à une inconnue - college

à une inconnue
I
Genéralités
1.
Définition
Exemple :
Une équation à une inconnue est une égalité dans
laquelle un nombre est désigné par une lettre.
2x + 2 = 3(x – 1) +1 est une équation à une inconnue x
second membre
premier membre
Si on teste la valeur 1 pour x, on obtient :
2 x 1 + 2 = 3(1 – 1) + 1 soit
Si on teste la valeur x = 4
2 x 4 + 2 = 3(4 – 1) + 1 soit
4 = 1 , cette égalité est fausse
10 = 10 cette égalité est vraie
et le nombre 4 s’appelle une solution de l’équation.
Résoudre une équation à une inconnue x, c’est trouver toutes les
solutions possibles (les valeurs de x pour que l’égalité soit vraie).
Le degré d’une équation à une inconnue x, est l’exposant le
plus élevé de x (après développement et réduction)
Exemples :
2.
L’exemple précédent est du 1er degré (degré1) car x = x1
2x² - x = 12 est du second degré (degré 2) car il y a x²
(2x + 3)(5x – 1) = 12 est aussi du second degré car après
développement on obtient 10x² + 13x – 3 = 12
(3x -2)² = 9x² est du 1er degré malgré les apparences
……(à développer et réduire)
Propriétés
On peut ajouter ou soustraire un
même nombre aux deux membres
sans changer une égalité.
On peut multiplier ou diviser les
deux membres par un même
nombre non nul sans changer
une égalité.
a, b et c étant 3 nombres relatifs,
si a = b alors a + c = b + c
et a – c = b – c
a, b et c étant 3 nombres relatifs,
et c ≠ 0
si a = b alors a x c = b x c
a
b
et
=
c
c
Applications immédiates:
Si x + a = b
alors
x=b-a
avec des opérateurs
+a
Propriété 1
X
b
-a
Si
alors
ax = b
b
x=
a
Propriété 2
X
a
X
b
:a
II
Résoudre une équation à une inconnue
Résoudre l’équation 4(2x – 5) = 2 + 10(x – 2) : la méthode
1.
On peut développer et réduire
chaque membre
4(2x – 5) = 2 +10(x – 2)
8x – 20 = 2 + 10x – 20
8x – 20 = -18 + 10x
2.
On peut regrouper les termes
en x dans un membre et les nombres
connus dans l’autre
8x – 10x = -18 + 20
-2x = 2
3.
Il reste à diviser les 2 membres
par un même nombre (ici -2)
4.
Il faut vérifier dans l’équation
de départ
4(2 x (-1) – 5) = 2 + 10(-1 – 2)
4(-7) = 2 +10(-3)
-28 = -28
5.
Pour terminer il faut conclure
La solution est -1
-2x
2
=
-2
-2
x = -1
On peut remarquer dans la 2ème étape de la méthode que
Dans une équation, on peut changer un terme de membre
en changeant son signe.
III
Equation produit nul
1.
Une propriété bien connue de la multiplication
Dans un produit, si un facteur est nul alors ce produit est nul
Exemple : 3 x (-4)² x 2009 x (2 – x) x 0 x 10-12 = 0
Réciproquement :
Si un produit est nul, alors l’un au moins des facteurs est nul.
Exemple :
A, B, C et D étant 4 nombres relatifs
si A x B x C x D = 0 alors A = 0 ou B = 0 ou C = 0 ou D = 0
2.
Définition
Une équation produit nul est une équation dont le
1er membre est un produit et dont le 2ème membre est 0
Exemples :
x(2x + 3)(x – 1) = 0
(x – 1)(x + 2) = 0
produit de 3 facteurs
(x – 3) – (3x + 4) = 0
(x - 1)(5x -3) = 3
3.
produit de 2 facteurs
ne sont pas des équations produit nul
Résolution : Résoudre l’équation x(2x + 3)(x – 1) = 0
On a un produit (de 3 facteurs) nul donc l’un des facteurs est nul.
x = 0 ou 2x + 3 = 0
ou x – 1 = 0
2x = -3
x=1
-3
x=
2
-3
Il y a 3 solutions 0,
et 1 facilement vérifiables dans l’équation de départ.
