Incertitudes et mesures en TP I) Notion d`erreur : 1.1) Vocabulaire

Incertitudes et mesures en TP
En sciences expérimentales, il n’existe pas de mesure exacte. Toute mesure est entachée d’erreurs
plus ou moins importantes selon le protocole choisi, la qualité des instruments de mesure, le rôle de
l’opérateur…
Exemple :
Soit Ne le nombre exact de personnes dans une assemblée : valeur vraie.
Soit Na le nombre approché (décompte rapide) : valeur mesurée.
L’erreur absolue est : ΔN = 𝑁! −𝑁!
L’erreur relative est : ΔN / Na
I) Notion d’erreur :
1.1) Vocabulaire :
Métrologie : science de la mesure
Mesurage : action de mesurer
Valeur vraie : valeur exacte d’une grandeur physique
1.2) Erreur systématique – erreur aléatoire :
On distingue les erreurs systématiques et les erreurs aléatoires (ou accidentelles) :
• l’erreur systématique est la composante de l’erreur de mesure qui, dans des mesurages répétés,
demeure constante ou prévisible ; dans certains cas, il est envisageable d’appliquer une
correction pour la compenser.
• l’erreur aléatoire est la composante de l’erreur de mesure qui, dans des mesurages répétés varie
de façon imprévisible.
• On a alors :
Erreur de mesure = erreur systématique + erreur aléatoire
Par exemple, lorsqu’on mesure un intervalle de temps avec un chronomètre, le résultat va varier en
fonction du retard au déclenchement de l’appareil, au début et à la fin de la mesure. C’est donc une
erreur aléatoire.
L’erreur systématique peut avoir différentes sources : une erreur d’étalonnage, l’oubli d’un paramètre,
une procédure erronée… Par exemple, si on mesure la vitesse du son sans mesurer la température, on
ne pourra pas comparer la mesure à une valeur de référence.
On se retrouve face au problème suivant :
La valeur vraie de la grandeur physique n’est pas connue.
La valeur vraie de l’erreur de mesure n’est pas connue non plus !
Lorsqu’on effectue le « mesurage » d’une grandeur on va tenter d’approcher la valeur vraie de la façon
suivante :
La mesure d’une grandeur n’est pas un nombre mais un intervalle dans
lequel se situe la valeur vraie avec une probabilité donnée.
L’évaluation de cet intervalle est le calcul de l’incertitude. On peut évaluer l’incertitude mais pas
l’erreur !
II) Notion d’incertitude :
2.1) Incertitude-type :
On envisage la mesure de la grandeur physique X. Les notations choisies sont les suivantes :
• xvraie désigne la valeur exacte de la grandeur X (inconnue !)
• xmes désigne la valeur mesurée.
𝑥!"# − 𝑥!"#$% représente l’erreur absolue : on ne peut pas la connaître !
On peut par contre évaluer l’incertitude absolue Δx de la mesure. Δx est parfois notée U pour
« uncertainty ». On peut écrire :
x!"#$% ∈ x!"# − Δx, ; x!"# + Δx, avec une probabilité P.
et résumer ces notions sur le schéma suivant :
On retiendra que même si on ne peut pas connaître la valeur exacte de la grandeur X, on peut
savoir dans quel intervalle se situe cette valeur vraie, avec une probabilité P.
On notera par la suite, pour simplifier, x la mesure de la grandeur X. La probabilité de trouver X dans
l’intervalle fourni lors d’une mesure s’appelle aussi le niveau de confiance . Le niveau de confiance
utilisé le plus couramment est de 95%.
Pour déterminer l’incertitude-élargie(ou absolue) Δx correspondant à la mesure x de la grandeur X,
on doit au préalable définir l’incertitude-type. Celle-ci sera notée u(x).
On admettra que l’incertitude élargie Δx sera, pour un niveau de confiance égal à 95 %, liée à u(x) par
la relation :
Δx = 2.u(x)
∆!
!
représente l’incertitude relative ; on cherche à l’obtenir la plus faible possible.
Remarque : par convention, les quantités Δx et
∆!
!
sont positives.
Les résultats des mesures effectuées de la grandeur X doivent être présentés sous la forme :
X = x ± Δx
Il existe 2 types d’incertitudes :
2.2) Les incertitudes de type A :
Une incertitude est de type A lorsqu’elle est évaluée par une analyse statistique des valeurs mesurées.
Il faut faire plusieurs fois la même mesure par la même méthode et en faire la moyenne. L’incertitude
s’obtient alors de manière statistique (voir plus loin).
2.3) Les incertitudes de type B :
Une incertitude est de type B lorsqu’elle correspond aux évaluations des incertitudes ne reposant pas
sur une analyse statistique donc dans le cas d’une mesure unique. C’est le type le plus fréquent en TP,
il faut donc savoir l’évaluer.
III)Méthodes d’ évaluation d’une incertitude :
3.1) Cas où on effectue N mesures indépendantes d’une grandeur physique X :
3.1.1) La mesure :
On suppose qu’on a effectué une série de N mesures (N>1) d’une grandeur X par une même méthode
expérimentale. On a alors obtenu N valeurs de la mesure x allant de x1 à xN.
On admettra que la mesure x de la grandeur X est tout simplement la moyenne arithmétique des
mesures supposées indépendantes effectuées :
x = valeur moyenne des x! = < x > =
x! + ⋯ + x!
N
3.1.2) l’incertitude-type :
Pour déterminer l’incertitude élargie Δx, correspondant à la mesure x de la grandeur X, on doit calculer
l’incertitude-type u(x) définie ( résultat admis) par :
𝜎
!
