Division suivants les puissances décroissantes

1.5 Int´ egration de fractions rationnelles : d´ ecomposition en
´
el´ ements simples
Dans ce (long) chapitre, on montre comment on trouve une primitive pour toute
fraction rationnelle f(x) = A(x)
B(x), o`
uA, B sont de polynˆ omes. On proc` ede par ´ etapes,
en illustrant la th´ eorie ` a l’aide de l’exemple
f(x) = A(x)
B(x)=2x6+ 3 x5−3x4−3x3−3x2−18 x−5 x5+x4−2x3−x2−x+ 2
La premi` ere partie de ce chapitre est plutˆ ot alg´ ebrique : nous citons et utilisons ici
plusieurs th´ eor` emes importants d’alg` ebre sans d´ emonstration, qui n’a pas sa place dans
ce cours d’analyse.
1.5.1 Division euclidienne
1e´ etape : On utilise le
Th´ eor` eme 22 (et d´ efinition : division euclidienne)
Soient A, B ∈R[X],B6= 0. Alors il existe un unique couple (Q, R)de R[X]
tel que
A=B Q +Ret deg R < deg B
On dit que Qest le quotient et Rle reste de la division euclidienne de Apar
B.
Ainsi on peut ´ ecrire
f(x) = A(x)
B(x)=B(x)Q(x) + R(x) B(x)=Q(x) + R(x) B(x)
avec deg R < deg B. Le polynˆ ome Q(x)s’appelle partie enti` ere de la fraction ration-
nelle.
Exemple 1.5.1 On effectue la division euclidienne comme suit :
2x6+ 3 x5−3x4−3x3−3x2−18 x−5x5+x4−2x3−x2−x+ 2
2x6+ 2 x5−4x4−2x3−2x2+ 4 x2x+ 1
x5+x4−x3−x2−22 x−5
x5+x4−2x3−x2−x+ 2
x3−21 x−7
On a donc
f(x)=2x+1+ x3−21 x−7
x5+x4−2x3−x2−x+ 2 .
1
11
1
Division suivants
les puissances
décroissantes

1.5.2 Polynˆ omes irreductibles
2e´ etape : On consid` ere donc dor´ enavant une fraction rationnelle R(x)/B(x)telle que
deg R < deg B. Pour proc´ eder, on pose
D´ efinition 23 Les polynˆ omes irr´ eductibles (sur R) sont les polynˆ omes de
degr´ e 1 et les polynˆ omes de degr´ e 2 sans racine r´ eelle (c’est-` a-dire a X2+
b X +cavec ∆ = b2−4a c < 0).
Un polynˆ ome est unitaire ssi le coefficient du terme de plus haut degr´ e est 1.
On se servira du
Th´ eor` eme 24 Tout polynˆ ome de R[X]se d´ ecompose de mani` ere unique en un
produit de la forme
P(X) = a(X−r1)m1···(X−rp)mp(X2+b1X+c1)n1···(X2+bqX+cq)nq
c’est ` a dire d’une constante aqui est le coefficient du terme de plus haut degr´ e
de P, et de polynˆ omes irr´ eductibles unitaires : risont les racines (distinctes)
de P,mileurs multiplicit´ es, et les facteurs de degr´ e 2 sont sans racine r´ eelle
(c’est-` a-dire avec ∆ = b2
j−4cj<0).
On utilise cette d´ ecomposition pour le polynˆ ome B(x)au d´ enominateur de la frac-
tion rationnelle. On suppose de plus que le num´ erateur n’a pas de facteur commun avec
le d´ enominateur, sinon on simplifie par ce facteur commun.
Exemple 1.5.2 Pour trouver la factorisation B(x), on commence par chercher des
racines “´ evidentes” en tˆ atonnant (i.e. en essayant pour xles valeurs 0, ±1,...). On
trouve que B(1) = 0 et B(−2) = 0, donc (x−1)(x+ 2) = x2+x−2divise B(x).
On effectue la division euclidienne
x5+x4−2x3−x2−x+ 2 x2+x−2
x5+x4−2x3x3−1
0−x2−x+ 2
−x2−x+ 2
0
Or, x3−1 = (x−1)(x2+x+ 1), par cons´ equent,
B(x) = (x+ 2)(x−1)2(x2+x+ 1)
En effet, x2+x+ 1 est un trinˆ ome du 2nd degr´ e` a discriminant n´ egatif.
2
22
2
Dans C[X]

