Division suivants les puissances décroissantes

1
1.5
Intégration de fractions rationnelles : décomposition en
éléments simples
Dans ce (long) chapitre, on montre comment on trouve une primitive pour toute
A(x)
fraction rationnelle f (x) = B(x)
, où A, B sont de polynômes. On procède par étapes,
en illustrant la théorie à l’aide de l’exemple
f (x) =
A(x)
2 x6 + 3 x5 − 3 x4 − 3 x3 − 3 x2 − 18 x − 5
=
B(x)
x5 + x4 − 2 x3 − x2 − x + 2
La première partie de ce chapitre est plutôt algébrique : nous citons et utilisons ici
plusieurs théorèmes importants d’algèbre sans démonstration, qui n’a pas sa place dans
ce cours d’analyse.
1.5.1
Division euclidienne
1e étape : On utilise le
Théorème 22 (et définition : division euclidienne)
Soient A, B ∈ R[X], B 6= 0. Alors il existe un unique couple (Q, R) de R[X]
tel que
A = B Q + R et deg R < deg B
On dit que Q est le quotient et R le reste de la division euclidienne de A par
B.
Ainsi on peut écrire
f (x) =
A(x)
B(x) Q(x) + R(x)
R(x)
=
= Q(x) +
B(x)
B(x)
B(x)
avec deg R < deg B. Le polynôme Q(x) s’appelle partie entière de la fraction rationnelle.
Exemple 1.5.1 On effectue la division euclidienne comme suit :
2 x6 + 3 x5 − 3 x4 − 3 x3 − 3 x2 − 18 x − 5
2 x6 + 2 x5 − 4 x4 − 2 x3 − 2 x2 + 4 x
x5 + x4 − x3 − x2 − 22 x − 5
x5 + x4 − 2 x3 − x2 − x + 2
x3
− 21 x − 7
On a donc
f (x) = 2x + 1 +
x5 + x4 − 2 x3 − x2 − x + 2
2x + 1
x3 − 21 x − 7
.
x5 + x4 − 2 x3 − x2 − x + 2
1
Division suivants
les puissances
décroissantes
2
1.5.2
Polynômes irreductibles
2e étape : On considère donc dorénavant une fraction rationnelle R(x)/B(x) telle que
deg R < deg B. Pour procéder, on pose
Définition 23 Les polynômes irréductibles (sur R) sont les polynômes de
degré 1 et les polynômes de degré 2 sans racine réelle (c’est-à-dire a X 2 +
b X + c avec ∆ = b2 − 4 a c < 0).
Un polynôme est unitaire ssi le coefficient du terme de plus haut degré est 1.
On se servira du
Théorème 24 Tout polynôme de R[X] se décompose de manière unique en un
produit de la forme
P (X) = a (X−r1 )m1 · · · (X−rp )mp (X 2 +b1 X+c1 )n1 · · · (X 2 +bq X+cq )nq
c’est à dire d’une constante a qui est le coefficient du terme de plus haut degré
de P , et de polynômes irréductibles unitaires : ri sont les racines (distinctes)
de P , mi leurs multiplicités, et les facteurs de degré 2 sont sans racine réelle
(c’est-à-dire avec ∆ = b2j − 4 cj < 0).
On utilise cette décomposition pour le polynôme B(x) au dénominateur de la fraction rationnelle. On suppose de plus que le numérateur n’a pas de facteur commun avec
le dénominateur, sinon on simplifie par ce facteur commun.
Exemple 1.5.2 Pour trouver la factorisation B(x), on commence par chercher des
racines “évidentes” en tâtonnant (i.e. en essayant pour x les valeurs 0, ±1,...). On
trouve que B(1) = 0 et B(−2) = 0, donc (x − 1)(x + 2) = x2 + x − 2 divise B(x).
On effectue la division euclidienne
x5 + x4 − 2 x3 − x2 − x + 2
x5 + x4 − 2 x3
0 − x2 − x + 2
−x2 − x + 2
0
x2 + x − 2
x3 − 1
Or, x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1), par conséquent,
B(x) = (x + 2)(x − 1)2 (x2 + x + 1)
En effet, x2 + x + 1 est un trinôme du 2nd degré à discriminant négatif.
