Corrigé Bac S Maths 2016

Baccalauréat 2016 - S
Métropole
Série S Obli. et Spé.
20 juin 2016
Correction
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Remarque :dans la correction détaillée ici proposée, les questions des exercices sont presque intégralement réécrites pour
faciliter la lecture et la compréhension du lecteur. Il est cependant exclu de faire cela lors de l’examen, le temps est précieux ! Il
est par contre nécessaire de numéroter avec soin vos questions et de souligner ou encadrer vos résultats. Pour plus de précisions
et d’astuces, consultez la page dédiée de math93.com : présenter une copie, trucs et astuces.
Exercice 1. Probabilités 6 points
Commun à tous les candidats
Partie A
La chaîne A produit 40%des composants et la chaîne B produit le reste. Une partie des composants fabriqués présentent un défaut
qui les empêche de fonctionner à la vitesse prévue par le constructeur. En sortie de chaîne A, 20%des composants présentent ce
défaut alors qu’en sortie de chaîne B, ils ne sont que 5%. On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine. On note :
Al’événement « le composant provient de la chaîne A » ; Bl’événement « le composant provient de la chaîne B » ; Sl’événement
« le composant est sans défaut ».
1. Montrer que la probabilité de l’évènement Sest P(S) = 0,89.
On va résumer les données dans un arbre :
•«La chaîne A produit 40%des composants et la chaîne B produit le reste » donc :
P(A) = 0,40 et P(B) = 0,6
•«En sortie de chaîne A, 20%des composants présentent ce défaut alors qu’en sortie de chaîne B, ils ne sont que 5%»
donc :
PAS= 0,20 et PBS= 0,05 =⇒PA(S) = 0,80 et PB(S) = 0,95
A
S
S
B
S
S
P(A) = 0,4
PA(S) = 0,8
PAS= 0,2
P(B) = 0,6
PB(S) = 0,95
PBS= 0,05
On cherche P(S)or d’après la formule des probabilités totales :
P(S) = P(S∩A) + P(S∩B)
P(S) = P(A)×PA(S) + P(B)×PB(S)
P(S) = 0,4×0,8 + 0,6×0,95
P(S) = 0,32 + 0,57
Soit
p(S) = 0,89

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Obli. et Spé. - 20 juin 2016
2. Sachant que le composant ne présente pas de défaut, déterminer la probabilité qu’il provienne de la chaîne A. On
donnera le résultat à 10−2près.
On cherche donc la probabilité PS(A)soit :
PS(A) = P(A∩S)
P(S)=P(A)×pA(S) P(S)=0,4×0,8 0,89 ≈0,36
Partie B
Afin d’estimer cette proportion, on prélève au hasard un échantillon de 400 composants parmi ceux fabriqués par la chaîne A.
Dans cet échantillon, la fréquence observée de composants sans défaut est de 0,92.
1. Déterminer un intervalle de confiance de la proportion p au niveau de confiance de 95 %.
« Sur un échantillon de n= 400 composants. Il est constaté que f= 92% = 0,92 sont sans défaut.
Soit fla fréquence observée d’un caractère dans un échantillon de taille nextrait d’une population dans laquelle la
proportion de ce caractère est p.
Si les conditions suivantes sont remplies : 
✓n≥30
✓nf ≥5
✓n(1 −f)≥5
Alors un intervalle de confiance au seuil de confiance de 95% de la proportion pest :
In=f−1
√n;f+1 √n
Théorème 1 (Intervalle de confiance)
On a pour le cas étudié, n= 400,f= 0,92. Vérifions les conditions d’application du théorème :
✓n= 400 ≥30
✓nf = 400 ×368
400 = 368 ≥5
✓n(1 −f) = 400 ×32
400 = 32 ≥5
Un intervalle de confiance au seuil de confiance de 95% est alors :
In=f−1
√n;f+1 √n=368
400 −1
√400 ;368
400 +1
√400
Soit puisque les borne sont :
368
400 −1
√400 ≈0,87 . On arrondit la borne inférieure par défaut à 10−3près soit 0,87.
368
400 +1
√400 ≈0,97 . On arrondit la borne supérieure par excès à 10−3près soit 0,97.
I400 ≈0,87 ; 0,97
2. Quelle devrait être la taille minimum de l’échantillon pour qu’un tel intervalle ait une amplitude max. de 0,02 ?
Un intervalle de confiance est de la forme f−1
√n;f+1 √ndonc son amplitude est A=2 √n. On cherche alors npour que
A≤0,02 soit :
A≤0,02 ⇐⇒ 2
√n≤0,02
On compose alors par la fonction inverse, strictement décroissante sur R∗
+puis par la fonction carrée strictement croissante sur
R∗
+soit :
2
√n≤0,02 ⇐⇒ √n
2≥1 0,02 ⇐⇒ n≥22 0,02 = 10 000
La taille minimum de l’échantillon pour qu’un tel intervalle ait une amplitude max. de 0,02 est donc de 10 000.
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Obli. et Spé. - 20 juin 2016
Partie C
La durée de vie, en années, d’un composant électronique fabriqué dans cette usine est une variable aléatoire T qui suit la loi
exponentielle de paramètre λ(où λest un nombre réel strictement positif). On note fla fonction densité associée à la variable
aléatoire T.
1. La courbe représentative Cde la fonction fest donnée ci-dessous.
1. a. Interpréter graphiquement P(T≤a)où a > 0.
