Une topologie sur l`espace des semimartingales

SÉMINAIRE DE PROBABILITÉS (STRASBOURG)
MICHEL ÉMERY
Une topologie sur l’espace des semimartingales
Séminaire de probabilités (Strasbourg), tome 13 (1979), p. 260-280
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UNE
TOPOLOGIE SUR
L’ESPACE
DES
SEMIMARTINGALES
par
M.
EMERY
Université
de
Strasbourg
Séminaire
de
Probabilités
L’étude
de
la
stabilité
des
solutions
des
équations
différentielles
stochastiques
a
conduit Protter
à
énoncer dans
[~9]
un
résultat
de
continuité
des
solutions
par
rapport
à
la
convergence
des
semimartingales
au sens
local
dans
Hp. Mais
cette
convergence
ne
provient
pas
d’une
topologie,
et
cela alourdit
les
énoncés:
il
faut extraire
des
sous-suites.
Dans
cet
exposé,
nous
munirons
l’espace
des
semimartingales
d’une
topologie
métrisable
liée
aux
convergences
localement dans
Hp,
dont nous montrerons
qu’elle
est
complète,
et
qu’elle
est
conservée
par quelques-unes
des
opérations qui
agissent
sur les
semimartingales.
Nous réservons
pour
un
exposé
ultérieur
des résultats
(inspirés
de
ceux
de
Protter)
de
stabilité
des
solutions
des
équations
différentielles
stochastiques par
rapport à
cette
topologie.
ESPACES D ET
Sp;
CONVERGENCE COMPACTE
EN
PROBABILITE.
Tous
les
processus
seront
définis sur un même
espace
filtré
vérifiant
les
conditions habituelles
0~’
deux
processus
indistinguables
seront considérés comme
égaux.
On notera
T
l’ensemble
des
temps
d’arrêt,
D
l’ensemble
des
processus
càdlàg
adaptés,
SM celui
des
semimartingales.
DEFINITION.
Pour
X E D,
on
pose
’
rcp(X) =
2-n E[1
|Xt|] ,
et on appelle
dist ance
de
la
convergence
compacte
en
probabilité
la
distance sur
D,
bornée
par
1,
donnée
ar
d cp
X,Y ~ ~
Dans la
suite,
par
abus
de
langage,
nous
désignerons
aussi
par D
l’espace
topologique
ainsi
obtenu.
Les
inst ants
constants
n
qui
apparaissent
dans la
définition
de
d
peuvent
être
remplacés par
des
temps
d’arrêt:

261
Pour
qu’une
suite
converge
dans D
vers une limite
X,
il faut
et il
suffit
qu’il
existe
des
temps
d’arrêt
Tk
qui
croissent
vers
l’infini
p.s.
.
et tels
que ,
sur
chaque
intervalle ~o,Tk~
,
Xn
tende
vers
X
uniformément
en
probabilité,
Pour
X E D et
T E T,
on
définit
de
nouveaux
processus
de D par
X*t =
sup |Xs| ,
t
s~t
s
XT _ X +
XT
( arrêt
à
T ) , 1
XT
_ X
I ~ T +
(arrêt à T-) ;
par
convention,
0
et
XT- _
0
sur
{ T~ 0~ .
L’arrêtée
à
T ou à
T- d’une
semimartingale
est une
semimartingale.
Le mot
localement
peut
avoir
deux
sens,
suivant
que
l’on
s’intéresse
à
des
phénomènes
ayant
lieu sur
des
intervalles
stochastiques
fermés ou
ouverts à
droite.
Ici,
sauf dans
l’expression
martingale
locale
et
sauf mention
du
contraire,
nous
dirons
qu’une
propriété
a lieu localement s’il
existe
des
intervalles
stochastiques
((O,Tn((
qui
croissent
vers
1R
x ~
et
sur
lesquels
la
propriété
a lieu.
Par
exemple,
tout
processus
X
de D est
localement
borné
( prendre
inf
t : ~
Zn} ) .
On
peut
même dire mieux
(C2~);
1. Soit
une suite
de
processus
càdlàg
adaptés.
Il existe
des
temps d’arrêt
Tm
qui
croissent
vers
l’infini
tels
que
chacun
.
des
processus
borné.
Démonstration.
Posons
inf ~ t : ~
Pour
chaque
n,
est une
suite
de
temps
d’arrêt
qui
croît
vers
l’infini.
Il
existe donc
un entier
k(n,P)
tel
que
P(Sk(n p )
p)
Posons
Tm = inf
Snk(n,p).
Pour
k
n,p
tel
que
P
Sk(
n,p )
p
2
.
Posons
T-
=
Sk(
n,p
).
Pour
chaque
n,
Tm
est
majoré
par
donc
est borné.
D’autre
part,
la
suite
T
est évidemment croissante.
Sa
limite
est
infinie,
car
~
P(Tnk(n,p) p)
~
2-m+1 .
Meyer
a déduit
de
ce
lemme le résultat
suivant
(qui
ne
sera
pas
utilisé

