Annales L2 – Semestre 4 UFR 02 (2016-2017)

Liste de conseils pour tout savoir sur vos partiels
Nous vous avons concocté une liste de conseils pour tout savoir sur vos partiels:
- vérifier la salle d'examen sur la convocation
- regarder si vous avez un placement attribué
- vérifier que vous avez bien votre carte d’étudiant ou une pièce d’identité
- vous renseigner sur les documents/appareils autorisés lors de l’épreuve : calculatrice, dictionnaire
pour les étudiants étrangers, etc...
► Lors de l’examen :
- L’anonymat des copies : il vous est garanti pour chaque épreuve écrite. Les copies doivent être
anonymes : soit via un coin à rabattre, soit via un code barre.
- Tiers-temps : ceux d’entre vous en ayant fait la demande au préalable doivent se rendre dans la salle
indiquée sur leur convocation, salle qui réunit toutes les personnes bénéficiant de temps
supplémentaire.
- Le retard à une épreuve : vous ne pouvez pas vous voir refuser l’accès à la salle d’examen avant que
le premier tiers du temps de l’épreuve ne soit écoulé. Mieux vaut partir en avance, surtout si votre
centre d'examen est hors de Paris.
- La sortie est autorisée au bout d’une heure.
- L’usage du téléphone portable est interdit, celui-ci doit-être rangé et éteint. La possession d’un
appareil électronique pendant l’épreuve (smartphone, MP3, autre), constitue un soupçon de fraude,
même si vous ne l'utilisez pas.
► En cas de suspicion de fraude:
Le droit de finir votre épreuve ne peut vous être retiré (c'est essentiel : si vous n'êtes pas reconnu
coupable de fraude, votre épreuve sera notée comme tout le monde et cette note figurera à votre
dossier universitaire).
Bien entendu, mieux vaut ne pas tricher. Cependant, si vous vous trouvez suspecté de fraude (chose
qui peut arriver même lorsqu'on n'a pas fraudé), n’hésitez pas à nous joindre au plus vite à l'adresse
[email protected] afin que nous vous assistions pendant la procédure disciplinaire
qui s'ensuivra.
En cas de questions, d’incident ou d’irrégularité dans le déroulement de vos examens, n’hésitez pas à
contacter vos élus UFR Ades Sorbonne ou Fédé Paris I-Panthéon Sorbonne
Bon courage,
A très vite,
L’ADES
UFR 02 SCIENCES ECONOMIQUES
Annales de sujets d’examen
Licence 2 Semestre 4
Table des matières :
Economie et Politiques Européennes
p. 4
Microéconomie 2
p. 6
Théories Economiques Comparées 2
p. 18
Relations Economiques Internationales
p. 22
Statistiques 2
p. 23
UniversitéParis1Panthéon-Sorbonne
UFR02
EconomieetPolitiquesEuropéennes(L2)
1èresessiond’examen
Durée:2heures
Aucundocumentautorisé
Voustraiterez,auchoix,souslaformed’unedissertationentièrementrédigéel’undes
sujetssuivants:
Mai2015
Sujet1:En1949,JacquesRueff,économistefrançais,déclarait:«L’Europeseferaparla
monnaieouneseferapas».
Vouscommenterezcettephraseàlalumièredel’histoiredelaconstructioneuropéenne.
Sujet2:Coordinationetgouvernancedansl’Unioneuropéenne.
Mai2014
Sujet1:Lasolidaritédanslazoneeuro.
Sujet2:Le«modèleallemand»:est-cevraimentunmodèle?
Mai2013
Sujet1:Dansuneinterviewaujournal«LeMonde»datéedu8Avril2013,David
Cameron,PremierMinistreBritannique,considèreque‘L’EUestmûrepourêtre
réformée».Vousdiscuterezcetteopinioneninsistantsurlespistesderéforme
possibles.
Sujet2:Lapolitiquedelaconcurrencedansl’UnionEuropéenne:objectifs,
fonctionnementetperspectives.
Sujet3:L’hétérogénéitédanslazoneeuro.
QuestionsBonus(1point):cesdeuxquestionsontétéabordéespendantlecoursàl’oral
uniquement.
1. Représentezgraphiquement(telquecelaaétéprésentéencours)leconceptde
développementdurable(0,5point)
2. Quesignifiel’expression«les3x20»(0,5points)–pasplusde3lignespar
réponse
Page 4
Mai2012
Sujet1:Lefédéralismebudgétairepeut-ilêtreunesolutionàlacriseactuelledesdettes
souverainesdanslazoneeuro?
Sujet2:Aprèsavoirexposélesmesuresmisesenplaceparlesautoritéseuropéennes
depuis2010pourluttercontrelacrisedesdettessouverainesdanslazoneeuro,vous
vousdemanderezsicesmesuressontdenatureàendiguercettecrise.
Juin2011
Sujet1:est-ilopportundemettreenplaceunfédéralismebudgétaireenEurope?
Sujet2:L’intégrationéconomiqueeuropéennea-t-elleatteintseslimites?
Mai2011
Sujet1:Lesfondementséconomiquesdel’intégrationeuropéenne
Sujet2:Lazoneeurosouffre-t-elled’undéficitdecoordination?
NotaBene:Ladissertationdoitêtreentièrementrédigée.Iln’estpasnécessaire
demettreunplanapparent.Ilseratenucomptedanslanotationdela
présentationdelacopie,delaqualitédelarédaction,del’orthographeetdela
grammaire.
Page 5
Microéconomie L2 – Division 1 (cours de C. Pignol)
Examen du 11 mai 2016
Durée : 2h
Aucun document, calculatrice ou téléphone n’est autorisé.
Vous devez IMPERATIVEMENT JUSTIFIER TOUTES VOS REPONSES en
mentionnant les hypothèses ou arguments économiques.
I. Choix du consommateur (4 pts)
On considère un consommateur dont les préférences sont telles que, quelles
que soient ses dotations, il est toujours prêt à céder, au maximum, deux
unités de bien 1 pour obtenir une unité de bien 2.
II. Question de réflexion (3 pts)
Vous traiterez au choix l’une des deux séries de questions suivantes (II.A ou
II.B). Si vous traitez des questions appartenant aux deux séries, seules seront
corrigées et notées les questions de la première série que vous traiterez.
II.A. En vous référant à la brochure de TD, vous expliquerez l’affirmation
d’Arrow selon laquelle « la seule signification véritable que l’on peut
attribuer au concepts d’utilité concerne la représentation qu’ils donnent du
comportement réel ». Vous répondrez en particulier aux questions suivantes
à partir du tableau ci-dessous, qui décrit l’utilité des consommateurs A et B
selon la répartition des ressources (R1 ou R2), et justifierez soigneusement
vos réponses.
1. Sur un graphique dont vous préciserez les axes, vous représenterez deux
de ses courbes d’indifférence (1 point).
On suppose que les dotations initiales du consommateur sont données par le
panier ( 0 , 5 ). Les prix deus deux biens sont égaux à 1.
2. Représentez sur le même graphique que précédemment la contrainte
budgétaire du consommateur (1 pt).
3. Déterminez graphiquement son choix optimal (1pt).
4. Ses préférences peuvent-elles être représentées par l’une des fonctions
suivantes ? (1 pt)
𝑈(𝑞1 , 𝑞2 ) = 𝑞1 √𝑞2
𝑈(𝑞1 , 𝑞2 ) = √𝑞1 𝑞2
𝑈(𝑞1 , 𝑞2 ) = 𝑞1 + 2𝑞2
𝑈(𝑞1 , 𝑞2 ) = 2𝑞1 + 𝑞2
Répartition des ressources
Utilité de A Utilité de B
R1
10
2
R2
10
20
Peut-on dire que l’utilité de A est plus élevée que celle de B dans la première
répartition et plus faible dans la seconde ? Peut-on dire que l’utilité globale
des agents est supérieure dans l’une des répartitions ?
II.B. En vous référant au cours magistral, vous traiterez le problème suivant.
On interroge deux individus soupçonnés d’avoir commis ensemble un délit.
Quelle procédure faut-il organiser pour les interroger afin de les amener à se
dénoncer ? Le but de l’interrogatoire est d’amener les agents à se dénoncer
réciproquement seulement s’ils ont effectivement commis le délit. Ce but
est-il atteint grâce à cette procédure ?
page 6
III. Le producteur (4 pts)
On considère un producteur dont la fonction de production est :
V. Vrai ou faux ? (4 pts)
1
𝑞2 = 2 𝑞1
1. l’input et l’output peuvent-ils être des quantités d’un même bien ?
(justifiez) (1 pt).
2. Définissez le sentier d’expansion et, si possible, donnez son équation
(1 pt).
3. Déterminez la fonction de coût (1 pt).
4. Déterminez la fonction d’offre concurrentielle (1 pt).
IV. Equilibre général et redistribution (5 pts)
On considère une économie composée de deux agents A et B. Leurs
dotations initiales sont les suivantes :
̅̅̅̅
𝑄𝐴 = ( 10 , 10 )
et
̅̅̅̅
𝑄𝐵 = ( 0 , 10 )
L’équilibre concurrentiel est tel que les dotations des agents y sont égales à :
𝑄𝐴∗ = ( 9 , 20 )
5. Quelles hypothèses permettent à Pigou de recommander un tel
changement ? (1 pt)
et
𝑄𝐵∗ = ( 1 , 0 ).
1. Quels sont les prix d’équilibre dans cette économie ? (1 pt)
Un agent extérieur propose de redistribuer les dotations de manière à
donner les mêmes ressources à chacun.
2. Quelles seraient alors les dotations initiales ? (1 pt).
3. Peut-on comparer les deux répartitions initiales selon le critère de
Pareto ? (1 pt)
4. Le critère de Pareto recommande-t-il ou interdit-il un tel changement ?
(1 pt)
Vous choisirez deux des quatre affirmations suivantes et indiquerez si elles
sont vraies ou fausses en justifiant votre réponse. Seules les deux premières
réponses seront corrigées et notées.
1. La théorie de l’équilibre général démontre que tout équilibre
concurrentiel est un optimum de Pareto.
2. On considère une économie dans laquelle deux agents, A et B, sont
demandeurs de bien 1. Lorsque la demande de bien 1 par A s’accroît, le
prix du bien 1 augmente. B s’en trouve affecté négativement. La
demande de bien 1 par A constitue donc une externalité négative.
3. Certains biens sont rivaux ou non-rivaux selon les circonstances.
4. Dans la théorie de l’équilibre général, chaque consommateur désire être
plus riche que les autres.
VI. Bonus (3 pts)
Dans une économie composée d’un bien de consommation et un bien
d’éducation. La collectivité attribue à chaque ménage une quantité de
chaque bien. Le bien d’éducation est utilisé par les ménages pour
éduquer leurs enfants et ne peut pas être converti en bien de
consommation. La collectivité interdit les échanges entre bien de
consommation et bien d’éducation.
A quelles conditions économiques les consommateurs désirent-ils
pratiquer des échanges ? Quels seraient les arguments du
consommateur pour s’opposer à l’interdiction des échanges ? Quels
seraient ceux de la collectivité pour maintenir cette interdiction ?
page 7
Microéconomie L2
Examen du 11 mai 2016
Les indications en rouge ne constituent pas un corrigé mais des
indications de correction destinées aux chargés de TD.
4. Ses préférences peuvent-elles être représentées par l’une des fonctions
suivantes ? (1 pt)
𝑈(𝑞1 , 𝑞2 ) = 𝑞1 √𝑞2
𝑈(𝑞1 , 𝑞2 ) = √𝑞1 𝑞2
𝑈(𝑞1 , 𝑞2 ) = 𝑞1 + 2𝑞2
𝑈(𝑞1 , 𝑞2 ) = 2𝑞1 + 𝑞2
Durée : 2h
Aucun document, calculatrice ou téléphone n’est autorisé.
II. Question de réflexion (3 pts)
Vous devez IMPERATIVEMENT JUSTIFIER TOUTES VOS REPONSES en
mentionnant les hypothèses ou arguments économiques.
Vous traiterez au choix l’une des deux séries de questions suivantes (II.A ou
II.B). Si vous traitez des questions appartenant aux deux séries, seules seront
corrigées et notées les questions de la première série que vous traiterez.
I.
Choix du consommateur (4 pts)
On considère un consommateur dont les préférences sont telles que, quelles
que soient ses dotations, il est toujours prêt à céder, au maximum, deux
unités de bien 1 pour obtenir une unité de bien 2.
1. Sur un graphique dont vous préciserez les axes, vous représenterez deux
de ses courbes d’indifférence (1 point).
II.A. En vous référant à la brochure de TD, vous expliquerez l’affirmation
d’Arrow selon laquelle « la seule signification véritable que l’on peut
attribuer au concepts d’utilité concerne la représentation qu’ils donnent du
comportement réel ». Vous répondrez en particulier aux questions suivantes
à partir du tableau ci-dessous, qui décrit l’utilité des consommateurs A et B
selon la répartition des ressources (R1 ou R2), et justifierez soigneusement
vos réponses.
droites de pente -1/2
On suppose que les dotations initiales du consommateur sont données par le
panier ( 5 , 0 ). Les prix deus deux biens sont égaux à 1.
2. Représentez sur le même graphique que précédemment la contrainte
budgétaire du consommateur (1 pt).
Droite de pente -1.
3. Déterminez graphiquement son choix optimal (1pt).
Répartition des ressources
Utilité de A Utilité de B
R1
10
2
R2
10
20
Peut-on dire que l’utilité de A est plus élevée que celle de B dans la première
répartition et plus faible dans la seconde ? Peut-on dire que l’utilité globale
des agents est supérieure dans l’une des répartitions ?
(0, 5)
page 8
L’utilité est ordinale et pas cardinale : n’indique pas un niveau de bien-être/
Non, les utilités interpersonnelles sont incomparables si elles sont ordinales.
Oui, U globale plus élevée dans R2 puisque R2 préféré à R1 selon Pareto.
II.B. En vous référant au cours magistral, vous traiterez le problème suivant.
On interroge deux individus soupçonnés d’avoir commis ensemble un délit.
Quelle procédure faut-il organiser pour les interroger afin de les amener à se
dénoncer ? Comment qualifie-t-on les stratégies d’équilibre des agents si
ceux-ci se dénoncent nécessairement sans même considérer le choix de leur
partenaire ? Cet équilibre est-il remis en cause si les agents savent que la
situation se reproduira une autre fois.
Non car on utilise une quantité d’input double de la qté d’output :
production irrationnelle s’il s’agit du même bien.
2. Définissez le sentier d’expansion et, si possible, donnez son équation
(1 pt).
Ensemble des combinaisons d’inputs permettant de produire une qté
donnée d’output au coût le plus faible, compte tenu des prix des inputs et de
leurs productivités marginales. Ici, un seul input, donc pas de sentier
d’expansion.
3. Déterminez la fonction de coût (1 pt).
Le but de l’interrogatoire est d’amener les agents à se dénoncer
réciproquement seulement s’ils sont effectivement coupables. Ce but est-il
atteint grâce à cette procédure ?
C (q2) = p1 q1 = 2p1 q2
Il faut les interroger séparément et proposer une récompense à la
dénonciation, dans tous les cas (que leur partenaire les dénonce ou non) (1
pt). Dénoncer l’autre est une stratégie dominante (gain supérieur à « se
taire » dans tous les cas) (0,5 pt). Non, pas de remise en cause si jeu répété
un nombre fini de fois (0,5 pt). Ils sont dans ce cas amenés à dénoncer autrui
indépendamment de ce qu’ils ont effectivement fait : ne renseigne pas sur ce
qui a été commis. Donc le but n’est pas atteint s’il s’agit que seuls les
coupables soient dénoncés (1 pt).
Si p2 > 2 p1 , offre nulle ;
III. Le producteur (4 pts)
4. Déterminez la fonction d’offre concurrentielle (1 pt).
Si p2 = 2 p1 , offre indéterminée de 0 à l’infini
Si p2 > 2 p1 , offre infinie
IV. Equilibre général et redistribution (5 pts)
On considère une économie composée de deux agents A et B. Leurs
dotations initiales sont les suivantes :
̅̅̅̅
𝑄𝐴 = ( 10 , 10 )
On considère un producteur dont la fonction de production est :
1
𝑞2 = 2 𝑞1
1. Est-il possible que l’input et l’output soient des quantités d’un même
bien ? (justifiez) (1 pt).
et
̅̅̅̅
𝑄𝐵 = ( 0 , 10 )
L’équilibre concurrentiel est tel que les dotations des agents y sont égales à :
𝑄𝐴∗ = ( 9 , 20 )
et
𝑄𝐵∗ = ( 1 , 0 ).
1. Quels sont les prix d’équilibre dans cette économie ? (1 pt)
page 9
Il y a eu échange de 1 unité de 1 contre 10 unités de 2. Donc p1 / p2 = 10.
Un agent extérieur propose de redistribuer les dotations de manière à
donner les mêmes ressources à chacun.
2. Quelles seraient alors les dotations initiales ? (1 pt).
(5 , 10) pour chacun
3. Peut-on comparer les deux répartitions initiales selon le critère de
Pareto ? (1 pt)
Non car critère unanimiste et Répartition 1 préférée par A, Répartition 2
préférée par B.
4. Le critère de Pareto recommande-t-il ou interdit-il un tel changement ?
(1 pt)
Faux, 1er thme bien-être (à mentionner nécessairement) indique des
conditions pour que l’EC soit un OP (système complet de marché, nonsatiété).
2. On considère une économie dans laquelle deux agents, A et B, sont
demandeurs de bien 1. Lorsque la demande de bien 1 par A s’accroît, le
prix du bien 1 augmente. B s’en trouve affecté négativement. La
demande de bien 1 par A constitue donc une externalité négative.
Faux. L’externalité doit être l’effet d’une action d’un agent sur le bien-être ou
le profit d’un autre indépendamment des prix.
3. Certains biens sont rivaux ou non-rivaux selon les circonstances.
Vrai. Effets de seuils. Donner un exemple (embouteillages).
Critère muet : ne peut ni recommander ni interdire.
4. Dans la théorie de l’équilibre général, chaque consommateur désire être
plus riche que les autres.