On a pour tout aréel strictement positif :
P(T6a) = Za
0
f(x)dx
Donc pour tout aréel strictement positif, P((T≤a)correspond donc à l’aire comprise entre la courbe C, l’axe des abscisses
et les droites d’équations x= 0 et x=a.
1. b. Montrer que pour tout nombre réel t≥0:P(T≤t) = 1 −e−λt.
Pour tout tréel positif,
P(T≤t) = Zt
0
f(x)dx
=Zt
0
λe−λxdx
Or une primitive de x7−→ e−λx est x7−→ 1
−λ×e−λx donc :
P(T≤t) = λ×1
−λ×e−λx t
0
P(T≤t) = −e−λx t
0
P(T≤t) = −e−λ×t+e−λ×0
Pour tout tstrictement positif,
P(T≤t) = 1 −e−λt
1. c. En déduire que lim
t→+∞
P(T≤t) = 1.
Puisque λest un réel strictement positif :
lim
t→+∞−λt =−∞
lim
X→−∞ eX= 0 =⇒
Par composition lim
t→+∞e−λt = 0
Et de ce fait :
lim
t→+∞1−e−λt = lim t→+∞P(T≤t) = 1
2. On suppose que P(T≤7) = 0,5. Déterminer λà10−3près.
On a montré lors de la question (C.1.b) que pour tout tréel positif,
P(T≤t) = 1 −e−λt
De ce fait :
P(T≤7) = 0,5⇐⇒ 1−e−7λ= 0,5
⇐⇒ e−7λ= 0,5
On compose alors par la fonction ln définie sur R∗
+:
P(T≤7) = 0,5⇐⇒ −7λ= ln 0,5 = −ln 2
⇐⇒ λ=ln 2
7
λ=ln 2
7≈0,099
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3. Dans cette question on prend λ= 0,099 et on arrondit les résultats des probabilités au centième.
3. a. On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine. Déterminer la probabilité que ce composant fonc-
tionne au moins 5 ans.
On a d’après la question (C.1.b) avec λ= 0,099 :
P(T≤t) = 1 −e−0,099t⇐⇒ P(T > t) = e−0,099t
On cherche à calculer P(T≥5), donc arrondi au centième on obtient :
P(T≥5) = e−0,099×5≈0,61
3. b. On choisit au hasard un composant parmi ceux qui fonctionnent encore au bout de 2 ans. Déterminer la probabilité
que ce composant ait une durée de vie supérieure à 7 ans.
Si Xest une variable aléatoire suivant une loi exponentielle, alors pour tous réels positifs tet h:
PX>t(X>t+h) = P(X>h)
Cette propriété traduit le fait que la loi exponentielle est « sans mémoire ».
Propriété 1 (Durée de vie sans vieillissement)
La probabilité que ce composant ait une durée de vie supérieure à 7 ans sachant qu’il fonctionne encore au bout de 2 ans est
PT≥2(T≥7). On applique alors la propriété 1 qui traduit le fait que la loi exponentielle est « sans mémoire » :
PT≥2(T≥7) = PT≥2(T≥5 + 2) = P(T≥5)
Et donc en appliquant le résultat de la question (C.3.a) on a arrondi au centième :
PT≥2(T≥7) = P(T≥5) ≈0,61
3. c. Donner l’espérance mathématique E(T)de la variable aléatoire Tà l’unité près. Interpréter ce résultat.
L’espérance mathématique E(T)de la variable aléatoire Tqui suit une loi exponentielle de paramètre λest :
E(T) = 1
λ=1 0,099 ≈10
Cela signifie que la durée de vie moyenne d’un tel composant électronique est de 10 ans.
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Exercice 2. Géométrie dans l’espace 4 points
Commun à tous les candidats
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé O,−→ ı , −→  , −→ kon donne les points :
A(1 ; 2 ; 3) ; B(3 ; 0 ; 1) ; C(−1 ; 0 ; 1) ; D(2 ; 1 ; −1) ; E(−1 ; −2 ; 3) et F(−2 ; −3 ; 4)
Les trois points A, B et C sont alignés.
Affirmation 1 (Fausse)
Preuve
Dans le repère O,−→ ı , −→  , −→ kon a :
A(1 ; 2 ; 3)
B(3 ; 0 ; 1)
C(−1 ; 0 ; 1)
=⇒−−→ AB 
2
−2
−2
et −−→
AC 
−2
−2
−2
Les deux vecteurs −−→ AB et −−→ AC ne sont pas colinéaires puisque
−2
26=−2 2
De ce fait les points A, B et C ne sont pas alignés. L’affirmation 1 est fausse.
Le vecteur −→
n(0 ; 1 ; −1) est un vecteur normal au plan (ABC).
Affirmation 2 (Vraie)
Preuve
Dans le repère O,−→ ı , −→  , −→ kon a :
−→
n
0
1
−1
·−−→
AB 
2
−2
−2
= 0 −2 + 2 = 0 =⇒−→
n⊥−−→ AB
−→
n
0
1
−1
·−−→
AC 
−2
−2
−2
= 0 −2 + 2 = 0 =⇒−→
n⊥−−→ AC
Le vecteur −→ n(0 ; 1 ; −1) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC), c’est donc un vecteur normal au plan
(ABC).L’affirmation 2 est vraie.
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