Chapitre 12 : Trigonométrie. 1°) Sinus. Nous avons déjà appris à
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Chapitre 12 : Trigonométrie. 1°) Sinus. Nous avons déjà appris à calculer la mesure d’un côté ou d’un angle à l’aide du cosinus. Il existe une formule qui permet de faire les calculs à l’aide du sinus : sin(𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒) = 𝑐ô𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é à 𝑙′𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒 Voici trois utilisations possibles : Exemple n°1 : calcul de la mesure du côté opposé à un angle. Le triangle ABC est rectangle en B donc j’utilise la trigonométrie. ̂ , je cherche le côté Je connais l’hypoténuse AC et la valeur de l’angle 𝐵𝐴𝐶 opposé BC. A 70° 6cm ̂) 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶× sin(𝐵𝐴𝐶 𝐵𝐶 = 6 sin(70) valeur exacte 𝐵𝐶 ≈ 5,64 cm. B C ? Exemple n°2 : calcul de la mesure de l’hypoténuse. Le triangle ABC est rectangle en B donc j’utilise la trigonométrie. ̂ et la Je cherche l’hypoténuse AC, je connais la valeur de l’angle 𝐵𝐴𝐶 mesure du côté opposé BC. A 60° ? 𝐵𝐶 𝐴𝐶 = sin(𝐵𝐴𝐶 ̂) B C 𝐴𝐶 = 8cm 8 sin(60) valeur exacte 𝐴𝐶 ≈ 9,24 cm. Exemple n°3 : calcul de la mesure d’un angle. A ? 12cm Le triangle ABC est rectangle en B donc j’utilise la trigonométrie. Je connais l’hypoténuse AC et la mesure du côté opposé BC, je cherche la ̂. mesure de l’angle 𝐵𝐴𝐶 𝐵𝐶 ̂) = sin(𝐵𝐴𝐶 𝐴𝐶 B 8cm 8 12 −1 8 ̂ 𝐵𝐴𝐶 = sin (12) valeur exacte ̂ ≈ 42° 𝐵𝐴𝐶 valeur approchée au degré près C sin(𝐵𝐴𝐶 ̂) = Entraînement : exercices 2 et 6 page 207 (résoudre en utilisant le sinus). 2016-2017 ; 3ème Prof. MT FORCONI Chapitre 12 : trigonométrie. 2°) Tangente. Nous avons déjà appris à calculer la mesure d’un côté ou d’un angle à l’aide du cosinus et du sinus. Il existe une formule qui permet de faire les calculs à l’aide de la tangente : tan(𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒) = 𝑐ô𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é à 𝑙′𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝑐ô𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 à 𝑙′𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 Cette formule est la seule qui ne fait pas intervenir l’hypoténuse du triangle rectangle. Exemple n°1 : calcul de la mesure du côté opposé à un angle. Le triangle ABC est rectangle en B donc j’utilise la trigonométrie. ̂ , je Je connais la mesure du côté adjacent AB et la valeur de l’angle 𝐵𝐴𝐶 cherche le côté opposé BC. AB=2cm A 70° 𝑐ô𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é à 𝑙 ′ 𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 = 𝑐ô𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 à 𝑙 ′ 𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 × tan(𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒) B C ̂) 𝐵𝐶 = 𝐴𝐵× tan(𝐵𝐴𝐶 𝐵𝐶 = 2 tan(70) valeur exacte 𝐵𝐶 ≈ 5,49 cm. ? Exemple n°2 : calcul de la mesure du côté adjacent à un angle. Le triangle ABC est rectangle en B donc j’utilise la trigonométrie. Je cherche la mesure du côté adjacent AB, je connais la valeur de l’angle ̂ et la mesure du côté opposé BC. 𝐵𝐴𝐶 A 60° ? B C 8cm 𝑐ô𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 à 𝑙 ′ 𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 = 𝑐ô𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é à 𝑙′𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 tan(𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒) 𝐵𝐶 𝐴𝐵 = tan(𝐵𝐴𝐶 ̂) 8 𝐴𝐵 = tan(60) valeur exacte 𝐴𝐵 ≈ 4,62 cm. Exemple n°3 : calcul de la mesure d’un angle. Le triangle ABC est rectangle en B donc j’utilise la trigonométrie. Je connais la mesure du côté opposé BC et celle du côté adjacent AB, je ̂. cherche la mesure de l’angle 𝐵𝐴𝐶 AB=3cm A ? B C 9cm tan(𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒) = 𝑐ô𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é à 𝑙′𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝑐ô𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 à 𝑙′𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 ̂ ) = 𝐵𝐶 tan(𝐵𝐴𝐶 𝐴𝐵 9 ̂) = = 3 tan(𝐵𝐴𝐶 3 ̂ = tan−1 (3) valeur exacte 𝐵𝐴𝐶 ̂ ≈ 72° 𝐵𝐴𝐶 valeur approchée au degré près 3ème, année scolaire 2016/2017 Prof. MT FORCONI Chapitre 12 : trigonométrie. 3°) Bilan. Dans un triangle rectangle : Un angle, son côté adjacent et l’hypoténuse Un angle, son côté opposé et l’hypoténuse un angle, son côté opposé et son côté adjacent SOH CAH TOA sin(𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒) = 𝑐ô𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é à 𝑙′𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒 tan(𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒) = cos(𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒) = 3ème, année scolaire 2016/2017 𝑐ô𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é à 𝑙′𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝑐ô𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 à 𝑙′𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝑐ô𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 à 𝑙 ′ 𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒 Prof. MT FORCONI