5. Quelles hypothèses permettent à Pigou de recommander un tel
changement ? (1 pt)
Non : les consommateurs désirent l’utilité et non la richesse et sans
comparaison à autrui (sauf éventuellement si externalité négative).
Comparaisons interpersonnelles et utilité marginale décroissante (compter le
pt si l’idée y est avec référence au texte de la brochure)
VI. Bonus (2 pts)
Vous choisirez deux des quatre affirmations suivantes et indiquerez si elles
sont vraies ou fausses en justifiant votre réponse. Seules les deux premières
réponses seront corrigées et notées.
Dans une économie composée d’un bien de consommation et un bien
d’éducation. La collectivité attribue à chaque ménage une quantité de
chaque bien. Le bien d’éducation est utilisé par les ménages pour éduquer
leurs enfants et ne peut pas être converti en bien de consommation. La
collectivité interdit les échanges entre bien de consommation et bien
d’éducation.
1. La théorie de l’équilibre général démontre que tout équilibre
concurrentiel est un optimum de Pareto.
A quelles conditions économiques les consommateurs désirent-ils pratiquer
des échanges ? Quels seraient les arguments du consommateur pour
V. Vrai ou faux ? (4 pts)
page 10
s’opposer à l’interdiction des échanges ? Quels seraient ceux de la collectivité
pour maintenir cette interdiction ?
Question de la souveraineté des consommateurs. Ceux-ci désirent échanger
si leurs préférences diffèrent, cad si certains évaluent par exemple le bien
d’éducation p/ au bien de cons à une valeur inférieure aux autres (1 pt). Les
consommateurs revendiquent de savoir ce qui est bon pour eux : ils veulent
être souverains dans leurs choix (1 pt). La collectivité prétend le savoir mieux
et considère qu’échanger du bien d’éducation contre du bien de
consommation suppose que certains sacrifient l’éducation de leurs enfants
pour consommer davantage (1 pt).
page 11
Microéconomie L2
Examen du 18 mai 2015
3.
Durée : 2h
Aucun document, calculatrice ni téléphone n’est autorisé.
Vous devez IMPERATIVEMENT JUSTIFIER TOUTES VOS REPONSES en
mentionnant les hypothèses ou arguments économiques.
I. Diagramme d’Edgeworth et courbe des contrats (5 pts)
On considère une économie d’échange composée de deux biens, notés 1 et 2,
dont les quantités disponibles dans l’économie sont de 4 unités pour chaque
bien, et deux agents, notés A et B.
On suppose que l’agent A n’aime pas le bien 1. B aime les deux biens et ses
courbes d’indifférence sont continues, décroissantes et convexes mais ne sont
pas asymptotes aux axes.
1.
2.
4.
Qu’est-ce que le critère de Pareto ? (1 point)
Le critère de Pareto est un critère de comparaison entre plusieurs états
réalisables de l’économie (i.e. plusieurs allocations des ressources de
l’économie entre les agents qui la composent).
On dit qu’un état réalisable est préféré (préférable) { un autre selon le
critère de Pareto s’il lui est préféré au sens large par l’ensemble des agents et
au sens strict par au moins l’un d’entre eux.
On considère deux états réalisables de l’économie : l’état E1 dans lequel B a le
panier ( 4 , 0 ) et l’état E2 dans lequel B a le panier ( 4 , 1) . Sont-ils
comparables selon le critère de Pareto ? (1 pt)
Comme il y a 4 unités de chaque bien dans l’économie, si B a le panier (4 , 0),
alors A a le panier (4 – 4 , 4 – 0) = (0 , 4). L’état réalisable E1 est donc :
E1 = {(0 , 4) , (4 , 0)}.
De même, si B a le panier (4 , 1), alors A a le panier (0 , 3). L’état réalisable E 2
est donc :
E2 = {(0 , 3) , (4 , 1)}.
A préfère E1 à E2, puisqu’il y a plus de bien 2 et autant de bien 1, B préfère E2
à E1, puisqu’il y a plus de bien 2 et autant de bien 1. E 1 et E2 ne sont donc pas
comparables selon le critère de Pareto.
Même question pour les deux états réalisables E 3, dans lequel B a le panier
(0 , 4), et E4, dans lequel B a le panier (1 , 4). (1 pt)
Comme il y a 4 unités de chaque bien dans l’économie, si B a le panier (0 , 4),
alors A a le panier (4 – 0 , 4 – 4) = (4 , 0). L’état réalisable E3 est donc :
E3 = {(4 , 0) , (0 , 4)}.
De même, si B a le panier (1 , 4), alors A a le panier (3 , 0). L’état réalisable E 4
est donc :
E4 = {(3 , 0) , (1 , 4)}.
Comme A n’aime pas le bien 1, il est indifférent entre E3 et E4, puisqu’il a
autant de bien 2 dans ces deux état. B, quant à lui, préfère E4 à E3, puisqu’il y
a plus de bien 1 et autant de bien 2.
E4 étant préféré à E3 au sens large par A et au sens strict par B, il lui est
préféré selon le critère de Pareto.
Représentez cette économie (sans nécessairement dessiner les courbes
d’indifférence des agents) dans un diagramme d’Edgeworth et tracez la
courbe des contrats. (2 pts)
0,5 pour le diagramme aux bonnes dimensions,
1 pt pour l’idée selon laquelle les OP impliquent que A ne dispose pas de bien
1.
0,5 pt pour le dessin de la courbe des contrats sur l’axe des ordonnées de A.
II. Techniques de production et sentier d’expansion (3 pts)
On considère un producteur de tables, la production de chacune exigeant une
planche de bois et deux tréteaux de métal. La quantité q1 de bois (input 1) est
mesurée par le nombre de planches, la quantité q2 de métal (input 2) par le
nombre de tréteaux. La quantité q d’output est mesurée par le nombre de tables.
1.
Page 12
Parmi les équations suivantes, laquelle peut exprimer la fonction de
production ? Expliquez pourquoi. (1 point)
(
)
{
}
(
)
{
}
(
Les paniers d’inputs qui permettent de minimiser le coût de production, et ce,
quels que soient les prix des inputs, sont donc les paniers (q1 , q2) vérifiant q1 =
q2/2, parce qu’alors, il n’y a pas de gaspillage.
Compter 0 pour ceux qui donnent l’équation à partir de l’égalité TMST = rapport
des prix (les inputs ne sont pas substituables).
)
La deuxième. Il faut une planche et deux tréteaux pour faire une table : le nombre
3.
q de tables est donc égal au nombre de planches q1 ou au nombre de tréteaux
Indépendant du rapport des prix (car les inputs sont complémentaires).
divisés par deux,
; il est plus précisément égal au plus petit de ces deux
Discontinu (car les inputs ne sont pas divisibles).
nombres. En effet, si le nombre de tréteaux est plus de deux fois supérieur au
III. Equilibre général en économie de production (4 pts)
nombre de planches, alors la seule conséquence est que certains tréteaux seront
inemployés, mais cela ne permettra pas de fabriquer plus de tables. Même
Remarque : cet « exercice » ne contient aucun calcul.
raisonnement si le nombre de tréteaux est moins de deux fois supérieur au
On considère une économie composée d’un consommateur et d’un producteur.
Le consommateur offre son travail (dans la limite du temps T dont il dispose)
pour obtenir du bien, dont il ne dispose pas avant l’échange. Le producteur
produit du bien avec le travail comme seul input.
nombre de planches, excepté que, dans ce cas, ce sont les tréteaux qui seront en
surnombre.
2.
Quelles particularités présente-t-il ? (1 point)
Définissez le sentier d’expansion et indiquez son équation. (1 point)
Ensemble des paniers d’inputs qui minimisent le coût de production (ou
maximisent le profit).
On suppose que les prix du travail et du bien sont tels que la quantité de bien
offerte par le producteur est supérieure à la quantité demandée par le
consommateur.
Ici, l’équation du sentier d’expansion est impliquée par la technique. C’est :
1.
q1 = q2/2.
En effet,
2.
si q1 > q2/2, alors certaines planches resteront inutilisées. L’achat de ces
dernières constituerait donc un gaspillage, quel que soit le prix des
inputs.
si q1 < q2/2, alors certains tréteaux resteront inutilisés. L’achat de ces
derniers constituerait donc un gaspillage, quel que soit le prix des
inputs.
Page 13
Quel est le signe de la demande nette de bien ? (0,5 pt)
On appelle demande nette d’un bien, la différence entre les quantités
demandées et offertes de ce bien (demande – offre). Dès lors, si l’offre d’un
bien est supérieure à sa demande, alors sa demande nette est négative.
Que peut-on en déduire concernant l’excès d’offre ou de demande de travail ?
(2 pts).
D’après la loi de walras, la somme des demandes nettes en valeur est nulle.
En notant eq la demande nette de bien, eL la demande nette de travail, p, le
prix du bien et w, le salaire, la loi de Walras s’écrit donc :
p eq + w eL = 0. (1 pt)
De cette égalité, on déduit que :
.
L’hypothèse du minimum de survie est une condition nécessaire à la continuité
des courbes de demande et d’offre. Explication du lien entre l’absence du
minimum de survie et discontinuité des courbes d’offre et de demande (via le
texte de Joan Robinson ou un exemple ou…).
< 0,
Or la continuité des courbes d’offre et de demande est nécessaire pour
démontrer l’existence d’un [vecteur de prix d’] équilibre général.
eq =
Dès lors, si :
eq < 0,
alors :
3.
et donc (comme p > 0 et w > 0 : ce sont des prix) :
eL > 0.
La demande nette de travail est donc strictement positive, autrement dit la
demande de travail est excédentaire. (1 pt)
On suppose que les prix du bien et du travail sont tous deux divisés par 2.
Quelle(s) conséquence(s) cela a-t-il ? (1,5 pts).
Dans le modèle de concurrence parfaite, les agents ne sont pas victimes
d’illusion monétaire (1 pt). Dès lors, si les prix du bien et du travail sont tous
les deux divisés par 2, alors les prix relatifs restant les mêmes, cela n’a
aucune conséquence sur les demandes nettes de bien (0,5 point).
Traduction mathématiques : les fonctions de demandes nette sont
homogènes de degré 0. Dès lors, si on multiplie tous les prix pas 0,5, les
demandes nettes sont multipliées par 0,50 = 1 : elles ne changent pas., aucun
effet.
Quelles conséquences cette hypothèse a-t-elle sur la fonction d’offre de travail ?
(1,5 point)
En prenant une fonction Cobb-Douglas et en acceptant toutes les hypothèses du
modèle de concurrence parfaite sauf éventuellement celle du minimum de
survie, en mettant donc une consommation de survie, q*, dans la fonction
d’utilité, on s’aperçoit que :
Si la dotation initiale en bien de l’agent, q0, est supérieure à q*, alors la
dotation initiale de l’agent lui permet de survivre sans travailler et sa
fonction d’offre de travail est croissante du salaire réel.
En revanche, si la dotation initiale en bien de l’agent, q0, est inférieure à
q*, alors la dotation initiale de l’agent ne lui permet de survivre sans
travailler et sa fonction d’offre de travail est décroissante du salaire réel.
IV. Argumentation microéconomique (8 points)
Du coup, on comprend bien que, dans ce modèle, une offre de travail
croissante du salaire réel est la conséquence de l'hypothèse selon laquelle tout
le monde a de quoi vivre sans travailler.
Vous traiterez au choix deux des trois sujets suivants (1, 2 et 3, deux pages par
sujet maximum).
Attention, cette consigne est impérative : si vous traitez plus de sujets que
demandé, le correcteur ne lira que les premières réponses : il s’arrêtera de lire
lorsqu’il aura lu le nombre de réponses requis.
Ce que l’on peut interpréter de la façon suivante : dans ce modèle, le
consommateur n’aimant pas travailler, s’il a de quoi vivre sans travailler, alors il
offre d'autant plus de travail que le salaire est élevé et d'autant moins que son
salaire est faible. Il n'a pas besoin de travailler pour vivre, donc il ne va
travailler que si cela vaut vraiment le coup. En revanche, si le consommateur a
besoin de travailler pour vivre, alors il aura besoin de travailler plus pour vivre
si le salaire réel est plus faible. Par exemple, s'il lui faut une quantité de bien
q* = 10 pour vivre et que le salaire réel est égal à 10 l'heure, alors, il a besoin
de travailler une heure pour vivre; mais si le salaire réel est égal à 1 de l'heure,
alors il a besoin de travailler 10 heures pour vivre, etc.
1. Minimum de survie et modèle de concurrence parfaite
Expliquer le rôle de l’hypothèse du minimum de survie dans le modèle de
concurrence parfaite. (1,5 point)
Page 14
est dans un cas où l’équilibre concurrentiel n’est pas un OP : la maximisation des
gains privés, { l’équilibre, ne maximise pas le gain social (1 pt).
Quel type de politique économique permet-elle de justifier ? (1 point)
Du point de vue des politiques économiques que cette hypothèse permet de
justifier, on peut parler de l’effet du salaire sur l’offre de travail (à un salaire
supérieur correspond une offre de travail plus importante dans un cas, et
moins importante dans l’autre) et, partant sur le niveau du chômage (mais il
faut comparer avec l’effet du salaire sur la demande de travail, évidemment).
3. Intérêt particulier et intérêt général
On considère un débat sur les vertus de la recherche de l’intérêt particulier pour
réaliser l’intérêt général. Les uns considèrent que les théorèmes du bien-être ont
définitivement établi que la recherche de l’intérêt particulier suffit { réaliser
l’intérêt général. Les autres pensent que, { travers ces théorèmes comme {
travers des exemples modélisés par la théorie des jeux non coopératifs, la
réalisation de ce qui est souhaitable collectivement ne passe pas seulement par la
recherche de l’intérêt particulier, et peut même la contredire.
Mettre aussi des points si les étudiants parlent de l’influence de l’hypothèse du
minimum de survie sur le salaire de réserve (qui est dès lors strictement
positif si le consommateur a de quoi vivre sans travailler). Et tout ce qui en
découle du côté des préconisations sur les minima sociaux (mais nous n’en
avons pas parlé en cours donc ne pas sanctionner s’ils n’en parlent
pas).
Vous préciserez comment l’on entend en microéconomie les termes d’intérêt
particulier et d’intérêt général, ainsi que le contenu et l’interprétation des
résultats auxquels il est fait allusion dans l’énoncé. Vous exposerez ce que
répondrait le microéconomiste aux arguments de chacune des parties.
2. Décision individuelle ou collective
On considère un débat sur une situation dans laquelle une technique de
production pollue l’environnement de consommateurs, nuisant { leur bien-être.
Les uns demandent l’interdiction de cette technique ou le paiement par le
producteur d’une taxe suffisamment élevée pour qu’il renonce { l’utiliser. Les
autres jugent que si le producteur a choisi cette technique, c’est que ces bénéfices
pour les consommateurs de cette technique unique sont plus importants que les
nuisances qu’elle occasionne et en déduisent qu’il ne faut pas intervenir.
Définition de l’intérêt privé comme maximisation d’un gain ou d’une fonction
objectif et du gain social comme optimum de Pareto (1 pt).
Les théorèmes du bien-être, quand les conditions en sont vérifiées, disent la
compatibilité des deux (il faut énoncer au moins un théorème) 1 pt.
Quand ils ne sont pas vérifiés (un exemple au moins requis), divergence (1 pt).
Vous devez analyser avec les outils de la microéconomie ce débat (mentionner
externalité négative en donnant ses caractéristiques : bien économique, car
dégrade l’utilité des agents, sans prix, 1 pt), et indiquant les notions
microéconomiques que l’on peut convoquer, et ce que répondrait le
microéconomiste aux arguments de chacune des parties. En particulier, vous
analyserez cette situation au regard du 1er théorème du bien-être et vous
appuierez sur l’analyse des relations entre coût privé et coût social.
De même en théorie des jeux à travers les paradoxes de la rationalité (tout
exemple accepté) (1 pt).
C’est moins probable, mais les étudiants peuvent aussi parler du problème que
pose l’agrégation des préférences et ne pas parler des défaillances de marché ou
du paradoxe de la rationalité via la théorie des jeux.
L’interdiction ou l’abandon de la technique ne tient pas compte du gain { son
utilisation (gain privé en termes de coût de production, mais aussi gain social en
termes de qté de bien { consommer) 1 pt. Mais l’autre argument ne tient pas
compte du coût social (pollution) dont le producteur ne tient pas compte 1 pt. On
Page 15
Microéconomie L2
Examen du 9 mai 2014
Durée : 2h
Aucun document, calculatrice ou téléphone n’est autorisé.
I. Diagramme d’Edgeworth et courbe des contrats (4 pts)
On considère une économie d’échange composée de deux biens (notés 1 et 2) dont les quantités
disponibles dans l’économie sont de 10 unités pour chaque bien, et deux agents (notés A et B), dont les
préférences sont telles que leurs courbes d’indifférence sont continues, décroissantes, convexes et
asymptotes aux axes.
On propose comme équation de la courbe des contrats :
a) Dans le diagramme d’Edgeworth représentant cette économie, dont vous expliquerez la construction,
tracez la courbe définie par cette équation (2 pts).
b) Expliquez pourquoi il n’est pas possible que cette équation soit celle de la courbe des contrats dans
cette économie (2 pts).
II. L’équilibre général en économie de production (6 pts)
On considère une économie composée d’un consommateur, d’un producteur, et de deux biens (un bien de
consommation et le temps, qui peut être employé soit comme temps de travail, noté L, soit comme temps
de loisir, noté ).
Le consommateur dispose d’une dotation ( ̅ )̅
, où ̅ désigne sa dotation en bien, et ,̅ sa
dotation en temps. Sa relation de préférence peut être représentée par la fonction d’utilité
√ .
Le producteur produit du bien à partir d’un input, le travail, selon la fonction de production :
1. Résolvez le problème du consommateur et déduisez-en que son offre de travail L* est égale à 8 unités (2
pts).