2
Dans C[X]
3
1.5.3
Pôles et éléments simples
3e étape
A(x)
, A, B ∈ R[X], est une fraction raDéfinition 25 On dit que f (x) := B(x)
tionnelle irréductible ssi les polynômes A et B sont sans facteur commun.
On appelle pôles de la fraction rationnelle irréductible les racines du polynôme
B.
Soit B(X) = a (X − r1 )m1 · · · (X − rp )mp (X 2 + b1 X + c1 )n1 · · · (X 2 +
bq X + cq )nq la décomposition irréductible de B.
On appelle éléments simples de 1e espèce relatifs aux pôles ri , les mi fonctions rationnelles du type
Ami
A1
A2
, ... ,
,
,
x − ri (x − ri )2
(x − ri )mi
où les Ak sont des constantes réelles.
On appelle éléments simples de 2e espèce relatifs aux polynômes irréductibles
X 2 + bj X + cj , les nj fonctions rationnelles du type
Bnj x + Cnj
B1 x + C1
B2 x + C2
,
, ... ,
,
x2 + bj x + cj
(x2 + bj x + cj )2
(x2 + bj x + cj )nj
où les Bk , Ck sont des constantes réelles.
Exemple 1.5.3 Décrire les éléments simples de
R(x)
x3 − 21 x − 7
=
B(x)
(x + 2)(x − 1)2 (x2 + x + 1)
– éléments simples de 1e espèce :
· le pôle x = 1 de multiplicité 2
2 éléments simples :
A2
A1
,
,
x − 1 (x − 1)2
A3
.
x+2
e
– éléments simples de 2 espèce : · 1 seul, associé au facteur irreductible x2 + x +
B1 x + C1
.
1: 2
x +x+1
Attention : il faut toujours d’abord s’assurer de la décomposition complète du
dénominateur ! Par exemple, B(x) aurait pu être écrit comme B(x) = (x − 1)(x +
2)(x3 − 1) ; ce qui ne permet pas de voir immédiatement les éléments simples.
· pôle x = −2 de multiplicité 1
1 éléments simple :
3
4
Théorème 26 Soit f (x) = A(x)/B(x) une fct. rationnelle irréductible. Alors
1. Si A = BQ + R, deg R < deg B (div.euclidienne de A par B), on a
R
A
=Q+ B
dans Df .
f=B
2.
R
B
se décompose de manière unique comme somme de tous les éléments
simples relatifs à B :
X X Bjk x + Cjk
R(x) X X Aik
+
.
=
B(x)
(x − ri )k
(x2 + bj x + cj )k
j
i
(des)
`
k
Exercice 1.5.1 Donner la structure de la décomposition en éléments simples de
f (x) = R(x)/B(x).
On a
x3 − 21 x − 7
R(x)
=
B(x)
(x + 2)(x − 1)2 (x2 + x + 1)
A2
A3
B1 x + C1
A1
+
++
+
.
=
x − 1 (x − 1)2
x + 2 x2 + x + 1
(*)
NB : quand on ne demande que la structure de la décomposition, on peut laisser les
Ai , Bj , Cj indéterminées.
1.5.4
Calcul des coefficients d’une décomposition en éléments simples
4e étape : (la plus dure...)
(a) : P OUR LES P ÔLES SIMPLES DE MULTIPLICIT É 1
On multiplie l’éq. (des) par (x − ri ), et on prend x = ri : dans le membre de droite
ne survit que Ai , dont la valeur est donné par le membre de gauche, R(ri )/B 0 (ri ) avec
B 0 (x) = B(x)/(x − ri ) (simplifié).
Par exemple, appliquons ceci au calcul de A3 : En multipliant (*) par (x + 2), on a
x3 − 21 x − 7
A1
A2
B1 x + C1
= (x + 2)
+
+ A3 + (x + 2) 2
2
2
2
(x − 1) (x + x + 1)
x − 1 (x − 1)
x +x+1
et en posant x = −2,
−8 + 21·2 − 7
= A3 ⇐⇒ A3 = 1 .
9·3
4
5
(b) : L ES COEFF . Aimi
DES P ÔLES DE MULTIPLICIT É
mi
Pour trouver le coefficient Ai,mi qui correspond à un pôle d’ordre mi , on multiplie
par (x − ri )mi , puis on prend x = ri : de manière analogue à ce qui précède, on trouve
le coeff. recherché.