262
dans
la
suite) :
COROLLAIRE. Soit
une
suite
dans
D,
Il
existe
alors
des
réels
strictement
positifs
cn
tels
que
la
série
03A3cnXn
(et
même
la
série
03A3cn|Xn|
)
converge
dans
D.
Démonstration.
D’après
le
lemme,
il
existe des
temps
T
croissant vers
l’infini
et
tels
que,
pour
tout
n,
sup
soit
fini.
Posons
maintenant
c
=
1/(2nann).
Pour
chaque
m,
on
a,
sur
~n~ m cn|Xn| ~ cnanm ~ cnann ~
2-n ,
d’où,
toujours
sur
la
convergence
uniforme de
la
série
Il
est
alors
clair
que
les
limites
ainsi
obtenues
pour
chaque
m se
recollent en
un
processus
Y
E
D,
w
Remarque:
Une autre
démonstration,
moins
directe
mais
pouvant
s’étendre à
déduit ce
résultat
de
ce
que D
et SM sont
des
e.v,t.
complets (voir plus
loin).
DEFINITION.
Soit
1 S
p
ce .
a)
On
appelle
Sp
l’espace
de
Banach des
processus
X
E D
tels que
lixllsp
=
~X*~~Lp
~ .
b)
On dit
qu’une
suite
de
processus
de
D
converge
localement dans Sp
vers
s’il
existe des
temps
d’arrêt
T
qui
croissent vers
l’infini
et tels
que,
pour
chaque
m,
Il
tend vers
zéro
quand
n
tend vers
l’infini.
Remarquons
que,
s’il
en
est
ainsi,
le
lemme
1
permet,
quitte
à
diminuer
les
T ,
de
les
choisir
tels
que,
de
plus,
XTm
et
tous
les
soient
m
dans
Sp.
La
topologie
de D
est
liée
aux
convergences
localement dans Sp
par
le
résultat
suivant,
dont une
démonstration
figure
àans
L3~,
et
qui
illustre
la
souplesse
de
l’arrêt
à
T-.
PROPOSITION
1.
Soient
une suite
dans D,
X
un
élément
de.
a)
Si la
suite
converge
vers
X
dans
D,
il en
existe
une
sous-suite
qui
converge
vers X
localement
dans
Sp.
b)âi
la
suite
converge vers
X
localement
dans
Sp,
elle
converge
vers
X dans D.

263
Cette
proposition
sera
d’un
usage
constant
dans la suite:
elle fournit
une
caractérisation
de
la
topologie
de D
parfois
plus
maniable
que
la distance
d .
On
peut
la
reformuler
ainsi:
Pour
que
Xn
converge
vers
X dans
D,
il
faut
et il
suffit
que,
de
toute
sous-suite
on
puisse
extraire
une
sous-sous-suite
X
qui
converge
vers X
localement
dans SP.
Elle
entraîne
en
particulier
que
les
convergences
localement
dans
S
dépendent
moins
de
p
que
l’on
ne
pourrait
le
croire:
si
une suite
converge
localement
dans
Sp,
on
peut
en
extraire une sous-
suite
qui,
pour
tout
q
fini,
converge
localement
dans
Sq
vers la même limite.
Avant
d’en venir
aux semimartingales,
mentionnons
encore
deux
propriétés
de
l’espace
D.
La
topologie
de D
ne
change
pas
si
l’on
substitue
à
P
une
probabilité
équivalente (car
la
convergence
en
probabilité
n’en
est
pas
affectée).
Enfin, D
est
complet:
PROPOSITION
2.
L’espace
métrique
(D,d )
est
complet.
Démonstration.
Soit
Xn
le
terme
général
d’une série
dans D
telle
que
la
série
E n
r cp (Xn)
converge.
Nous
allons
établir
que
E n
Xn
converge
dans
= D.
Pour tout
t
entier,
la
série E[1^(Xn)*t]
converge,
donc
les
sommes
partielles
de
la
série
n
(An);
forment
une suite
de
Cauchy
pour
la
convergence
en
probabilité.
On
en
déduit
que,
hors d’un
ensemble
évanescent,
la
série
converge
vers
un
n
T-
processus
croissant A ~ D.
Posons
Tk
=
inf{t>0 :
La
série
des
(Xn) k
converge,
pour
tout
k,
dans
l’espace
complet
S1,
puisque
~(Xn)Tk-~Sl = ~(Xn)*Tk-~L1 = E[(Xn)*Tk-] ~ k ~ .
Soit
Yk
sa
somme.
Les
processus
Yk
se
recollent en
un
processus
Y,
et la
convergence
de n
Xn
vers
Y
a
lieu localement
dans
= SI,
donc
dans
D.
ESPACE CONVERGENCE
DES
SEMIMARTINGALES
Le but
de
ce
paragraphe
est
de
munir
l’espace
SM
des
semimartingales
d’une
topologie
qui
soit
en un sens
compatible
avec
l’intégration
stochastique:
elle
ne
devra
pas
seulement
prendre
en
compte
les valeurs
Mt
prises par
les semi-
martingales,
mais
aussi,
en
quelque
sorte,
les
accroissements
infinitésimaux dMt.