Exercices de maths niveau MPSI.

Exercices de maths niveau MPSI.
Jonathan VACHER.
25 juin 2013
1 Analyse.
1.1 Nombres réels et suites.
Exercice 1 Soit f: [0,1] →[0,1] croissante. En considérant {x∈[0,1]|∀t∈[0, x]f(t)> t}
montrer que fadmet un point fixe.
Exercice 2 Montrer que ∀x∈R∗
+, x −x2
2≤ln(1 +x)≤x. En déduire les limites des suites
un=Qn
k=1(1 −k
n2)et vn=Qn
k=1(1 + k
n2).
Exercice 3 Soit (x, y)∈R2, montrer que :
1. |x|+|y| ≤ |x+y|+|x−y|
2. 1 + |xy −1| ≤ (1 + |x−1|)(1 + |y−1|)
Exercice 4 Soient an=n
P
k=0
1
k!et bn=n
P
k=0
1
k!+1 n.n!=an+1 n.n!
a) Montrer que (an)et (bn)sont strictement monotones et adjacentes.
On admet que leur limite commune est e. On désire montrer que e /∈Qet pour cela on raisonne
par l’absurde en supposant e =p
qavec p∈Z, q ∈N?.
b) Montrer que aq<e< bqpuis obtenir une absurdité.
Exercice 5 Soit (Hn)la suite définie pour n∈N?par
Hn=
n
X
k=1
1
k
a) Montrer que Hn→+∞.
b) Soit (un)une suite telle que n(un+1 −un)→1. Montrer que un→+∞.
Exercice 6 Soit (un)une suite de réels décroissante et de limite nulle.
Pour tout n∈N, on pose Sn=n
P
k=0
(−1)kuk.
Montrer que les suites extraites (S2n)et (S2n+1)sont adjacentes et en déduire que (Sn)converge.
Exercice 7 Soit (un)une suite décroissante de réels telle que un+un+1 ∼1
n.
a) Montrer que (un)converge vers 0+.
b) Donner un équivalent simple de (un).
Exercice 8 Étudier la suite (un)définie par u0>1et ∀n∈N, un+1 = 1 + ln un.
Exercice 9 Étudier la suite (un)définie par u0∈Ret ∀n∈N, un+1 =eun−1.
1

Exercice 10 Soit a > 0et (un)la suite définie par u0>0et
∀n∈N, un+1 =1
2un+a un
Étudier la convergence de la suite (un). On pose vn=un−√a
un+√a, en calculant vn+1 majorer |un−√a|
lorsque u0>√a.
1.2 Limites et continuité.
Exercice 1 Soit f: [0,1] →[0,1], continue et telle que f(0) = f(1). Montrer que ∀n∈
N∗,∃xn∈h0,1−1
nitel que f(xn) = f(xn+1 n). Commencer par n= 2,3, . . . .
Exercice 2 Montrer que f:x7−→ (1si x∈Q
0sinon est discontinue en tout point de R.
Exercice 3 Soit fdéfinie sur R∗
+telle que f(x)
xtend vers l∈Ren +∞. Montrer que la
suite 1
nPn
k=1
f(ka)
kconverge et préciser sa limite.
Exercice 4 Soit f:R→Rcontinue. Pour L∈R+, on pose g(x) = f(x+L)−f(x)et on
suppose que gtend vers len +∞. Montrer que f(x)
x−→
x→+∞
l
L.
1.3 Dérivation
Exercice 1 Soit f∈ C2([a, b],R)telle que f(a) = f(b) = 0, montrer que |f(a)−f(b)| ≤
(b−a)2
4||f00||∞.
Exercice 2 Soit fcontinue sur R+et dérivable sur R∗
+, nulle en 0telle que f0est croissante
sur R∗
+.Montrer que la fonction x7→ f(x)
xest croissante.
Exercice 3 Soit fdérivable sur [0,1] telle que f(0) = 0 et f(1) = 1 et soit n∈N∗. Montrer
qu’il existe 0< x1<··· < xn<1telles que Pn
k=1 f0(xk) = n.
Exercice 4 Soit f∈ C2([0,1],R)telle que f(0) = 0, on définit un=Pn
k=1 f(k
n2). Montrer
que uconverge et déterminer sa limite.
Exercice 5 Soit f∈ C2(R,R)telle que ∀(x, y)∈R2, f(x+y)f(x−y)≤f(x)2.Montrer
que ∀x∈R, f(x)f00(x)≤(f0(x))2.
1.4 Intégration
Exercice 1 Soit f∈ C1([a, b]),Rb
asin(λt)f(t)dt −→ 0lorsque λ−→ 0.
Exercice 2 Pour n∈N,on pose In=Rπ/2
0sin(t)ndt. Trouver un relation de recurrence
entre Inet In−2. Calculer In.
Exercice 3 Soit f∈ C1([0,1]) telle que ∀x∈[0,1], f(x)2+f0(x)2≤1 + x2.Montrer que
f(1)2−f(0)2≤4
3.
Exercice 4 Soit f∈ C([a, b]) telle que ∀k∈ {0, . . . , n},Rb
atkf(t)dt = 0. Montrer que f
s’annule au moins n+ 1 fois.
Exercice 5 En utilisant R1
01
1+xdx, montrer que Pn
k=1
(−1)k−1
kconverge et calculer sa limite.

