EQUATIONS ET INEQUATIONS A DEUX INCONNUES

Chapitre 7
EQUATIONS ET INEQUATIONS
A DEUX INCONNUES
7.1
Equation linéaire à deux inconnues
L’équation de la forme ax + by + c = 0 , avec a, b, c ∈ IR est une équation linéaire à deux inconnues.
L’ensemble des solutions d’une telle équation à deux inconnues réelles est une partie de IR × IR, c’està-dire un ensemble de couples de nombres réels. Le graphique de cet ensemble est donc une partie du
plan cartésien.
7.1.1
Rechercher des solutions d’une équation linéaire à deux inconnues
Exemple 7.1
Soit à résoudre l’équation linéaire 2x − 3y + 6 = 0.
• Donnons à x une valeur quelconque : 5 .
On obtient alors y = 163 .
Le couple de réels (5; 163) est une solution de l’équation
• Donnons à y une valeur quelconque : −2.
On obtient alors x = −6.
Le couple (−6; −2) est une solution de l’équation.
• Il apparaı̂t ainsi que l’ensemble des solutions de cette équation est infini.
7.1.2
Graphique cartésien d’une équation linéaire à deux inconnues
Dans l’exemple ci-dessus, nous avons déterminé l’ensemble S des solutions d’une équation du type
ax + by + c = 0 Selon les valeurs réelles données aux coefficients a, b, c différents cas peuvent se
présenter.
Premier cas: les coefficients a et b ne sont pas nuls simultanément.
1. a 6= 0, b 6= 0, c 6= 0
c
a
ax + by + c = 0 ⇐⇒ y = − x −
b
b
L’année passée nous avons vu que la représentation graphique d’une telle équation était une
droite d:
• − ab étant le coefficient de direction,
• − cb étant l’ordonnée à l’origine.
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Pour déterminer cette droite, il suffit d’en connaı̂tre deux points.
On dit que la droite d a pour équation ax + by + c = 0 et on écrit : d ≡ ax + by + c = 0
Exemple 7.2
Soit l’équation 2x − 3y + 6 = 0 .
Celle-ci est équivalente à y = 23 x + 2 dont la représentation graphique est la droite d de
coefficient de direction 32 , qui passe par les points (0; 2) et (−3; 0) .
2. a 6= 0, b 6= 0, c = 0
a
ax + by + 0 = 0 ⇐⇒ y = − x
b
Nous reconnaissons l’équation cartésienne d’une droite qui passe par l’origine (0, 0)
Pour déterminer cette droite, il suffit d’en connaı̂tre un deuxième point.
On écrit d ≡ ax + by = 0
Exemple 7.3
Soit l’équation 2x − 3y = 0 .
Celle-ci est équivalente à y = 23 x dont la représentation graphique est une droite de coefficient
de direction 32 , qui passe par les points (0; 0) et (1; 23) .
3. a = 0, b 6= 0, c 6= 0
0x + by + c = 0
Celle-ci est équivalente à y =
l’axe Ox qui passe par (0; cb )
− cb
dont la représentation graphique est une droite parallèle à
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Exemple 7.4
Soit l’équation 0x − 3y + 6 = 0 .
Celle-ci est équivalente à y = 2 dont le graphique cartésien est la droite d parallèle à l’axe
Ox qui comprend le point (0; 2) .
Cas particulier
a = 0, b 6= 0, c = 0
0.x + by + 0 = 0 ⇐⇒ y = 0
Le graphique est l’axe Ox .
4. a 6= 0, b = 0, c 6= 0
ax + 0y + c = 0
− ac
Celle-ci est équivalente à x =
dont lee graphique est l’ensemble des points dont l’abscisse
est − ac , c’est-à-dire la droite parallèle à l’axe Oy , qui passe par le point (− ac ; 0).
ATTENTION : la droite obtenue n’est pas le graphique d’une fonction.
Exemple 7.5
Soit l’équation 2x − 0y + 6 = 0 .
Celle-ci est équivalente à x = −3. On obtient l’ensemble des couples qui ont pour origine
−3. Ces couples sont les coordonnées des points d’une droite parallèle à l’axe Oy qui comprennent le point (−3; 0) .
Cas particulier:
a 6= 0, b = 0, c = 0
ax + 0.y + 0 = 0 ⇐⇒ x = 0
Le graphique est l’axe Oy .
Deuxième cas: a = 0 et b = 0
1. c 6= 0
0x + 0y + c = 0
Aucun couple de réels n’est solution de l’équation : S = Φ.
Le graphique est l’ensemble vide.