1.5.3 Pˆ oles et ´ el´ ements simples
3e´ etape
D´ efinition 25 On dit que f(x) := A(x)
B(x), A, B ∈R[X], est une fraction ra-
tionnelle irr´ eductible ssi les polynˆ omes Aet Bsont sans facteur commun.
On appelle pˆ oles de la fraction rationnelle irr´ eductible les racines du polynˆ ome
B.
Soit B(X) = a(X−r1)m1···(X−rp)mp(X2+b1X+c1)n1···(X2+
bqX+cq)nqla d´ ecomposition irr´ eductible de B.
On appelle ´ el´ ements simples de 1eesp` ece relatifs aux pˆ oles ri, les mifonc-
tions rationnelles du type
A1
x−ri
,A2
(x−ri)2, . . . , Ami (x−ri)mi,
o` u les Aksont des constantes r´ eelles.
On appelle ´ el´ ements simples de 2eesp` ece relatifs aux polynˆ omes irr´ eductibles
X2+bjX+cj, les njfonctions rationnelles du type
B1x+C1
x2+bjx+cj
,B2x+C2
(x2+bjx+cj)2, . . . , Bnjx+Cnj (x2+bjx+cj)nj,
o` u les Bk, Cksont des constantes r´ eelles.
Exemple 1.5.3 D´ ecrire les ´ el´ ements simples de
R(x)
B(x)=x3−21 x−7 (x+ 2)(x−1)2(x2+x+ 1)
–´ el´ ements simples de 1eesp` ece :
·le pˆ ole x= 1 de multiplicit´ e 2 2´ el´ ements simples :
A1
x−1,A2 (x−1)2,
·pˆ ole x=−2de multiplicit´ e 1 1´ el´ ements simple : A3
x+ 2.
–´ el´ ements simples de 2eesp` ece : ·1 seul, associ´ e au facteur irreductible x2+x+
1:B1x+C1
x2+x+ 1.
Attention : il faut toujours d’abord s’assurer de la d´ ecomposition compl` ete du
d´ enominateur! Par exemple, B(x)aurait pu ˆ etre ´ ecrit comme B(x)=(x−1)(x+
2)(x3−1) ; ce qui ne permet pas de voir imm´ ediatement les ´ el´ ements simples.
3
33
3

Th´ eor` eme 26 Soit f(x) = A(x)/B(x)une fct. rationnelle irr´ eductible. Alors
1. Si A=BQ +R,deg R < deg B(div.euclidienne de Apar B), on a
f=A
B=Q+R Bdans Df.
2. R
Bse d´
ecompose de mani` ere unique comme somme de tous les ´ el´ ements
simples relatifs ` aB:
R(x)
B(x)=X
iX
k
Aik
(x−ri)k+X
jX
`
Bjk x+Cjk
(x2+bjx+cj)k.(des)
Exercice 1.5.1 Donner la structure de la d´ ecomposition en ´ el´ ements simples de
f(x) = R(x)/B(x).
On a
R(x)
B(x)=x3−21 x−7 (x+ 2)(x−1)2(x2+x+ 1)
=A1
x−1+A2 (x−1)2+ + A3 x+ 2 +B1x+C1 x2+x+ 1 .(*)
NB : quand on ne demande que la structure de la d´ ecomposition, on peut laisser les
Ai, Bj, Cjind´ etermin´ ees.
1.5.4 Calcul des coefficients d’une d´ ecomposition en ´ el´ ements simples
4e´ etape : (la plus dure...)
(a) : POUR LES P ˆ OLES SIMPLES DE MULTIPLICIT´ E1
On multiplie l’´ eq. (des) par (x−ri), et on prend x=ri: dans le membre de droite
ne survit que Ai, dont la valeur est donn´ e par le membre de gauche, R(ri)/B0(ri)avec
B0(x) = B(x)/(x−ri)(simplifi´ e).
Par exemple, appliquons ceci au calcul de A3: En multipliant (*) par (x+ 2), on a
x3−21 x−7
(x−1)2(x2+x+ 1) = (x+ 2) A1 x−1+A2 (x−1)2+A3+ (x+ 2) B1x+C1 x2+x+ 1
et en posant x=−2,
−8 + 21·2−7
9·3=A3⇐⇒ A3= 1 .
4
44
4