Exercice 6 Soit f∈ C([a, b]). On note f=1
b−aRb
af(t)dt. Montrer qu’il existe c∈[a, b]tel
que f(c) = f. Montrer ensuite qu’il existe C∈Rtel que pour tout f∈ C([a, b]),||f−f||2≤
C||f0||2avec ||f||2=Rb
af(t)2dt1
2.
Exercice 7 Étudier la suite 1
n
2n
X
k=n
ke
i(k+1)π
2n.
Exercice 8 Effectuer un changement de variable qui permute les bornes de
I=Zπ
4
0
ln(1 + tan(x))dx
. En déduire I.
1.5 Nombres complexes.
Exercice 1 Soit z∈U\{1}. Montrer que z+1
z−1∈iR.
Exercice 2 Soit ωune racine n-ème de l’unité différente de 1. On pose
S=
n−1
X
k=0
(k+ 1) ωk.
En calculant (1 −ω)S, déterminer la valeur de S.
Exercice 3 Calculer le produit des racines de l’unité.
Exercice 4 Soit n∈N?. On note Unl’ensemble des racines nème de l’unité. Calculer
X
z∈Un|z−1|.
Exercice 5 Soit n∈N?. Résoudre l’équation
(z+ 1)n= (z−1)n.
Combien y a-t-il de solutions ?
1.6 Fonctions usuelles et trigonométriques.
Exercice 1 Résoudre l’équation tan(2 arctan(x)) = ade paramètre a∈R.
Exercice 2 Calculer lim
x→0+
arccos(1−x)
√(x). On utilisera un changement de variable judicieux.
Que dire du comportement en 0+de argch(1 + x)?
Exercice 3 On pose Sn=Pn
i=0 2ith(2ix). Montrer que ∀x∈R∗,th(x) = 2
th(2x)−1 th(x). En
déduire les limites de Sn
2net Sn−2n+1 lorsque n−→ ∞ selon les valeurs de x.
Exercice 4 Calculer lim
x→0
ln(1+x)
x. En déduire lim
n→+∞(1 + x
n)n.
Exercice 5 Soit f: [0,+∞[→[0,+∞[continue vérifiant
f◦f=Id
Déterminer f.

