombres premiers (1)
Un nombre premier est un nombre qui possède exactement deux
diviseurs distincts : 1 et lui-même.
Par exemple :
• 2, 3, 5, 7, 11, 13, . . . sont des nombres premiers, mais
• 0 n’est pas premier car il possède un nombre infini de diviseurs
(en effet, tout entier naturel n est diviseur de 0 car 0 = 0 × n),
Les nombres premiers (1)
Un nombre premier est un nombre qui possède exactement deux
diviseurs distincts : 1 et lui-même.
Par exemple :
• 2, 3, 5, 7, 11, 13, . . . sont des nombres premiers, mais
• 0 n’est pas premier car il possède un nombre infini de diviseurs
(en effet, tout entier naturel n est diviseur de 0 car 0 = 0 × n),
• 1 n’est pas premier car il ne possède qu’un seul diviseur qui
est 1,
Les nombres premiers (1)
Un nombre premier est un nombre qui possède exactement deux
diviseurs distincts : 1 et lui-même.
Par exemple :
• 2, 3, 5, 7, 11, 13, . . . sont des nombres premiers, mais
• 0 n’est pas premier car il possède un nombre infini de diviseurs
(en effet, tout entier naturel n est diviseur de 0 car 0 = 0 × n),
• 1 n’est pas premier car il ne possède qu’un seul diviseur qui
est 1,
• 4 n’est pas un nombre premier car il possède 3 diviseurs qui
sont 1, 2, 4.
Les nombres premiers (1)
Un nombre premier est un nombre qui possède exactement deux
diviseurs distincts : 1 et lui-même.
Par exemple :
• 2, 3, 5, 7, 11, 13, . . . sont des nombres premiers, mais
• 0 n’est pas premier car il possède un nombre infini de diviseurs
(en effet, tout entier naturel n est diviseur de 0 car 0 = 0 × n),
• 1 n’est pas premier car il ne possède qu’un seul diviseur qui
est 1,
• 4 n’est pas un nombre premier car il possède 3 diviseurs qui
sont 1, 2, 4.
Erathostène (-276 – -194)
Les nombres premiers (1)
Un nombre premier est un nombre qui possède exactement deux
diviseurs distincts : 1 et lui-même.
Par exemple :
• 2, 3, 5, 7, 11, 13, . . . sont des nombres premiers, mais
• 0 n’est pas premier car il possède un nombre infini de diviseurs
(en effet, tout entier naturel n est diviseur de 0 car 0 = 0 × n),
• 1 n’est pas premier car il ne possède qu’un seul diviseur qui
est 1,
• 4 n’est pas un nombre premier car il possède 3 diviseurs qui
sont 1, 2, 4.
Erathostène (-276 – -194) Crible d’Erathostène (il permet, par
élimination, de déterminer tous les nombres premiers jusqu’à une
valeur choisie).
Les nombres premiers (2)
Si on choisit 110, par exemple :
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55
56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66
67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77
78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88
89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
Les nombres premiers (3)
On barre le 1 (car 1 n’est pas premier)
On répète ceci jusqu’à entourer le plus grand entier inférieur ou
égal à la racine carrée de 110 :
On entoure le plus petit nombre non barré et on barre ses
mutiples
Remarque : ceci nous amène a entourer successivement 2, 3, 5, 7
Et ensuite,
On entoure tous les nombres qui ne sont pas
barrés
Remarque : ceci nous amène a entourer successivement
11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89,
97, 101, 103, 107, 109, qui sont des nombres premiers.
La décomposition en produit de facteurs premiers
Si les nombres premiers sont tant étudiés, c’est en raison des deux
propriétés qui suivent.
Tout nombre entier se décompose en produit de facteurs premiers.
La décomposition en produit de facteurs premiers
Si les nombres premiers sont tant étudiés, c’est en raison des deux
propriétés qui suivent.
Tout nombre entier se décompose en produit de facteurs premiers.
