EQUATIONS ET INEQUATIONS A DEUX INCONNUES

Chapitre 7
EQUATIONS ET INEQUATIONS
A DEUX INCONNUES
7.1 Equation lin´eaire `a deux inconnues
L’´equation de la forme ax +by +c= 0 , avec a, b, c ∈IR est une ´equation lin´eaire `a deux inconnues.
L’ensemble des solutions d’une telle ´equation `a deux inconnues r´eelles est une partie de IR ×IR, c’est-
`a-dire un ensemble de couples de nombres r´eels. Le graphique de cet ensemble est donc une partie du
plan cart´esien.
7.1.1 Rechercher des solutions d’une ´equation lin´eaire `a deux inconnues
Exemple 7.1
Soit `a r´esoudre l’´equation lin´eaire 2x−3y+ 6 = 0.
•Donnons `a xune valeur quelconque : 5.
On obtient alors y= 163.
Le couple de r´eels (5; 163) est une solution de l’´equation
•Donnons `a yune valeur quelconque : −2.
On obtient alors x=−6.
Le couple (−6; −2) est une solution de l’´equation.
•Il apparaˆıt ainsi que l’ensemble des solutions de cette ´equation est infini.
7.1.2 Graphique cart´esien d’une ´equation lin´eaire `a deux inconnues
Dans l’exemple ci-dessus, nous avons d´etermin´e l’ensemble Sdes solutions d’une ´equation du type
ax +by +c= 0 Selon les valeurs r´eelles donn´ees aux coefficients a, b, c diff´erents cas peuvent se
pr´esenter.
Premier cas: les coefficients aet bne sont pas nuls simultan´ement.
1. a6= 0, b 6= 0, c 6= 0
ax +by +c= 0 ⇐⇒ y=−a
bx−c b
L’ann´ee pass´ee nous avons vu que la repr´esentation graphique d’une telle ´equation ´etait une
droite d:
• − a
b´etant le coefficient de direction,
• − c
b´etant l’ordonn´ee `a l’origine.
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Pour d´eterminer cette droite, il suffit d’en connaˆıtre deux points.
On dit que la droite da pour ´equation ax +by +c= 0 et on ´ecrit : d≡ax +by +c= 0
Exemple 7.2
Soit l’´equation 2x−3y+ 6 = 0.
Celle-ci est ´equivalente `a y=2
3x+ 2 dont la repr´esentation graphique est la droite dde
coefficient de direction 2
3, qui passe par les points (0; 2) et (−3; 0).
2. a6= 0, b 6= 0, c = 0
ax +by + 0 = 0 ⇐⇒ y=−a
bx
Nous reconnaissons l’´equation cart´esienne d’une droite qui passe par l’origine (0,0)
Pour d´eterminer cette droite, il suffit d’en connaˆıtre un deuxi`eme point.
On ´ecrit d≡ax +by = 0
Exemple 7.3
Soit l’´equation 2x−3y= 0.
Celle-ci est ´equivalente `a y=2
3xdont la repr´esentation graphique est une droite de coefficient
de direction 2
3, qui passe par les points (0; 0) et (1; 23).
3. a= 0, b 6= 0, c 6= 0
0x+by +c= 0
Celle-ci est ´equivalente `a y=−c
bdont la repr´esentation graphique est une droite parall`ele `a
l’axe Ox qui passe par (0; c
b)

CHAPITRE 7. EQUATIONS ET INEQUATIONS A DEUX INCONNUES 83
Exemple 7.4
Soit l’´equation 0x−3y+ 6 = 0.
Celle-ci est ´equivalente `a y= 2 dont le graphique cart´esien est la droite dparall`ele `a l’axe
Ox qui comprend le point (0; 2).
Cas particulier
a= 0, b 6= 0, c = 0
0.x +by + 0 = 0 ⇐⇒ y= 0
Le graphique est l’axe Ox.
4. a6= 0, b = 0, c 6= 0
ax + 0y+c= 0
Celle-ci est ´equivalente `a x=−c
adont lee graphique est l’ensemble des points dont l’abscisse
est −c
a, c’est-`a-dire la droite parall`ele `a l’axe Oy , qui passe par le point (−c a; 0).
ATTENTION : la droite obtenue n’est pas le graphique d’une fonction.
Exemple 7.5
Soit l’´equation 2x−0y+ 6 = 0.
Celle-ci est ´equivalente `a x=−3. On obtient l’ensemble des couples qui ont pour origine
−3. Ces couples sont les coordonn´ees des points d’une droite parall`ele `a l’axe Oy qui com-
prennent le point (−3; 0).
Cas particulier:
a6= 0, b = 0, c = 0
ax + 0.y + 0 = 0 ⇐⇒ x= 0
Le graphique est l’axe Oy .
Deuxi`eme cas: a= 0 et b= 0
1. c6= 0
0x+ 0y+c= 0
Aucun couple de r´eels n’est solution de l’´equation : S= Φ.
Le graphique est l’ensemble vide.

