Évaluation d’incertitudes Incertitude relative L’incertitude relative d’une mesure est le quotient de l’incertitude de mesure U(M) ou ∆(M) par la valeur mesurée m, soit : U(M ) m On l’exprime souvent en pourcentage. C’est un indicateur de la qualité de la mesure. Types d’incertitudes Suivant la méthode utilisée pour effectuer le calcul d’une incertitude de mesure on peut classer cette incertitude dans l’un des deux types ci-dessous : -Une incertitude de type A est évaluée par des méthodes statistiques : moyenne, écart-type…. Elle est issue de l’exploitation d’un nombre important de valeurs mesurées. - Une incertitude de type B est évaluée par d’autres méthodes. Elle correspond en général à une mesure unique. Sa détermination n’est pas simple car il faut prendre en compte toutes les sources d’erreurs ou, au préalable, avoir identifié les sources d’erreurs les plus importantes. Évaluation d’incertitudes Évaluation d’une incertitude de type A Incertitude-type (notée u) Lorsqu’un même manipulateur réalise plusieurs fois le mesurage de la même grandeur G, dans les mêmes conditions expérimentales ou quand des manipulateurs différents réalisent simultanément le même mesurage avec du matériel similaire, on utilise des notions de statistiques (moyenne et écart-type) pour analyser les résultats. n g g k 1 k n n L’écart-type expérimental de la série de mesures est : n 1 2 ( g g ) k k 1 n1 Cet écart-type permet d’évaluer l’incertitude-type (ou écart-type expérimental de la moyenne) : u (G) n1 n Évaluation d’incertitudes Incertitude élargie (notée U) Dans l'hypothèse où toute erreur systématique a été écartée et où les diverses valeurs mesurées sont réparties selon une loi gaussienne, le coefficient d’élargissement k, associé à un niveau de confiance donné et au nombre n de mesures, est donné par la loi de Student. Le tableau ci-dessous donne les valeurs de k pour des niveaux de confiance de 95% et 99% et pour des nombres n de mesurages courants. n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 k 95% 12,7 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,37 2,31 2,26 2,20 2,16 2,13 2,11 2,09 k 99% 63,7 9,93 5,84 4,60 4,03 3,71 3,50 3,36 3,25 3,11 3,01 2,95 2,90 2,86 U 95% (G) k 95%u(G) Évaluation d’incertitudes Évaluation d’une incertitude de type B Incertitude-type (notée u) Lorsqu’une mesure ne peut pas être reproduite plusieurs fois, il est alors nécessaire d’analyser les différentes sources d’erreurs et d’évaluer l’incertitude associée à chaque source. Cas d’une lecture simple sur une échelle graduée : Lorsque la mesure est obtenue par lecture sur une échelle ou un cadran, l’incertitude-type liée à la lecture est estimée à : 1 graduation ulecture (G) 12 Pour un thermomètre gradué en degrés, l’incertitude-type liée à la lecture vaut: u ( ) 0,29C lecture Évaluation d’incertitudes Cas d’une double lecture sur une échelle graduée : Lorsque la mesure nécessite une double lecture, les incertitudes liées à la lecture peuvent se cumuler ou se compenser, totalement ou partiellement. udouble lecture (G ) 2 ulecture (G ) L’incertitude-type liée à la double lecture est estimée à : Cas de la mesure de la période T d’un signal périodique affiché sur l’écran d’un oscilloscope gradué en cinquièmes de division : udouble-lecture (T)= 2 0, 2 0,082div 12 Cas de la mesure d’une distance d avec une règle graduée au mm : udouble-lecture (d)= 2 1 0,41mm 12 Évaluation d’incertitudes Cas d’une mesure obtenue avec un appareil de tolérance connue : Lorsque la mesure est obtenue avec un appareil pour lequel le constructeur indique la tolérance t (notée ± t), l’incertitude-type liée à la tolérance de cet appareil est estimée à : t utolérance(G ) 3 Ici : utolérance(G ) 0,04 0,023mL 3 Cas de l’utilisation d’un appareil numérique L’incertitude est généralement indiquée dans la notice sous la forme d’un pourcentage de la