Géométrie dans l`espace

Chapitre 14 Géométrie dans l’espace 173
Géométrie dans l’espace
EXTRAIT DU B.O. SPÉCIAL N° 6 DU 28 AOÛT 2008
Connaissances Capacités Commentaires
3. Géométrie
3.2 Confi guraƟ on dans
l’espace
Problèmes de sections
planes de solides
– Connaître et utiliser la nature des sections
du cube, du parallélépipède rectangle par
un plan parallèle à une face, à une arête.
– Connaître et utiliser la nature des sections
du cylindre de révolution par un plan
parallèle ou perpendiculaire à son axe.
– Connaître et utiliser les sections d’un cône
de révolution et d’une pyramide par un
plan parallèle à la base.
L’utilisation de logiciels de géométrie dans l’espace permet
de conjecturer ou d’illustrer la nature des sections planes.
C’est aussi l’occasion de faire des calculs de longueur
et d’utiliser les propriétés rencontrées dans d’autres
rubriques ou les années antérieures. Les élèves sont
également confrontés au problème de représentation
d’objets à 3 dimensions, ainsi qu’à celle de la
représentation en vraie grandeur d’une partie de ces
objets dans un plan (par exemple : section plane,
polygone déterminé par des points de l’objet...).
Sphère, centre, rayon
Sections planes d’une
sphère
[Thèmes de convergence]
– Connaître la nature de la section d’une
sphère par un plan.
– Calculer le rayon du cercle intersection
connaissant le rayon de la sphère et la
distance du plan au centre de la sphère.
– Représenter la shère et certains de ces
grands cercles.
Les grands cercles de la sphère et les couples de points
diamétralement opposés sont mis en évidence.
Le fait que le centre du cercle d’intersection est
l’intersection du plan et de la perpendiculaire menée
du centre de la sphère à ce plan est admis.
Le cas perticulier où le plan est tangent à la sphère est
également étudié.
Aucune difficulté n’est soulevée sur ces représentations.
Le rapprochement est fait avec les connaissances que
les élèves ont déjà de la sphère terrestre, notamment
pour le repérage sur la sphère à l’aide des méridiens et
des parallèles.
Note : les points du programme (connaissances et capacités) qui ne sont pas exigibles pour le socle commun des connaissances et
des compétences sont en italiques. Certains commentaires ou exemples d’activités, liés à des connaissances et des capacités qui ne
font pas partie du socle, sont écrits en italique dans la troisième colonne mais correspondent à des situations que doivent travailler tous
les élèves car ces connaissances et ces capacités restent des objectifs d’enseignement du programme.
Ouverture
Le Globen n’est pas tangent au sol. Il est enterré
sur une profondeur de 25 m, la hauteur de l’arène à
l’intérieur n’est donc que de 85 m.
• On peut obtenir une sphère en faisant tourner
un demi-cercle autour d’un de ses diamètres.
• On peut obtenir une boule en faisant tourner un
demi-disque autour d’un de ses diamètres.
Je prends un bon départ
QCM
1
B
2
A
3
A
4
B
5
A
6
A
7
1. a., b. et c.
M
L
S
RN
2. R ∈ [MN], S ∈ [ML] et (RS) // (NL), donc d’après le
théorème de Thalès :
==
ML
MS
MN
MR
NL
RS . Soit : ==
5
MS
9
6
7
RS.
• MS = 30
9 cm, soit : MS ≈ 3,3 cm.
• RS = 42
9 cm, soit : RS ≈ 4,7 cm.
8
a. SDC est rectangle en D.
b. SDA est rectangle en D.
c. SDB est rectangle en D.
d. ADC est rectangle en D.
e. DCB est rectangle en C.
9
AHB
O
6 cm 6 cm
4 cm
1. Le triangle AOH est rectangle en H.
© Éditions Belin, 2012.

174
b. Fig. 1 DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 4)
HUG
C
D
E
A
ST
B
V
F
Fig. 2 DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 5)
H
L
G
C
D
E
A
J
KB
I
F
3. La section d’un parallélépipède rectangle par un
plan parallèle à une arête semble être un rectangle
dont une dimension est égale à la longueur de cette
arête.
2
SC3
Objectifs
– Connaître la nature de la section d’un cylindre de
révolution par un plan perpendiculaire à l’axe ou parallèle
à l’axe.
– Savoir déterminer les dimensions de ces sections.
1. a. La section d’un cylindre de révolution par un
plan perpendiculaire à l’axe semble être un disque de
même rayon que les bases.
b. La section d’un cylindre de révolution par un plan
parallèle à l’axe semble être un rectangle dont une
dimension est égale à la hauteur du cylindre.
