Une topologie sur l`espace des semimartingales

S ÉMINAIRE DE PROBABILITÉS (S TRASBOURG )
M ICHEL É MERY
Une topologie sur l’espace des semimartingales
Séminaire de probabilités (Strasbourg), tome 13 (1979), p. 260-280
<http://www.numdam.org/item?id=SPS_1979__13__260_0>
© Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1979, tous droits réservés.
L’accès aux archives du séminaire de probabilités (Strasbourg) (http://portail.
mathdoc.fr/SemProba/) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.
Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/
Université de Strasbourg
Séminaire de Probabilités
UNE TOPOLOGIE SUR L’ESPACE
DES SEMIMARTINGALES
par M. EMERY
L’étude de la stabilité des solutions des équations différentielles
stochastiques
a
conduit Protter à énoncer dans
des solutions par rapport à la convergence des
local dans
Hp.
Mais cette convergence
[~9]
résultat de continuité
un
semimartingales
au sens
provient pas d’une topologie, et
ne
cela alourdit les énoncés: il faut extraire des sous-suites. Dans cet
nous
aux
munirons
l’espace des semimartingales d’une topologie métrisable liée
Hp,
convergences localement dans
complète,
agissent
et
sur
des résultats
équations
est conservée par
qu’elle
les
dont
semimartingales.
(inspirés
de
ceux
de
nous
Sp;
montrerons
quelques-unes
des
Nous réservons pour
Protter)
différentielles stochastiques par
ESPACES D ET
exposé,
qu’elle
est
opérations qui
exposé ultérieur
un
de stabilité des solutions des
rapport à
cette
topologie.
CONVERGENCE COMPACTE EN PROBABILITE.
Tous les processus seront définis
sur un
0~’
les conditions habituelles
seront considérés
comme
égaux.
D l’ensemble des processus
même espace filtré vérifiant
deux processus
On notera T l’ensemble des
càdlàg adaptés,
SM celui des
indistinguables
temps d’arrêt,
semimartingales.
’
DEFINITION. Pour
X E D,
rcp(X) =
on
pose
|Xt|] ,
2-n E[1
et on appelle dist ance de la convergence compacte
distance
sur
Dans la
D,
bornée par
suite,
1, donnée ar
par abus de
langage,
l’espace topologique ainsi obtenu.
dans la définition de
d
en
probabilité
la
d cpX,Y ~ ~
nous
désignerons
Les inst ants constants
aussi
n
par D
qui apparaissent
peuvent être remplacés par des temps d’arrêt:
261
Pour
suffit
qu’il
et tels que,
en
converge dans D
suite
qu’une
existe des temps d’arrêt
Tk
qui croissent
intervalle ~o,Tk~
chaque
sur
,
Xn
tende
il faut et il
X,
l’infini p.s.
vers
.
X uniformément
vers
probabilité,
Pour X E D et
on
définit de
nouveaux
XT
,
X
_ X
semimartingale
XT- _
0
{ T~ 0~ .
sur
semimartingale.
une
intervalles stochastiques fermés
l’expression martingale locale
a
ou
et
L’arrêtée à T
1R
vers
ouverts à droite.
sauf mention
du
et
x ~
sur
une
Tm
suite de processus
croissent
qui
sur
des
sauf dans
Ici,
contraire,
dirons
nous
lesquels la propriété
stochastiques
lieu. Par
a
inft : ~
( prendre
Zn} ) .
(C2~);
peut même dire mieux
temps d’arrêt
lieu
phénomènes ayant
tout processus X de D est localement borné
1. Soit
à T- d’une
ou
lieu localement s’il existe des intervalles
qui croissent
exemple,
1
Le mot localement peut avoir deux
sens, suivant que l’on s’intéresse à des
qu’une propriété
T),
à
(arrêt à T-) ;
I ~ T +
0 et
est
( arrêt
XT
+
convention,
((O,Tn((
processus de D par
s~t
XT _
par
T E T,
sup|Xs|
s
X*tt =
On
limite
vers une
vers
càdlàg adaptés.
Il existe des
l’infini tels que chacun des processus
.
borné.
inf ~ t : ~
Démonstration. Posons
suite de
k n,p
k(n,P)
temps d’arrêt qui croît
Sk( p ))
P(Sk(n
tel que P
chaque n,
la suite
n,p
p)
2
p
Pour
vers
.
l’infini. Il existe donc
Posons
Meyer
a
déduit de
P(Tnk(n,p) p)
ce
un
entier
Sk(
Snk(n,p).
n,p ).
Tm = inf
=
une
Pour
T-
donc
Tm est majoré par
T est évidemment croissante. Sa
~
est
chaque n,
est borné. D’autre
limite est
~
infinie,
part,
car
2-m+1 .
lemme le résultat suivant
(qui
ne
sera
pas utilisé
262
suite) :
dans la
COROLLAIRE. Soit
positifs
cn
une
suite dans D, Il existe alors des réels strictement
03A3cnXn (et
tels que la série
même la série
Démonstration. D’après le lemme, il existe des temps
et tels que, pour tout n,
c=
1/(2nann).
Pour
on
a,
déduit
autre
démonstration,
DEFINITION. Soit 1 S p
a)
On
lixllsp
b)
s’il existe des
que, pour
chaque
dans
tels que
~ .
de processus de D converge localement dans
temps d’arrêt
Il
tend
Remarquons que, s’il
T m,
en
complets (voir plus loin).
de Banach des processus X E D
On dit qu’une suite
vers
les
recollent
ce .