Par exemple, 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5
La décomposition en produit de facteurs premiers
Si les nombres premiers sont tant étudiés, c’est en raison des deux
propriétés qui suivent.
Tout nombre entier se décompose en produit de facteurs premiers.
Par exemple, 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5
Cette décomposition est unique, à l’ordre des facteurs près.
La décomposition en produit de facteurs premiers
Si les nombres premiers sont tant étudiés, c’est en raison des deux
propriétés qui suivent.
Tout nombre entier se décompose en produit de facteurs premiers.
Par exemple, 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5
Cette décomposition est unique, à l’ordre des facteurs près. Par
exemple, 120 = 2 × 2 × 3 × 2 × 5 = 5 × 2 × 3 × 2 × 2 = . . .
120 = 23 × 3 × 5.
Notion de nombres premiers entre eux
Quand le PGCD de deux nombres vaut 1, on dit qu’ils sont
premiers entre eux.
Notion de nombres premiers entre eux
Quand le PGCD de deux nombres vaut 1, on dit qu’ils sont
premiers entre eux.
Par exemple :
• deux nombres premiers distincts sont toujours premiers entre
eux ;
Notion de nombres premiers entre eux
Quand le PGCD de deux nombres vaut 1, on dit qu’ils sont
premiers entre eux.
Par exemple :
• deux nombres premiers distincts sont toujours premiers entre
eux ;
• 40 et 63 sont premiers entre eux ;
Notion de nombres premiers entre eux
Quand le PGCD de deux nombres vaut 1, on dit qu’ils sont
premiers entre eux.
Par exemple :
• deux nombres premiers distincts sont toujours premiers entre
eux ;
• 40 et 63 sont premiers entre eux ;
• mais 120 et 84 ne sont pas premiers entre eux.
Notion de nombres premiers entre eux
Quand le PGCD de deux nombres vaut 1, on dit qu’ils sont
premiers entre eux.
Par exemple :
• deux nombres premiers distincts sont toujours premiers entre
eux ;
• 40 et 63 sont premiers entre eux ;
• mais 120 et 84 ne sont pas premiers entre eux.
Théorèmes de Gauss :
Notion de nombres premiers entre eux
Quand le PGCD de deux nombres vaut 1, on dit qu’ils sont
premiers entre eux.
Par exemple :
• deux nombres premiers distincts sont toujours premiers entre
eux ;
• 40 et 63 sont premiers entre eux ;
• mais 120 et 84 ne sont pas premiers entre eux.
Théorèmes de Gauss :
• Si a et b sont premiers entre eux, si a est un diviseur de c, et
si b est un diviseur de c, alors a × b est un diviseur de c.
Notion de nombres premiers entre eux
Quand le PGCD de deux nombres vaut 1, on dit qu’ils sont
premiers entre eux.
Par exemple :
• deux nombres premiers distincts sont toujours premiers entre
eux ;
• 40 et 63 sont premiers entre eux ;
• mais 120 et 84 ne sont pas premiers entre eux.
Théorèmes de Gauss :
• Si a et b sont premiers entre eux, si a est un diviseur de c, et
si b est un diviseur de c, alors a × b est un diviseur de c.
• Si a et b sont premiers entre eux, si a est un diviseur de
b × c, alors a est un diviseur de c.
Notion de nombres premiers entre eux
Quand le PGCD de deux nombres vaut 1, on dit qu’ils sont
premiers entre eux.
Par exemple :
• deux nombres premiers distincts sont toujours premiers entre
eux ;
• 40 et 63 sont premiers entre eux ;
• mais 120 et 84 ne sont pas premiers entre eux.
Théorèmes de Gauss :
• Si a et b sont premiers entre eux, si a est un diviseur de c, et
si b est un diviseur de c, alors a × b est un diviseur de c.
• Si a et b sont premiers entre eux, si a est un diviseur de
b × c, alors a est un diviseur de c.
