Correction du contrôle 1 Exercice 1 Déterminer {P ∈ C[X]|P(X + Y

Correction du contrôle 1
Exercice 1
Déterminer {P ∈ C[X]|P (X + Y ) = P (X)P (Y )}.
Correction : Soit P un polynôme à coefficients complexes tel que P (X + Y ) = P (X)P (Y ) ; en
remplaçant formellement Y par X on voit que P vérifie l’identité polynomiale P (2X) = P (X)2 ,
ce qui implique, en prenant le degré, que si d désigne le degré de P on a d = 2d. Cela n’est
possible que si d = 0 ou d = −∞, c’est-à-dire si P est une constante. On a donc montré que le
polynôme P était nécessairement constant ; réciproquement, soit P (X) = z, z ∈ C un polynôme
constant. La condition de l’énoncé implique alors que z = z 2 , ce qui impose z = 0 ou z = 1. Finalement, l’ensemble recherché est {0, 1}, où 0 (respectivement 1) désigne le polynôme P (X) = 0
(respectivement P (X) = 1).
Exercice 2
Soit P ∈ C[X] un polynôme non nul tel que P (XY ) = P (X)P (Y ).
1. Montrer que P (1) = 1.
2. Montrer que P ne peut avoir de racine non nulle. En déduire la forme de P .
Correction : 1. En évaluant l’identité polynomiale P (XY ) = P (X)P (Y ) en Y = 1, on voit
qu’on a P (X) = P (X)P (1). L’anneau C[X] étant intègre, on a donc P (1) = 1 car P (X) n’est
pas le polynôme nul par hypothèse. On a bien prouvé que P (1) = 1.
2. Soit α une racine non nulle de P . En évaluant l’identité polynomiale P (XY ) = P (X)P (Y )
en X = α, Y = k (k ∈ N), on voit que kα est alors également une racine de P . Comme α n’est
pas nul par hypothèse, le polynôme P possèderait alors une infinité de racines distinctes, ce qui
est impossible. Par conséquent, le polynôme P ne peut avoir de racine non nulle. On peut donc
écrire P (X) = aX k avec a ∈ C et k ∈ N ; réciproquement, ces polynômes conviennent lorsque
a = 0 ou 1. Finalement, P (X) = X k avec k ∈ N ou P (X) = 0.
1