~X*~~Lp
m,
m se
moins directe mais pouvant s’étendre à
et SM sont des e.v,t.
que D
ce
appelle Sp l’espace
=
chaque
Il
w
résultat de
ce
l’infini
la convergence uniforme de la série
sur
processus Y E D,
Remarque: Une
vers
2-n ,
est alors clair que les limites ainsi obtenues pour
un
croissant
T
sur
~n~ mcn|Xn|~cnam~cnan~
d’où, toujours
converge dans D.
soit fini. Posons maintenant
sup
chaque m,
03A3cn|Xn|)
en
est
T
qui croissent
vers
l’infini et tels
vers
zéro quand
tend
vers
ainsi,
de les choisir tels que, de
Sp
le lemme 1
plus,
XTm
n
l’infini.
permet, quitte à
et tous les
diminuer
soient
Sp.
La
topologie
de D est liée
résultat suivant, dont
souplesse
qui converge
X dans D.
démonstration figure àans
Soient
Si la suite
b)âi
convergences localement dans
L3~,
Sp
par le
et qui illustre la
de l’arrêt à T-.
PROPOSITION 1.
a)
une
aux
vers
la suite
une
suite
converge vers X dans
X localement dans
dans D,
D,
il
en
X
un
élément de.
existe
une
sous-suite
Sp.
converge vers
X localement dans
Sp,
elle converge
vers
263
Cette
proposition
d’un usage constant dans la suite: elle fournit
sera
caractérisation de la topologie de D parfois plus maniable que la distance
On peut la reformuler ainsi: Pour que
suffit que, de toute sous-suite
qui converge
vers
une
suite
pour tout q
Avant d’en venir
l’espace D.
est
La
de D
extraire
peut
en
Sq
vers
encore
la convergence
probabilité
en
une
sous-
la même limite.
deux
propriétés
pas si l’on substitue à P
change
Xn
(D,d )
métrique
une
n’en est pas
affectée).
général
le terme
d’une série dans D telle que la série
E n Xn
converge dans
converge, donc les
série E[1^(Xn)*t]
(An); forment
complet.
est
converge. Nous allons établir que
entier, la
n
ne
pourrait le
ne
complet:
Démonstration. Soit
r cp (Xn)
on
mentionnons
aux semimartingales,
topologie
particulier que les
moins de p que l’on
Sp,
X
sous-sous-suite
une
en
converge localement dans
fini,
PROPOSITION 2. L’espace
En
SP. Elle entraîne
d.
et il
D, il faut
X dans
vers
puisse extraire
S dépendent
probabilité équivalente (car
Enfin, D
converge
suite converge localement dans
croire: si
de
on
X localement dans
convergences localement dans
qui,
Xn
une
une
suite de
Cauchy
pour la convergence
évanescent,
déduit que, hors d’un ensemble
sommes
la série
= D.
partielles
en
Pour tout t
de la série
probabilité.
converge
n
On
en
vers un
T-
processus croissant A ~ D. Posons
converge, pour tout
k,
dans
Tk
=
inf{t>0 :
l’espace complet
La série des
S1,
(Xn) k
puisque
~(Xn)Tk-~Sl = ~(Xn)*Tk-~L1 = E[(Xn)*Tk-] ~ k ~ .
Soit
Yk
sa somme.
de n Xn
convergence
ESPACE
vers
Y
Yk
se
recollent
en un
lieu localement dans
a
= SI,
processus
Y,
et la
donc dans D.
CONVERGENCE DES SEMIMARTINGALES
Le but de
topologie qui
ne
Les processus
ce
soit
est de munir
paragraphe
en un sens
devra pas seulement prendre
martingales,
mais
aussi,
en
compatible
en
l’espace SM des semimartingales d’une
avec
l’intégration stochastique:
compte les valeurs
Mt
prises
quelque sorte, les accroissements
elle
par les semi-
infinitésimaux dMt.
264
DEFINITION. Pour M ~
SM,
on pose
sup
~~
où le sup porte
l’ensemble des processus prévisibles bornés par 1. On
sur
des
appelle topologie
~~
semimartingales la topologie
distance bornée par 1
Ici et dans la
SM définie par la
sur
d sm (M,N) = r sm (M-N).
le
suite,
point symbolise l’intégration stochastique:
(X.M)t = t0 Xs dMs
.
Comme pour
La
D,
nous
appellerons
de
topologie
est très
SM
la convergence compacte
Si,
.
par
exemple,
s-l ne
mesures
de Radon
sur
encore
SM
forte, plus
indépendants
fient à la convergence
d
du
un
un
réel et M
rsm
de
r sm ).
semimartingales s’identifie à
compact. Remarquons cependant que
les
de D et S14 s’identi-
topologies
espace vectoriel
une
topologique.
semimartingale. Si
rsm(M).
que
(l+e(B))r sm
quelconque,
où
(M),
On
1,
déduit que, pour X
en
e(B)
il est
est la partie entière
l’inégalité triangulaire).
Soient maintenant
tingales,
tout
temps,
fait de SM
la définition de
I~~[ (utiliser
topologie
probabilité.
en
Démonstration. Soient ~
de
que la
encore
X=l dans la définition de
et la convergence des
JR+,
pour les processus
sur
ainsi obtenu.
comporte qu’un seul point, les semimartingales sont les
mesures en norme sur
clair
forte
probabilité (prendre
en
la convergence des
LEMME 2. La di st ance
l’espace topologique
de limites
(B )
une
suite de réels et
respectives À
et M. Il
une
s’agit
suite de semimar-
de vérifier que
tend
03BBM. On écrit
vers
Le premier terme est
majoré
Il reste à voir que, pour M
tendent
vers
par
et tend donc
(l+3(03B m) rsm(Mn-M),
fixée,
tend
zéro. Mais si l’on avait lim
n
processus
lim (p.
r
prévisibles Xn
> e.