CHAPITRE 7. EQUATIONS ET INEQUATIONS A DEUX INCONNUES 84
Exemple 7.6
0x+ 0y+ 6 = 0
L’´equation se ram`ene `a “6 = 0” qui est une ´egalit´e toujours fausse. Il n’y a donc aucun
couple de r´eels qui est solution de cette ´equation.
2. c= 0
L’´equation devient 0x+ 0y+ 0 = 0.
Tout couple de r´eels est solution de l’´equation : S= IR ×IR.
Le graphique est le plan .
Exemple 7.7
0x+ 0y+ 0 = 0
L’´equation se ram`ene `a “0 = 0” qui est une ´egalit´e toujours vraie. Tout couple de r´eels est
solution de cette ´equation.
Conclusion 7.8
L’´equation ax +by +c= 0 (a, b, c ∈IR) a une infinit´e de solutions qui sont des couples de r´eels et son
graphique est une droite si aet bne sont pas simultan´ement nuls.
Exercice 7.9
Dans chaque cas, repr´esente graphiquement l’ensemble de solutions des ´equations suivantes .
a≡3(x−1) + 2(y+ 7) = 0
b≡x−2
3+y−5 8= 0
c≡2x−7
3−6−5y 8=2x−3y 12
d≡7(x−2) −3x−4y= 2y−3(2y+ 1)
Exercice 7.10
Repr´esenter graphiquement dans un rep`ere orthonorm´e les ensembles de solutions de
A≡x.y = 0 B≡x2−9y2= 0 C≡(x−2y+ 3)(−2x+ 3y−6) = 0
Dans ce qui pr´ec`ede, on a vu que toute ´equation lin´eaire ax +by +c= 0 avec a6= 0 ou b6= 0 a pour
graphique une droite. En g´eom´etrie, on a vu que toute droite du plan cart´esien est d´efinie par une
´equation lin´eaire de la forme ax +by +c= 0 avec a6= 0 ou b6= 0.
Conclusion 7.11
Le graphique cart´esien d’une ´equation est une droite
si et seulement si
cette ´equation est de la forme ax +by +c= 0 avec a6= 0 ou b6= 0
Remarque 7.12
On a1
ax +by +c= 0 ⇐⇒ (r.a)x+ (r.b)y+ (r.c) = 0 avec r∈IR
Donc
si d≡ax +by +c= 0 alors d≡(r.a)x+ (r.b)y+ (r.c) = 0
et une droite du plan peut ˆetre d´etermin´ee par une infinit´e d’´equations ´equivalentes.
Exercice 7.13
Voici une ´equation lin´eaire : 4x−5y+ 10 = 0.
•Donner deux autres ´equations ´equivalentes.
•Calculer le coefficient de direction des graphiques de chaque ´equation.
1En vertu des principes d’´equivalences des ´equations

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7.1.3 R´egions du plan d´etermin´ees par la droite d’´equation ax +by +c= 0
Exemple 7.14
Soit l’´equation 2x−3y+ 6 = 0. Cette ´equation a comme graphique une droite ddu plan cart´esien.
Cette droite d´etermine deux demi-plans ∆1et ∆2.
d
Oy
Ox
Exercice 7.15
D´eterminer la valeur que prend cette ´equation lorsque l’on remplace le couple d’inconnues (x, y)
respectivement par
En diff´erents points de d
(0; 2) I
(−3; 0) I
(3; 4) I
En diff´erents points de ∆1
(0; 3) I
(−3; 1) I
(−2; 3) I
En diff´erents points de ∆2
(0; 0) I
(−1; −2) I
(2; 1) I
Quelles constatations peut-on faire au sujet du signe des valeurs obtenues selon les demi-plans auxquels
le point (x;y) appartient?
Dans l’exercice ci-dessus,
•le demi-plan ∆1est d´etermin´e par l’in´equation 2x−3y+ 6 <0
•le demi-plan ∆2est d´etermin´e par l’in´equation 2x−3y+ 6 >0
7.1.4 R´esoudre graphiquement l’in´equation ax +by +c < 0
L’in´equation de la forme ax +by +c < 0 , avec a, b, c ∈IR est une in´equation du premier degr´e `a deux
inconnues.
Dans le cas o`u aet bne sont pas nuls simultan´ement, l’ensemble des solutions d’une telle in´equation `a
deux inconnues r´eelles est une partie de IR ×IR, c’est-`a-dire un ensemble de couples de nombres r´eels.
Le graphique de cet in´equation est une des parties du plan d´etermin´ees par la droite d≡ax+by +c= 0.
Exercice 7.16
Repr´esenter graphiquement les in´equations suivantes :
1. 5x+y−3>0
2. x
2−1<y 3+ 3
3. 2x−6≥0
4. 5x−7
3>4y−5 2
5. x.y > 0
6. (x−1)(y+ 3) ≤0