Dans notre exemple, on détermine ainsi A2 en multipliant par (x − 1)2:
2 A3
x3 − 21 x − 7
B1 x + C1
=
(x
−
1)
A
+
A
+
(x
−
1)
+
1
2
(x + 2)(x2 + x + 1)
x + 2 x2 + x + 1
et en prenant x = 1, A2 = (1 − 21 − 7)/(3·3) = −3.
(c) : L ES COEFF . Bjnj , Cjnj
DES FACTEURS QUADRATIQUES
On peut appliquer la même méthode, mais avec les racines complexes de ces facteurs x2 + bj x + cj . Pour celà, on multiplie par le facteur (x2 + bj x + cj )nj , puis on
prend x égal à une des racines complexes du facteur, pour trouver (avec la partie réelle
et imaginaire) les coeff. Bj et Cj : Dans notre cas,
x2 + x + 1 =
x3 − 1
,
x−1
les racines sont donc les 2 racines 3es non-triviales de l’unité, j = exp 2 3π i . (En effet, il
convient de vérifier que x = j est vraiment un pôle en calculant R(j) = 1 − 21 j − 7 6=
0.)
En multipliant (*) par x2 + x + 1
x3 − 21 x − 7
A1
A2
A3
2
= (x + x + 1)
+
+
+ B1 x + C1
(x − 1)2 (x + 2)
x − 1 (x − 1)2
x+2
et en prenant x = j, on trouve ainsi
1 − 21 j − 7
= B1 j + C1
j3 + 2 j2 − 2 j2 − 4 j + j + 2
2 + 7j
−6 − 21 j
=−
3 − 3j
1−j
ce qui donne (partie réelle et imaginaire) les coefficients B et C après un petit calcul.
Cependant, ici ce calcul de nombres complexes est un peu lourd et on utilisera plutôt
une autre méthode, par exemple celle des limites.
B1 j + C1 =
(d) : L ES AUTRES COEFF . Aik
DES P ÔLES DE MULTIPLICIT É
mi > 1
Ces coefficients peuvent aussi se calculer par la méthode du changement de variable t = x − ri . Ceci nous ramène à un pôle en t = 0. Pour calculer les coefficients
associés à ce pôle, on fait la division par les autres facteurs de B(t + ri ) suivant les
puissances croissantes en t, à l’ordre mi − 1 ; c’est-à-dire on s’arrête lorsque le reste
ne contient que des termes de degré supérieur ou égale à mi , de façon à pouvoir mettre
en facteur tmi . Le quotient donne alors tous les coefficients associés au pôle ri .
5
Attention
6
Exemple 1.5.4 Dans notre exemple, le changement de variable est t = x − 1 ⇐⇒
x = t + 1, donc
x3 − 21 x − 7
t3 + 3 t2 − 18 t − 27
=
.
(x − 1)2 (x + 2)(x2 + x + 1)
t2 (t + 3)(t2 + 3 t + 3)
On divise alors t3 + 3 t2 − 18 t − 27 par (t + 3)(t2 + 3 t + 3) = 9 + 12 t + 6 t2 + t3
suivant les puissances croissantes, à l’ordre 1 :
−27 − 18 t + 3 t2 + t3
−27 − 36 t − 18 t2 − 3 t3
18 t + 21 t2 + 4 t3
18 t + 24 t2 + 12 t3 + 2 t4
−3 t2 − 8 t3 − 2 t4
9 + 12 t + 6 t2 + t3
−3 + 2 t
.
D’où :
−27 − 18 t + 3 t2 + t3 = (−3 + 2 t)(9 + 12 t + 6 t2 + t3 ) + (−3 t2 − 8 t3 − 2 t4 )
En divisant par t2 (t + 3)(t2 + 3 t + 3), on a donc
−27 − 18 t + 3 t2 + t3
−3 + 2 t
−3 − 8 t − 2 t2
=
,
+
2
2
2
t (t + 3)(t + 3 t + 3)
t
(t + 3)(t2 + 3 t + 3)
et on déduit du premier terme que A1 = 2 et A2 = −3.
NB : cette méthode est surtout intéressante s’il y a un pôle de multiplicité élevée
(≥ 4) et peu d’autres facteurs dans B(x), ou alors s’il s’agit dès le début d’un pôle
en x = 0 (ce qui évite le changement de variable).