(JJ, nM)
sm
bornés par 1 tels que
Or ceci est
donc la démonstration.
r
vers
incompatible
zéro si les
> e >
0,
avec
le lemme
zéro.
réels n
il existerait des
>
lim
vers
E , donc que
suivant, qui achève
265
SOUS-LEMME. Soit M
l’espace
de
continue
uniforme)
une
dans
semimarting-ale. L’application linéaire X
des
H~
de
existe des temps d’arrêt T arbitrairement
l’inégalité (démontrée
On écrit
on en
tendent
vers
Passons maintenant à
THEORIE 1.
une
une
limite,
Cauchy
suite de
et posons M
tel que, pour tout processus
pour X
prévisible borné
( où
elle
A E Fs ) ,
prévisibles bornés
coïncide,
avec
sur
tend
semimartingale,
que
vers
Nn
Nn = Mn - M.
vers
-
Pour tout processus X
)e;
r
par
la
semimartingale
n, que,
et que
Nous
J(X)
savons
il existe
~~1
e (il s’agit
r cp
Mk).
On
en
n~k,
pour
2s
,
J est continue de
muni de la convergence uniforme dans
prévisibles élémentaires
l’intégration stochastique
par
rapport à M. Un
permet alors d’affirmer
vaut X.M pour tout X
que, pour tout X
zéro dans D. Pour achever la
tend
n > k,
les processus
théorème de Dellacherie et Mokobodzki
Posons
d .
L’application linéaire
limite,
D; d’autre part,
donc dans D.
Cauchy dans l’espace complet D.
r cp (X.l;1k)
des processus
l’espace
pour
appliqué à
g
la
zéro unifor-
l’espace
X borné
prévisible
du sous-lemme ci-dessus
déduit, toujours
vers
J(l).
=
Soit e > 0. Il existe k tel que, pour
simplement
tendent
de
est
une
Xn
propriété importante
prévisible borné,
est
,
S2,
suite de
d’où, à
~~~II ~ IIMT-IIH2
zéro localement dans
une
sa
est dans
SM est complet .
L’espace
J(X)
MT-
Il
[6])
dans
Démonstration. Soit
Appelons
(voir ~6~).
lesquels
pour
déduit que si des processus prévisibles
les
mément,
de la convergence
semimartingales
grands
3
et
X.M est
D.
Démonstration. Nous utilisons l’espace
H2.
(muni
processus prévisibles bornés
~
démonstration,
que M
prévisible borné.
prévisible borné, X.Nn
il suffit d’établir
zéro dans SM, c’est-à-dire que la limite, soit 4a, de la
266
suite
un
de
Cauchy
entier
dans
IR+
est nulle. Si elle
r
tel que, pour tout
m
n> m,
l’est pas, il existe
ne
tire
on en
a;
r sm (Nn) - a ,
,
et,, à la limite,
3a. Il
existe alors X
prévisible borné
par 1 tel que
a ~ 2a. On peut maintenant écrire, pour nm, -
2a -
>
Ainsi, X.Nn
Hp
ESPACES
tend pas
ne
on
si N est
Il
porte
sur
équivalente
un
processus à variation
de M
ce
équivalente à
Hp,
la norme
Î
Il
.
Lorsque
semimartingales
(sur
où N
A).
).
°
=
1, A
prévisible (avec
tout
est
+
M telles que
de M
en une
martingale
semimartingale
jP(Ñ,A),
Il est
norme
des
N
+
A
Hp
de
on
est
obtient
est la
[~6]).
.
espace de Banach.
classique
Ap
voir
ceci,
un
=
,
+
=
A est la
~A~Ap
est
une norme
décomposition canonique
variation dans
l’espace Hp
que
L (muni
des
de M et où
de la
.
l’espace
mesures),
,
norme
martingales
l’est aussi.
s’identifie à
la
Toute
.
prévisibles à
reste à vérifier que
p
décompositions
qui précède,
des processus
l’espace
complet. Il
’
~
prenant simplement
Démonstration. D’après
tribu
et A
intéressons qu’aux exposants p finis,
L’espace Hp
3. Soit
==
des
toutes les
nous
en
décomposition canonique
est
I
+
nous ne
.
A
martingale locale
processus à variation finie
un
spéciale. Comme
norme
m
.
jp(N,A)
(l’inf
locale N et
une
une
Hp désigne l’espace
que
~M~Hp =
est finie
qui est absurde
ce
pose
jP(N,A) =
Rappelons
zéro dans D,
vers
a..
=
DE SEMIMARTINGALES
Soit
finie,
2a - a
des P-mesures bornées
sur
d’où le résultat.’Pour p
la
est
267
soit
quelconque,
Al
converge dans
A telle
suite dans
une
limite A,
vers une
qui tend
,
0 oc
(An)
et, lorsque
L
zéro dans
vers
tend aussi
vers
zéro dans
On peut remarquer,
avec
Yor,
~An~Ap
tend
m
Pour énoncer la proposition
il
1,
convergence localement dans
Sp.
Les
convergence localement dans
HP,
en
résultat est aussi
a
fallu donner
lignes qui
montrant
et soit T
DEFINITION. Soit
l’espace des semimartinales
sur
l’infini,
Lp
A dans
vers
une
conséquence
en
un sens
M Pour
un
à la notion de
suivent visent à introduire la
(lemme
particulier
4
b)
que les
équivalentes.
temps d’arrêt . On
appelle Hp(T-)
lesquelles
inf
=
LT-=MT-
"
M
v.a.
converge donc
deux définitions naturelles de cette convergence sont
où l’inf porte
est fini,
E An
la
[l0].
immédiate du théorème 4 de
IIMI’HP(T-)
vers
oc . La série
restant dominée par la v.a. de
en
LP: n An
ce
que
E
que
sur
"
semimartingales L qui coincident
toutes les
avec
[O,T[.
LEMME 4. Soient
SM. Alors
T E T,
a)
2
b)
;
2
c)
IIMIIHP(T-)
~
=(
Dans le
locale et
un
T- de A. Le
c),
inf
M=N+A
=
l’inf porte
;
jP(NT,AT-)
sur
les
.
décompositions
processus à variation finie
b)
entraîne
en
particulier
A;
de M
en une
martingale
remarquer l’arrêt à T de N et à
que si
~
=
0 ,
M est nulle
~ 0, T(~ .