2. a. M
HO
N
2 cm
3 cm
b. • Le triangle MON est isocèle en O,
car OM = ON = 3 cm.
• Le triangle MOH est rectangle en H car OH est la
distance de O au plan.
c. D’après le théorème de Pythagore appliqué au
triangle MOH rectangle en H, on a : HM2 = OM2 − OH2,
soit : HM2 = 32 − 22 = 5, d’où : HM = 5 cm.
Le triangle MON est isocèle en O, donc H est aussi le
milieu de [MN], d’où :
MN = 2 HM = 25 cm, soit : MN ≈ 4,5 cm.
d. MN
M’N’
4,5 cm
4 cm
2. D’après le théorème de Pythagore appliqué au
triangle OAH, on a : AH2 = OA2 − OH2.
AH2 = 62 − 42 = 20, d’où : AH = 20 cm.
H est le milieu de [AB], d’où : AB = 2AH = 220 cm,
soit : AB ≈ 8,9 cm.
10
1. OA = 3 cm et SA = 7 cm.
2. D’après le théorème de Pythagore appliqué au
triangle SOA rectangle en O, on a : SO2 = SA2 − OA2.
SO2 = 72 − 32 = 40, d’où : SO = 40 cm,
soit : SO ≈ 6,3 cm.
Activités
1
SC3
Objectif
Connaître la nature de la section d’un parallélépipède
rectangle par un plan parallèle à une face ou parallèle à
une arête.
A. 1. a. Le plan passant par les points M, N et L est
parallèle aux faces ADHE et BCGF.
b. DOCUMENT À PHOTOCOPIER
.
(ANNEXE 1)
HL G
C
D
E
AM
R
B
NF
2. a., b. et c.
DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 2)
HL G
C
D
E
AM
J
B
RS
K
T
Q
P
IF
La section de ABCDEFGH par le plan passant par P et
parallèle à la face ABCD est le quadrilatère PJKI.
La section de ABCDEFGH par le plan passant par R et
parallèle à la face ABFE est le quadrilatère RSTQ.
3. La section d’un parallélépipède rectangle par un
plan parallèle à une face semble être un rectangle de
même dimension que cette face.
B. 1. a. Le plan (MNL) est parallèle aux arêtes [AE],
[BF], [CG] et [DH].
b. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 3)
HLG
C
D
E
AM
R
B
NF
2. a. • Le plan (STU) est parallèle aux arêtes [AB],
[DC], [EF] et [GH].
• Le plan (IJK) est parallèle aux arêtes [AD], [BC], [GF]
et [EH].
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Chapitre 14 Géométrie dans l’espace 175
3. a. Lorsque d = 0, la section est un rectangle dont
les dimensions sont la hauteur et le diamètre du
cylindre.
b. Lorsque d = r, la section se réduit à un segment
de longueur égale à la hauteur du cylindre.
c. Lorsque d > r, le plan ne coupe pas le cylindre.
3 Objectifs
– Connaître la nature de la section d’une pyramide par
un plan parallèle à la base.
– Savoir que cette section est une réduction de la base
et savoir utiliser le rapport de réduction pour calculer ses
dimensions.
1. Le plan (MNR) étant parallèle à la base, les droites
(MN) et (AB) sont parallèles, ainsi que les droites (NR)
et (BC), les droites (RT) et (CD) et les droites (MT) et (AD).
2. a. • En appliquant le théorème de Thalès au
triangle ASB, on obtient : ==
SM
SA
SN
SB
MN
AB .
• En appliquant le théorème de Thalès au triangle
BSC, on obtient : ==
SN
SB
SR
SC
NR
BC .
• En appliquant le théorème de Thalès au triangle
CSD, on obtient : ==
SR
SC
ST
SD
RT
CD.
• En appliquant le théorème de Thalès au triangle
ASD, on obtient : ==
SM
SA
ST
SD
MT
AD.
b. On obtient ainsi : ===
MN
AB
NR
BC
RT
CD
MT
AD.
Toutes les longueurs de la section MNRT sont
proportionnelles à celle de la base ABCD, donc la
section MNRT est une réduction de la base ABCD.
c. on obtient de même :
== == == =
SM
SA
SN
SB
MN
AB
SR
SC
NR
BC
ST
SD
RT
CD
MT
AD.
Toutes les longueurs des pyramides SMNRT et SABCD
sont proportionnelles, donc la pyramide SMNRT est
une réduction de la pyramide SABCD.
3. k = =
SM
SA
3
8.
4 Objectifs
– Connaître la nature de la section d’un cône de révolution
par un plan parallèle à la base.
– Savoir que cette section est une réduction de la base
et savoir utiliser le rapport de réduction pour calculer ses
dimensions.
1.