Le PGCD par la décomposition en produit de facteurs
premiers
120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 23 × 3 × 5
Le PGCD par la décomposition en produit de facteurs
premiers
120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 23 × 3 × 5
84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 22 × 3 × 7
Le PGCD par la décomposition en produit de facteurs
premiers
120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 23 × 3 × 5
84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 22 × 3 × 7
Pour trouver le PGCD, on ne prend que les nombres premiers
communs, et ce, affectés de la plus petite puissance :
PGCD(120; 84) = 22 × 3.
Le PGCD par la décomposition en produit de facteurs
premiers
120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 23 × 3 × 5
84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 22 × 3 × 7
Pour trouver le PGCD, on ne prend que les nombres premiers
communs, et ce, affectés de la plus petite puissance :
PGCD(120; 84) = 22 × 3.
Exercice : calculer le PGCD(256; 144), le PGCD(210; 500).
Nombre de diviseurs
84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 22 × 3 × 7
Arbre ...
3 × 2 × 2 diviseurs.
120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 23 × 3 × 5 donc 4 × 2 × 2 diviseurs.
Exercice : nombre de diviseurs de 25 × 34 × 7, de 24 × 103 .
Le PGCD par l’algorithme d’Euclide
3 règles pour le PGCD :
• PGCD(a; 0) = a ;
• PGCD(a; b) = PGCD(b; a) ;
• si a ≥ b, PGCD(a; b) = PGCD(b; r ) où r est le reste dans la
division euclidienne de a par b.
Exercice : calculer le PGCD(256; 144), le PGCD(210; 500).
Le PPCM étymologiquement
Les multiples de 120 sont :
Le PPCM étymologiquement
Les multiples de 120 sont :
0, 120, 240, 360, 480, 600, 720, 840, 960, 1080, 1200,
1320, 1440, 1560, 1680, 1800, 1920, 2040, 2160, 2280, 2400,
2520, 2640, 2760, 2880, 3000, 3120, 3240, 3360, 3480, 3600, . . .
Les multiples de 84 sont :
Le PPCM étymologiquement
Les multiples de 120 sont :
0, 120, 240, 360, 480, 600, 720, 840, 960, 1080, 1200,
1320, 1440, 1560, 1680, 1800, 1920, 2040, 2160, 2280, 2400,
2520, 2640, 2760, 2880, 3000, 3120, 3240, 3360, 3480, 3600, . . .
Les multiples de 84 sont :
0, 84, 168, 252, 336, 420, 504, 588, 672, 756, 840,
924, 1008, 1092, 1176, 1260, 1344, 1428, 1512, 1596, 1680,
1764, 1848, 1932, 2016, 2100, 2184, 2268, 2352, 2436, 2520, . . .
Les multiples qui sont communs à 120 et 84 sont donc :
Le PPCM étymologiquement
Les multiples de 120 sont :
0, 120, 240, 360, 480, 600, 720, 840, 960, 1080, 1200,
1320, 1440, 1560, 1680, 1800, 1920, 2040, 2160, 2280, 2400,
2520, 2640, 2760, 2880, 3000, 3120, 3240, 3360, 3480, 3600, . . .
Les multiples de 84 sont :
0, 84, 168, 252, 336, 420, 504, 588, 672, 756, 840,
924, 1008, 1092, 1176, 1260, 1344, 1428, 1512, 1596, 1680,
1764, 1848, 1932, 2016, 2100, 2184, 2268, 2352, 2436, 2520, . . .
Les multiples qui sont communs à 120 et 84 sont donc :
0, 840, 1680, 2520, . . .
Le PPCM étymologiquement
Les multiples de 120 sont :
0, 120, 240, 360, 480, 600, 720, 840, 960, 1080, 1200,
1320, 1440, 1560, 1680, 1800, 1920, 2040, 2160, 2280, 2400,
2520, 2640, 2760, 2880, 3000, 3120, 3240, 3360, 3480, 3600, . . .
Les multiples de 84 sont :
0, 84, 168, 252, 336, 420, 504, 588, 672, 756, 840,
924, 1008, 1092, 1176, 1260, 1344, 1428, 1512, 1596, 1680,
1764, 1848, 1932, 2016, 2100, 2184, 2268, 2352, 2436, 2520, . . .