Démonstra.tion.
,
a)
La
première inégalité résulte
la
seconde de
b)
La
.
première inégalité
~MT-~Hp = inf
L=M
T-
est
évidente,
Hp ~
2
la seconde résulte de
Linf ~L~Hp
=M
.
_
sur
268
c)
Soit M = N + A
de la
sus
forme cp
première
où cp est
i
temps d’arrêt fixé dans
dont la
décomposition
une
est
l’énoncé).
=
~M~Hp(T-)
inf
inf
inf
LEMME
Tk
(Pour
ne
(Mn)
5. Soit
croissant
une
pour les
vers
une
présente
aucune
~MT+B~Hp
i’
-
LP
s
0
du lemme 1 est le résultat suivant:
pour tout
le lemme
avec
difficulté
I
semimartin~ales.
tels que,
analogie complète
d’égalités,
a):
semimartingales,
l’infini
toujours le
~ [N,N]1 2T + T-0|dAs| + |0394(A+B)T
inf
suite de
est
jP(NT,AT+B)
inf
M=N+A
=
L’analogue,
du
=
B E E M=N+A
-
FT-mesurable (T
On peut alors écrire la suite
~LT~Hp
=
et notons E l’ensemble des proces-
M,
une v.a.
conséquence
une
de
n
temps d’arrêt
Il existe des
et tout
k, Mn E
il faudrait vérifier
1,
que c’est encore vrai pour p
Démonstration. Une conséquence du théorème de Doléans-Dade
-
et cela
infini.)
([7])
et Yen
est
.
.
que toute
par 1 et
N+A
au
de
lemme
semimartingale
se
décompose
chaque semimartingale
les
Tk
tels que,
Mn,
c)
Hp
vers
que,
our
localement dans
l’infini tels
’
On dit
-
ne
une
reste alors
qu’à
en
Mn
tout
Nous pouvons maintenant
énoncer,
(
1,
le lemme
est dans
qu’une
k,
(grâce
et
suite
(Mn)
de
semimartingales converge
M E SM s’il existe des temps d’arrêt
-
choisir
est borné par
T de
sauts bornés
décomposition
telle
les processus
permet de conclure que chaque
DEFINITION. Soit
et il
sur
soient tous bornés. Comme le saut
4
martingale locale à
processus à variation finie. On choisit
un
1)
en une
_
-)
k
pour les
semblable à la proposition 1 pour les processus
tende
vers
Tk
vers
zéro.
semimartingales,
càdlàg:
croissant
une
propriété
269
(Mn)
THEOREME 2. Soient
a)
Si la suite
(Mn)
converge vers M dans SM, il
converge vers M localement dans
qui
b)
vers
Si la suite
(Mn)
M
une suite de semimartingales,
converge
existe
en
une
une
semimar-
sous-suite
Hp.
vers M localement dans
Hp,
elle conver~e
M dans SM.
1,
Comme pour la proposition
condition nécessaire et suffisante de convergence dans
en une
regrouper
les deux assertions de l’énoncé peuvent
se
SM.
La démonstration du théorème fait appel à deux lemmes. Le premier démon-
lorsque SM est muni d’une autre distance;
trera le théorème
ensuite
qu’elle
LEMKE 6.
Si,,
est
la
quantité
M E,
pour
rp(M)
équivalente à
on
nous verrons
d .
pose
]
inf [ sup ~0394NT~Lp + rcp([N,N]1 2 + |dAs|)
=
dp(M,N)
rp(M - N)
..
est vrai lorsque ladis~tanc_e
est
dsm
sur
une
distance
remplacée
SM y est
et le
SM,
sur
,
théorème 2
par la distance
dp.
Démonst ration.
l)
La fonction
(théorème
r
est
à valeurs finies
[7])
de Doléans-Dade et Yen:
(et même ~ 1 ) .
choisir
une
telle que les sauts de N soient bornés par e, et
2) L’inégalité triangulaire
tend
ment dans
Sp.
o
vers
Grâce
zéro,
au
une
lemme
d~
sous-suite
5,
on
peut,
est
La
par
T arbitrairement
+
de
|dAnsl
grands,
peut
N+A de M
est bornée par 1.
une
tende
Nn
+
sous-suite
vers
distance,
montrons que si
(Mn)
vers
tend
translation,
+
proposition 1 permet d’extraire
telle que
rcp
une
(Mn )
où M= 0. Il existe alors des décompositions
sup M p
décomposition
on
[N’,N’]1 2 .
+
Avant de finir de vérifier que
rP(Mn-M)
effet,
résulte facilement de
[N+N’,N+N’]1 2 ~ [N, N]2
3)
En
An
de
)
~
(que
Mn
tend
.
nous
vers
ramener au cas
telles que
0
zéro localement
+ T-0 |dAns|Î
se
zéro locale-
noterons
dans Sp:
encore
pour des
zéro dans
LP.
Mn)
270
On
en
donc
déduit
~Mn~Hp(T-) ~
~[Nn, ]12T
~
~[Nn,]12T-+0|dAns
Mn
tend
4)
Pour montrer que
sépare
Mn
=
dp
est
c un
-->
de
pour des T arbitrairement
il reste à voir que si
lemme,
Hp,
tend
zéro. Soient t
vers
un
0 et
On choisit
grand
assez
pour que
Mn
chaque semimartingale
on
temps d’arrêt T
telle que
1ln (théorème
une
Mn
un
tel que
décomposition
tende
peut aussi la supposer choisie telle
soient bornés par
qu’elle
ci-dessus entraîne que la
réel strictement positifs. Il existe
recollement,
sur
,
0. Donc M est nulle.
z
zéro localement dans
3)
le point
zéro dans
vers
MT-
et
0,
vers
entier et
Nn
0,
=
Pour terminer la démonstration du
converge
+ ~0394NnT~Lp
il reste à vérifier
distance,
une
M converge
grands; d’où
par
| ~Lp
les points. Mais si
5)
Lp
zéro dans
vers
suite constante
| ~
+ T-0|dAns
vers
que les sauts de
de Doléans-Dade et
zéro;
Nn
Yen).