Exercice 6 Montrer que
∀x∈]0,1[ , xx(1 −x)1−x>1
2
Exercice 7 Soient f:I→Ret g:I→Rdeux fonctions continues telles que
∀x∈I, |f(x)|=|g(x)| 6= 0
Montrer que f=gou f=−g.
Exercice 8 Soit f:R→Rdéfinie par
f(x) = x
1 + |x|
a) Montrer que fréalise une bijection de Rvers ]−1,1[.
b) Déterminer, pour y∈]−1,1[ une expression de f−1(y)analogue à celle de f(x).
Exercice 9 Pour n∈Net x∈R, simplifier Pn(x) = n
Q
k=1
ch x
2ken calculant Pn(x)sh x
2n.
Exercice 10 lim
x→+∞x
ln xln x
x
Exercice 11 Pour n∈Net x∈R+?, observer th((n+ 1)x)−th(nx) = shx
ch(nx)ch((n+1)x).
Calculer Sn(x) = n
P
k=0
1
ch(kx)ch((k+1)x).
1.7 Fractions rationnelles.
Exercice 1 Montrer que X+1
X3(X−1)2=5
X+3
X2+1 X3−5
X−1+2
(X−1)2.
Exercice 2 Montrer que 2X−5
(X−2)(X2+X+1) =1
7(X−2) +1
7X+17 7
X2+X+1 .
Exercice 3 Montrer que X8−X4+2
(X2+X+1)3=X2−3X+ 3 + 2X−8 (X2+X+1) +4X+6 (X2+X+1)2+−2X+1 (X2+X+1)3.
1.8 Équations différentielles.
Exercice 1 Déterminer les fonctions f:R∗
+−→ Rdérivables sur R∗ +et telles que
∀(x, y)∈R2:f(xy) = f(x) + f(y).
Exercice 2 Déterminer les fonctions f:R−→ R∗dérivables sur Ret telles que
∀(x, y)∈R2:f(x+y) = f(x)f(y).
Que dire si fest seulement continue ?
Exercice 3 Déterminer les fonctions f:R−→ R∗dérivables sur Ret telles que
∀(x, y)∈R2:f(xy) = f(x)f(y).
Exercice 4 Déterminer les fonctions f:R−→ Rdérivables deux fois sur Ret telles que
∀(x, y)∈R2:f(x+y) + f(x−y)=2f(x)f(y).

Exercice 5 Déterminer les fonctions f:R∗
+−→ Rdérivables deux fois sur R∗ +et telles
que
∀x∈R∗
+:f0(x) = f(1
x).
Exercice 6 Déterminer les fonctions f:R−→ R∗dérivables deux fois sur Ret telles que
∀x∈R:f0(1 −x) = f(x+ 1).
Exercice 7 Résoudre ty0−y=t2.
Exercice 8 Résoudre ty0−2y=t2.
Exercice 9 Résoudre y0+sin(t)y=sin(2t).
Exercice 10 Résoudre y00 −2y0+ 2y= sin(t)et, y(π
2)=0, y0(π 2)=0.
Exercice 11 Résoudre y00 −3y0+ 2y=tet, y(1) = 0, y0(1) = 0.
Exercice 12 Résoudre y00 −1R+(t)y= 0.
Exercice 13 Soit µ∈R. Y a-t-il existence, unicité d’une solution au problème suivant :
(y00 +µy = 0
y(0) = 0, y(1) = 0
Exercice 14 Soit µ > 0. On s’intéresse au problème de Cauchy suivant :
(C)(y00 +µy =h(t)
y(0) = y0, y0(0) = y0
0
Montrer que gest solution de (C)ssi z=g+i
õg0est solution de :
(C0)(y0+iõy =i
õh(t)
y(0) = y0+i
õy0
0
Exprimer z(t)puis g(t).
1.9 Courbes paramétrées.
Exercice 1 Étudier (x(t) = t
1+t3
y(t) = t2
1+t3
.
Exercice 2 Étudier 
x(t) = sin(t)
1+cos(t)2
y(t) = sin(t)cos(t)
1+cos(t)2
.
Exercice 3 Étudier (x(t) = t−sin(t)
y(t)=1−cos(t).
Exercice 4 Étudier (x(t) = sin(t)
y(t) = cos(t)2
2−cos(t)
.
Exercice 5 Étudier ρ(θ) = ln(1+θ)
(1+θ)2.