2
4.
Certaines équations peuvent se ramener à une équation produit nul
4x² = 5x
4x² - 5x = 0 On a mis tous les termes dans le 1er membre
x(4x - 5) = 0 On a factorisé le 1er membre,
On a un produit (de 2 facteurs) nul donc l’un des facteurs est nul.
Soit x = 0 soit 4x – 5 = 0
5
D’où les 2 solutions x = 0 et x =
4
(x + 6)(3x + 5) + (x + 6) = 0
Le développement du 1er membre aboutirait à une équation du 2ème degré que
nous ne savons pas résoudre. Nous allons comme précédemment factoriser le 1 er
membre : facteur commun (x + 6) d’où
(x + 6)(3x + 5 + 1) = 0
(x + 6)(3x + 6) = 0
On a un produit (de 2 facteurs) nul donc l’un des facteurs est nul.
Soit x + 6 = 0 soit 3x + 6 = 0. On aboutit aux 2 solutions
-6
x = -6 et
x=
ou -2
3
25 + 4x² = 20x On procède comme dans le 1er exemple :
25 + 4x² - 20x = 0 et on factorise le 1er membre comme a² - 2ab + b²
(5 - 2x)² = 0
On a encore un produit de facteurs nul avec ici 2 fois le même facteur (5 - 2x)
5
Donc 5 - 2x = 0 et une seule solution x =
2
5.
Un cas particulier : l’équation x² = a
Trois exemples pour illustrer les cas qui peuvent se présenter :
x² = 9. On procède comme dans les exemples du 4. pour se ramener à
une équation produit nul.
x² - 9 = 0
(x + 3)(x – 3) = 0 en factorisant sur le modèle a² - b² = (a + b)(a – b)
Ce produit étant nul, l’un de ses deux facteurs est nul donc
Soit x + 3 = 0 soit x – 3 = 0
D’où les solutions x = -3 et x = 3
x² = -9. On peut se dire que comme un nombre au carré est toujours
positif, on n’a aucune chance d’en trouver un qui vaut -9 donc cette
équation n’a aucune solution.(parmi tous les nombres que l’on connaît en 3ème)
x² = 0
Il n’y a que le nombre zéro qui vérifie cette équation.
Donc x = 0
1. Si a > 0 l’équation x² = a admet 2 solutions a et - a.
2. Si a < 0 l’équation x² = a n’a aucune solution.
3. L’équation x² = 0 admet une solution, 0
Exemples :
x² = 11 admet 2 solutions x = 11 et x = - 11
Vérifications ( 11)² = 11 et (- 11)² = 11
x² + 16 = 0 se ramène à x² = -16 et n’a aucune solution.
III
Résoudre un problème par une équation
Problème :
Pour fêter la fin de l’année scolaire, Ambre, Caroline et Maxime préparent
un cocktail de jus de fruits. Ambre boit le quart de la préparation, Caroline
3
1
en boit les
et Maxime
. Il leur reste encore 1 litre de boisson.
10
5
Quelle quantité de cocktail a été préparée ?
la méthode :
1.
2.
Choix de l’inconnue
Mise en équation du problème
3.
Résolution de l’équation
4.
Vérification du résultat
5.
Réponse au problème posé
Soit x la quantité de cocktail préparée
On peut exprimer que 1L est la différence entre
la quantité initiale et ce qui a été bu. D’où l’équation
1
3
1
x–( x+
x + x) = 1
4
10
5
5
6
4
x–(
x+
x+
x) = 1
20
20
20
15
x–
x =1
20
20
15
xx =1
20
20
5
1
x = 1 ou x = 1 d’où x = 4
20
4
1
Ambre : de 4L = 1L
4
3
Caroline :
de 4L = 1,2L
10
1
Maxime : de 4L = 0,8L
5
Ils ont bu à trois
1 + 1,2 + 0,8 = 3L et il reste bien 1L
Ils ont préparé 4L de cocktail.