(e) : M ÉTHODES G ÉN ÉRALES POUR LES COEFF . RESTANTS
(i) : méthode des limites
Cette méthode consiste à multiplier d’abord par la plus basse puissance qui intervient dans la décomposition en éléments simples, et de prendre la limite x → ∞ (où il
suffit de garder les puissances les plus élevées). Ainsi, on a dans le membre de droite la
somme des coefficients qui correspondent à cette puissance, qui permet de déterminer
un coefficient en terme des autres.
Exemple 1.5.5 Dans notre exemple, on multiplie par x, la limite donne alors
lim
x4
= 0 = A1 + A3 + B1
x5
et donc B1 = −A1 − A3 = −2 − 1 = −3.
(ii) : méthode des valeurs particulières
6
7
Une autre méthode consiste à simplement prendre des valeurs particulières pour
x (différents des pôles) et ainsi d’avoir un système d’équations qui permettra de
déterminer les coefficients manquants.
Exemple 1.5.6 Dans notre exemple, prenons x = 0 :
−7
A3
= −A1 + A2 +
+ C1
2
2
et donc C1 = − 72 + A1 − A2 −
A3
2
= − 72 + 2 + 3 −
1
2
= −4 + 5 = 1.
Remarque : dans le cas général, il faut ainsi créer un système d’autant d’équations
(indépendantes) qu’il reste de coefficients à déterminer.
(iii) : par identification
La méthode générique qui marche toujours mais qui n’est pas toujours pas la plus
rapide, consiste à réécrire la somme des éléments simples sur le dénominateur commun
qui est B(x), et d’identifier les coeff. des mêmes puissances de x du membre de gauche
(coefficients de R(x)) et du membre de droite (les A, B, C multipliés par une partie des
facteurs de B(x)).
Ainsi on obtient un système d’équations linéaires dont la solution donne les coefficients (manquants).
1.5.5
Application au calcul de primitives
Avec la technique étudiée dans ce chapitre, on peut intégrer toute fonction raA(x)
tionnelle f (x) = B(x)
. En effet, on commence par simplifier A(x) par les facteurs
irréductibles de B(x) pour désormais pouvoir supposer f (x) irréductible. Ensuite, au
cas ou deg A ≥ deg B, on effectue la division euclidienne pour avoir
f (x) = Q(x) +
R(x)
avec deg R < deg B .
B(x)
R(x)
Enfin, on décompose B(x)
en éléments simples. On n’a donc plus qu’à trouver les
primitives pour les deux types d’éléments simples,
Z
Z
dx
Ax + B
et
dx .
(x − r)k
(x2 + b x + c)k
La première intégrale ne pose pas de problème, sa primitive est
(x − r)−k+1
si k 6= 1 et ln |x − r| si k = 1 .
−k + 1
Considérons donc le 2e type d’intégrale. On l’écrit d’abord sous la forme
Ax + B
2x + b
E
=D 2
+ 2
(x2 + b x + c)k
(x + b x + c)k
(x + b x + c)k
7
8
avec D = A2 et E = B − b D. Ainsi, le premier terme est de la forme D u0 u−k , avec
D
la primitive −k+1
u−k+1 (resp. D ln |u| pour k = 1).
R
Tout ce qui reste donc à calculer est la primitive (x2 +bdxx+c)k (∆ < 0).
Pour ce faire, on se ramène par un changement de variable à cette
p intégrale avec
b = 0 et avec c = 1, en posant successivement u = x + 2b , puis t = c − b2 /4 u).
π π
R dt
2
Pour calculer (t2 +1)
k , on pose t = tan θ, θ ∈ − 2 , 2 , dt = (1 + tan θ)dθ.
[justifier ce chgt de variable !]
Alors
Z
Z
Z
Z
dt
(1 + tan2 θ)dθ
dθ
=
=
= (cos θ)2k−2 dθ
(t2 + 1)k
(1 + tan2 θ)k
(1 + tan2 θ)k−1
(rappel : 1/ cos2 θ = 1 + tan2 θ).