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Exemple 7.6
0x + 0y + 6 = 0
L’équation se ramène à “ 6 = 0” qui est une égalité toujours fausse. Il n’y a donc aucun
couple de réels qui est solution de cette équation.
2. c = 0
L’équation devient 0x + 0y + 0 = 0.
Tout couple de réels est solution de l’équation : S = IR × IR.
Le graphique est le plan .
Exemple 7.7
0x + 0y + 0 = 0
L’équation se ramène à “0 = 0” qui est une égalité toujours vraie. Tout couple de réels est
solution de cette équation.
Conclusion 7.8
L’équation ax + by + c = 0 (a, b, c ∈ IR) a une infinité de solutions qui sont des couples de réels et son
graphique est une droite si a et b ne sont pas simultanément nuls.
Exercice 7.9
Dans chaque cas, représente graphiquement l’ensemble de solutions des équations suivantes .
c ≡ 2x−7
− 6−5y
= 2x−3y
3
8
12
d ≡ 7(x − 2) − 3x − 4y = 2y − 3(2y + 1)
a ≡ 3(x − 1) + 2(y + 7) = 0
y−5
b ≡ x−2
3 + 8 =0
Exercice 7.10
Représenter graphiquement dans un repère orthonormé les ensembles de solutions de
A ≡ x.y = 0
B ≡ x2 − 9y 2 = 0
C ≡ (x − 2y + 3)(−2x + 3y − 6) = 0
Dans ce qui précède, on a vu que toute équation linéaire ax + by + c = 0 avec a 6= 0 ou b 6= 0 a pour
graphique une droite. En géométrie, on a vu que toute droite du plan cartésien est définie par une
équation linéaire de la forme ax + by + c = 0 avec a 6= 0 ou b 6= 0 .
Conclusion 7.11
Le graphique cartésien d’une équation est une droite
si et seulement si
cette équation est de la forme ax + by + c = 0 avec a 6= 0 ou b 6= 0
Remarque 7.12
On a1
ax + by + c = 0 ⇐⇒ (r.a)x + (r.b)y + (r.c) = 0
avec r ∈ IR
Donc
si d ≡ ax + by + c = 0
alors
d ≡ (r.a)x + (r.b)y + (r.c) = 0
et une droite du plan peut être déterminée par une infinité d’équations équivalentes.
Exercice 7.13
Voici une équation linéaire : 4x − 5y + 10 = 0 .
• Donner deux autres équations équivalentes.
• Calculer le coefficient de direction des graphiques de chaque équation.
1 En
vertu des principes d’équivalences des équations
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7.1.3
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Régions du plan déterminées par la droite d’équation ax + by + c = 0
Exemple 7.14
Soit l’équation 2x − 3y + 6 = 0 . Cette équation a comme graphique une droite d du plan cartésien.
Cette droite détermine deux demi-plans ∆1 et ∆2 .
Oy
d
Ox
Exercice 7.15
Déterminer la valeur que prend cette équation lorsque l’on remplace le couple d’inconnues (x, y)
respectivement par
En différents points de d
(0; 2) I
(−3; 0) I
(3; 4) I
En différents points de ∆1
(0; 3) I
(−3; 1) I
(−2; 3) I
En différents points de ∆2
(0; 0)
I
(−1; −2) I
(2; 1)
I
Quelles constatations peut-on faire au sujet du signe des valeurs obtenues selon les demi-plans auxquels
le point (x; y) appartient?
Dans l’exercice ci-dessus,
• le demi-plan ∆1 est déterminé par l’inéquation 2x − 3y + 6 < 0
• le demi-plan ∆2 est déterminé par l’inéquation 2x − 3y + 6 > 0
7.1.4
Résoudre graphiquement l’inéquation ax + by + c < 0
L’inéquation de la forme ax + by + c < 0 , avec a, b, c ∈ IR est une inéquation du premier degré à deux
inconnues.
Dans le cas où a et b ne sont pas nuls simultanément, l’ensemble des solutions d’une telle inéquation à
deux inconnues réelles est une partie de IR × IR, c’est-à-dire un ensemble de couples de nombres réels.
Le graphique de cet inéquation est une des parties du plan déterminées par la droite d ≡ ax+by +c = 0.
Exercice 7.16
Représenter graphiquement les inéquations suivantes :
1. 5x + y − 3 > 0
2.
x
2
−1<
y
3
+3
3. 2x − 6 ≥ 0
4.
5x−7
3
>
4y−5
2
5. x.y > 0
6. (x − 1)(y + 3) ≤ 0