2. Sachant la fonction de production, combien d’unités de travail sont-elles nécessaires pour produire une
unité de bien ? (1 pt)
3. S’il existe un équilibre avec une production non nulle, quel est le salaire réel d’équilibre, (w/p)* ? (2 pts)
4. Déduisez-en le panier optimal du consommateur, Q* = (q*, l*) (1 pt).
Page 16
III. Vous répondrez au choix à l’UNE des deux séries de questions suivantes (5 pts). Réponse argumentée
en 5 à 10 lignes par question (ATTENTION, si vous répondez aux deux séries de questions, le
correcteur ne lira que vos réponses à la première).
1. Justice et optimalité (1,5 point, 1,5 point, 2 points)
- Pourquoi une situation sous-optimale au sens de Pareto n’est-elle pas souhaitable ?
- Le critère de Pareto permet-il aux agents d’une économie de choisir un optimum de Pareto parmi tous
ceux de l’économie ?
- Un jeu à somme nulle est tel que la somme des gains des joueurs est toujours nulle, quelle que soit
l’issue du jeu. Pourquoi (si l’on suppose que les joueurs préfèrent gagner plus à moins, qu’ils sont
égoïstes), les issues d’un tel jeu ne sont-elles pas comparables selon le critère de Pareto ?
2. Défaillances de marché (1,5 point, 1,5 point, 2 points)
- L’utilisation par un producteur d’une quantité importante d’eau entraîne un accroissement de son prix,
qui réduit le nombre de consommateurs pouvant consommer l’eau. En quoi une telle conséquence se
distingue-t-elle d’une externalité négative ?
- La production d’un bien public est-elle toujours assurée par l’Etat ?
- On considère une économie dans laquelle est produit un bien non-rival excluable, dont la consommation
est accessible à tous les agents acquittant un forfait. Expliquez pourquoi cette situation n’est pas un
optimum de Pareto ?
IV.
Commentaire de textes (5 pts)
En vous appuyant sur les éléments de cours et de TD, vous mettrez en relation et commenterez brièvement
(30 lignes maximum) les deux textes suivants :
« Pour résumer, la théorie moderne de l’équilibre général montre dans quelle mesure une allocation
collective des ressources peut être obtenue à travers la coordination des décisions privées indépendantes
par l’intermédiaire du marché. Nous sommes en fait assurés non seulement qu’une allocation peut être
atteinte, mais qu’elle sera optimale au sens de Pareto. Rien cependant dans le processus ne garantit que la
distribution finale des ressources sera juste. (…) Si nous voulons à la fois nous appuyer sur les vertus du
marché et atteindre une allocation plus juste, la théorie suggère alors de modifier la distribution initiale
plutôt que d’interférer, dans une étape ultérieure, avec le processus d’allocation des ressources » (K.
Arrow, « Potentialités et limites du marché dans l’allocation des ressources », Théorie de l’information et de
la communication, Dunod, 2000, p.64)
« Pour utiliser l’équilibre de marché concurrentiel afin d’atteindre un optimum social, nous devons avoir
une distribution initiale des ressources correcte, et selon la volonté d’équité de nos objectifs sociaux, cela
pourra requérir une réallocation totale des schémas de propriété par rapport au schéma dont nous avons
hérité historiquement » (A. Sen, « Marchés et libertés », Rationalité et liberté en économie, Odile Jacob,
2005, p.398)
Page 11
UNIVERSITEDEPARISI–PENTHEON–SORBONNE
2èmeANNEEDELICENCEDESCIENCESECONOMIQUES
CoursdeThéoriesEconomiques2(Croissanceetcrises)
(CoursdeM.AssousetC.Ramaux)
Durée:2heures;aucundocumentn’estautorisé(téléphone,calculatrice,ordinateur
éteintsetdanslessacsSVP)
Voustraiterezl’undesdeuxsujetssuivantsauchoix:
Mai2015
Sujetn°1:Lapolitiquedebaissedestauxd’intérêtpermet-elledesortirdelacrise?
Sujetn°2:Lesprofitsd’aujourd’huifontilslesinvestissementsdedemainetlesemplois
d’après-demain?
Juin2015
Sujetn°1:L’économiepeut-ellesemaintenirensituationdesous-emplois?
Sujetn°2:Quellessontleslimitesdespolitiquesdel’offrepoursortird’unecrise
économique(vouspouvezillustrervotreproposenvousréférantàlacriseencoursen
Europe)?
Mai2014
Sujetn°1:L’offredétermine-t-ellelademande?EnquoiKeynesetlespostkeynésiens
s’opposent-ilsauxclassiquesetàMarxsurcettequestions?
Sujetn°2:Lescrisestrouvent-ellesleuroriginedanslarépartitiondesrevenus?
Juin2014
Sujetn°1:Enquoilecriseactuelleremet-ellel’analysekeynésienneaugoûtdujour?
Sujetn°2:Lesprofitsdéterminent-ilsl’investissement?Confrontezlespointsdevue
desclassiques,deMarxetdeskeynésienssurcettequestion.
Page 26
Avril2013
Sujetn°1:Lesprofitsdéterminent-ilsl’investissementetpartantlacroissance?Dans
quellemesurepeut-onopposersurcesujetlesthèsesdesclassiquesetdeMarxd’un
côté,deKeynesetdespostkeynésiens,del’autre?
Sujetn°2:Enquoilarécessionencoursdanslazoneeuroconfronte-t-ellelepointde
vuedeskeynésienssurlaprimautédeladépense.
Mai2012
Sujetn°1:L’épargneest-ellevertueuse?
Sujetn°2:Labaissedessalairesest-elleunremèdeàlacrise?
Juin2012
Sujetn°1:MarxetKeynespartagent-ilslamêmeanalysedescrises?
Sujetn°2:Enquoilesconflitsderépartitionentresalaireetprofitspermettent-elles
d’expliquerlescrises?
Juin2011
Sujetn°1:L’épargneest-ellevertueuse?
Sujetn°2:Augmenterlessalairespeut-ilfavoriserl’emploi?
Votredissertationdevracomporterunplananalytiqueclair,apparentdanslecorpsdevos
développementsouprésentéséparémentsurunefeuillelibre;soignezvotreformulation
économique(votrefrançaisaussi)etrelisez-vousavantderendevotrecopie.
Page 27
Université de Paris I - Panthéon - Sorbonne
année de Licence de Sciences économiques
2
ème
Cours de Théories Economiques Comparées 2 (Croissance et crises)
(Cours de M. Assous et C. Ramaux)
Durée : 2 heures ; aucun document n’est autorisé (téléphone, calculatrice et ordinateur
éteints SVP)
Consignes : votre dissertation devra comporter un plan analytique clair, apparent dans le
corps de vos développements ou présenté séparément sur une feuille libre ; soignez votre
formulation économique (votre français aussi) et relisez-vous avant de rendre votre copie.
Vous traiterez l’un des deux sujets suivants au choix :
Juin 2011
Sujet n°1 : L’épargne est-elle vertueuse ?
Sujet n°2 : Augmenter les salaires peut-il favoriser l’emploi ?
Mai 2011
Sujet n°1 : Les évolutions de la répartition des revenus sont-elles à l’origine des crises ?
Sujet n°2 : Le progrès technique : source ou remède à la crise ?
Janvier 2010
Sujet n°1 : Dans un article récent, P. Artus (membre du Conseil d’analyse économique)
propose une « lecture marxiste de la crise » : « suraccumulation du capital (par “l’euphorie”
des entrepreneurs) d’où baisse tendancielle du taux de profit ; réaction des entreprises à cette
baisse du taux de profit par la compression des salaires […], d’où sous-consommation ;
réaction […] par le développement du crédit et des activités spéculatives, comme substituts
(palliatifs) à l’insuffisance de la production » (Flash, n°02, 6 janvier 2010).
En quoi cette lecture est-elle marxiste ? En quoi y trouve-t-on aussi des éléments keynésiens
(éventuellement post-keynésiens) ?
Page 28
Sujet n°2 : En quoi l’économie peut-elle se maintenir en situation de sous-emploi selon
Keynes et Kalecki ?
Septembre 2009
Sujet n°1 : En quoi les conflits de répartition entre salaire et profit permettent-elles
d’expliquer les crises ?
Sujet n°2 : Comment Keynes analyse-t-il le rôle des marchés financiers ? En quoi la crise
remet-elle au goût du jour ses analyses ?
Janvier 2009
Sujet n°1 : Le rôle de l’investissement dans la croissance et les crises.
Sujet n°2 : En quoi la crise actuelle remet-elle l’analyse keynésienne au goût du jour ?
Septembre 2008
Sujet n°1 : La relation entre salaire et profit chez Ricardo et Marx
Sujet n°2 : « Le risque d'une prédominance de la spéculation tend à grandir à mesure que le
[développement] des marchés financiers progresse » (J.-M. Keynes, Théorie Générale de
l'emploi, de l'intérêt et de la monnaie, 1936, Chapitre XII).
Explicitez le sens de cette phrase pour Keynes. Dans quelle mesure vous semble-t-elle
pertinente pour éclairer les réalités contemporaines ?
Février 2008
Sujet n°1 : Deux lectures de la crise actuelle s’opposent : la première suggère qu’elle est le
produit d’une politique économique trop laxiste conduisant à un excès de liquidité et à un
excès de consommation (en particulier aux Etats-Unis) ; la seconde insiste, au contraire, sur
l’excès d’épargne (notamment en Asie). En quoi ces deux lectures renvoient-elles aux
controverses théoriques entre les classiques et Keynes ?
Sujet n°2 : « On attache trop peu d’importance au fait que le capital n’est pas une entité se
suffisant à elle-même et qu’il ne peut exister indépendamment de la consommation » (Keynes,
Théorie générale, Livre III, Chap. 8). Marx, de son côté, indique que la croissance du capital
constant par rapport au capital variable est source de crise. Confrontez ces thèses.
Page 29
!
!"#$%&'()*+,'('-&./")*&(%"0($%&'($#")*
"#$%&'($)*!+,'$(!-!
.##*&!/0-01/0--!2!-&'&!3&(($4#!
5,))6$&7!8'49&)!
!
!
!+1'(2"3*2$()*#4'020"*5*#4"()"-6#"*2")*./")%&'()*)/&7$(%")**
!
8/")%&'()*5*9*1'&(%)*:0+1'()"*"(*;*1$<"*-$=&-/->*?*
!
-: ;,!<'&=$>'&!%,?7&!@&!=4#@$,A$(,)$4#!@,)&!@&!A,!B$#!@7!CDC!($>3A&:!E7&A(!(4#)!A&(!
<'$#3$<,A&(!@$BB*'&#3&(!,%&3!A,!<6,(&!@&!=4#@$,A$(,)$4#!F7&!AG4#!34##,$)!,7H47'@G67$!I!
/: ;G.;JK.!&)!A&!5&'34(7'!(4#)!@&7L!)M<&(!@G,334'@!'*?$4#,7L!@$BB*'&#)(!I!E7&AA&(!
@$BB*'&#3&!M!,2)2$A!&#)'&!A&(!@&7L!)M<&(!@G,334'@(!I!E7&A(!(4#)!A&(!,%,#),?&(!&)!A&(!
@*B,7)(!$#6*'&#)(!N!36,37#:!
O: +'*(&#)&'!',<$@&=&#)!A&!<,',@$?=&!P;D:!
Q: E7&A(!(4#)!A&(!&BB&)(!N!,))&#@'&!@G7#!BA7L!=$?',)4$'&!$#)&'#,)$4#,A!$=<4'),#)!(7'!A&!
<,M(!@G4'$?$#&!I!
R: S*=4#)'&'!F7&!!"#$#%&#'##!(#$#)&#*#!+#$#,&-#E7&AA&(!(4#)!A&(!$=<A$3,)$4#(!@&!3&))&!
*F7,)$4#!I!
T: U&<'*(&#)&'!?',<6$F7&=&#)!V%$,!7#!?',<6$F7&!4BB'&1@&=,#@&W!AG$=<,3)!@G7#!@'4$)!@&!
@47,#&!(7'!7#&!<&)$)&!*34#4=$&:!
X: S,#(!F7&AA&!=&(7'&!A,!94#&!&7'4!&()2&AA&!7#&!94#&!=4#*),$'&!4<)$=,A&!I!
!
8/")%&'()*5*@*1'&(%*:0+1'()"*"(*9*#&<(")*-$=&-/->*?*
*
Y: E7&A!$#@$3,)&7'!<&'=&)!@&!=&(7'&'!A&!34==&'3&!$#)',2Z',#36&!I!
[: E7&A(!(4#)!A&(!Q!=4@&(!@G*36,#?&!@&!(&'%$3&(!'*<&')4'$*(!<,'!A&!\.]^!I!!
-0: E7&A(!<,M(!(4#)!'&(<&3)$%&=&#)!A&(!@&7L!<'&=$&'(!<,M(!&L<4'),)&7'(!@&!Z$&#(!,7!
=4#@&!I!
--: .!F7&A!*34#4=$()&!@4$)24#!A&!<'$#3$<&!@&(!,%,#),?&(!34=<,',)$B(!I!
-/: E7G&()23&!F7&!A&!<'$#3$<&!@&!A,!#,)$4#!A,!<A7(!B,%4'$(*&!I!
-O: E7G&()23&!F7&!AG4'?,#&!@&!'>?A&=&#)!@&(!@$BB*'&#)(!I!
Page 30
L2 sciences économiques
Année universitaire 2014 – 2015
Université Paris 1
Partiel de statistiques
Mardi 5 mai – Durée 2 heures
Sujet 1
Les exercices sont indépendants. Au sein d’un exercice, il est conseillé de traiter les questions dans
l’ordre. Le barème est indicatif. L’utilisation de documents, calculatrices, téléphones portables ou tout
autre appareil électronique, est interdite. Les réponses devront être soigneusement argumentées et
justifiées. Vous pouvez laisser les résultats sous la forme de fractions,
sans évaluer les fonctions usuelles
⇥
comme exp (aussi noté e) ou ln. Si les notations Cnp , Apn et/ou np sont utilisées, leurs définitions en
fonction de la factorielle devront être rappelées.
Exercice 1 (8 points)
On étudie une urne contenant 5 jetons numérotés de 1 à 5. On tire dans cette urne deux jetons,
successivement et sans remise.
Question 1 Donner l’univers ⇥ et la probabilité P de l’expérience aléatoire.
On définit les deux variables aléatoires X et Y de la façon suivante. X vaut 1 si on obtient au moins
un numéro pair sur l’un des deux jetons tirés et 0 sinon. Y vaut la valeur absolue de la di⇤érence entre
les numéros des deux jetons. Par exemple, si on tire d’abord le jeton 2 puis le jeton 3, X vaut alors 1
(car 2 est pair) et Y vaut 1 (c’est-à-dire |2 3|).
Question 2 Déterminer X(⇥) et Y (⇥).
Question 3 Donner la loi jointe du couple (X, Y ). Pour simplifier le calcul de la loi jointe, il est
vivement conseillé de construire pour chaque variable un tableau donnant la valeur prise par la variable
en fonction du résultat du tirage.
Question 4 Donner les lois marginales de X et Y .
Question 5 Démontrer que X et Y ne sont pas indépendantes.
Question 6 Calculer la loi conditionnelle de Y sachant X = 0.
Exercice 2 (3,5 points)
Un fabricant produit de fausses pièces en métal pour un jeu de société. Il annonce au concepteur du
jeu que le diamètre des pièces produites suit une loi normale de moyenne µ = 2 cm et d’écart-type =
0,1 cm.
Question 1 Le concepteur du jeu a prévu une boîte de diamètre 2,2 cm. Calculer le pourcentage des
pièces produites par le fabricant qui ne pourront pas rentrer dans la boîte. On supposera qu’une pièce
de diamètre inférieur ou égal à 2,2 cm rentre dans la boîte.
Question 2 Le concepteur du jeu souhaite qu’au moins 90 % des pièces aient un diamètre compris
entre 1,9 cm et 2,1 cm. Est-ce le cas ?
Question 3 Déterminer un intervalle de la forme [2
appartenant à l’intervalle.
t, 2 + t] tel que 90 % des pièces aient un diamètre
Page 1 sur 4
Page 31
Exercice 3 (6 points)
Dans cet exercice, on pourra, si nécessaire, utiliser les valeurs approchées suivantes : e 4 ⇥ 0,02,
1
1
1
1
e 2 ⇥ 0,14, e 1 ⇥ 0,37, e 2 ⇥ 0,61, e 4 ⇥ 0,78, e 4 ⇥ 1,28, e 2 ⇥ 1,65 , e ⇥ 2,71, e2 ⇥ 7,39,
e4 ⇥ 54,60.
Un investisseur s’intéresse aux créations d’entreprises innovantes. La durée d’activité d’une telle
entreprise est modélisée par une variable aléatoire continue, D, qui est supposée suivre une loi
exponentielle E(⇥). D est mesurée en années. La durée de vie moyenne de ces entreprises est de 4 ans.
Question 1 Déterminer le paramètre ⇥ de la loi suivie par D.
Question 2 Calculer la probabilité qu’une entreprise de ce type ait une durée de vie inférieure (ou
égale) à 4 ans.
L’investisseur envisage le plan financier suivant : il investit un million d’euros dans une entreprise
innovante qui se crée et au bout d’un an touche 1,7 millions d’euros en récupérant l’argent investi
et des dividendes de 700 000 euros, à condition que l’entreprise soit encore en activité. Dans le cas
contraire, c’est-à-dire si l’entreprise n’est plus en activité, l’investisseur perd l’intégralité de l’argent
investi.
Question 3 Soit S la variable aléatoire qui vaut 1 si l’entreprise considérée est encore en activé au
bout d’un an et 0 sinon. Donner la loi usuelle suivie par S en précisant la (les) valeur(s) de son (ou ses)
paramètre(s).
Question 4 Soit M la variable aléatoire donnant le montant que l’investisseur touche au bout d’un
an, exprimé en millions d’euros. Exprimer M comme une fonction de S.
Question 5 Calculer l’espérance et la variance de M .