1
𝑢(𝑥) =
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝜎 =
𝑥! −< 𝑥 >
𝑁−1
𝑁
!!!
!
!
La valeur de u(x) se calcule assez facilement avec une calculatrice possédant des fonctions statistiques.
3.1.3) L’incertitude élargie :
Dans le cas d’une mesure répétée, l’incertitude élargie Δx = k.u(x) où k est un coefficient dépendant du
niveau de confiance que l’on attribue à la mesure et dont la valeur est donnée par les lois
mathématiques liées aux statistiques.
En première approximation, lorsque N sera au moins égal à 10 et pour un niveau de confiance de 95 %,
on prendra k = 2.
On retiendra donc :
Δx= 2 u(x)
3.1.4) Affichage du résultat :
Dans ce processus de mesure , on conclura, en affichant le résultat suivant :
X = x ± 2u(x) = x ± Δx avec un niveau de confiance de 95 %.
3.2) Cas où l’on effectue une mesure unique :
3.2.1) La mesure :
On effectue cette fois, une seule fois la mesure d’une grandeur physique X. Le résultat de la mesure est
par conséquent la valeur obtenue lors de la mesure.
x = valeur obtenue lors de la mesure unique
Nous rencontrerons très souvent cette situation en TP.
3.2.2) l’incertitude-type :
Il n’est évidemment plus possible d’effectuer un calcul de type statistique de l’incertitude-type comme
nous l’avons fait dans le cas des N mesures. Comment procède-t-on alors ?
On définit dans ce cas, la précision Δ de l’instrument de mesure utilisé. On rencontre deux sortes
d’instruments de mesure : ceux équipés d’une graduation et ceux disposant d’un affichage numérique.
On pourra adopter le mode opératoire suivant :
-
Si la mesure est lue sur une échelle graduée, on estime que Δ correspond à une demigraduation. Exemple: vous utilisez un double-décimètre gradué en mm : Δ = 0,5 mm.
-
Si la mesure est lue sur un appareil à affichage digital, Il faut se reporter à la notice de ce
dernier pour obtenir Δ. Exemple : sur la notice d’un voltmètre, on lit Δ = 0,3 %×U + 2×UR.
UR est l’unité de représentation, soit la valeur du dernier digit affiché. Imaginons que l’on
mesure U = 280,0 V, on a UR = 0,1 V et par conséquent Δ = 1,0 V.
Une fois la précision Δ déterminée, l’incertitude-type sera calculée par la loi (admise) :
u(x) =
∆
!
3.2.3) L’incertitude élargie :
Comme pour la situation des N mesures supposées indépendantes, on utilisera de façon systématique le
niveau de confiance de 95 % et on prendra k = 2. On a donc :
Δx = 2u(x) = 2
∆
!
3.2.4) Affichage du résultat :
Dans ce processus de mesure , on conclura, en affichant le résultat suivant :
X = x ± 2u(x) = x ± Δx avec un niveau de confiance de 95 %.
3.3) Prise en compte de plusieurs incertitudes :
Imaginons une mesure de longueur L effectuée avec un mètre gradué en millimètres . Pour déterminer
l’incertitude-type affectant la mesure l de la longueur L, il faut considérer à la fois l’incertitude-type
due au pointé et l’incertitude-type sur la lecture de la graduation.
Si on note respectivement upointé et ulecture ces deux grandeurs, on admettra qu’alors, l’incertitude type
totale s’évalue avec :
!
!
𝑢!"#$%é
+ 𝑢!"#$%&"
𝑢=
IV) Propagation des incertitudes :
4.1) Contexte :
Ce cas de figure est très courant car il correspond à la situation de mesure d’une grandeur à partir de la
mesure d’autres grandeurs .
4.2) Principe :
Soit à déterminer la grandeur X de mesure x, d’incertitude élargie Δx et d’incertitude-type u(x).
X est une fonction des grandeurs physiques A, B, C, .... A est de mesure a et d’incertitude-type u(a), B
est de mesure b et d’incertitude-type u(b)… Les grandeurs A, B, C…. sont supposées indépendantes.
On admettra le résultat suivant, faisant intervenir des calculs de dérivées partielles (…) :
𝑢 𝑥 = 𝜕𝑥
. 𝑢(𝑎)
𝜕𝑎
!
𝜕𝑥
. 𝑢(𝑏)
𝜕𝑏
+
!
+
𝜕𝑥
. 𝑢(𝑐)
𝜕𝑐
!
et on retiendra les deux cas simples suivants :
-
Si 𝑋 = 𝜆𝐴 + 𝜇𝐵 avec λ et µ réels positifs ou négatifs.
Δ𝑥 =
-
Si 𝑋 = 𝐴! 𝐵!
λΔ𝑎
!
+ µμΔ𝑏 ! avec p et q réels positfs ou négatifs .
∆𝑥
= 𝑥
𝑝.
∆𝑎
𝑎
!
+ 𝑞.
∆𝑏
𝑏
!
En conclusion, une évaluation de l’incertitude de mesure permet :
-
d’estimer correctement le nombre de chiffres significatifs à retenir dans le résultat ;
de confronter plus efficacement l’expérience avec un modèle théorique ;
de réaliser une critique constructive du protocole expérimental et/ou du modèle théorique.
Il est indispensable de veiller à la cohérence des chiffres significatifs affichés sachant que l’incertitude
absolue ou élargie ne devra compter que 2 chiffres significatifs. On arrondira toujours le résultat
déterminé pour Δx par excès.
Exemple pour la mesure d’une intensité I : les résultats obtenus après mesures et calcul étant i =
1,532678 et Δi = 0,1134 , on donnera le résultat sous la forme :
I = 1,53 ± 0,12 A