Correction du contrôle 1 Exercice 1 Déterminer {P ∈ C[X]|P(X + Y

Correction du contrˆole 1
Exercice 1
D´eterminer {P∈C[X]|P(X+Y) = P(X)P(Y)}.
Correction : Soit Pun polynˆome `a coefficients complexes tel que P(X+Y) = P(X)P(Y) ; en
rempla¸cant formellement Ypar Xon voit que Pv´erifie l’identit´e polynomiale P(2X) = P(X)2,
ce qui implique, en prenant le degr´e, que si dd´esigne le degr´e de Pon a d= 2d. Cela n’est
possible que si d= 0 ou d=−∞, c’est-`a-dire si Pest une constante. On a donc montr´e que le
polynˆome P´etait n´ecessairement constant ; r´eciproquement, soit P(X) = z, z ∈Cun polynˆome
constant. La condition de l’´enonc´e implique alors que z=z2, ce qui impose z= 0 ou z= 1. Fi-
nalement, l’ensemble recherch´e est {0,1}, o`u 0 (respectivement 1) d´esigne le polynˆome P(X)=0
(respectivement P(X) = 1).
Exercice 2
Soit P∈C[X]un polynˆome non nul tel que P(XY ) = P(X)P(Y).
1. Montrer que P(1) = 1.
2. Montrer que Pne peut avoir de racine non nulle. En d´eduire la forme de P.
Correction : 1. En ´evaluant l’identit´e polynomiale P(XY ) = P(X)P(Y) en Y= 1, on voit
qu’on a P(X) = P(X)P(1). L’anneau C[X] ´etant int`egre, on a donc P(1) = 1 car P(X) n’est
pas le polynˆome nul par hypoth`ese. On a bien prouv´e que P(1) = 1.
2. Soit αune racine non nulle de P. En ´evaluant l’identit´e polynomiale P(XY ) = P(X)P(Y)
en X=α,Y=k(k∈N), on voit que kα est alors ´egalement une racine de P. Comme αn’est
pas nul par hypoth`ese, le polynˆome Pposs`ederait alors une infinit´e de racines distinctes, ce qui
est impossible. Par cons´equent, le polynˆome Pne peut avoir de racine non nulle. On peut donc
´ecrire P(X) = aXkavec a∈Cet k∈N; r´eciproquement, ces polynˆomes conviennent lorsque
a= 0 ou 1. Finalement, P(X) = Xkavec k∈Nou P(X) = 0.
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