ᏼ’
Ꮿ
O
O’
A’
A
S
2.
O
S
A’ O’
A
6 cm
2,5 cm
4 cm
3. O’ ∈ [SO], A’ ∈ [SA] et (A’O’) // (AO), donc d’après
le théorème de Thalès appliqué au triangle SOA,
on a : ==
SO’
SO
SA’
SA
A’O’
AO .
Les longueurs des côtés des triangles SO’A’ et SOA
sont proportionnelles, donc le triangle SO’A’ est une
réduction du triangle SOA de rapport :
k = ==
SO’
SO
4
6
2
3.
4. La section du cône Ꮿ par le plan ᏼ est le disque de
centre O’ et de rayon r’ = ×
2
32,5, soit : r’ = 5
3 cm.
Le petit cône obtenu lors de la section du cône Ꮿ par
le plan ᏼ est une réduction du cône Ꮿ de rapport 2
3.
5
SC3
Objectif
Découvrir le vocabulaire associé à la sphère et à la boule.
1. a. Lorsque l’on fait tourner le rectangle ABCD
autour de la droite (AB), on obtient un cylindre de
révolution de rayon AD et de hauteur AB.
b. Lorsque l’on fait tourner le triangle KLM rectangle
en K autour de la droite (KL), on obtient un cône de
révolution de rayon KM et de hauteur KL.
c. Lorsque l’on fait tourner le demi-cercle de centre
O autour d’un de ses diamètres, on obtient une
sphère de centre O.
d. Lorsque l’on fait tourner le demi-disque de centre
O autour d’un de ses diamètres, on obtient une
boule de centre O.
2. a. • Le cercle de centre O et de rayon 3 cm est
constitué de tous les points du plan situés à 3 cm
de O.
• Le disque de centre O et de rayon 3 cm est
constitué de tous les points du plan situés à une
distance de O inférieure ou égale à 3 cm.
b. Pour obtenir les définitions d’une sphère et d’une
boule de centre O et de rayon 3 cm, il suffit de
remplacer « tous les points du plan » par « tous les
points de l’espace » dans les définitions précédentes.
3. Les points A, D, E appartiennent à un grand cercle
de la sphère ᏿, donc ils sont situés à une distance de
O égale à R.
Par conséquent, ils appartiennent-ils à la sphère ᏿.
b. On ne peut pas savoir si les points B, C et F
appartiennent à la sphère ᏿. Il faudrait savoir s’ils
appartiennent à un grand cercle ou à quelle distance
de O ils sont situés.
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176
c. Le point D appartient à la sphère, donc OD = R.
D’ est le symétrique de D par rapport à O, donc :
OD’ = OD = R.
Par conséquent, le point D’ appartient aussi à la
sphère ᏿.
Les points A et E sont aussi deux points diamétralement
opposés.
6 Objectifs
SC3
– Connaître la nature de la section d’une sphère par un
plan.
– Savoir calculer le rayon de cette section.
A. La section d’une boule par un plan semble être un
disque.
B. 1. Le triangle OHM est rectangle en H.
2. a. OM = 4 cm et OH = 3 cm.
b. D’après le théorème de Pythagore appliqué au
triangle OHM, on a : HM2 = OM2 − OH2,
d’où : HM2 = 42 − 32 = 7,
soit : =HM 7 cm, soit environ 2,6 cm.
3. On obtient de la même façon : =HN 7 cm.
4.
a. Quel que soit le point de la section de la
sphère ᏿ par le plan ᏼ, il sera situé à 7 cm de H.
Par conséquent, tous les points de la section de la
sphère ᏿ par le plan ᏼ appartiennent au cercle de
centre H et de rayon 7 cm.
b. Soit M un point du cercle de centre H et de rayon
7 cm.
On a donc : =HM 7 cm.
D’après le théorème de Pythagore appliqué au
triangle OHM, on a : OM2 = HM2 + OH2,
d’où : OM2 = (7)
2 + 32 = 7 + 9 = 16,
soit : OM = 4 cm.
Par conséquent, M est un point de la sphère ᏿ de
centre O et de rayon 4 cm.
C. 1. Lorsque le plan ᏼ passe par le centre O de la
sphère, la section est un grand cercle de la sphère.
2. Lorsque le plan ᏼ est situé à une distance du
centre O égale au rayon de la sphère, la section de la
sphère est réduite à un point.
3. Lorsque le plan ᏼ est situé à une distance du
centre O supérieure au rayon de la sphère, il ne
coupe pas la sphère.
Savoir-faire
11
SC3
La section du parallélépipède rectangle
ABCDEFGH par le plan (BFH) est le rectangle BFHD
tel que : BF = 3 cm et HF = +=24 20
22 , soit
environ 4,5 cm.