Posons maintenant
|
Bn=[(Nn)T,(Nn)T]12+|d(An)T-s
Cn
La suite
Bn
[Nn, Nn ]1 2
=
tend
vers
dAns |
+|
zéro dans
Sp,
,
.
donc
r cp (Bn)
tend
vers
zéro;
en
étant
,
nul
lnm rcpcp (Cn)
n
rcp (Bn-Cn) est majoré par e+2 t (définition de rc P ),
e+2 t. D’autre part, sup ~0394NnS~L
tend
zéro, car
Lp
sur
vers
::
SET
~
~0394NnS~Lp
+
~0394Nns~Lp
De
+
s +
2-t,
sups
qui
(définition
est arbitrairement
Avant de montrer que les distances
achèvera la démonstration du théorème 2,
de la distance
dp .
~0394NnS~Lp
+ 1
~[Nn, ]12T~Lp
lnm
et
dp
un
de
petit.
et
.
dsm
on
déduit alors que
-
sont
équivalentes,
ce
qui
second lemme est consacré à l’étude
271
LEMME 7. La distance
dP
fait de SM
dp
Démonstration. Pour montrer que
.
de
(~,M)
ÀM n’est pas
-->
fait de SM
évidente),
6:
et seulement si de toute sous-suite
Mn ,
tend
(Mn)
Cauchy
remplacer
pour
par
dp,
admet
d’en extraire
sous-suite,
une
Bn =
on
critère
au
M pour
d~
si
sous-sous-suite
peut extraire
Il
s’agit, étant donnée
une
une
Nn + An
+
suite de
sous-suite qui converge. Quitte à la
une
2donc
peut supposer que
on
décomposition
une
vers
on
complétude.
Passons maintenant à la
Hp grâce
de
tend
la continuité
dans H .
M localement
vers
cas
au
(Mn)
suite
une
( seule
e .v.t .
un
ramène
on se
de convergence établi dans le lemme
M qui
topologique complet.
espace vectoriel
un
telle que,
en
posant
,
ait
2 n
~
sup
E Bn
La série
processus croissant
la proposition
Rn
tels que lim
peu les
un
diagonal
de Cantor
k,
E
On
en
n
Comme
Tk,
vers
vers
l’infini et
une
on
au
lemme
supposer que tous les
Mn
sont dans
sous-sous-suite
une
5,
reste, le
donc, d’après
zéro dans D. Il existe
=
croissant
Tk
donne
nous
tend
0 pour tout k. Grâce
=
diminuer
tout
Em~nBm,
=
des temps
1,
et son
convergente dans l’espace complet D,
est alors
sous-suite
f(n)
peut, quitte à
Le
h(n)=gof(n)
procédé
telle que, pour
00.
tire,
en
Il
~0394NnT~ ~ 2-n ,
omettant désormais l’indice
BmT-
-
on en
Il
~Rh(n)T--Rh(n+1)T-~Il
n
=
p
k,
~
.
p
déduit,, puisque
=
(
)
h n +1
h n +1
-
Il
E
-
Il
~ (C~t~I~ T- +
~
f~~
Î
~- ~)( L p + 2-h(n) ,
+
r
Il L P
272
que la
série ~
est
La sous-suite
gales
(Mh(n))
forment
les limites de
ces
convergence de
Mh(n)
d.
distance
est donc de
suites
M
vers
recollent
se
sont
équivalentes.
6,
Cauchy
il
(Le
et elles sont
plus forte
pour 6 est
principe
une
plus fortes
lemme 6 et de
que la
et 6 fait aussi de SNï
(~1~)
d (respectivement
tivité,
(lemme 6)
donc
été
suggéré
suite de
Cauchy
un
dp et
d cp );
espace vectoriel
un
espace
que la restriction
Soit 6
pour
par
que les distances
la proposition 1,
norme Sp).
dans les deux cas, c’est la limite pour
graphe fermé
Hp,
nous en a
qu’à vérifier
reste
ne
cela résulte du
Hp est
vers
l’infini,r
même semimartingale M, et la
en une
Ces deux distances font chacune de SM
topologique complet,
norme
T croît
pour la
-
tenu du lemme
(pour dP,
et les semimartin*
lieu localement dans
a
Démonstration du théorème 2.
Compte
dans
Cauchy
Cauchy dans Hp. Quand
suite de
une
convergente.
=
dp
d ,
+
avec
elle est donc
vectoriel
à SM de
d
le fait que la
Toute suite de
dsm.
avec
Dellacherie).
et dP
d
sm
la
même limite
convergente
(car
pour
topologique complet. Le théorème du
permet alors d’affirmer que les distances comparables 6 et
à et
le résultat.
d)
définissent la même
topologie, d’où,
par transi-
-
ETUDE D’UN CONTRE-EXEMPLE
Avant de passer à l’étude des
propriétés
à l’aide d’un exemple emprunté à Kazamaki
possède
([~4])~
topologie
des
de
SM,
donnons,
propriétés qu’elle
ne
’
pas.
Soit,
tielles
de la
sur
(Q,F,P), (T )
d’espérances
satisfasse
aux
E[Tn]= n;
suite
on
indépendante
munit 0 de la
de v.a. de lois exponen-
plus petite filtration qui
conditions habituelles et fasse de chaque
On supposera que les
Sn = inf T
une
tende
~n
vers
croissent suffisamment vite
l’infini
(ceci
a
vers
lieu dès que
E
T
un
temps d’arrêt.
l’infini pour que
~).
soient A
6,
273
le processus croissant défini par
sant
un
saut
Mn
Fixons
à l’inst ant
d’amplitude
~ A
tendent
vers
Mn
la
obtenue
martingale
en
compen-
Tn:
:
+
.