(b) : LES COEFF.AimiDES P ˆ OLES DE MULTIPLICIT ´ Emi
Pour trouver le coefficient Ai,miqui correspond ` a un pˆ ole d’ordre mi, on multiplie
par (x−ri)mi, puis on prend x=ri: de mani` ere analogue ` a ce qui pr´ ec` ede, on trouve
le coeff. recherch´ e.
Dans notre exemple, on d´ etermine ainsi A2en multipliant par (x−1) :
x3−21 x−7
(x+ 2)(x2+x+ 1) = (x−1) A1+A2+ (x−1) A3 x+ 2 +B1x+C1 x2+x+ 1
et en prenant x= 1,A2= (1 −21 −7)/(3·3) = −3.
(c) : LES COEFF.Bjnj, CjnjDES FACTEURS QUADRATIQUES
On peut appliquer la mˆ eme m´ ethode, mais avec les racines complexes de ces fac-
teurs x2+bjx+cj. Pour cel` a, on multiplie par le facteur (x2+bjx+cj)nj, puis on
prend x´ egal ` a une des racines complexes du facteur, pour trouver (avec la partie r´ eelle
et imaginaire) les coeff. Bjet Cj: Dans notre cas,
x2+x+ 1 = x3−1
x−1,
les racines sont donc les 2 racines 3es non-triviales de l’unit´ e, j= exp 2π i
3. (En effet, il
convient de v´ erifier que x=jest vraiment un pˆ ole en calculant R(j) = 1−21 j−76=
0.)
En multipliant (*) par x2+x+ 1
x3−21 x−7
(x−1)2(x+ 2) = (x2+x+ 1) A1 x−1+A2 (x−1)2+A3 x+ 2+B1x+C1
et en prenant x=j, on trouve ainsi
1−21 j−7
j3+ 2 j2−2j2−4j+j+ 2 =B1j+C1
B1j+C1=−6−21 j
3−3j=−2+7j 1−j
ce qui donne (partie r´ eelle et imaginaire) les coefficients Bet Capr` es un petit calcul.
Cependant, ici ce calcul de nombres complexes est un peu lourd et on utilisera plutˆ ot
une autre m´ ethode, par exemple celle des limites.
(d) : LES AUTRES COEFF.Aik DES P ˆ OLES DE MULTIPLICIT ´ Emi>1
Ces coefficients peuvent aussi se calculer par la m´ ethode du changement de va-
riable t=x−ri. Ceci nous ram` ene ` a un pˆ ole en t= 0. Pour calculer les coefficients
associ´ es ` a ce pˆ ole, on fait la division par les autres facteurs de B(t+ri)suivant les
puissances croissantes en t,` a l’ordre mi−1; c’est-` a-dire on s’arrˆ ete lorsque le reste
ne contient que des termes de degr´ e sup´ erieur ou ´ egale ` ami, de fac¸on ` a pouvoir mettre
en facteur tmi. Le quotient donne alors tous les coefficients associ´ es au pˆ ole ri.
5
55
5
2
2
Attention