Les multiples qui sont communs à 120 et 84 sont donc :
0, 840, 1680, 2520, . . .
Parmi ceux-ci, le plus petit qui soit non nul, s’appelle le PPCM
(Plus Petit Commun Multiple).
Le PPCM étymologiquement
Les multiples de 120 sont :
0, 120, 240, 360, 480, 600, 720, 840, 960, 1080, 1200,
1320, 1440, 1560, 1680, 1800, 1920, 2040, 2160, 2280, 2400,
2520, 2640, 2760, 2880, 3000, 3120, 3240, 3360, 3480, 3600, . . .
Les multiples de 84 sont :
0, 84, 168, 252, 336, 420, 504, 588, 672, 756, 840,
924, 1008, 1092, 1176, 1260, 1344, 1428, 1512, 1596, 1680,
1764, 1848, 1932, 2016, 2100, 2184, 2268, 2352, 2436, 2520, . . .
Les multiples qui sont communs à 120 et 84 sont donc :
0, 840, 1680, 2520, . . .
Parmi ceux-ci, le plus petit qui soit non nul, s’appelle le PPCM
(Plus Petit Commun Multiple). On note PPCM(120; 84) = 2520.
Le PPCM étymologiquement
Les multiples de 120 sont :
0, 120, 240, 360, 480, 600, 720, 840, 960, 1080, 1200,
1320, 1440, 1560, 1680, 1800, 1920, 2040, 2160, 2280, 2400,
2520, 2640, 2760, 2880, 3000, 3120, 3240, 3360, 3480, 3600, . . .
Les multiples de 84 sont :
0, 84, 168, 252, 336, 420, 504, 588, 672, 756, 840,
924, 1008, 1092, 1176, 1260, 1344, 1428, 1512, 1596, 1680,
1764, 1848, 1932, 2016, 2100, 2184, 2268, 2352, 2436, 2520, . . .
Les multiples qui sont communs à 120 et 84 sont donc :
0, 840, 1680, 2520, . . .
Parmi ceux-ci, le plus petit qui soit non nul, s’appelle le PPCM
(Plus Petit Commun Multiple). On note PPCM(120; 84) = 2520.
En fait, les multiples qui sont communs à 120 et 84 sont les
multiples du PPCM(120; 84) et ceci donne au PPCM son titre de
noblesse : si on connait le PPCM de deux nombres, on connait
tous les multiples communs à ces deux nombres.
Le PPCM par la décomposition en produit de facteurs
premiers
120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 23 × 3 × 5
Le PPCM par la décomposition en produit de facteurs
premiers
120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 23 × 3 × 5
84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 22 × 3 × 7
Le PPCM par la décomposition en produit de facteurs
premiers
120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 23 × 3 × 5
84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 22 × 3 × 7
Pour trouver le PPCM, on prend tous les nombres premiers, qu’ils
soient communs ou non, et ce, affectés de la plus grande
puissance : PPCM(120; 84) = 23 × 3 × 5 × 7.
Le PPCM par la décomposition en produit de facteurs
premiers
120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 23 × 3 × 5
84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 22 × 3 × 7
Pour trouver le PPCM, on prend tous les nombres premiers, qu’ils
soient communs ou non, et ce, affectés de la plus grande
puissance : PPCM(120; 84) = 23 × 3 × 5 × 7.
Exercice : calculer le PPCM(256; 144), le PPCM(210; 500).
Le PPCM par l’algorithme d’Euclide
En fait, on calcule le PGCD par l’algorithme d’Euclide, puis on
utilise la propriété qui dit que le produit de deux nombres est égal
au produit de leur PGCD par leur PPCM.
En d’autres termes, si a et b sont deux entiers naturels,
a × b = PGCD(a; b) × PPCM(a; b).
Exercice : calculer le PPCM(256; 144), le PPCM(210; 500).