L’investisseur cherche à établir s’il ne serait pas plus judicieux de prêter moins d’argent mais à
plusieurs entreprises. Il considère le cas où il investit 200 000 euros dans 5 entreprises di⇤érentes avec
des dividendes de 140 000 euros au bout d’un an (selon un schéma similaire à celui des questions
précédentes). En d’autres termes, pour chaque entreprise l’investisseur peut soit récupérer 340 000 euros
si l’entreprise est encore en activité au bout d’un an, soit ne rien récupérer du tout. Les défaillances
des entreprises sont considérées indépendantes.
Question 6 Soit A la variable aléatoire du nombre d’entreprises encore en activité au bout d’un an
parmi les 5 dans lesquelles l’investisseur a placé son argent. Déterminer la loi de A et préciser la (les)
valeur(s) de son (ou ses) paramètre(s).
Question 7 Calculer la probabilité qu’une seule entreprise (parmi les 5) soit encore en activité au
bout d’un an.
Question 8 Soit N la variable aléatoire donnant le total que l’investisseur touche au bout d’un an,
exprimé en millions d’euros. Calculer l’espérance et la variance de N .
Question 9 En comparant les espérances et les variances de M et N , notamment au travers du ratio
)
des variances, V(M
V(N ) , déterminer le plan d’investissement qui paraît le plus judicieux.
Page 2 sur 4
Page 32
Exercice 4 (3 points)
Soit f la fonction définie comme suit :
f (x) =
⇤
⌅
⌅
⇧0
si x < 0
si x ⇤ [0, a]
si x > a
ex
⌅e 1
⌅
⌃0
Avec e défini comme le réel tel que e = e1 et ln(e) = 1, e ⇥ 2,71, et a un nombre réel quelconque.
Question 1 Déterminer a de sorte que f soit la densité d’une variable aléatoire absolument continue.
Question 2 Soit X une variable aléatoire de densité f (donc avec pour a la valeur calculée à la
question précédente). Déterminer FX la fonction de répartition de X.
Question 3 Calculer l’espérance de X. On pourra s’appuyer sur le calcul de la dérivée de la fonction
g(x) = xex ex pour obtenir une primitive utile pour le calcul de E(X).
Récapitulatif de lois classiques
Loi
Valeurs prises
Uniforme
X ⌅ Un
{1, . . . ,n}
Binomiale
X ⌅ B(n,p)
{0, . . . ,n}
P (X = k) = Cnk pk (1
{1,2,3, . . . ,}
P (X = k) = p(1
Bernoulli
X ⌅ B(1,p)
Géométrique
X ⌅ G(p)
[a,b]
Exponentielle
Normale
X ⌅ N (m,
2)
p)n
p)k
(1
k
1
f (x) =
⌥
⇤
⌅
⌅
⇧
1
b a
0
0
x a
b a
⌅
⌅
⌃ 1
⌥
k!
e
si x ⇤ [a,b]
sinon
si x < a
si x ⇤ [a,b]
si x ⇧ b
⇥ exp( ⇥x) si x ⇧ 0
0
sinon
⌥
1 exp( ⇥x) si x ⇧ 0
F (x) =
0
sinon
f (x) =
R
f (x) =
⇥1
⇥ 2⇤
exp
Espérance
Variance
n+1
2
n2 1
12
p
p(1
p)
np
np(1
p)
1
p
1 p
p2
⇥
⇥
p)k
k
Densité/Fonction de répartition
R+
X ⌅ E(⇥)
F (k) = 1
P (X = k) =
F (x) =
X ⌅ U([a,b])
1
n
P (X = 0) = 1 p
P (X = 1) = p
N
Valeurs
prises
Uniforme
P (X = k) =
{0,1}
Poisson
X ⌅ P(⇥)
Loi
Loi
(x m)2
2⇥ 2
Espérance
Variance
a+b
2
(b a)2
12
1
1
m
2
2
Page 3 sur 4
Page 33
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0
0,5000
0,5040
0,5080
0,5120
0,5160
0,5199
0,5239
0,5279
0,5319
0,5359
0,1
0,5398
0,5438
0,5478
0,5517
0,5557
0,5596
0,5636
0,5675
0,5714
0,5753
0,2
0,5793
0,5832
0,5871
0,5910
0,5948
0,5987
0,6026
0,6064
0,6103
0,6141
0,3
0,6179
0,6217
0,6255
0,6293
0,6331
0,6368
0,6406
0,6443
0,6480
0,6517
0,4
0,6554
0,6591
0,6628
0,6664
0,6700
0,6736
0,6772
0,6808
0,6844
0,6879
0,5
0,6915
0,6950
0,6985
0,7019
0,7054
0,7088
0,7123
0,7157
0,7190
0,7224
0,6
0,7257
0,7291
0,7324
0,7357
0,7389
0,7422
0,7454
0,7486
0,7517
0,7549
0,7
0,7580
0,7611
0,7642
0,7673
0,7704
0,7734
0,7764
0,7794
0,7823
0,7852
0,8
0,7881
0,7910
0,7939
0,7967
0,7995
0,8023
0,8051
0,8078
0,8106
0,8133
0,9
0,8159
0,8186
0,8212
0,8238
0,8264
0,8289
0,8315
0,8340
0,8365
0,8389
1
0,8413
0,8438
0,8461
0,8485
0,8508
0,8531
0,8554
0,8577
0,8599
0,8621
1,1
0,8643
0,8665
0,8686
0,8708
0,8729
0,8749
0,8770
0,8790
0,8810
0,8830
1,2
0,8849
0,8869
0,8888
0,8907
0,8925
0,8944
0,8962
0,8980
0,8997
0,9015
1,3
0,9032
0,9049
0,9066
0,9082
0,9099
0,9115
0,9131
0,9147
0,9162
0,9177
1,4
0,9192
0,9207
0,9222
0,9236
0,9251
0,9265
0,9279
0,9292
0,9306
0,9319
1,5
0,9332
0,9345
0,9357
0,9370
0,9382
0,9394
0,9406
0,9418
0,9429
0,9441
1,6
0,9452
0,9463
0,9474
0,9484
0,9495
0,9505
0,9515
0,9525
0,9535
0,9545
1,7
0,9554
0,9564
0,9573
0,9582
0,9591
0,9599
0,9608
0,9616
0,9625
0,9633
1,8
0,9641
0,9649
0,9656
0,9664
0,9671
0,9678
0,9686
0,9693
0,9699
0,9706
1,9
0,9713
0,9719
0,9726
0,9732
0,9738
0,9744
0,9750
0,9756
0,9761
0,9767
2
0,9772
0,9778
0,9783
0,9788
0,9793
0,9798
0,9803
0,9808
0,9812
0,9817
2,1
0,9821
0,9826
0,9830
0,9834
0,9838
0,9842
0,9846
0,9850
0,9854
0,9857
2,2
0,9861
0,9864
0,9868
0,9871
0,9875
0,9878
0,9881
0,9884
0,9887
0,9890
2,3
0,9893
0,9896
0,9898
0,9901
0,9904
0,9906
0,9909
0,9911
0,9913
0,9916
2,4
0,9918
0,9920
0,9922
0,9925
0,9927
0,9929
0,9931
0,9932
0,9934
0,9936
2,5
0,9938
0,9940
0,9941
0,9943
0,9945
0,9946
0,9948
0,9949
0,9951
0,9952
2,6
0,9953
0,9955
0,9956
0,9957
0,9959
0,9960
0,9961
0,9962
0,9963
0,9964
2,7
0,9965
0,9966
0,9967
0,9968
0,9969
0,9970
0,9971
0,9972
0,9973
0,9974
2,8
0,9974
0,9975
0,9976
0,9977
0,9977
0,9978
0,9979
0,9979
0,9980
0,9981
2,9
0,9981
0,9982
0,9982
0,9983
0,9984
0,9984
0,9985
0,9985
0,9986
0,9986
Table 1 – Fonction de répartition de la loi normale N (0,1)
Page 4 sur 4
Page 34
L2 sciences économiques
Année universitaire 2014 – 2015
Université Paris 1
Partiel de statistiques
Mardi 5 mai – Durée 2 heures
Sujet 1
Les exercices sont indépendants. Au sein d’un exercice, il est conseillé de traiter les questions dans
l’ordre. Le barème est indicatif. L’utilisation de documents, calculatrices, téléphones portables ou tout
autre appareil électronique, est interdite. Les réponses devront être soigneusement argumentées et
justifiées. Vous pouvez laisser les résultats sous la forme de fractions,
sans évaluer les fonctions usuelles
! "
comme exp (aussi noté e) ou ln. Si les notations Cnp , Apn et/ou np sont utilisées, leurs définitions en
fonction de la factorielle devront être rappelées.
Exercice 1 (8 points)
On étudie une urne contenant 5 jetons numérotés de 1 à 5. On tire dans cette urne deux jetons,
successivement et sans remise.
Question 1 Donner l’univers
et la probabilité P de l’expérience aléatoire.
Correction
On définit l’ensemble des jetons par :
J = {J1 , J2 , J3 , J4 , J5 },
où l’indice désigne le numéro du jeton. Comme on a un tirage sans remise, l’univers est celui des
arrangements de 2 éléments parmi 6, soit
= {(j1 , j2 ) œ J 2 |j1 ”= j2 }.
On a | | = A25 = 5 ◊ 4 = 20. Sans mention contraire dans l’énoncé, on peut poser que chaque
événement élémentaire est équiprobable, c’est-à-dire que chaque couple de jetons a autant de
chances de sortir que n’importe quel autre. On choisit donc la probabilité uniforme sur , soit
donc P(A) = |A|
| | pour tout A µ .
On définit les deux variables aléatoires X et Y de la façon suivante. X vaut 1 si on obtient au moins
un numéro pair sur l’un des deux jetons tirés et 0 sinon. Y vaut la valeur absolue de la différence entre
les numéros des deux jetons. Par exemple, si on tire d’abord le jeton 2 puis le jeton 3, X vaut alors 1
(car 2 est pair) et Y vaut 1 (c’est-à-dire |2 ≠ 3|).
Question 2 Déterminer X( ) et Y ( ).
Correction
Par définition de X, X( ) = {0, 1}. D’autre part Y (j1 ,j2 ) = |j1 ≠ j2 | en identifiant un jeton à
son numéro. Or j1 et j2 prennent avec cette convention toutes valeurs entières entre 1 et 5, avec
toujours j1 ”= j2 . On en déduit donc que Y ( ) = {1, 2, 3, 4}.
Question 3 Donner la loi jointe du couple (X, Y ). Pour simplifier le calcul de la loi jointe, il est
vivement conseillé de construire pour chaque variable un tableau donnant la valeur prise par la variable
en fonction du résultat du tirage.
Page 1 sur 8
Page 35
Correction
On commence par construire les tableaux conseillés. Pour X, on a ainsi :
(j1 ,j2 ) J1 J2 J3 J4 J5
1
J1
J2
J3
J4
J5
et pour Y :
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
(j1 ,j2 ) J1 J2 J3 J4 J5
1
J1
J2
J3
J4
J5
1
2
3
4
2
1
1
2
3
3
2
1
1
2
4
3
2
1
1
1
Chaque couple de jetons du tableau à la probabilité 20
d’être tiré. Pour obtenir P(X = x, Y = y)
il suffit de compter le nombre de couples dont l’image par (X, Y ) est (x, y) puis de diviser ce
nombre par 20. On obtient la loi jointe suivante :
P(X = x, Y = y) y = 1 y = 2 y = 3 y = 4
4
20
2
20
0
20
8
20
x=0
x=1
0
20
4
20
2
20
0
20
Question 4 Donner les lois marginales de X et Y .
On utilise le fait que P(X = x) =
q
Correction
yœY ( ) P(X
= x,Y = y). On trouve ainsi pour X
x
0
1
P(X = x)
6
20
14
20
et pour Y
y
1
2
3
4
P(Y = y)
8
20
6
20
4
20
2
20
Question 5 Démontrer que X et Y ne sont pas indépendantes.
Correction
Il suffit de trouver x et y tels que P(X = x, Y = y) ”= P(X = x)P(Y = y). Or, P(X = 0, Y = 1) = 0
6
8
alors que P(X = 0)P(Y = 1) = 20
◊ 20
”= 0.
Page 2 sur 8
Page 36
Question 6 Calculer la loi conditionnelle de Y sachant X = 0.
Correction
Il suffit de calculer les valeurs de
P(X=0,Y =y)
P(X=0) .
On obtient le tableau suivant :
1 2 3 4
y
P(Y = y|X = 0) 0
2
3
0
1
3
Exercice 2 (3,5 points)
Un fabricant produit de fausses pièces en métal pour un jeu de société. Il annonce au concepteur du
jeu que le diamètre des pièces produites suit une loi normale de moyenne µ = 2 cm et d’écart-type ‡ =
0,1 cm.
Question 1 Le concepteur du jeu a prévu une boîte de diamètre 2,2 cm. Calculer le pourcentage des
pièces produites par le fabricant qui ne pourront pas rentrer dans la boîte. On supposera qu’une pièce
de diamètre inférieur ou égal à 2,2 cm rentre dans la boîte.
Correction
Soit D la variable aléatoire représentant le diamètre des pièces. On sait que D ≥ N (2,0,12 ). Donc
2
la variable aléatoire X = D≠2
0,1 suit une loi normale centrée et réduite N (0,1 ).
On cherche à déterminer P(D > 2,2). Or
D > 2,2 … D ≠ 2 > 0,2 …
D≠2
> 2 … X > 2.
0,1
Donc P(D > 2,2) = P(X > 2). Or, P(X > 2) = 1 ≠ FX (2), par définition de la fonction de
répartition. La table de la loi normale centrée réduite donne FX (2) = 0,9772 et donc P(D > 2,2) =
0,0228. Il y aura donc environ 2,3 % des pièces qui ne pourront pas rentrer dans la boîte.
Question 2 Le concepteur du jeu souhaite qu’au moins 90 % des pièces aient un diamètre compris
entre 1,9 cm et 2,1 cm. Est-ce le cas ?
Correction
On veut connaître la probabilité P(D œ [1,9; 2,1]) (sachant que l’inclusion ou non des bornes de
l’intervalle n’importe pas car la variable aléatoire est continue). Or
1,9 Æ D Æ 2,1 … ≠0,1 Æ D ≠ 2 Æ 0,1
D≠2
Æ1
… ≠1 Æ
0,1
… ≠1 Æ X Æ 1.
De ce fait, on doit donc calculer P(X œ [≠1, 1]) = FX (1) ≠ FX (≠1) par définition de la fonction
de répartition (et continuité de X). On lit dans la table de la loi normale centrée réduite que
FX (1) = 0,8413. De plus, par symétrie de la loi normale, on sait que FX (≠1) = 1 ≠ FX (1) et donc
Page 3 sur 8
Page 37
que FX (≠1) = 0,1587. On en déduit que
P(X œ [≠1, 1]) = 0,6826 = P(D œ [1,9; 2,1]).
On constate donc que les exigences du concepteur ne sont pas satisfaites.
Question 3 Déterminer un intervalle de la forme [2 ≠ t, 2 + t] tel que 90 % des pièces aient un diamètre
appartenant à l’intervalle.
Correction
On a
2 ≠ t Æ D Æ 2 + t … ≠t Æ D ≠ 2 Æ t
D≠2
Æ 10t
… ≠10t Æ
0,1
… ≠10t Æ X Æ 10t.
Cherchons alors un intervalle de la forme [≠u,u] tel que P(X œ [≠u,u]) = 0,9. On sait que
P(X œ [≠u,u]) = FX (u) ≠ FX (≠u) = 2FX (u) ≠ 1 la deuxième égalité venant de la symétrie de la
loi normale centrée réduite. On cherche donc u tel que FX (u) = 0,95. La lecture de la table donne
u = 1,65 (avec FX (1,65) = 0,9505 ƒ 0,95). Or,
≠1,65 Æ X Æ 1,65 … ≠0,165 ◊ 10 Æ X Æ 0,165 ◊ 10.
Si on pose t = 0,165, on a donc
≠u Æ X Æ u … ≠10t Æ X Æ 10t … 2 ≠ t Æ D Æ 2 + t.
L’intervalle recherché est donc [1,835; 2,165].
Exercice 3 (6 points)
Dans cet exercice, on pourra, si nécessaire, utiliser les valeurs approchées suivantes : e≠4 ƒ 0,02,
1
1
1
1
e≠2 ƒ 0,14, e≠1 ƒ 0,37, e≠ 2 ƒ 0,61, e≠ 4 ƒ 0,78, e 4 ƒ 1,28, e 2 ƒ 1,65 , e ƒ 2,71, e2 ƒ 7,39,
e4 ƒ 54,60.
Un investisseur s’intéresse aux créations d’entreprises innovantes. La durée d’activité d’une telle
entreprise est modélisée par une variable aléatoire continue, D, qui est supposée suivre une loi
exponentielle E(⁄). D est mesurée en années. La durée de vie moyenne de ces entreprises est de 4 ans.
Question 1 Déterminer le paramètre ⁄ de la loi suivie par D.
Correction
D, la variable aléatoire de durée d’activité de l’entreprise, suit une loi exponentielle, il nous reste
à déterminer le paramètre ⁄. Or, on sait que E(D) = ⁄1 et comme par l’énoncé E(D) = 4, on a
⁄ = 14 .
Question 2 Calculer la probabilité qu’une entreprise de ce type ait une durée de vie inférieure (ou
égale) à 4 ans.
Page 4 sur 8
Page 38
Correction
≠ 14 ◊4
P(D Æ 4) = FD (4) = 1 ≠ e
= 1 ≠ e≠1 = 1 ≠ 0,37 = 0,63
L’investisseur envisage le plan financier suivant : il investit un million d’euros dans une entreprise
innovante qui se crée et au bout d’un an touche 1,7 millions d’euros en récupérant l’argent investi
et des dividendes de 700 000 euros, à condition que l’entreprise soit encore en activité. Dans le cas
contraire, c’est-à-dire si l’entreprise n’est plus en activité, l’investisseur perd l’intégralité de l’argent
investi.
Question 3 Soit S la variable aléatoire qui vaut 1 si l’entreprise considérée est encore en activé au
bout d’un an et 0 sinon. Donner la loi usuelle suivie par S en précisant la (les) valeur(s) de son (ou ses)
paramètre(s).