valeur lue sur l’écran et d’un certain nombre de digit. Par exemple, avec un voltmètre affichant 1,62 V et dont la notice indique pour l’incertitude : 3 1,62 0,01 0,0586V (3% de la valeur lue + 1 digit), l’incertitude est u = 100 Évaluation d’incertitudes Incertitude élargie (notée U) Dans tous les cas précédents, la norme considère alors que l’incertitude élargie pour une mesure unique s’obtient en multipliant l’incertitude-type par un coefficient d’élargissement k : - pour un niveau de confiance de 95%, k = 2 - pour un niveau de confiance de 99%, k = 3 U (G ) k u (G ) Évaluation d’incertitudes Incertitudes composées Dans certains cas complexes, il faut souvent combiner les méthodes de type A et de type B pour obtenir une meilleure évaluation de l’incertitude. On a alors : U (G ) (U A (G ))² (U B (G ))² Évaluation d’incertitudes Propagation des incertitudes Lorsque la valeur g d’une grandeur G se déduit des valeurs d’autres grandeurs par un calcul, l’incertitude sur G se déduit des incertitudes sur les autres grandeurs. Cas d’une somme Une grandeur G peut être la somme de deux autres grandeurs indépendantes G1 et G2 : g = g1 + g2 L’incertitude U(G) est : U (G) (U (G ))² (U (G ))² (somme quadratique des incertitudes). 1 2 Cas d’un produit Une grandeur G peut être le produit de deux autres grandeurs indépendantes G1 et G2 : g = g1 g2 Dans ce cas l’incertitude est donné par : U (G1 ) U (G2 ) U (G) g ( g1 )² ( g2 )² (somme quadratique des incertitudes relatives) Cas d’une multiplication par un nombre exact Si une grandeur G est obtenue à partir autre grandeur multipliée par un nombre exact A : g = Ag1 Alors l’incertitude U(G) est donné par U(G) = A U(G1). Cas d’une puissance Une grandeur G peut être obtenue à partir d’une autre grandeur élevée à une puissance n : g = g1n U (G ) n g U (G1 ) n g1n 1 U (G1 ) g1 Évaluation d’incertitudes Arrondissage et écriture d’un résultat Les valeurs numériques de l’estimation g d’une grandeur G et de son incertitude U(G) ne doivent pas être données avec un nombre excessif de chiffres. L’incertitude sera arrondie avec au plus deux chiffres significatifs. Lorsque le premier chiffre significatif est supérieur ou égal à 5, on pourra arrondir l’incertitude à un seul chiffre significatif. Le dernier chiffre significatif de la valeur mesurée doit être du même ordre de grandeur et à la même position décimale que celui de l’incertitude. Quelques exemples : mesure de la grandeur v = 12,347 m·s-1 m = 0,1248 kg q = 1,61×10-19 C C = 0,01412 mol·L-1 incertitude 0,14 m·s-1 22 g 0,052 ×10-19 C 6,2 ×10-3 mol·L-1 écriture du résultat du mesurage v = (12,35±0,14) m·s-1 m = (0,125±0,022) kg q = (1,61±0,05)×10-19 C C = (0,014±0,006) mol·L-1 Lorsqu’une grandeur doit être utilisée pour un calcul ultérieur on conserve au moins un chiffre significatif de plus dans son expression finale. Notations G : mesurande (grandeur à mesurer) g : valeur mesurée u(G) : incertitude-type U(G) : incertitude élargie k : facteur d’élargissement u (G ) : incertitude-type relative g U (G ) : incertitude élargie relative g Exercices 1. Exploitation d’une série de mesures indépendantes: Des résultats sont indépendants si la même grandeur a été mesurée par des expérimentateurs différents utilisant des instruments de mesure différents mais équivalents. Dans le cas par exemple des groupes des étudiants effectuant des mesures au cours d’une séance de TP. Exemple: les 9 groupes des étudiants d’une séance de TP ont mesuré la longueur d’un trait tracé sur une feuille. Leurs résultats, obtenus avec des règles différentes, toutes graduées en mm sont donnés ci-après: Exercices 1. Exploitation d’une série de mesures indépendantes: Exercices 2. une mesure unique: Exercices 2. une mesure unique: Remarque: les lois pour la détermination de l’incertitude type sont données dans l’énoncé. Exercices 2. une mesure unique:
