Chapitre 12 : Trigonométrie. 1°) Sinus. Nous avons déjà appris à

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Chapitre 12 : Trigonométrie.
1°) Sinus.
Nous avons déjà appris à calculer la mesure d’un côté ou d’un angle à l’aide du cosinus. Il existe une
formule qui permet de faire les calculs à l’aide du sinus :
sin(𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒) =
𝑐ô𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é à 𝑙′𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒
ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒
Voici trois utilisations possibles :
Exemple n°1 : calcul de la mesure du côté opposé à un angle.
Le triangle ABC est rectangle en B donc j’utilise la trigonométrie.
̂ , je cherche le côté
Je connais l’hypoténuse AC et la valeur de l’angle 𝐵𝐴𝐶
opposé BC.
A
70°
6cm
̂)
𝐵𝐶 = 𝐴𝐶× sin(𝐵𝐴𝐶
𝐵𝐶 = 6 sin(70)
valeur exacte
𝐵𝐶 ≈ 5,64 cm.
B
C
?
Exemple n°2 : calcul de la mesure de l’hypoténuse.
Le triangle ABC est rectangle en B donc j’utilise la trigonométrie.
̂ et la
Je cherche l’hypoténuse AC, je connais la valeur de l’angle 𝐵𝐴𝐶
mesure du côté opposé BC.
A
60°
?
𝐵𝐶
𝐴𝐶 = sin(𝐵𝐴𝐶
̂)
B
C
𝐴𝐶 =
8cm
8
sin(60)
valeur exacte
𝐴𝐶 ≈ 9,24 cm.
Exemple n°3 : calcul de la mesure d’un angle.
A
?
12cm
Le triangle ABC est rectangle en B donc j’utilise la trigonométrie.
Je connais l’hypoténuse AC et la mesure du côté opposé BC, je cherche la
̂.
mesure de l’angle 𝐵𝐴𝐶
𝐵𝐶
̂) =
sin(𝐵𝐴𝐶
𝐴𝐶
B
8cm
8
12
−1 8
̂
𝐵𝐴𝐶 = sin (12) valeur exacte
̂ ≈ 42°
𝐵𝐴𝐶
valeur approchée au degré près
C sin(𝐵𝐴𝐶
̂) =
Entraînement : exercices 2 et 6 page 207 (résoudre en utilisant le sinus).
2016-2017 ; 3ème
Prof. MT FORCONI
Chapitre 12 : trigonométrie.
2°) Tangente.
Nous avons déjà appris à calculer la mesure d’un côté ou d’un angle à l’aide du cosinus et du sinus. Il
existe une formule qui permet de faire les calculs à l’aide de la tangente :
tan(𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒) =
𝑐ô𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é à 𝑙′𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒
𝑐ô𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 à 𝑙′𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒
Cette formule est la seule qui ne fait pas intervenir l’hypoténuse du triangle rectangle.
Exemple n°1 : calcul de la mesure du côté opposé à un angle.
Le triangle ABC est rectangle en B donc j’utilise la trigonométrie.
̂ , je
Je connais la mesure du côté adjacent AB et la valeur de l’angle 𝐵𝐴𝐶
cherche le côté opposé BC.
AB=2cm
A
70°
𝑐ô𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é à 𝑙 ′ 𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 = 𝑐ô𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 à 𝑙 ′ 𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 × tan(𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒)
B
C
̂)
𝐵𝐶 = 𝐴𝐵× tan(𝐵𝐴𝐶
𝐵𝐶 = 2 tan(70)
valeur exacte
𝐵𝐶 ≈ 5,49 cm.
?
Exemple n°2 : calcul de la mesure du côté adjacent à un angle.
Le triangle ABC est rectangle en B donc j’utilise la trigonométrie.
Je cherche la mesure du côté adjacent AB, je connais la valeur de l’angle
̂ et la mesure du côté opposé BC.
𝐵𝐴𝐶
A
60°
?
B
C
8cm
𝑐ô𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 à 𝑙 ′ 𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 =
𝑐ô𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é à 𝑙′𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒
tan(𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒)
𝐵𝐶
𝐴𝐵 = tan(𝐵𝐴𝐶
̂)
8
𝐴𝐵 = tan(60)
valeur exacte
𝐴𝐵 ≈ 4,62 cm.
Exemple n°3 : calcul de la mesure d’un angle.
Le triangle ABC est rectangle en B donc j’utilise la trigonométrie.
Je connais la mesure du côté opposé BC et celle du côté adjacent AB, je
̂.
cherche la mesure de l’angle 𝐵𝐴𝐶
AB=3cm
A
?
B
C
9cm
tan(𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒) =
𝑐ô𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é à 𝑙′𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒
𝑐ô𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 à 𝑙′𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒
̂ ) = 𝐵𝐶
tan(𝐵𝐴𝐶
𝐴𝐵
9
̂) = = 3
tan(𝐵𝐴𝐶
3
̂ = tan−1 (3) valeur exacte
𝐵𝐴𝐶
̂ ≈ 72°
𝐵𝐴𝐶
valeur approchée au degré près
3ème, année scolaire 2016/2017
Prof. MT FORCONI
Chapitre 12 : trigonométrie.
3°) Bilan.
Dans un triangle rectangle :
Un angle, son côté adjacent
et l’hypoténuse
Un angle, son côté opposé
et l’hypoténuse
un angle, son côté opposé
et son côté adjacent
SOH CAH TOA
sin(𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒) =
𝑐ô𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é à 𝑙′𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒
ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒
tan(𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒) =
cos(𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒) =
3ème, année scolaire 2016/2017
𝑐ô𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é à 𝑙′𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒
𝑐ô𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 à 𝑙′𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒
𝑐ô𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 à 𝑙 ′ 𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒
ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒
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