Correction
Il s’agit d’une épreuve de Bernoulli : soit l’entreprise survit et peut rembourser et verser des
dividences (succès, alors S = 1), soit elle fait faillite avant et S = 0. Le paramètre p de cette Benoulli
est donnée par la probabilité que l’entreprise survive au moins jusqu’au moment du remboursement
(c’est-à-dire un an). Or par continuité : P(D Ø 1) = P(D > 1), et par complémentaire P(D > 1) =
1
1 ≠ P(D Æ 1) = 1 ≠ FD (1) = 1 ≠ 1 + e≠ 4 = 0,78. Donc S ≥ B(0,78).
Question 4 Soit M la variable aléatoire donnant le montant que l’investisseur touche au bout d’un
an, exprimé en millions d’euros. Exprimer M comme une fonction de S.
Correction
M est une VA fonction de S, que l’on peut écrire comme : M = S ◊ 1,7. En effet, soit l’entreprise a
survécu un an et l’investisseur touche 1,7 millions, soit l’entreprise n’a pas survécu et l’investisseur
ne touche rien.
Question 5 Calculer l’espérance et la variance de M .
Correction
Par linéarité de l’espérance : E(M ) = 1,7◊E(S) et comme S est une Bernoulli, on a E(S) = p = 0,78.
D’où E(M ) = 1,7 ◊ 0,78. Pour la variance, on sait que V(aX + b) = a2 V(X).
On en déduit donc que : V(M ) = 1,72 V(S) = 1,72 ◊ p(1 ≠ p) = 1,72 ◊ 0,78 ◊ 0,22.
L’investisseur cherche à établir s’il ne serait pas plus judicieux de prêter moins d’argent mais à
plusieurs entreprises. Il considère le cas où il investit 200 000 euros dans 5 entreprises différentes avec
des dividendes de 140 000 euros au bout d’un an (selon un schéma similaire à celui des questions
précédentes). En d’autres termes, pour chaque entreprise l’investisseur peut soit récupérer 340 000 euros
si l’entreprise est encore en activité au bout d’un an, soit ne rien récupérer du tout. Les défaillances
des entreprises sont considérées indépendantes.
Question 6 Soit A la variable aléatoire du nombre d’entreprises encore en activité au bout d’un an
parmi les 5 dans lesquelles l’investisseur a placé son argent. Déterminer la loi de A et préciser la (les)
valeur(s) de son (ou ses) paramètre(s).
Correction
Chaque entreprise représente une épreuve de Bernoulli de paramètre 0,78 (question précédente)
Page 5 sur 8
Page 39
et sont indépendantes par l’énoncé. A est donc la somme de 5 épreuves de Bernoulli de même
paramètre (ou “identiquement distribuées”) et indépendantes, il s’agit donc d’une binomiale de
paramètre 5 et de probabilité 0,78. Soit A ≥ B(5; 0,78).
Question 7 Calculer la probabilité qu’une seule entreprise (parmi les 5) soit encore en activité au
bout d’un an.
Correction
Dans le cas général pour a œ A( ) = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, on a
P(A = a) = Cna pa (1 ≠ p)n≠a =
Dans le cas particulier de a = 1 cela donne :
P(A = 1) =
5!
◊ 0,78a ◊ 0,225≠a
a!(5 ≠ a)!
5!
◊ 0,781 ◊ 0,225≠1 = 5 ◊ 0,78 ◊ 0,224 .
1!(5 ≠ 1)!
Question 8 Soit N la variable aléatoire donnant le total que l’investisseur touche au bout d’un an,
exprimé en millions d’euros. Calculer l’espérance et la variance de N .
Correction
N est une variable aléatoire fonction de A. En effet N = 0,34A + 0 ◊ (5 ≠ A) = 0,34A. Or on sait
que l’espérance de A est donnée par E(A) = np = 5 ◊ 0,78 et par linéarité de l’espérance on a
également E(N ) = 0,34 ◊ E(A) = 5 ◊ 0,78 ◊ 0,34 = 1,7 ◊ 0,78 = E(S).
Pour la variance de N , on sait que A étant une binomiale on a V(A) = np(1 ≠ p) = 5 ◊ 0,78 ◊ 0,22
et donc V(N ) = 0,342 V(A) = 0,342 ◊ 5 ◊ 0,78 ◊ 0,22.
Question 9 En comparant les espérances et les variances de M et N , notamment au travers du ratio
)
des variances, V(M
V(N ) , déterminer le plan d’investissement qui paraît le plus judicieux.
Correction
On remarque que N et S ont la même espérance, donc en moyenne les deux plans financiers
correspondent aux mêmes gains.
)
Le ratio V(M
V(N ) s’écrit :
1,72 ◊ 0,78 ◊ 0,22
1,72
(5 ◊ 0,34)2
V(M )
=
=
=
=5
2
2
V(N )
0,34 ◊ 5 ◊ 0,78 ◊ 0,22
0,34 ◊ 5
0,342 ◊ 5
La variance de M est donc 5 fois plus grande que la variance de N . Les deux plans rapportent le
même montant en moyenne mais la dispersion est beaucoup plus grande pour le plan M , et donc
le « risque » plus grand. Il est probablement préférable de ce point de vue de choisir N plutôt que
M.
Exercice 4 (3 points)
Page 6 sur 8
Page 40
Soit f la fonction définie comme suit :
f (x) =
Y
_
_
]0
si x < 0
si x œ [0, a]
si x > a
ex
_ e≠1
_
[0
Avec e défini comme le réel tel que e = e1 et ln(e) = 1, e ƒ 2,71, et a un nombre réel quelconque.
Question 1 Déterminer a de sorte que f soit la densité d’une variable aléatoire absolument continue.
Correction
Pour être la densité d’une variable aléatoire continue, f doit être positive (ces qui est le cas
Œ
immédiatement) et intégrable sur R (ce qui est aussi le cas). Il reste à vérifier que ≠Œ
f (x)dx = 1.
⁄ +Œ
≠Œ
f (x)dx =
=
⁄ 0
≠Œ
⁄ a
0
f (x)dx +
⁄ a
0
f (x)dx +
1
ex
dt =
e≠1
e≠1
⁄ a
0
⁄ +Œ
a
ex dx =
f (x)dx
1 Ë x Èa ea ≠ 1
=
e
e≠1
e≠1
0
Par respectivement la relation de Chasles, linéarité de l’intégrale et théorème fondamental.
a ≠1
D’où ee≠1
= 1. D’où ea ≠ 1 = e ≠ 1 ∆ a = 1.
Question 2 Soit X une variable aléatoire de densité f (donc avec pour a la valeur calculée à la
question précédente). Déterminer FX la fonction de répartition de X.
Correction
On sait que FX est donnée par la formule générale :
FX (x) =
⁄ x
≠Œ
f (t)dt
On obtient ainsi :
Ys
x
_
_
]s≠Œ 0dt = 0 s
s et
x
0
1 sx t
FX (x) =
f (t)dt = ≠Œ
0dt + 0x e≠1
dt = e≠1
e dt (Chasles et linéarité)
≠Œ
_
s0
s 1 et
s x 0 s 1 et
_s x
[
≠Œ f (t)dt
=
≠Œ 0dt
Il nous reste donc à calculer
1
e≠1
+
0 e≠1 dt
1 sx t
e≠1 0 e dt
⁄ x
0
D’où, pour x œ [0,1], FX (x) =
et dt =
ex ≠1
e≠1
+
1
0dt =
0 e≠1 dt
( avec comme cas particulier
si x < 0
si x œ [0,1]
si x > 1
s 1 et
0 e≠1 dt).
1 Ë x Èx
1
ex ≠ 1
(ex ≠ e0 ) =
e
=
e≠1
e≠1
e≠1
0
et pour x > 1, FX (x) =
e≠1
e≠1
= 1.
Question 3 Calculer l’espérance de X. On pourra s’appuyer sur le calcul de la dérivée de la fonction
g(x) = xex ≠ ex pour obtenir une primitive utile pour le calcul de E(X).
Correction
On a g(x) = xex ≠ ex , soit g Õ (x) = 1 ◊ ex + x ◊ ex ≠ ex = x ◊ ex . Autrement dit g est une
Page 7 sur 8
Page 41
primitive de la fonction x ◊ ex . On calcule l’espérance de X. Par définition on a (et en suivant des
raisonnements analogues à ceux précédents : relation de Chasles et linéarité de l’intégrale) :
E(X) =
⁄ +Œ
≠Œ
xf (x)dx =
⁄ 1
0
1
ex
dx =
x
e≠1
e≠1
⁄ 1
0
xex dx
Or une primitive de xex est donnée par g, donc on a :
E(X) =
È1
1 Ë x
1
1
1
xex dx =
(1 ◊ e1 ≠ e1 ≠ 0 + e0 ) =
xe ≠ ex =
e≠1
e≠1
e≠1
e≠1
0
Page 8 sur 8
Page 42
L2 sciences économiques
Année universitaire 2013 – 2014
Université Paris 1
Partiel de statistiques
Mardi 29 avril – Durée 2 heures
Sujet 1
Les exercices sont indépendants. Au sein d’un exercice, il est conseillé de traiter les questions dans
l’ordre. Le barème est indicatif. L’utilisation de documents, calculatrices, téléphones portables ou tout
autre appareil électronique, est interdite. Les réponses devront être soigneusement argumentées et
justifiées. Vous pouvez laisser les résultats sous la !forme
de fractions, sans évaluer les fonctions usuelles
n"
p
p
comme exp ou ln. Si les notations Cn , An et/ou p sont utilisées, leurs définitions en fonction de la
factorielle devront être rappelées.
Exercice 1 (2 points)
Un investisseur cherche à évaluer la pertinence d’un placement financier. Le rendement de cet investissement sur un an (combien l’investisseur va gagner ou perdre en 1 an) est donné par une variable
aléatoire R qui suit une loi normale d’espérance 23 et d’écart-type 12 , l’unité étant le million d’euros.
Question 1 Quelle est la probabilité que son rendement se trouve entre 0 et
4
3
d’un million ?
Question 2 L’investisseur, d’humeur optimiste, cherche maintenant à déterminer le rendement minimal
auquel il peut s’attendre dans les 10 % de cas les plus favorables, c’est-à-dire qu’il cherche r tel que
P(R Ø r) = 0,10. Déterminez r.
Exercice 2 (4 points)
Les variables aléatoires X et Y sont telles que X( ) = {0,5} et Y ( ) = {≠10,0,10}. On sait que :
– P(Y = ≠10 | X = 0) =
– P(Y = 0 | X = 5) =
1
2
1
2
et P(Y = 0 | X = 0) =
et P(Y = 10 | X = 5) =
1
3.
1
6
;
Question 1 Déterminez P(Y = 10 | X = 0) et P(Y = ≠10 | X = 5).
Question 2 Les valeurs 0 et 5 sont par ailleurs équiprobables pour X. Donnez la loi de X, puis la loi
jointe de (X,Y ), et la loi de Y .
Question 3 Calculez la covariance de X et Y . Sont-elles indépendantes ?
Exercice 3 (6 points)
On étudie le jeu de hasard suivant. On dispose de deux dés non truqués, un premier dé à 4 faces
numérotées de 1 à 4 et un second dé à 8 faces numérotées de 1 à 8. Une manche du jeu consiste à
lancer 5 fois de suite les deux dés. Le joueur remporte la manche si au moins l’une des deux conditions
suivantes est remplie :
1. il obtient au moins une fois une valeur supérieure ou égale à 11 en ajoutant les valeurs des deux
dés ;
2. il obtient exactement une fois un double 4.
Question 1 Déterminez l’univers correspondant à une manche du jeu (les 5 lancers) et indiquez
quelle probabilité P modélise bien l’expérience aléatoire.
Question 2 On étudie d’abord le cas simplifié dans lequel seule la première condition ci-dessus donne
une victoire : déterminez la probabilité d’obtenir au moins une fois sur les 5 lancers une valeur supérieure
ou égale à 11 en ajoutant les valeurs des deux dés (on note A l’évènement correspondant).
Page 1 sur 4
Page 43
Question 3 On étudie de la même façon le cas simplifié dans lequel seule la deuxième condition
ci-dessus donne une victoire : déterminez la probabilité d’obtenir exactement une fois un double 4 sur
les 5 lancers (on note B l’évènement correspondant).
Question 4 Soit C l’évènement correspondant à une victoire en tenant compte des deux conditions.
Donnez un exemple d’évènement élémentaire (donc un résultat des 5 lancers) qui montre que P(C) ”=
P(A) + P(B).
Question 5 Déterminez la probabilité de l’évènement A fl B.
Question 6 Déduire des questions précédentes la probabilité de victoire en tenant compte des deux
conditions. On pourra utiliser le fait que pour tous ensembles U et V , U fi V est l’union disjointe de U
et de U fl V .
Exercice 4 (5 points)
On étudie un jeu de hasard dans lequel la probabilité de remporter une manche est notée p = 12 . On
s’intéresse à un joueur qui enchaîne plusieurs manches du jeu. Les manches sont considérées comme
indépendantes.
Question 1 Un joueur enchaîne 5 manches du jeu. Calculez sa probabilité de gagner exactement deux
fois. Combien le joueur gagne-t-il de manches en moyenne ? Pour traiter ces questions, il est conseillé
d’introduire une variable aléatoire X donnant le nombre de manches gagnées.
Question 2 Un joueur enchaîne les manches jusqu’à en remporter une. Calculer sa probabilité de
jouer au plus trois manches. Combien de manches enchaîne-t-il en moyenne avant de s’arrêter ? On
pourra introduire une variable aléatoire Y donnant le nombre de manches jouées jusqu’à la première
remportée.
On suppose maintenant que pour jouer une manche, il faut payer 1 e. Si on gagne la manche, on
remporte 2 e, sinon, on ne gagne rien. Le gain net du joueur après une manche est donc soit 1 e en
cas de manche remportée, soit ≠1 e en cas de manche perdue.
Question 3 On note Z la variable aléatoire du gain net total d’un joueur enchaînant 5 manches de
jeu (on note l’univers associé à ces 5 manches). Donnez la loi de Z en précisant Z( ) et la valeur de
P(Z = z) pour tout z œ Z( ). Calculez l’espérance de Z. On pourra s’aider de la variable X introduite
à la question 1.
Question 4 On considère un joueur disposant de 5 e. Le joueur enchaîne les manches et s’arrête soit
à sa première victoire, soit quand il n’a plus d’argent. On note W la variable aléatoire donnant la
quantité d’argent dont dispose le joueur après s’être arrêté. Par exemple si le joueur perd la première
manche et gagne la seconde, il dispose alors de W = 5 e car il a payé deux fois 1 e pour jouer et
a gagné une fois 2 e. Déterminez une fonction g telle que W = g(Y ) où Y est la variable aléatoire
introduite à la question 2.
Question 5 Déterminez la loi de W en procédant comme à la question 3, c’est-à-dire en donnant
P (W = w) pour tout w œ W ( Õ ), où Õ désigne l’univers associé à l’expérience aléatoire.
Exercice 5 (3 points)
La fonction de répartition d’une variable aléatoire absolument continue X est définie comme suit :
Y
_
0
_
_
]
x ≠ x2
F (x) =
_
3x ≠ 54
_
_
[
1
Page 44
si
si
si
si
x<0
x œ [0, 12 [
x œ [ 12 , 34 [
x Ø 34
Page 2 sur 4
Question 1 Donnez la densité de X.
!
$ 1 5 #"
4,8 .
Question 2 Calculez P X œ
Question 3 Calculez E(X).
