Chapitre. Opérations sur les nombres en écriture

Chapitre. Opérations sur les nombres en écriture fractionnaire.
I.Sommes et différences de nombres en écriture fractionnaire (pas dans le socle)
propriété admise: Pour calculer la somme ou la différence de deux nombres en écriture fractionnaire,
ceux-ci doivent avoir le même dénominateur.
Lors du calcul, on conserve les dénominateurs.
a
c + b c = a + b c c est non nul. on additionne les numérateurs.
a
c
−
− −
−
b
c = a
−
−−
− b
c c est non nul. on soustrait les numérateurs.
exemple 1: 3
11 + 2 11 = 5 11
Démonstration: on note x le quotient de a par c , et y le quotient de b par c.
On a: cx = a et cy = b
donc cx + cy = a + b
donc c ( x + y ) = a + b
donc x + y = a + b
c
donc a
c+ b c = a + b c
La démonstration est identique pour la soustraction.
Technique: Pour calculer la somme ou la différence de plusieurs nombres en écriture fractionnaire, il faut
REDUIRE les différentes écritures au même dénominateur.
A = 5
12 + 7 8
24 est un multiple commun à 12 et 8. On peut donc choisir
24 comme dénominateur commun
A = 10
24 + 21 24
A = 31
24
B = 7
3 − 5 12
B = 7 × 4
3 × 4 − 5 12
B = 28
12 − 5 12
B = 23
12
II. Produit de nombres en écriture fractionnaire.
théorème: a × 1
b = a b.
Cette relation est à connaître dans les capacités du programme,
mais n'est pas dans les exigibles du socle.
Démonstration: on note q le quotient de 1 par b.
b × q = 1
a × b × q = a × 1
a × q × b = a
( a × q ) × b = a
a × q = a
b
Donc a × 1
b = a b
Corollaire: a ×
××
× b
c = a
×
××
× b
c
= a
c
×
××
× b
Démonstration: a × b
c = a × ( b × 1 c )
a × b
c = ( a × b ) × 1 c
a × b
c = a × b c
Illustration:
6 × 5
2 = 6 × 2,5
6 × 5
2 = 15
6 × 5
2 = 30 2
6 × 5
2 =15
6
2 × 5 = 3 × 5
6
2 × 5 = 15

On a donc bien: 6 × 5
2 = 6 × 5 2 = 6 2 × 5
Propriété admise: pour calculer le produit de nombres en écriture fractionnaire, on multiplie les
dénominateurs entre eux et les numérateurs entre eux.
a
b
× c
d = a c b d b et d sont différents de 0.
seule la multiplication des nombres positifs en écriture fractionnaire est un exigible du socle.
Démonstration
On note x le quotient de a par b et y le quotient de c par d.
On a donc b x = a et dy = c
Donc b x × d y = a c
donc x y × b d = a c
donc x y = a c
b d donc a b × c d = a c b d
Exemple:
3
4 × 5 11 = 3 × 5
4 × 11 3
4 × 5 11 = 15 44
III. Inverse hors socle
Définition: on appelle inverse du nombre x (x différent de 0) le nombre y tel que: x y = 1.
Autre formulation: 2 nombres sont inverses l'un de l'autre lorsque leur produit est égal à 1.
exemple 1: 0,5 est l'inverse de 2.
Propriété : Si a et b sont non nuls, l'inverse de a
b est b a .
exemple 2: l'inverse de 5
3 est 3 5 .
Démonstration: On note x = a
b . On sait que pour calculer le produit de deux nombres en écriture fractionnaire, on
multiplie les dénominateurs entre eux et les numérateurs entre eux.
a
b
× b
a = ab ba = 1 Remarque: l'inverse d'un nombre B est donc 1 B
IV. Division par un quotient hors socle
Théorème: diviser par un nombre, c'est multiplier par son inverse.
Démonstration: A × 1
B = A × 1 B Exemple: 9 × 2 3 = 18 3 = 6 9 2
3 = 9
1,5 = 6
= A
B Diviser par B, c'est bien multiplier par 1 B .
a
b
: c
d = a b
×
××
× d
c b, c et d sont différents de 0.
Démonstration: L'inverse de c
d est d c . Avec la règle précédente, on a la solution.
Théorème:
Le quotient de deux nombres de même signe est un nombre positif. C'est-à-dire:
Le quotient de deux nombres positifs est un nombre positif;
Le quotient de deux nombres négatifs est un nombre positif
Le quotient de deux nombres relatifs de signes contraire est un nombre négatif.
Dans tous les cas, la distance à zéro du quotient est le quotient des distances à zéro,