Pour k = 1, une primitive est θ = arctan t. Sinon, on fait une intégration par partie
d’un facteur cos x pour diminuer l’exposant de 2 :
Z
Z
cos2k−2 x dx = [cos2k−3 x sin x] − (2k − 3) cos2k−4 x(− sin x) sin x dx
Z
2k−3
= [cos
x sin x] + (2k − 3) cos2k−4 x(1 − cos2 x) dx
Z
1
2k−3
2k−4
=
[cos
x sin x] + (2k − 3) cos
x dx
2k − 2
R
où la dernière ligne est obtenue en faisant passer toutes les cos2k−2 x dx dans le
membre de gauche puis en divisant par le coefficient 4 − 2k. Avec cos2k−3 x sin x =
cos2k−2 x tan x et cos2 x = 1 + tan2 x, on a enfin
Z
dt
Ik :=
2
(t + 1)k
t
1
] + (2k − 3)Ik−1
=
2k − 2
(1 + t2 )k−1
ce qui permet, avec I1 = arctan t, de calculer Ik pour tout k ∈ N∗ .
Remarque 1.5.1 Dans la pratique, on effectue le changement de variables pour passer
de x2 + b x + c à 1 + tan2 θ en une seule fois.
Exemple 1.5.7 On écrira par exemple
2
2
1
1
1
3
2
x +x+1= x+
− +1= x+
+
2
4
2
4
" r

# 2
3
3
4
1
=
x+
+ 1 = (tan2 θ + 1) ,
4
3
2
4
avec tan θ =
q
4
3
x+
1
2
.
8
9
1.5.6 Primitives
r
des fonctions rationnelles de sin
et cos
r
Définition 27 On dit que f (æ) est une fonction rationnelle de sinr et cosî
s'il existent des polynômes (en 2 vartables) A, B e IR[X, y] (c'est-à-dire A :
D ou Xu Yi , idem pour B) tels que f @) : A(sin r, cos r)/B(sin r, cos r).
f6"ya*=
7-
"llt 4*)
w
h--lan(")
Exemple 1.5.s
/(r)
: H#
: ici, A:Y - X,
B: XY2.
:
On distingue 3 cas (aide mnémotechnique : la nouvelle
variable est chaque fois invariante sous la transformation considérée)
(invariant, orsin(-a)
si
@),ohpose
-sin(r))
Méthode d'intégration
t: cosr
- /(-r) : -f
- si/(r' - ") : -f@),onposet : sinz
- si /(r t r): f (r),onposeü: tanr
)
Exemple 1.5.9
/(r) : [{]i;ç
:
(invar.,orcos(zr - *) : -cos(r))
(invar., mais sin, cos chgtde signe)
. on posef
:
cosu, dü
: - sinrdr, donc
Irato.: lsL*rr_n,
on arrive ainsi à une simple
t:
fraction rationnelle à intégre4 et on substituera finalement
cosr dans le résultat.
Aubrct d,û r^5, dl
fi*- E6tr I x)
vaf .
:
PoSç,'Xq
cor [Ê)= A
<
-^l1L+)^-
{ iur pL) =
4w)=
d.l- =
9
€,U-
æ
err
æ
d1,.
ffi
10
1.5.7 Autres fractions-rationnelles
Dans les cas suivar{p, on peut encore se ramener à la recherche d'une primitive
d'une fraction rationnelle :
Théorème 28
a'S
f (e",shx,chx,thr) :
f,(t - t-t), cr.r :
t.
b)
on pose
|
/ (", ÿ" Æ;ï\) avecad,-bc*02
-""+a
Avec shæ :
rationnelle
en
fraction
t : êr, x : lr-t, 6* -
(t + t'1), on retrouve
une
Lrdt.
onpose
at *b
e r:4,ca"-a 6r: .ad. !S-nan-7dy.
\ca''-a)'
""+d
et on retrouÿe encore une fraction rationnelle en y.
c)
1@,ÿ6æTTî + c).
On transforme la racine en une des formes sui-
ÿantes :
: on pose alors t: sh2 ::=} tE + 1 : chu
: shu
: on pose alors t : tchu (u > 0) =a
^/p-1
:
:
pose
alors
t
sinu
ou
t
cosu
: on
Dans chacun d.es cas, on retombe iur une fraction rationnelle d'un des
- {Fçi
- JFi
- \Æ=7
types qui précèdent (avec ch, sh oa sin, cos).
Exemple1.5.10/(r):#:onaæ2+4x15:(r+2)2*l,onposera
donc t * 2: shu, d'ou 1/P 14sl$ - chu, dr : chudu et
|
rcto*:
:
l#
chz
chudz
:
lGnu-2)du
- 2u: GWTE -
10
2Arsh (x
+2)
.