Récapitulatif de lois classiques
Loi
Uniforme
X ≥ Un
Bernoulli
X ≥ B(1,p)
Binomiale
X ≥ B(n,p)
Géométrique
X ≥ G(p)
Poisson
X ≥ P(⁄)
Loi
Uniforme
Valeurs prises
{0, . . . ,n}
{1,2,3, . . . ,}
N
Valeurs
prises
[a,b]
R+
R
1
n
P (X = 0) = 1 ≠ p
P (X = 1) = p
P (X = k) = Cnk pk (1 ≠ p)n≠k
{0,1}
X ≥ E(⁄)
Normale
X ≥ N (m,‡ 2 )
P (X = k) =
{1, . . . ,n}
X ≥ U([a,b])
Exponentielle
Loi
P (X = k) = p(1 ≠ p)k≠1
F (k) = 1 ≠ (1 ≠ p)k
k
P (X = k) = ⁄k! e≠⁄
Densité/Fonction de répartition
I
1
b≠a
si x œ [a,b]
0
sinon
Y
_
si x < a
] 0
x≠a
si
x œ [a,b]
F (x) =
b≠a
_
[ 1
si x Ø b
I
⁄ exp(≠⁄x) si x Ø 0
f (x) =
0
sinon
I
1 ≠ exp(≠⁄x) si x Ø 0
F (x) =
0
sinon
f (x) =
f (x) =
Ô1
‡ 2fi
1
exp ≠ (x≠m)
2‡ 2
2
2
Espérance
Variance
n+1
2
n2 ≠1
12
p
p(1 ≠ p)
np
np(1 ≠ p)
1
p
1≠p
p2
⁄
⁄
Espérance
Variance
a+b
2
(b≠a)2
12
1
⁄
1
⁄2
m
‡2
Page 3 sur 4
Page 45
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
0
0,5000
0,5398
0,5793
0,6179
0,6554
0,6915
0,7257
0,7580
0,7881
0,8159
0,8413
0,8643
0,8849
0,9032
0,9192
0,9332
0,9452
0,9554
0,9641
0,9713
0,9772
0,9821
0,9861
0,9893
0,9918
0,9938
0,9953
0,9965
0,9974
0,9981
0,01
0,5040
0,5438
0,5832
0,6217
0,6591
0,6950
0,7291
0,7611
0,7910
0,8186
0,8438
0,8665
0,8869
0,9049
0,9207
0,9345
0,9463
0,9564
0,9649
0,9719
0,9778
0,9826
0,9864
0,9896
0,9920
0,9940
0,9955
0,9966
0,9975
0,9982
0,02
0,5080
0,5478
0,5871
0,6255
0,6628
0,6985
0,7324
0,7642
0,7939
0,8212
0,8461
0,8686
0,8888
0,9066
0,9222
0,9357
0,9474
0,9573
0,9656
0,9726
0,9783
0,9830
0,9868
0,9898
0,9922
0,9941
0,9956
0,9967
0,9976
0,9982
0,03
0,5120
0,5517
0,5910
0,6293
0,6664
0,7019
0,7357
0,7673
0,7967
0,8238
0,8485
0,8708
0,8907
0,9082
0,9236
0,9370
0,9484
0,9582
0,9664
0,9732
0,9788
0,9834
0,9871
0,9901
0,9925
0,9943
0,9957
0,9968
0,9977
0,9983
0,04
0,5160
0,5557
0,5948
0,6331
0,6700
0,7054
0,7389
0,7704
0,7995
0,8264
0,8508
0,8729
0,8925
0,9099
0,9251
0,9382
0,9495
0,9591
0,9671
0,9738
0,9793
0,9838
0,9875
0,9904
0,9927
0,9945
0,9959
0,9969
0,9977
0,9984
0,05
0,5199
0,5596
0,5987
0,6368
0,6736
0,7088
0,7422
0,7734
0,8023
0,8289
0,8531
0,8749
0,8944
0,9115
0,9265
0,9394
0,9505
0,9599
0,9678
0,9744
0,9798
0,9842
0,9878
0,9906
0,9929
0,9946
0,9960
0,9970
0,9978
0,9984
0,06
0,5239
0,5636
0,6026
0,6406
0,6772
0,7123
0,7454
0,7764
0,8051
0,8315
0,8554
0,8770
0,8962
0,9131
0,9279
0,9406
0,9515
0,9608
0,9686
0,9750
0,9803
0,9846
0,9881
0,9909
0,9931
0,9948
0,9961
0,9971
0,9979
0,9985
0,07
0,5279
0,5675
0,6064
0,6443
0,6808
0,7157
0,7486
0,7794
0,8078
0,8340
0,8577
0,8790
0,8980
0,9147
0,9292
0,9418
0,9525
0,9616
0,9693
0,9756
0,9808
0,9850
0,9884
0,9911
0,9932
0,9949
0,9962
0,9972
0,9979
0,9985
0,08
0,5319
0,5714
0,6103
0,6480
0,6844
0,7190
0,7517
0,7823
0,8106
0,8365
0,8599
0,8810
0,8997
0,9162
0,9306
0,9429
0,9535
0,9625
0,9699
0,9761
0,9812
0,9854
0,9887
0,9913
0,9934
0,9951
0,9963
0,9973
0,9980
0,9986
0,09
0,5359
0,5753
0,6141
0,6517
0,6879
0,7224
0,7549
0,7852
0,8133
0,8389
0,8621
0,8830
0,9015
0,9177
0,9319
0,9441
0,9545
0,9633
0,9706
0,9767
0,9817
0,9857
0,9890
0,9916
0,9936
0,9952
0,9964
0,9974
0,9981
0,9986
Table 1 – Fonction de répartition de la loi normale N (0,1)
Page 4 sur 4
Page 46
L2 sciences économiques
Année universitaire 2013 – 2014
Université Paris 1
Partiel de statistiques
Mardi 29 avril – Durée 2 heures
Correction du sujet 1
Exercice 1 (2 points)
Question 1 On cherche P(Y = 10 | X = 0). Or P(Y | X = 0) est une probabilité (propriétés du
conditionnement), donc on a (propriétés des proba) :
P(Y = 10 | X = 0) = 1
De la même manière pour P(Y =
P(Y =
P(Y =
P(Y = 0 | X = 0) =
1
3
P(Y = 10 | X = 5) =
1
6
10 | X = 0)
10 | X = 0), on a :
10 | X = 5) = 1
P(Y = 0 | X = 5)
Question 2 Depuis l’énoncé, on a P(X = 0) = P(X = 5), or par propriété fondamentale des probabilités, leur somme doit être égale à 1, d’où :
P(X = 0) = P(X = 5) =
1
2
Ce qui donne la loi de X.
On cherche ensuite la loi jointe du couple, c’est-à-dire P(Y = y, X = x) avec x = 0 ou x = 5. Or dans
le cas général, on a (définition des proba. conditionnelles) :
P(Y = y, X = x) = P(Y = y | X = x)P(X = x)
D’où à partir des résultats précédents ou de l’énoncé :
P(Y = 10, X = 0) = P(Y = 10 | X = 0)P(X = 0) = 12 · 12 =
1
P(Y = 0, X = 0) = P(Y = 0 | X = 0)P(X = 0) = 16 · 12 = 12
1 1
P(Y = 10, X = 0) = P(Y = 10 | X = 0)P(X = 0) = 3 · 2 = 16
et
P(Y = 10, X = 5) = P(Y = 10 | X = 5)P(X = 5) = 16 · 12 =
P(Y = 0, X = 5) = P(Y = 0 | X = 5)P(X = 5) = 12 · 12 = 14
P(Y = 10, X = 5) = P(Y = 10 | X = 5)P(X = 5) = 13 · 12 = 16
Résumée dans le tableau, la loi jointe (X,Y ) est donc :
P(X = x,Y = y)
y = 10
y=0
y = 10
P(X = x)
x=0 x=5
1
4
1
12
1
6
1
2
1
4
1
12
P(Y = y)
1
12
1
4
1
6
1
2
La loi marginale de Y est par définition pour un y donné : P(Y = y) =
après calcul (tableau) :
1
P(Y = 10) =
3
1
P(Y = 0) =
3
1
P(Y = 10) =
3
(1)
P
x2X(⌦) P(X
= x,Y = y). D’où
Page 1 sur 5
Page 47
Question 3 Pour calculer la covariance, on utilise la formule :
cov(X,Y ) = E(XY )
E(X)E(Y )
On calcule les espérances dans un premier temps, dont la formule générale est la suivante :
X
zP(Z = z)
E(Z) =
z2Z(⌦)
D’où :
E(X) = 0 +
Et
E(Y ) =
Par ailleurs :
10 · 1
10 · 1
+0+
=0
3
3
X
E(XY ) =
5
5
=
2
2
xyP(X = x, Y = y)
x2X(⌦),y2Y (⌦)
D’où
E(XY ) = 5 · ( 10)
1
1
25
+ 5 · 10 · =
12
6
6
D’où :
5
25
25
0· =
6
2
6
Donc cov(X,Y ) 6= 0 et on sait que cov(X,Y ) 6= 0 ) X et Y pas indépendantes (la réciproque n’étant
pas vraie). Donc X et Y ne sont pas indépendantes.
cov(X,Y ) = E(XY )
E(X) · E(Y ) =
Exercice 2 (6 points)
Question 1 En choisissant arbitrairement de mettre le dé à 4 faces en premier, le résultat d’un lancer
est un élément de l’ensemble
L = {1, 2, 3, 4} ⇥ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},
avec |L| = 4 ⇥ 8 = 32. L’univers est alors
⌦ = L5 ,
et donc |⌦| = 325 = 225 . Cette modélisation suppose que les lancers sont ordonnés, ce qui est clair
dans l’énoncé. On prend pour P la probabilité uniforme car les dés ne sont pas truqués. On a donc
P(A) = 2|A|
25 .
Question 2 Soit A l’évènement « obtenir au moins une fois une valeur supérieure ou égale à 11 ». On
étudie A qui correspond à ne jamais obtenir une valeur supérieure ou égale à 11. Il est clair que
A = (L \ {(4, 8), (3, 8), (4, 7)})5 ,
car les couples (4, 8), (3, 8) et (4, 7) sont les seuls qui donnent une somme supérieure ou égale à 11. On
a donc
✓ ◆5
29
' 0.3887.
P(A) = 1 P(A) = 1
32
Page 2 sur 5
Page 48
Question 3 Soit B l’évènement « obtenir exactement un double 4 ». On décompose cet évènement en
fonction du lancer qui correspond au double 4, soit donc
B = B1 [ ... [ B5 ,
où Bk est l’évènement « obtenir un double 4 au tirage k et dans aucun des autres tirages ». Il est
clair que les Bk sont disjoints. Il est clair aussi qu’ils sont de même taille par symétrie. On a donc
|B| = 5|B1 |. Or
B1 = {(4, 4)} ⇥ (L \ {(4, 4)})4 ,
et donc |B1 | = 314 . On a donc
P(B) =
5 ⇥ 314
' 0,1376.
325
Question 4 Il suffit de trouver un élément de A \ B, soit par exemple 5 tirages dont le premier est
(4, 4) et le second (4, 8), et dont aucun tirage du troisième au cinquième n’est (4,4). Par exemple :
(4,4), (4,8), (1,1), (1,1), (1,1)
Comme P(C) = P(A) + P(B) P(A \ B), le fait que A \ B =
6 ; et que la probabilité est uniforme
impliquent que P(A \ B) > 0 et donc que P(C) 6= P(A) + P(B).
Question 5 L’évènement D = A \ B correspond à obtenir exactement un double 4 et aucune valeur
supérieure ou égale à 11. On peut le décomposer en D1 jusqu’à D5 , où Dk est l’évènement dans lequel
le double 4 est en position k. Ces évènements sont disjoints et par symétrie ont tous le même cardinal.
On a de plus
D1 = {(4, 4)} ⇥ (L \ {(4,4), (4, 8), (3, 8), (4, 7)})4 ,
et donc |D1 | = 294 . On en déduit que
P(D) =
5 ⇥ 284
' 0,0916.
325
Question 6 L’évènement recherché (celui d’une victoire) est l’union de A et de B (car soit la première
condition s’applique soit la deuxième, non exclusivement). Or d’après la propriété rappelée A [ B =
(A \ B) [ A et cette union est disjointe. On a donc
P(A [ B) = P(A \ B) + P(A),
✓ ◆5
29
5 ⇥ 284
+1
,
=
5
32
32
' 0,4803.
Exercice 3 (5 points)
Question 1 Soit X la variable aléatoire indiquant le nombre de manches remportées quand on enchaîne
5 manches de jeu. X est une binomiale de paramètres 5 et p les manches sont indépendantes et la
probabilité de victoire d’une manche est constante (et égale à p). On a alors :
✓ ◆
1
5
5 2
= 0,3125.
P(X = 2) =
p (1 p)3 = 10p2 (1 p)3 = 10 5 =
2
16
2
Le nombre moyen de manches gagnées est E(X) = 5p = 52 .
Page 3 sur 5
Page 49
Question 2 On note Y la variable aléatoire donnant le nombre de manches jouées jusqu’à en remporter
une. Pour les raisons expliquées au dessus (indépendance et probabilité de gain constante), Y suit une
loi géométrique de paramètre p. On a donc
P(Y  3) = P(Y = 1) + P(Y = 2) + P(Y = 3),
p)2 p,
= p + (1 p)p + (1
1 1 1
= + + ,
2 4 8
7
= .
8
Le nombre moyen de manches jouées est alors E(Y ) =
1
p
= 2.
Question 3 Il est clair que Z = 2X 5. En effet, on gagne 2 e par manche remportée et on paye 5 e
pour jouer les 5 manches. On en déduit alors que
Z(⌦) = { 5, 3, 1, 1, 3, 5},
car X(⌦) = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Comme X =
tout z 2 Z(⌦),
Z+5
2
P(Z = z) =
=
et P(X = x) =
✓
✓
5
z+5
2
5
z+5
2
◆
p
◆
z+5
2
(1
5
x
p)5
px (1
z+5
2
x) ,
p)(5
on en déduit que pour
,
1
.
25
L’espérance de Z est obtenue par linéarité en écrivant que
E(Z) = 2E(X)
5 = 10p
5 = 0,
ce qui utilise le fait que E(X) = 5p.
Question 4 On représente W comme une variable aléatoire fonction de Y grâce à la fonction g définie
par
⇢
5 y + 2 si y  5,
g(y) =
0
sinon.
En effet, chaque partie jouée coût 1 e, alors que la dernière partie rapporte 2 e. Si on peut jouer y
partie, on a donc un gain net de 2 y, ce qui nous donne une somme totale de 5 + 2 y. Mais on ne
peut pas jouer plus de 5 parties, donc dès que y 6, W est nulle car on a épuisé les 5 e initiaux.
Question 5 On déduit de W = g(Y ) que
W (⌦) = {0, 2, 3, 4, 5, 6}.
Pour calculer la loi de W , on voit que pour w 2 {2, 3, 4, 5, 6}, on a {W = w} = {Y = 7
P(W = w) = P(Y = 7
On constate aussi que {W = 0} = {Y
P(W = 0) = P(Y
w) = (1
p)(6
w)
p=
1
27 w
w}, soit donc
.
6} et donc que
6) = 1
P(Y  5) = (1
p)5 =
1
.
25
Exercice 4 (3 points)
Page 4 sur 5
Page 50
Question 1 La densité de X, notée fX , est donnée par la dérivée de la fonction de répartition de X.
On a donc avec application des dérivées usuelles (fonction puissance) :
8
0
si x < 0
>
>
<
1 2x si x 2 [0, 12 [
fX (x) =
3
si x 2 [ 12 , 34 [
>
>
:
0
si x 34
Question 2 Par définition, et, du fait de la continuité de X
1 5
1
5
1
5
P(X 2] , [) = P( < X < ) = P( < X  ).
4 8
4
8
4
8
Or
Or
5
5
1
P( < X  ) = P(X  )
4
8
8
1
4
2 [0, 12 [ et
5
8
1
P(X  )
4
2 [ 12 , 33 [, donc :
1
1
1
P(X  ) = F ( ) =
4
4
4
et
1
3
=
16
16
5
5
5
P(X  ) = F ( ) = 3
8
8
8
5
5
=
4
8
D’où :
5
5
1
7
1
P(  X < ) = F ( ) F ( ) =
4
8
8
4
16
R +1
Question 3 L’espérance est donnée par E(X) = 1 tf (t)dt, d’où par la relation de Chasles :
E(X) =
Z
0
0dt +
1
Z
1
2
(1
2t)tdt +
0
Donc
E(X) =
Z
3
4
1
2
3tdt +
Z
+1
3
4
0tdt =
Z
0
1
2
(t
2
2t )dt +
Z
3
4
1
2
3tdt
⇥1 2
t
2
2 3 ⇤ 12 ⇥ 3 2 ⇤ 34
t
+ t 1
3 0
2 2
49
E(X) =
96
Page 5 sur 5
Page 51
L2 sciences économiques
Année universitaire 2012–2013
Université Paris 1
Partiel de statistiques
Mardi 16 avril – Durée 2 heures
Sujet 1
Les exercices sont indépendants. Au sein d’un exercice, il est conseillé de traiter les questions dans
l’ordre. Le barème est indicatif. L’utilisation de documents, calculatrices, téléphones portables ou tout
autre appareil électronique, est interdite. Les réponses devront être soigneusement argumentées et
justifiées. Vous pouvez laisser les résultats sous la forme de fractions, sans évaluer les fonctions usuelles
comme exp ou ln. Si les notations Cnp , Apn et/ou np sont utilisées, leur définitions en fonction de la
factorielle devront être rappelées.
Exercice 1 (5 points)
On étudie un paquet de cartes un peu particulières. Chaque carte comporte un (et un seul) symbole.
Les symboles diffèrent par leur forme et leur couleur. Il y a trois formes (le carré, le disque et le triangle)
et deux couleurs (noir et rouge). Il existe, par exemple, des cartes comportant un carré rouge, d’autres
un disque noir, etc. Plus précisément le paquet étudié contient le nombre de cartes indiqué dans le
tableau ci-dessous :
Couleur/Forme
Noir
Rouge
Carré
2
3
Disque
4
1
Triangle
1
2
Il y a, par exemple, 4 cartes avec un disque noir. L’ensemble des cartes est noté C.
Question 1 On tire au hasard successivement et sans remise 3 cartes dans le paquet. Donner l’univers
⌦ de cette expérience aléatoire.
Question 2 Calculer la probabilité d’obtenir uniquement des cartes portant un disque noir.
Question 3 Calculer la probabilité de n’obtenir aucune carte portant un symbole noir.
Question 4 Calculer la probabilité d’obtenir exactement une carte avec un carré rouge.
Exercice 2 (8 points)
Comme dans l’exercice 1, on considère des cartes portant un unique symbole coloré. Il y a toujours
trois formes (le carré, le disque et le triangle) et deux couleurs (noir et rouge). On choisit une carte au
hasard dans un paquet : on désigne par F la variable aléatoire donnant la forme obtenue et par C la
variable aléatoire donnant la couleur du symbole. On suppose que le paquet est tel que la loi jointe du
couple (F, C) est donnée par le tableau suivant :
P(C = c, F = f ) f = Carré f = Disque f = Triangle
c = Noir
0,1
0,2
0,05
0,2
0,15
0,3
c = Rouge
Question 1 Déterminer les lois marginales de C et F .
Question 2 Montrer que les deux variables ne sont pas indépendantes.
Question 3 Déterminer la loi conditionnelle de F sachant C = Rouge.
Un casino utilise le paquet de cartes étudié ci-dessus pour divers jeux de hasard. Dans un premier jeu,
le joueur choisit une carte au hasard dans le paquet. Il gagne 1 e si la carte obtenue porte comme
symbole un disque noir, ou un triangle de n’importe quelle couleur. Il perd 1 e dans les autres cas.
Page 1 sur 4
Page 52
Question 4 On appelle G la variable aléatoire du gain du joueur pour une partie (le gain est donc
négatif en cas de carte perdante). Donner la loi de G, son espérance et sa variance.
Question 5 Un joueur persévérant décide de jouer jusqu’à gagner une fois. Soit T la variable aléatoire
donnant le nombre de cartes tirées jusqu’à obtenir une carte gagnante en comptant la carte gagnante
(on suppose que les tirages successifs se font avec remise de la carte précédente dans le paquet, de
sorte que la loi jointe du couple (F, C) n’est pas modifiée au cours du jeu). Donner la loi de T et son
espérance. Quel est le gain moyen d’un joueur persévérant qui s’arrête à la première carte gagnante ?
Le casino propose un deuxième jeu (les questions suivantes sont indépendantes des deux précédentes).