Sur l’intervalle
n.
et
t,,
At=
on
a, pour
m > n, Mn =
le processus croissant A dans
A. Les
pour
martingales
chaque n, donc aussi
dans SM.
Cet
exemple permet
l’espace
de
répondre
par la
négative à
.
plus: déjà dans l’espace
non
des processus à variation finie
peuvent tendre
La
La
supprimant
dont
et
on
dsm,
,
inf
r
vers
se
At
r(A) ~ rcp( [Mn,Mn]1 2 + |d(A-Mn)s|)
avec
=
des
([N,N]1 2 |dBs
|)
+
,
ne
pas.)
l’est
n’est pas
que l’on obtient
rp (voir
définit pas la même
distance: elle
en
sépare
on
martingales,
une
semimartingales.
ne
t,,
des
limite qui
une
demander si elle
une
H2
semimartingales spéciales
le terme de sauts dans la définition de
n’est pas
le lemme
t opologie
pas les points. En
.
6),
en
et
que
dp
effet,,
peut écrire
.
Comme les processus
r(A) = 0,
topologie
r(M) =
quantité
pourrait
toujours
des
décomposition canonique
continue pour la
opération
(L’espace
martingales locales n’est pas fermé dans Sbl.
des
des processus à variation finie
3)
sur
SM.
1) L’espace
2)
trois questions
[Mn,Mn]
et la f onction
et
r ne
A-Mn
sépare
sont nuls
sur
[[0,S [[,
ceci
entraîne
pas A de 0.
QUELQUES RESULTATS DE CONTINUITE
Un théorème de stabilité dans SM pour les
stochastiques, qui
la
topologie
de
d’autres énoncés
SM,
en
constitue la
sera
Dans l’énoncé qui
(sinon,
on ne
principale application
démontré dans
relation
suit,,
avec
on
équations
cette
un
différentielles
(et justificationi)
prochain exposé;
nous
regroupons ici
topologie.
.
suppose Y borné
saurait pas définir les
sur
de
des intervalles fermés
intégrales stochastiques).
274
PROPOSITION 3. Soient X
un
prévisibles qui tendent vers
(prévisible)
Y localement
prévisible,
processus
X
en
restant dominés par
borné. Alors,
intégrales stochastiques
tendent
pour toute
vers
même
un
processus
semimartingale M, les
X.M dans S~I.
Démonstration. Le processus X étant dominé par Y,
(à T+),
peut donc supposer que X= 0. Par arrêt
suite de processus
une
est dominé par
2Y;
on
peut supposer que Y est
décomposition
N+ A de M telle que les
on
une
constante.
Soit alors E> O. Il existe
sauts de N sont
plus petits
une
e/Y.
que
On écrit
alors,
pour
un
p
quelconque,
sup T
Le terme de sauts est
1
premier, l’autre
se
borné, auquel
d[N,N]
convergent
vers
PROPOSITION 4.
tendent
S1,
L’application
cas,par convergence
et
a
LI.
Démontrons-le pour le
(à T-) ,
les
dominée,
on
v.a.
Les processus
fortiori
C2 x SM
de
~.
Par arrêt
analogue.
zéro dans
vers
zéro dans
zéro dans
vers
traitant de manière
peut supposer
tendent donc
que e; il reste à vérifier que les processus
plus petit
et
~
à
dans SNI ui
fait correspondre
foM est continue.
Dans cet
énoncé, l’espace
vables doit être muni de la
compact de la fonction
ainsi que le lemme
Voici
un
et de
C2
des fonctions deux fois
topologie
ses
ci-dessous,
une
fonction
jusqu’à
généralisent
avatar de la formule du
LEMME 8. Soient f
de la convergence uniforme
dérivées
se
C2,
M
sur
l’ordre 2. Cette
sans
changement
une
f(Mt) = f(M0) + t0f’(Ms-)
continûment déri-
difficulté
au
tout
proposition,
cas
vectoriel.
de variable:
semimartingale. Alors
dx)
dMs + t0(10xf"(Ms-x0394Ms)
d[M,M]s.
Démonstration. 0n décompose dans cette formule le processus croissant
en sa
partie continue Mc,Mc>
et
sa
partie de sauts E
QMs.
Nous
[M,M]
laissons le
lecteur vérifier que l’on retrouve ainsi le terme du second ordre et le terme
de sauts de la formule usuelle. -
275
Démonstration
et fn
C2.
f dans
vers
proposition 4. Nous supposons
de la
Nous voulons montrer que f
D’autre
se
la convergence dans SM étant
part,
arrêt à T-,
quitte à extraire
dans
S2).
Les
.
sous-suite,
une
v.a.
(Mn - M~~
Mn
que
tend
tendent alors
extraction de sous-suite les fait tendre
vers
tendent maintenant
sont bornées par
par
une
et
n’
l’infini, et,
de
1N,
même constante
une
même fonction
supposer que
f
vers
(k,k+l,k+2,...)
à la sous-suite
n
on a
le droit de
M dans
H~ (et
L2. Une
a
fortiori
nouvelle
zéro p.s. Les temps d’arrêt
l}
Tk =
f
sous-suite.
une
bornées, et,
sont
zéro dans
vers
SM,
grands.
[M,M]
vers
M dans
foM dans SM.
vers
locale,
notion
une
supposons donc que M et
nous
tend
arbitrairement
restreindre à des intervalles
Par
oMn
vers
suffit de le démontrer pour
limite, il
Par identification de la
tend
que
C2
c
en
s’arrêtant à
on
est ramené
=
sup~M~
+
tendent
vers
f,
en se
restreignant
où toutes les
Mn
1. En multipliant f et les
à support compact qui vaut 1
f’ et f" uniformément
et
cas
au
f’ et f" sont bornées et uniformément
f,
Tk-
sur
[-c, c],
continues,
peut
on
et que
f,
IR.
sur
Nous allons maintenant établir la convergence de chacun des trois termes
apparaissant dans la formule du lemme 8.