HG
C
D
E
AB
F
12
SC3
• Le plan est parallèle à l’axe, donc la
section ABCD est un rectangle tel que :
AD = hauteur du cylindre, soit AD = 10 cm.
• Le triangle OHA est
rectangle en H, donc, d’après
le théorème de Pythagore,
on a :
HA2 = OA2 − OH2 = 4,52 − 32
= 11,25 ;
d’où : HA = 11,25 cm.
• Le triangle AOB est isocèle
en O, donc le point H, pied
de la hauteur issue du sommet principal O, est aussi
le milieu de [AB], par conséquent :
AB = 2 × AH = ×211,25, soit : AB ≈ 6,7 cm.
La section ABCD est donc un rectangle de
dimensions 10 cm et 6,7 cm environ.
13
Soient M un point de la section et H le point
d’intersection du plan et de la droite passant par le
centre O de la sphère perpendiculairement au plan.
La section de la sphère par le plan est le cercle de
centre H et de rayon HM.
Le triangle OHM est rectangle en H, donc, d’après le
théorème de Pythagore, on a :
HM2 = OM2 − OH2 = 7,82 − 52 = 35,84.
D’où : HM = 35,84 cm, soit : HM ≈ 6 cm.
La section de la sphère par ce plan est le cercle de
centre H et de rayon 6 cm environ.
14
a. M ∈ [EF], N ∈ [HG] et R ∈ [FB] :
HG
CD
E
A
M
R
B
N
F
b. M ∈ [EH], N ∈ [HG] et R ∈ [FB] :
HG
CD
E
A
M
R
B
N
F
c. M ∈ [EH], N ∈ [HG] et R ∈ [AB] :
HG
CD
E
A
M
RB
N
F
A
HO
B
3 cm
4,5 cm
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Chapitre 14 Géométrie dans l’espace 177
b.
AN
B
DC
F
R
E
H
MG
c.
AN
B
DC
F
R
E
HMG
d.
AN
B
DC
F
R
E
HMG
e.
A
N
B
DC
F
R
E
H
M
G
f.
A
N
B
DC
F
R
E
H
M
G
22
SC3
DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 7)
a. b.
HG
F
M
E
AB
C
ND
F
F
F
D
HO G
F
E
AB
C
DP
D
D
c. H
Q
G
F
E
AB
C
D
R
F
F
23
SC3
1. Les arêtes parallèles au plan ᏼ sont [HG],
[EF], [AB] et [CD].
2. Le quadrilatère CDIJ est un rectangle.
Exercices
À l’oral
15
SC3
a. Le plan (IJK) est parallèle à la face BCGF.
La section IJKL est un rectangle de dimensions 4 cm
et 3 cm.
b. Le plan (IJK) est parallèle à la face ABCD.
La section IJKL est un rectangle de dimensions 4 cm
et 6 cm.
c. Le plan (IJK) est parallèle à la face ABFE.
La section IJKL est un rectangle de dimensions 3 cm
et 6 cm.
d. Le plan (IJK) est parallèle à l’arête [BF]. La section
IJKL est un rectangle dont une dimension est 3 cm.
e. Le plan (IJK) est parallèle à l’arête [AB]. La section
IJKL est un rectangle dont une dimension est 6 cm.
f. Le plan (IJK) est parallèle à l’arête [EH]. La section
IJKL est un rectangle dont une dimension est 4 cm.
16
SC3
a. La section est un disque de rayon 5 cm.
b. La section est un rectangle AA’B’B tel que :
AA’ = OO’ = 8 cm
et AB = 2 × HA = 2 × −53
22
= 8 cm.
17
La section EFGH de la pyramide SABCD par le
plan (EFG) est une réduction de ABCD de rapport
k = =
SE
SA
3
8.
EFGH est un rectangle tel que :
EF = =
3
8AB 15 8 cm et FG = =
3
8BC 3 2 cm.
18
La section du cône de révolution Ꮿ par le plan ᏼ
est une réduction de la base de rapport k =
==
SO’
SO
3
9
1
3
.
La section est un disque de centre O’ et de rayon
r’ = 1
3OA = 2 cm.
19
SC3
OA = OB = OC = OD = 4 cm et CD = 8 cm.
On ne peut pas connaître les longueurs OE, OF, AB.
20
1. OM = 5 cm et OH = 4 cm.
2. Le triangle OHM est rectangle en H.
3. a.
SC3
La section de la sphère ᏿ par le plan ᏼ est
un cercle de centre H et de rayon HM.
b. HM = −=−OM OH 5 4
2222
= 3 cm.
Je m’entraîne
21
SC3
DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 6)
a.
AN
B
DC
F
R
E
H
MG
© Éditions Belin, 2012.