Séries de Fourier : Exercices pour L1 Génie Civil, Télécoms, Électrotechnique

INSTITUT POLYTECHNIQUE DE DAKAR 2023–2024
THOMAS SANKRA Mathématiques générales
Cours : Dr. M.-L.DIOUF L1Génie Civil, Réseaux Télécoms, Électrotechnique
Séries de Fourier
Exercice 1 Soit fdéfinie sur Rpar f(t)=1sur [0;π[,f(t)=0sur [π; 2π[,fest 2π-périodique.
1. Représenter la courbe de fsur [−4π; 4π]
2. Calculer les coefficients de Fourier.
3. Écrire la série.
4. Exprimer S5(x).
5. Calculer les sommes :
+∞
X
p=0
(−1)p
2p+1et
+∞
X
p=0
1
(2p+1)2.
Exercice 2 Soit fla fonction définie sur Rpar f(t)=1sur ]0;π[, impaire et f(kπ)=0où k∈Z;
fest 2π-périodique
1. Représenter la courbe de fsur [−4π; 4π]
2. Calculer les coefficients de Fourier.
3. Effectuer le développement en série de Fourier de f.
4. Exprimer S5(x).
5. Calculer les sommes :
+∞
X
p=0
(−1)p
2p+1et
+∞
X
p=0
1
(2p+1)2.
Exercice 3 Soit fla fonction définie sur Rpar f(t)=tsur [0;π], paire et 2π-périodique
1. Représenter la courbe de fsur [−4π; 4π]
2. Calculer les coefficients de Fourier.
3. Écrire la série.
4. Exprimer S5(x)
5. Calculer la somme
+∞
X
p=0
1
(2p+1)2. En déduire
+∞
X
n=1
1
n2.
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Exercice 4 Soit fla fonction définie sur Rpar f(t)=tsur ]0;π[, impaire et 2π-périodique et f(kπ)=0
pour tout k∈Z
1. Représenter la courbe de fsur [−4π; 4π]
2. Calculer les coefficients de Fourier.
3. Effectuer le développement en série de Fourier de f.
4. Exprimer S5(x)
5. Calculer les sommes :
+∞
X
p=0
(−1)p
2p+1.
Exercice 5 Soit fla fonction définie sur Rpar f(x)=1−sin(x)sur [0,
π
2], paire et π-périodique.
1. Représenter la courbe de fsur [−2π; 2π]
2. Calculer les coefficients de Fourier.
3. Effectuer le développement en série de Fourier de f.
Exercice 6 Soit fla fonction définie sur Rpar f(x)=2x−1sur [0,1] paire et 2-périodique.
1. Représenter la courbe de fsur [−4; 4]
2. Calculer les coefficients de Fourier.
3. Effectuer le développement en série de Fourier de f.
Exercice 7
Soit fdéfinie sur Rpar f(t)=π−tsur [0;π], de plus fest paire et 2π-périodique.
1. Dessiner fsur [−4π;4π]
2. Calculer les coefficients de Fourier.
3. Écrire la série.
Exercice 8
Soit f:R→R,2π−périodique, impaire, telle que : ∀t∈[0; π]f(t)=t(π−t).
1. Tracer la courbe représentative de fet étudier la continuité de f, puis calculer les coefficients
de Fourier.
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2. Étudier les convergences de la série de Fourier de fet préciser sa somme.
3. En déduire les sommes de séries suivantes :
+∞
X
p=0
(−1)p
(2p+1)3,
+∞
X
p=0
1
(2p+1)6,
+∞
X
n=1
1
n6.
Exercice 9
Soit f:R→R,2π−périodique, paire, telle que, pour tout t∈[0; π]:
f(t)=1 si 0 ≤t<
π
2,f(t)=0 si t=
π
2f(t)= −1 si
π
2<t≤π.
1. Tracer la courbe représentative de fet étudier la continuité de f, puis calculer les coefficients
de Fourier.
2. Étudier les convergences de la série de Fourier de fet préciser sa somme.
3. En déduire les sommes de séries suivantes :
+∞
X
p=0
(−1)p
2p+1,
+∞
X
p=0
1
(2p+1)2,
+∞
X
n=1
1
n2.
Exercice 10
Soit f:R→R,2π−périodique, impaire, telle que :
f(t)=tsi 0 ≤t<
π
2,f(t)=π−tsi
π
2≤t≤π.
1. Tracer la courbe représentative de fet étudier la continuité de f, puis calculer les coefficients
de Fourier.
2. Étudier les convergences de la série de Fourier de fet préciser sa somme.
3. En déduire les sommes de séries suivantes :
+∞
X
p=0
1
(2p+1)2,
+∞
X
n=1
1
n2,
+∞
X
p=0
1
(2p+1)4,
+∞
X
n=1
1
n4.
Exercice 11
Soit f:R→R,t7→ | sin t|.
1. Tracer la courbe représentative de fet étudier la continuité de f, puis calculer les coefficients
de Fourier.
2. Étudier les convergences de la série de Fourier de fet préciser sa somme.
3. En déduire les sommes de séries suivantes :
+∞
X
n=1
1
4n2−1,
+∞
X
n=1
(−1)n
4n2−1,
+∞
X
n=1
1
(4n2−1)2.
Exercice 12 Déterminer la série de Fourier de la fonction périodique de période 2πdéfinie par f(x)=x2
pour −π≤x≤π.En déduire la somme des séries X
n≥1
1
n2,X
n≥1
(−1)n+1
n2,X
n≥1
1
n4.
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