Comme dans le premier jeu, le joueur tire une carte dans le paquet. Les gains et pertes associés aux
différents symboles sont donnés dans le tableau suivant :
f = Carré f = Disque f = Triangle
gain
c = Noir
2e
1e
3e
1e
1e
0e
c = Rouge
Question 6 On appelle U la variable aléatoire du gain du joueur pour un tirage à ce jeu. Donner U (⌦)
puis la loi de U .
Question 7 Calculer l’espérance de U .
Question 8 Calculer la probabilité de l’évènement U > 0 sachant que la carte tirée ne comporte ni un
triangle noir, ni un carré rouge.
Exercice 3 (3,5 points)
Soit X une variable aléatoire distribuée selon la loi normale de moyenne 2 et d’écart-type 2.
Question 1 Calculer la probabilité que X soit supérieure ou égale à 4,5.
Question 2 Calculer la probabilité de X soit dans l’intervalle [1; 4,5].
Question 3 Déterminer une valeur t telle que P(X
t) = 0,33.
Exercice 4 (3,5 points)
Étant donnés deux nombres réels a et b, on définit la
8
>
0
>
>
>
<a(x + 1)
F (x) =
>
bx + a
>
>
>
:1
fonction F comme suit
si
si
si
si
x  1,
x 2] 1, 0],
x 2]0, 1],
x > 1.
Question 1 Rappeler les conditions que F doit respecter pour qu’elle soit la fonction de répartition
d’une variable aléatoire continue. En déduire des conditions correspondantes sur a et b.
Question 2 On suppose les conditions vérifiées et on considère X une variable aléatoire continue avec
F comme fonction de répartition. On suppose que P(X  0,5) = 58 . En déduire a et b.
Question 3 En utilisant les valeurs trouvées à la question précédente, calculer E(X).
Page 2 sur 4
Page 53
L2 sciences économiques
Année universitaire 2013–2013
Université Paris 1
Partiel de statistique
Mardi 16 avril – Durée 2 heures
Correction du sujet 1
Exercice 1 (sur 5 points)
Question 1 L’univers est
⌦ = {(c1 , c2 , c3 ) 2 C 3 | c1 6= c2 , c1 6= c3 , c2 6= c3 },
c’est-à-dire les triplets de cartes distinctes choisies dans le paquet C (on choisit une modélisation dans
laquelle les cartes sont discernables même si elles portent le même symbole car le modèle non discernable
est beaucoup plus difficile à gérer). On a |⌦| = A313 = 13 ⇥ 12 ⇥ 11 = 1716. Sans mention particulière à
ce sujet dans l’énoncé, on considère par symétrie que la probabilité sur ⌦ est uniforme.
Question 2 On note A = « obtenir uniquement des cartes portant un disque noir » et DN le sousensemble de C des cartes portant un disque noir. D’après le tableau |DN | = 4. Il est clair de plus que
A s’écrit
A = {(c1 , c2 , c3 ) 2 DN 3 | c1 6= c2 , c1 6= c3 , c2 6= c3 },
et donc que |A| = A3|DN | = 4 ⇥ 3 ⇥ 2 = 24. On a donc
P(A) =
|A|
24
2
=
=
' 0,014.
|⌦|
1716
143
Question 3 On note B = « n’obtenir aucune carte portant un symbole noir ». Il est clair que B est
aussi l’évènement « obtenir uniquement des cartes de l’ensemble N », où N désigne l’ensemble des
cartes portant un symbole noir. Comme
3
B = {(c1 , c2 , c3 ) 2 N | c1 6= c2 , c1 6= c3 , c2 6= c3 },
on a |B| = A3|N | . Or, d’après le tableau, on a six cartes rouges et donc |B| = A36 = 6 ⇥ 5 ⇥ 4 = 120. On
a donc
120
10
|B|
=
=
' 0,07.
P(B) =
|⌦|
1716
143
Question 4 On appelle D « obtenir exactement une carte avec un carré rouge ». Pour calculer la taille
de D, la solution la plus sûre consiste à écrire D sous forme d’une union disjointe d’ensembles simples.
On note ainsi D = D1 [ D2 [ D3 avec Di l’évènement « obtenir exactement une carte avec un carré
rouge en position i ». Il est clair que cette union est disjointe. Par symétrie, |D1 | = |D2 | = |D3 |. Or D1
s’écrit clairement
2
D1 = CR ⇥ {(c2 , c3 ) 2 CR | c2 6= c3 },
où CR désigne l’ensemble des cartes portant un carré rouge (soit 3 cartes) et CR son complémentaire
(soit 10 cartes). Donc
2
|D1 | = |CR| ⇥ {(c2 , c3 ) 2 CR | c2 6= c3 }
= 3 ⇥ A2|CR|
= 3 ⇥ 10 ⇥ 9
= 270
Page 1 sur 4
Page 54
Finalement |D| = 3 ⇥ |D1 | = 810. et donc
P(D) =
|D|
810
135
=
=
' 0,47.
|⌦|
1716
286
Exercice 2 (sur 8 points)
Question 1 On réalise la somme sur les lignes ou sur les colonnes, selon la variable considérée. On
obtient ainsi les lois marginales, pour C
c
Noir Rouge
P(C = c) 0,35 0,65
et pour F
Carré Disque Triangle
f
P(F = f )
0,3
0,35
0,35
Question 2 Il suffit de trouver un couple (c,f ) tel que P(C = c, F = f ) 6= P(C = c) ⇥ P(F = f ). Par
exemple P(C = Noir) ⇥ P(F = Carré) = 0,35 ⇥ 0,3 = 0,105 alors que P(C = Noir, F = Carré) = 0,1.
Question 3 On utilise la définition des probabilités conditionnelles, soit ici
P(F = f |C = Rouge) =
On obtient ainsi
ce qui se simplifie en
P(F = f, C = Rouge)
.
P(C = Rouge)
Carré Disque Triangle
f
P(F = f |C = Rouge)
0,2
0,65
0,15
0,65
0,3
0,65
Carré Disque Triangle
f
P(F = f |C = Rouge)
4
13
3
13
Question 4 On constate que G prend uniquement les valeurs 1 et
En outre, par définition de G,
6
13
1, et donc que G(⌦) = { 1,1}.
P(G = 1) = P({(C = Noir, F = Disque)}[{(C = Noir, F = Triangle)}[{(C = Rouge, F = Triangle)}).
Donc P(G = 1) = 0,2 + 0,05 + 0,3 = 0,55. Comme P(G = 1) + P(G = 1) = 1 (car G(⌦) = { 1,1}), on
a donc P(G = 1) = 0,45. La loi de G est donc résumée par le tableau suivant :
1
1
g
P(G = g) 0,45 0,55
L’espérance de G est alors E(G) = 1 ⇥ P(G = 1) + 1 ⇥ P(G = 1) = 0,1. De plus E(G2 ) = 1 ⇥ P(G =
1) + 1 ⇥ P(G = 1) = 1, et donc V (G) = E(G2 ) E(G)2 = 0,99.
Question 5 D’après l’énoncé, les tirages se font toujours avec le même jeu et il est donc naturel
de supposer qu’ils sont indépendants. L’obtention d’une carte gagnante suit une loi de Bernoulli de
paramètre p = 0,55, selon l’analyse réalisée pour G. On a donc une suite d’expériences de Bernoulli
indépendantes de même paramètre, ce qui veut dire que T suit une loi géométrique de paramètre
p = 0,55. On a donc
P(T = k) = 0,55 ⇥ (0,45)k 1 .
1
= 20
De plus E(T ) = 0,55
11 ' 1,82.
Le gain d’un joueur qui s’arrête à la première carte gagnante est donné par Y = 2 T . En effet, le
joueur a perdu T 1 fois avant de gagner une fois. Il a donc perdu T 1 euros puis gagné un euro, soit
2
donc 1 (T 1) = 2 T euros. Par linéarité de l’espérance E(Y ) = 2 E(T ) = 2 20
11 = 11 ' 0,18.
Page 2 sur 4
Page 55
Question 6 On constate d’après le tableau que U (⌦) = { 2, 1, 0, 1, 3}. La loi de U est obtenue en
déterminant les probabilités des évènements U 1 ({u}) pour chaque u 2 U (⌦). D’après le tableau qui
définit U , chaque gain correspond à une unique combinaison (couleur, forme), excepté 1 pour lequel
U 1 ({ 1}) = {(C = Rouge, F = Carré)} [ {(C = Rouge, F = Disque)}. En tenant compte de cette
remarque, on obtient la loi suivante pour U
u
2
1
0
1
3
P(U = u) 0,1 0,35 0,3 0,2 0,05
Question 7 L’espérance de U est donnée par
E(U ) = ( 2 ⇥ 0,1) + ( 1 ⇥ 0,35) + 0 ⇥ 0,3 + 1 ⇥ 0,3 + 3 ⇥ 0,05
=
0,2.
Question 8 On cherche donc P(U > 0|A) où A désigne l’évènement « la carte tirée ne comporte ni un
triangle noir, ni un carré rouge ». On constate tout d’abord que
P(A) = 1
=1
(P({(C = Noir, F = Triangle)}) + P({(C = Rouge, F = Carré)}))
(0,05 + 0,2)
= 0,75.
On calcule ensuite P(U > 0 et A). Or, il n’y a que deux combinaisons (couleur, forme) qui donnent
U > 0, et l’une d’elles n’est pas dans A. On a donc {U > 0 et A} = {(C = Noir, F = Disque)}. Donc
P(U > 0 et A) = P({(C = Noir, F = Disque)}) = 0,2.
Donc finalement
P(U > 0|A) =
P(U > 0 et A)
0,2
4
=
=
' 0,27.
P(A)
0,75
15
Exercice 3 (sur 3,5 points)
On remarque en introduction que comme X ⇠ N (2, 22 ), Y = X2 2 est distribuée selon la loi normale
N (0, 1) pour laquelle la table fournie dans l’énoncé donne la fonction de répartition.
Question 1 L’inégalité sur X, X 4,5, est équivalente à l’inégalité sur Y , Y
1,25. Donc
P(X
4,5) = P(Y
1,25)
=1
P(Y < 1,25)
par passage au complémentaire
=1
P(Y  1,25)
car Y est continue
=1
FY (1,25)
par définition de FY
=1
0,8944
par lecture dans la table
= 0,1056.
Question 2 On cherche P(X 2 [1; 4,5]) = P(X 2]1; 4,5]) par continuité de X. Par définition de la
fonction de répartition, on a donc P(X 2 [1; 4,5]) = FX (4,5) FX (1). Le premier terme a été calculé à
la question précédente (plus précisément, nous avons obtenu P(X 4,5) = 1 FX (4,5)), il nous reste
donc à évaluer le second. Or, X  1 est équivalent Y  0,5. On a donc
P(X  1) = P(Y 
=1
=1
=1
0,5)
par symétrie de la loi N (0, 1)
P(Y  0,5)
FY (0,5)
par définition de FY
0,6915
par lecture dans la table
= 0,3085.
Page 3 sur 4
Page 56
On obtient donc finalement P(X 2 [1; 4,5]) = 0,8944
0,3085 = 0,5859.
u) = 0,33, toujours avec Y ⇠ N (0, 1).
Question 3 On commence par déterminer le réel u tel que P(Y
u) = 0,33 est équivalent à 1 P(Y  u) = 0,33, soit P(Y  u) = 0,67. Une
Par continuité de Y , P(Y
recherche dans la table montre que P(Y  0,44) = 0,67.
On remarque que Y  0,44 est équivalent à 2Y + 2  2,88 et donc que X  2,88 est équivalent à
Y  0,44. De ce fait P(X  2,88) = 0,67 et donc P(X 2,88) = 0,33, ce qui conduit à prendre t = 2,88.
Exercice 4 (sur 4 points)
Question 1 F doit
1. être continue,
2. être croissante,
3. et avoir pour les limites limx!1 F (x) = 1 et limx! 1 F (x) = 0.
La condition 3 sur les limites est clairement respectée. Pour la continuité, on remarque que F est continue
sur chacun des quatre intervalles (car c’est à chaque fois une fonction affine). De plus limx! 1 a(x+1) = 0
(par continuité) soit la valeur F ( 1). Donc F est continue en 1. De même limx!0 bx + a = a, soit la
valeur de F (0). Donc F est continue en 0.
Enfin, F (1) = a + b alors que limx!1 1 = 1. On doit donc avoir a + b = 1 pour garantir la continuité de
F.
Comme la fonction doit être croissante, il faut de plus que a 0 et b 0. En effet la dérivée de F sur
] 1,0[ est f 0 (x) = a et F est donc croissante si et seulement si a 0. De même la dérivée de F sur
]0,1[ est b et F est croissante si et seulement si b 0.
Question 2 On a P(X  0,5) = F (0,5) = 58 = 2b + a. Comme a + b = 1, a = 1 b. En remplaçant a
par cette valeur dans l’équation précédente, on a 58 = 2b + 1 b, soit b = 34 et a = 14 .
Question 3 Pour calculer E(X), on détermine d’abord la densité f de X, soit la dérivée de F . On a
8
>
0 si x  1,
>
>
>
< 1 si x 2] 1, 0],
f (x) = 43
> 4 si x 2]0, 1],
>
>
>
:0 si x > 1.
On calcule ensuite
Z 1
E(X) =
xf (x)dx
=
Z
1
1
xf (x)dx +
1
0
Z
0
xf (x)dx +
1
Z 1
x
3x
dx +
dx
=
4
1
0 4
 2 0
 2 1
x
3x
=
+
8 1
8 0
Z
1
xf (x)dx +
0
Z
1
xf (x)dx
1
par nullité de f
car
x2
est une primitive de x
2
( 1)2
(1)2
+3
8
8
=
=
Z
1
4
Page 4 sur 4
Page 57
L2 sciences économiques
Année universitaire 2012 – 2013
Université Paris 1
Examen de statistique
Vendredi 21 juin – Durée 2 heures
Sujet 1
Les exercices sont indépendants. Au sein d’un exercice, il est conseillé de traiter les questions
dans l’ordre. Le barème est indicatif. L’utilisation de documents, calculatrices, téléphones portables
ou tout autre appareil électronique, est interdite. Les réponses devront être soigneusement
de fractions, sans évaluer
argumentées et justifiées. Vous pouvez laisser les résultats sous la!forme
n"
p
p
les fonctions usuelles comme exp ou ln. Si les notations Cn , An et/ou p sont utilisées, leur définitions
en fonction de la factorielle devront être rappelées.
Exercice 1 (4 points)
Un éleveur propose à ses clients trois races de poulets, les poulets jaunes, gris et noirs. Suite à une
manipulation erronée, il se retrouve avec un lot d’œufs provenant des trois races. Un comptage des
stocks conduit à affirmer que le lot contient 3 œufs (de poulets) noirs, 4 œufs (de poulets) jaunes et 5
œufs (de poulets) gris
Question 1 On choisit au hasard simultanément 3 œufs dans le lot. Décrire avec précision l’univers
de cette expérience aléatoire et la probabilité associée.
Question 2 Dans l’expérience ci-dessus, donner la probabilité d’obtenir uniquement des œufs (de
poulets) jaunes.
Question 3 Dans l’expérience ci-dessus, donner la probabilité de n’obtenir aucun œuf (de poulet)
jaune.
Question 4 Dans l’expérience ci-dessus, donner la probabilité d’obtenir exactement un œuf (de poulet)
noir.
Exercice 2 (6 points)
On étudie le nombre d’œufs pondus par semaine par une poule pondeuse. On observe dans un élevage
dit « biologique » qu’une poule pond en moyenne 5 œufs par semaine. On note O la variable aléatoire
indiquant le nombre d’œufs pondus en une semaine par une poule « biologique ». On suppose d’abord
que O est distribuée selon une loi de Poisson.
Question 1 Déterminer le paramètre ⁄ de la loi.
Question 2 En supposant O poisson comme dans la question 1 et en utilisant le paramètre ⁄ déterminé
à cette question, donner la probabilité P(O = 5).
Question 3 On observe dans les élevages qu’il est extrêmement rare qu’une poule ponde strictement
plus d’un œuf par jour. Calculer la probabilité d’un évènement bien choisi permettant de dire si
l’hypothèse que O est distribuée selon une loi de Poisson est compatible avec cette observation.
On constate, grâce aux calculs de la question 3, que le modèle Poisson n’est pas réaliste. On propose
alors la loi discrète suivante :
3 4 5 6 7
o
P(O = o) 0,1 a 0,5 b 0,1
qui dépend des deux paramètres a et b.
Question 4 On rappelle qu’une poule pond en moyenne 5 œufs par semaine. En déduire les valeurs
de a et b.
Page 1 sur 4
Page 58
Question 5 Calculer la probabilité qu’une poule ponde au plus 5 œufs par semaine, selon la loi
ci-dessus.
Question 6 Calculer la variance de O (selon la loi ci-dessus).
Exercice 3 (3 points)
On répartit les œufs (de poule) en trois calibres (c’est-à-dire trois poids), notés M , L et XL. On
considère d’autre part trois modes d’élevages, standard S, « label rouge » R et « biologique » B. On
considère un ensemble d’exploitations dans lesquelles on observe 70% d’œufs standards, 20% d’œufs
label rouge et le reste d’œufs biologiques. L’expérience aléatoire considérée consiste à choisir un œuf
selon ces proportions. La répartition des calibres en fonction du mode d’élevage est donnée par la table
suivante :
Élevage/Calibre
standard S
label rouge R
biologique B
M
50 %
30 %
20 %
L
40 %
50 %
40 %
XL
10 %
20 %
40 %
Question 1 Calculer la probabilité d’obtenir un œuf de calibre XL.
Question 2 Sachant que l’œuf obtenu est de calibre M , calculer la probabilité qu’il soit issu d’un
élevage label rouge.
Question 3 Sachant que l’œuf obtenu est de calibre L, calculer la probabilité qu’il ne soit pas issu
d’un élevage biologique.
Exercice 4 (3 points)
Avant l’abattage, le poids moyen d’un poulet dit « biologique » est supposé distribué selon une loi
Normale de moyenne µ = 2 kg et d’écart type ‡ = 0,1 kg.
Question 1 Calculer la probabilité d’obtenir un poulet biologique de poids supérieur ou égal à 2,2 kg.
Question 2 Calculer la probabilité que le poids d’un poulet biologique soit dans l’intervalle [1,9; 2,1].
Question 3 Déterminer un poids p tel que la probabilité d’obtenir un poulet biologique de poids
strictement inférieur à p soit d’environ 1%.
Exercice 5 (5 points)
On étudie le poids des œufs produits par une exploitation. Pour simplifier l’étude, on utilise comme
unité un poids de référence et on travaille sur le poids exprimé en cette unité. Pour ce faire, on définit
la fonction f suivante :
Ë
È
Y
1
_
ax
+
b
si
x
œ
;
1
_
2
]
f (x) =
cx + d
_
_
[
0
Ë
si x œ 1; 54
sinon
È
Question 1 Donner une primitive F de la fonction f .
On suppose à partir de maintenant que les valeurs numériques a, b, c et d sont telles que f est la densité
d’une variable aléatoire absolument continue X qui donne le poids d’un œuf (par rapport au poids de
référence). Par exemple si X = 2, c’est que l’œuf pèse deux fois le poids de référence.
Page 2 sur 4
Page 59
Question 2 On suppose que P(X Æ 1) = 12 (c’est-à-dire que la probabilité d’obtenir un œuf de poids
inférieur ou égal au poids de référence est de 50 %). En déduire une équation que doivent satisfaire a
et b, et une autre équation que doivent satisfaire c et d.
1
2
Question 3 On suppose que f est continue en
et en 54 . En déduire a, b, c et d.
Question 4 Calculer la probabilité d’obtenir un œuf d’un poids inférieur ou égal au trois quart du
poids de référence.
Question 5 Calculer le poids moyen d’un œuf par rapport au poids de référence (on se contentera de
donner la primitive nécessaire à l’obtention de ce poids moyen sans développer les calculs jusqu’au
bout).
Récapitulatif de lois classiques
Loi
Valeurs prises
Uniforme
X ≥ Un
Bernoulli
X ≥ B(1,p)
Binomiale
X ≥ B(n,p)
Géométrique
X ≥ G(p)
Poisson
X ≥ P(⁄)
{1, . . . ,n}
Loi
Uniforme
1
n
Espérance
Variance
n+1
2
n2 ≠1
12
p
p(1 ≠ p)
np
np(1 ≠ p)
{0, . . . ,n}
P (X = 0) = 1 ≠ p
P (X = 1) = p
P (X = k) = Cnk pk (1 ≠ p)n≠k
{1,2,3, . . . ,}
P (X = k) = p(1 ≠ p)k≠1
1
p
1≠p
p2
N
P (X = k) = e≠⁄ ⁄k!
⁄
⁄
Valeurs
prises
[a,b]
R+
X ≥ E(⁄)
Normale
X ≥ N (m,‡ 2 )
P (X = k) =
{0,1}
X ≥ U([a,b])
Exponentielle
Loi
R
k
Densité/Fonction de répartition
I
1
b≠a
si x œ [a,b]
0
sinon
Y
_
0
si
x<a
]
x≠a
F (x) =
b≠a si x œ [a,b]
_
[ 1
si x Ø b
I
⁄ exp(≠⁄x) si x Ø 0
f (x) =
0
sinon
I
1 ≠ exp(≠⁄x) si x Ø 0
F (x) =
0
sinon
f (x) =
f (x) =
Ô1
‡ 2fi
1
exp ≠ (x≠m)
2‡ 2
2
2
Espérance
Variance
a+b
2
(b≠a)2
12
1
⁄
1
⁄2
m
‡2
Page 3 sur 4
Page 60
L2 sciences économiques
Année universitaire 2011–2012
Université Paris 1
Examen de statistique
Mercredi 13 juin – Durée 2 heures
Sujet 1
Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans un ordre quelconque. Au sein d’un
exercice, il est conseillé de traiter les questions dans l’ordre. Le barème est indicatif. L’utilisation de
documents, calculatrices, téléphones portables ou tout autre appareil électronique, est interdite. Les
réponses devront être soigneusement argumentées et justifiées. Vous pouvez laisser les résultats sous la
forme de fractions, sans évaluer les fonctions usuelles comme exp ou ln.
Exercice 1 (5 points)
On place dans une urne 8 billes numérotées de 1 à 8. Les quatre premières billes (numéro 1 à 4)
sont rouges, les billes de numéros 5, 6 et 7 sont vertes et la bille 8 est noire. On choisit au hasard
simultanément 2 billes dans l’urne.
Question 1 Définir avec précision l’univers
et la probabilité P associés à l’expérience aléatoire.
Question 2 Calculer la probabilité d’obtenir deux billes rouges.
Question 3 Calculer la probabilité d’obtenir une bille noire parmi les deux billes.
Question 4 Calculer la probabilité d’obtenir simultanément une bille de numéro pair et une bille de
numéro impair.
Question 5 Montrer que les évènements A = {obtenir exactement une bille verte} et B = {obtenir
exactement une bille de numéro pair} ne sont pas indépendants.
Exercice 2 (5 points)
On place dans une urne 3 billes rouges et 4 billes bleues. On effectue successivement deux tirages, et
on note T1 et T2 , la couleur de la bille obtenue dans ces tirages. Après chaque tirage, on remet dans
l’urne la bille tirée ainsi qu’une autre bille de la même couleur.
Question 1 Calculer P(T2 = rouge|T1 = rouge).
Question 2 Déduire de la question précédente P(T2 = rouge).
Question 3 Calculer P(T1 = bleue|T2 = rouge).
Question 4 On note R2 la variable aléatoire donnant le nombre de billes rouges dans l’urne après le
deuxième tirage (donc après la remise des billes). Donner les valeurs possibles pour R2 .
Question 5 Donner la loi de R2 .
Question 6 Calculer l’espérance de R2 .
Page 1 sur 4
Page 61
Exercice 3 (5 points)
On considère un jeu basé sur une urne contenant 8 billes rouges, 8 billes noires et une bille verte. Le
joueur choisit la couleur rouge ou noire, puis prend une bille au hasard dans l’urne. S’il tombe sur la
couleur choisie, il gagne, sinon il perd (en particulier, il perd toujours s’il tombe sur une bille verte).
Après un tirage, la bille est remise dans l’urne.
Question 1 Calculer la probabilité de gain du joueur à un tirage.
Question 2 On suppose que le joueur paye 1 e pour participer à un tirage. Il reçoit 2 e en cas de
gain et rien du tout sinon. On note X la variable aléatoire du gain du joueur après un tirage (négatif
en cas de perte). Donner la loi de X.
Question 3 Calculer l’espérance de X.
Question 4 On considère que des tirages successifs sont indépendants. Le joueur joue 5 fois de suite.
Calculer la probabilité qu’il gagne au moins 3 fois.
Question 5 Le joueur décide de jouer jusqu’à son premier succès. Calculer la probabilité qu’il joue
exactement 3 fois.
Exercice 4 (5 points)
On considère un examen de note moyenne 8 et d’écart-type 4. On note X une variable aléatoire
distribuée selon une loi Normale utilisant comme moyenne et écart-type les valeurs observées sur les
notes d’examen.
Question 1 Calculer la probabilité d’être ajourné, c’est-à-dire que X ⇥ 10.
Question 2 Calculer la probabilité que X soit plus grande que 20 et la probabilité que X soit négative.
Question 3 Est-ce que le choix d’une loi normale vous semble acceptable à la lumière des probabilités
calculées dans la question précédente ?
Question 4 D’après la loi de X, quelle note minimale faut-il obtenir pour être dans les 25 % les
meilleurs ?
Question 5 Un étudiant a obtenu la note de 4. Est-ce l’une des 20 % plus mauvaises notes (d’après
la loi de X) ?
Page 2 sur 4
Page 62
Récapitulatif de lois classiques
Loi
Valeurs prises
Uniforme
X ⌅ Un
Bernoulli
X ⌅ B(1,p)
Binomiale
X ⌅ B(n,p)
Géométrique
X ⌅ G(p)
Poisson
X ⌅ P( )
{1, . . . ,n}
P (X = k) =
{0,1}
P (X = 0) = 1 p
P (X = 1) = p
P (X = k) = Cnk pk (1 p)n
{0, . . . ,n}
{1,2,3, . . . ,}
Valeurs prises
Uniforme
[a,b]
P (X = k) = e
R+
X ⌅ E( )
f (x) =
f (x) =
F (x) =
R
Espérance
Variance
n+1
2
n2 1
12
1
n
p)k
k
1
f (x) =
⇤
⌅
⌥
⌃
⌥
⇧
⇤
⇤
si x ⇧ [a,b]
0
sinon
0
si x < a
x a
si
x ⇧ [a,b]
b a
1
si x ⇤ b
exp( x) si x ⇤ 0
0
sinon
1 exp( x) si x ⇤ 0
0
sinon
exp
p(1
p)
np
np(1
p)
1 p
p2
1
p
k
1
b a
⇥1
⇤ 2⇥
p
k!
Densité/Fonction de répartition
F (x) =
X ⌅ U([a,b])
Normale
X ⌅ N (m,⇥ 2 )
P (X = k) = p(1
N
Loi
Exponentielle
Loi
(x m)2
2⇤ 2
⇥
Espérance
Variance
a+b
2
(b a)2
12
1
1
m
⇥2
2
Page 3 sur 4
Page 63
L2 sciences économiques
Année universitaire 2011–2012
Université Paris 1
Examen de statistique
Mercredi 13 juin – Durée 2 heures
Correction du sujet 1
Exercice 1
Question 1 On appelle U l’ensemble des 8 billes. L’univers est alors
= {{b1 ,b2 } | b1 ⌥= b2 , bi ⌃ U },
car le tirage est simultané : les billes sont donc différentes et le résultat n’est pas ordonné. En l’absence
d’hypothèse particulière, on suppose que la probabilité est uniforme sur . Pour un évènement A dans
, la probabilité de A est donc donnée par
P(A) =
Notons que C82 =
8⇥7
2
|A|
|A|
= 2.
| |
C8
= 28.
Question 2 Obtenir deux billes rouges, c’est choisir les deux billes sans remise (et sans ordre) dans
l’ensemble des 4 billes rouges. On a ainsi C42 possibilités et la probabilité recherchée est donc
P(deux billes rouges) =
3
6
C42
=
⇧ 0,21.
=
2
28
14
C8
Question 3 Obtenir une bille noire, c’est choisir une bille dans les 7 autres billes, soit 7 possibilités.
La probabilité recherchée est donc
P(une bille noire) =
7
1
= = 0,25.
2
4
C8
Question 4 Le plus simple est de raisonner sur le complémentaire de l’évènement pour éviter des
erreurs de comptage. Le complémentaire est ici avoir deux billes paires ou deux billes impaires. Dans
les deux cas, on choisit 2 billes parmi 4, soit C42 = 6 possibilités et donc au total 12 combinaisons. La
probabilité recherchée est donc
P(une paire une impaire) = 1
12
16
4
=
= ⇧ 0,57.
28
28
7
On peut aussi dire qu’on choisit la bille paire parmi 4, soit C41 = 4 possibilités et la bille impaire parmi 4
aussi, soit C41 = 4 possibilités aussi, puis qu’on considère toutes les paires ainsi formées, soit 4 ⇥ 4 = 16
possibilités et le même résultat final.
Question 5 L’évènement A correspond au choix d’une bille verte, soit 3 possibilités, combiné au choix
d’une autre bille, soit 5 possibilités, pour un total de 3 ⇥ 5 = 15 possibilités. On a donc
P(U ) =
15
⇧ 0,54.
28
On a déjà calculé à la question précédente la probabilité de V qui est P(V ) = 47 . Considérons W = U V ,
l’évènement consistant à obtenir exactement une bille verte et exactement une bille paire. On peut
décomposer W en deux évènements disjoints, Wp dans lequel la bille verte est paire et Wi dans lequel
1
Page 64
elle est impaire. Dans Wp , on a la bille verte numéro 6, et on doit choisir pour la seconde bille une
bille impaire non verte (soit 2 possibilités, les billes 1 et 3). Donc |Wp | = 2. Dans Wi , on a deux choix
possibles pour la bille verte (5 et 7) et on doit choisir une bille paire non verte, soit 3 possibilités (2, 4
et 8). On a donc |Wi | = 6 et finalement |W | = 8. Donc
15 4
8
⌥=
⇥ .
28
28 7
P(W ) =
Comme P(U
V ) ⌥= P(U ) ⇥ P(V ), U et V ne sont pas indépendants.
Exercice 2
Question 1 D’après la description de l’expérience, T1 = rouge conduit à une urne contenant 4 billes
rouges et 4 billes bleues. Par symétrie, la probabilité dans cet univers est supposée uniforme et la
probabilité d’obtenir une bille rouge est donc de 0,5. Par définition, cette probabilité est P(T2 =
rouge|T1 = rouge).
Question 2 On souhaite appliquer la loi des probabilités totales, à savoir ici :
P(T2 = rouge) =
P(T2 = rouge|T1 = rouge) ⇥ P(T1 = rouge) + P(T2 = rouge|T1 = bleue) ⇥ P(T1 = bleue).
Par un raisonnement similaire à celui de la question précédente, on a
3
P(T2 = rouge|T1 = bleue) = ,
8
car on ajoute cette fois-ci une bille bleue dans l’urne. D’autre part, on a clairement P(T1 = rouge) =
et P(T1 = bleue) = 47 , ce qui donne
P(T2 = rouge) =
3
7
3
1 3 3 4
⇥ + ⇥ = .
2 7 8 7
7
Question 3 On applique la règle de Bayes qui dit ici
P(T1 = bleue|T2 = rouge) =
P(T2 = rouge|T1 = bleue) ⇥ P(T1 = bleue)
.
P(T2 = rouge)
Toutes les grandeurs sont déjà connues et donc
P(T1 = bleue|T2 = rouge) =
3
8
⇥
3
7
4
7
1
= .
2
Question 4 On doit raisonner sur les quatre cas possibles pour T1 et T2 . Le tableau suivant donne le
nombre de billes rouges dans l’urne après le deuxième tirage :
(T1 = a, T2 = b) b = rouge b = bleue
a = rouge
5
4
a = bleue
4
3
Les valeurs possibles sont donc 3, 4 et 5.
2
Page 65
Question 5 La loi de R2 s’obtient simplement à partir de la loi du couple (T1 ,T2 ). Or, on a en général,
par définition
P(T1 = a,T2 = b) = P(T2 = b|T1 = a)P(T1 = a),
ce qui conduit à la loi jointe suivante :
b = rouge
3
⇥ 37 = 14
4
3
⇥ 7 = 14
P(T1 = a, T2 = b)
a = rouge
a = bleue
b = bleue
3
⇥ 37 = 14
5
5
⇥ 7 = 14
1
2
5
8
1
2
3
8
Donc la loi de R2 est donnée par
r
P(R2 = r)
3
4
5
5
14
3
7
3
14
Question 6 On obtient donc pour l’espérance
E(R2 ) = 3 ⇥
3
3
27
5
+4⇥ +5⇥
=
⇧ 3,86.
14
7
14
7
Exercice 3
Question 1 Il est clair par symétrie que le choix du joueur n’est pas important. Pour gagner, il faut
simplement qu’il prenne une bille de la couleur choisie, c’est-à-dire une des 8 billes parmi 17. Sa
8
probabilité de gain est donc 17
(en supposant que les probabilités sont uniformes).
Question 2 Le gain est donc de 1 e en cas de réussite et de -1 e en cas de perte. La loi de X est donc
donnée par
x
1 1
8
9
P(X = x) 17
17
Question 3 On a clairement E(X) =
8
17
9
17
=
1
17 .
Question 4 Comme les tirages sont indépendants, le nombre de tirages gagnés est une variable de loi
8
binomiale de paramètre 5 et p = 17
. On note Z ce nombre de tirages gagnés. On veut donc P(Z ⌅ 3).
Or,
P(Z ⌅ 3) = P(Z = 3) + P(Z = 4) + P(Z = 5),
donc
P(Z ⌅ 3) = C53 p3 (1
p)2 + C54 p4 (1
p) + C55 p5 .
Question 5 Le nombre de tirages effectués dans cette configuration suit une loi géométrique de
8
paramètre p = 17
. La probabilité de jouer trois fois exactement est donc = (1 p)2 p.
Exercice 4
On pose Y =
X 8
4
qui suit donc une loi normale N (0,1).
Question 1 X ⇤ 10 est équivalent à Y ⇤ 0,5. On cherche donc FY (0,5) qui est environ égal à 0,6915
d’après la table.
Question 2 X ⌅ 20 est équivalent à Y ⌅ 3. On cherche donc P(Y ⌅ 3) = 1 P(Y ⇤ 3) = 1 FY (3). Or
la table s’arrête à 2,99 donc on peut seulement dire que FY (3) ⌅ 0,9986 et donc que P(X ⌅ 20) ⇤ 0,0014.
X ⇤ 0 est équivalent à Y ⇤ 2. On cherche donc P(Y ⇤ 2) = FY ( 2) = 1 FY (2) par symétrie de
la loi normale. La lecture de la table donne FY (2) = 0,9772 et donc P(X ⇤ 0) = 0,0228.
3
Page 66
Question 3 La probabilité de sortie de l’intervalle [0,20] n’est pas trop élevée (moins de 3%) et l’erreur
de modélisation semble donc acceptable.
Question 4 On cherche a minimal tel que P(X ⌅ a) = 0,25. Or X ⌅ a est équivalent à Y ⌅ b avec
b = a 4 8 . On cherche donc b tel que P(Y ⌅ b) = 0,25, soit 1 FY (b) = 0,25 et donc FY (b) = 0,75. La
table donne b ⇧ 0,67. On en déduit que a = 8 + 4 ⇥ 0,67 = 10,68.
Question 5 Il su⇥t ici de calculer P(X ⇤ 4), soit P(Y ⇤ 1). Par symétrie de la loi normale,
P(Y ⇤ 1) = 1 FY (1). La table donne FY (1) = 0,8413 et donc P(X ⇤ 4) = 0,1586. La note est donc
dans les 20 % les plus faibles.
4
Page 67