1
terme: Comme
vers
2me
foM0
fn
p.s. donc
tend
en
vers
M0
p.s.,
fnoMn0 tend
probabilité.
terme: En remarquant que
~
|f’noMn - f’oM|
on
Mn0
f uniformément et
vers
démontrées dans
n
~6~),
f’noMn
sup|f"| |Mn-M| ,
vers
foM dans
S2,
puis, grâce
aux
inégalités
que
f oM
-
f’n-f’| +
sup|
obtient la convergence de
~~I~~Î
- 1
1
.
2
Ainsi,
3me
la convergence du
terme: Posons
La différence à
h:n - M,
étudier,
terme
a
lieu dans
fn
(Mt -
H,
donc dans SM.
f"(Mt - x0394Mt)
.
276
dx
x
se
décompose
la
en
S
somme
At
S
00
At = t01 x Xns dxd(2[M.Nn]+[Nn,Nn])s
Btt
Comme
étant
tend
majorée, à
tendant
vers
borné, l’inégalité
L2.
Par
la fonction bornée
vers
près,
constante
une
zéro dans
vers
zéro dans
.
s
converge uniformément
f ri
totale de A est
Mais, Nn
dx
s
0
o
H2,
en
étant
dominée,
implique que,
(rappelons
restant borné
+
A tend
f’n
tend
que
et
et,
~0|d[M,Nn]s
H1,
1
donc dans SM.
la fonction uniformément
vers
x
pour w,
zéro dans
vers
L1,
zéro dans
vers
de Kunita-Watanabe entraîne que
conséquent,
la variation
f" ,
par
tend
Passons à B. La converge uniforme de
continue et bornée f"
finie, où
,
(Xns - X )
x
=
,
S
de deux processus à variation
Bt
+
dx
X
x
S
00
s
vers
fixés,
tend
p.s,).
zéro
X (w)
vers
Par convergence
borné,
E[~01
x |Xns tend
vers
vers
zéro dans
Remarques.
de
zéro;
1)
Xs |
dx d[M,N]s ]
H1
Au
cours
de la
zéro
avec
M.
démonstration,
zéro dans
vers
L1,
et B tend
nous
rencontré la continuité
avons
On vérifierait de même que
associe
dépendent continûment
vers
tend
donc dans SM..p
l’application qui, à N,
tendent
Î
il s’ensuit que
du couple
(hI,N),
~M,M~ et
et que
L’application linéaire
M
et
~-r
Mc
est donc continue
de SM dans SM.
2)
Nous laissons le lecteur qui
catives
stochastiques
et
nulles
en
(~3~)
types
ments de
aux
intégrales multipli-
démontrer que les applications qui à
sont continues
(f
(f,M)
associent
décrit l’espace des fonctions
C2
0).
Nous allons maintenant étudier
deux
s’intéresserait
l’influence,
sur
la
topologie
de transformations qui laissent stable l’ensemble
temps et les changements
de
probabilité.
SM:
de
les
SM,
de
change-
277
Rappelons qu’un changement
t,
tei que, pour chaque
C,
de
l’opération de changement
T,
_T
=
inf{t: Ct~T};
jM
PROPOSITION 5 . Soit
continue de
C,
soit
Xt Xç1 £t
"
"
£çt ...
1 pour
un
temps
et c
changement de temps. L’application ôI
un
Ct
.
SM(03A9,F,P,(Ft)t~0) ;
=
M
-+
est
dans SM.
jM
Mn
sous-suite,
une
M~
M
vers
(N)T-
l’infini
vers
avec
T;
en
(iç_-
+
=
1£1 dans
M~
converge
SM,
et il
M
vers
M tend
=
outre,
H~:
peut
pour des
zéro dans
vers
On
j§,
H~(T-)
.
sous-entendant l ’indice n,
en
I,ç _,
s ’agit, quitte
dans
lieu localement dans
a
N~
temps d’arrêt T arbitrairement grands,
temps T tend
vers
converge
de vérifier que
supposer que la convergence de
Le
processus croissant brut
un
temps d’arrêt Nous noterons d’une barre
un
temps:
Démonstration. On suppose que
à extraire
de temps est
,
de sorte que
l’ùll_1(T-)
_
Puisque la
d’établir
2
+
5
S
H
j
j~
norme
est
contrôlée
~X~Hl ~
l’inégalité
~X~Hl
c
changements
et du fait que la
norme
H~
PROPOSITION 6
,
probabilité
correspondre
norme
(qui
~M~
a)
il
suffit,
pour
conclure,
Mais ceci résulte facilement du fait
+
~|dA
’0
~
Î]
équivalente à
est
S§
ne
change
pas
lorsqu’on remplace
elle-même)
de
a)
On
£M(P)
si Q est absolument cont inue par
jol(P)
la
P ar
une
dans
j§(Q) (qui
rapport à P, la
à toute semimartingale fait
est continue.
reprend
et
est la même pour P et
complète,
inf
M#L+A
m
La topologie de
généralement,
Démonstration.
=
H~,
temps conservent les martingales uniformément intégrables
de
projection canonique de
D
.
norme
équivalente Q.
Plus
topologies
par la
«
.
b)
’
*
m
que les
.
i
d’où le résultat .
.
exa.ctement la démonstration du théorème 2: les
sont toutes deux
Q);
on en
plus fortes
que la
déduit que la distance
d~sm
topologie
+
d~sm
est
de
278
b)
âP bornée.
~bo ==
supposer
prévisible
On notera
Mn
Soit
la
Zt
Nous cherchons à
en
une
sous-suite
.
Quitte à remplacer
Mn
H4(R-;P~.
que
Nn
Mn
de
vers
chaque
tend
inf(R,S)
vers
on
vers
zéro dans
vers
zéro dans
peut trouver des temps d’arrêt R
Q)
Mn
tels que
sont arbitrairement
H4(T-;P).
SM(Q).
Ecrivons la
tend
vers
zéro
pour Q et tels
grands
décomposition canonique
pour P.
tendent
H4(Q),
zéro dans
vers
qui tende
donc aussi pour
zéro dans
Les
An
sous-suite,
une
Les temps T =
converge
An
+
par
(pour P,
arbitrairement grands
temps d’arrêt S qui croissent
semimartingales convergeant
extraire
le crochet
soit borné.
sur
suite de
une
], Z,Z>
P-martingale
de Z calculé pour P. Il existe des
l’infini Q-p.s. tels que,
dans
P;Q ,on peut
Quitte à remplacer P par la probabilité équivalente
Nn
Pour vérifier que
vers
zéro dans
donc dans
tend aussi
L4(P)
donc dans
L4(Q);
ainsi,
SM(Q).
vers
zéro dans
posons
>
(où
et
le crochet est calculé pour
est,
comme
+
Bn
Nn,
P).
Le processus
Bn
est à variation
finie,
arrêté à T. Le théorème de
est pour Q la
Girsanov-Lenglart([5]) dit que
décomposition canonique de N. L’inégalité de
Kunit a-Wat anabe entraîne
(T0|dBns|)2 ~ Nn,Nn>T 0 dZ,Z>s
Comme
Nn
L (P)
donc dans
tend
vers
zéro dans
L (Q);
T0|dBns|
déduit que
.
H4(P),
le premier facteur tend
le second est borné dans
tend
vers
zéro dans
L2(Q),
L (p),
vers
donc dans
puis, à l’aide
de
zéro dans
L (Q).
On
en
l’inégalité
[Nn-B, ]12T~[Nn,]12T+0|dBns,
que
Nn
tend
vers
Donnons,
l’étude des
et
Meyer
zéro dans
pour
finir,
équations
(j~8]),
processus donné
H (Q)
une
donc aussi dans
dernière
propriété, qui
différentielles. On sait,
que l’ensemble des lois de
est
une
~
nous
grâce à
probabilité,
semimartingale,
un
sera
utile dans
théorème de Jacod
sous
lesquelles
est dénombrablement
un
convexe.
279
L’énoncé suivant, dans lequel
Soient
Supposons donnée
E ’~ ..
tend
1 ),
vers
une
une
toujours donné l’espace filtré
(Pk)
suite
semimartingales,
suite de
de
semimartingales:
tende
M
semimartingale.
une
P
telles que
probabilités
k, Mn
et que, pour chaque
M dans
suppose
montre que cela s’étend à la convergence des
(n,F,P,(Ft)t~ ~) ,
PROPOSITION 7.
on
M dans
vers
k
SM(P ).
Alors
supposer seulement que
Mn
,
calculée pour
03A9k
vraie
comparables définies
(d
E
k
est bien
d p k ).
Soit donc
dk(L,Lk)
Nn
une
suite de
Lk = Lk’ sur 03A9k~03A9k,.
clair que
Lk
sépare
semimartingale limite
vers une
avec
il
sur
=
f~k
0,
est
notera dk
la
les
points
Cauchy
Lk.
car
Mais,
chaque
elle est
dk
dk,
sont les
mêmes
plus forte
que
chaque
dk,
complète.
pour d. Elle converge, pour
étant plus forte que
semimartingale (théorème
L est limite pour
2 d
topologies
qui,
pour
chaque k, coïncide
de Jacod et
donc pour
d,
il est
Meyer), et,
de la suite
comme
Nn.
-
REFERENCES
[1]
N. BOURBAKI.
Espaces vectoriels topologiques, chapitre 1. Hermann, Paris,
1966.
[2]
Cl. DELLACHERIE. Quelques applications du lemme de Borel-Cantelli à la
théorie des semimartingales. Séminaire de Probabilités XII, p.742.
[3]
Pk.
0. La
->’
et d = E
dsm
Le processus L
une
on
de vérifier que les
s’agit
Il suffit pour cela de vérifier que d est
cp
et
pourrait
probabilités
0 Ylc entraîne
-~
SM par les distances
distance: elle
une
pour les
on
Pk-
(proposition 6),
sur
0},
l’événement
Nous voulons montrer que
réciproque étant
semimartingales
et M sont des
Démonstration. On appellera
dsm
Mn
SM(P).
Remarque: Le théorème de Jacod-Meyer permet d’affaiblir l’hypothèse:
distance
(avec
M. EMERY. Stabilité des solutions des
équations différentielles stochas-
tiques. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie 41,
241-262, 1978.
280
[4]
N.KAZAMAKI.
Z.
[5]
Change of time, stochastic integrals, and
probabilités.
ment continu de
P.A. MEYER.
Inégalités
de
Séminaire de Probabilités
[7]
martingales.
Wahrscheinlichkeitstheorie 22, 25-32, 1972.
E. LENGLART. Transformation des
[6]
weak
locales par
martingales
changement absolu-
Z. Wahrscheinlichkeitstheorie
normes
XII,
pour les
p.
39, 65-70, 1977.
intégrales stochastiques.
757.
P.A. MEYER. Le théorème fondamental
sur
martingales locales.
les
Séminaire de Probabilités XI, p. 463.
[8]
P.A. MEYER. Sur
théorème de C. Stricker.
un
Séminaire de Probabilités XI, p. 482.
[9]
Ph. PROTTER.
Hp-Stability
of solutions of stochastic differential
Z. Wahrscheinlichkeitstheorie
[10]
M. YOR.
Inégalités
C. R. Acad. Sci.
[11]
44, 337-352, 1978.
entre processus minces et
Paris,
t. 286
(8
mai
applications.
1978).
Théorème de Dellacherie-Mokobodzki. Dans
ce
IRMA
volume.
(L.A.
au
C.N.R.S.)
René Descartes
F-67084 STRASBOURG-Cedex
7
rue
equations.