Compléments d`intégration - Académie de Nancy-Metz

Compléments d’intégration
propriétés de l’intégrale sur un segment, intégrales impropres
()
Compléments d’intégration
1 / 56
1
Intégrale d’une fonction continue sur un segment
2
Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment
3
Inégalités classiques
4
Sommes de Riemann
5
Intégrales impropres
6
Intégration sur un intervalle quelconque
()
Compléments d’intégration
2 / 56
Plan
1
Intégrale d’une fonction continue sur un segment
2
Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment
3
Inégalités classiques
4
Sommes de Riemann
5
Intégrales impropres
6
Intégration sur un intervalle quelconque
()
Compléments d’intégration
3 / 56
Dans tout le cours, on suppose toujours que a 6 b lorsqu’on parle du
segment [a, b]. Comme dans le chapitre méthodes de calcul de primitives
et d’intégrales, on admet que toute fonction continue sur un intervalle
possède une primitive sur cet intervalle.
()
Compléments d’intégration
4 / 56
Intégrale d’une fonction continue sur un segment
Définition
Soit f une fonction continue sur un segment [a, b] (a 6Zb). On appelle
intégrale de f sur le segment [a, b] le nombre réel noté
f et défini par
[a,b]
Z
f = F (b) − F (a) où F désigne une primitive quelconque de f sur
[a,b]
[a, b].
()
Compléments d’intégration
5 / 56
Remarque:
Z
f représente l’aire algébrique de la région du plan délimitée par
[a,b]
l’axe (Ox), la courbe représentative de f et les droites d’équations x = a
et x = b, en affectant d’un signe + les parties situées au dessus de l’axe
(Ox) et d’un signe − les parties situées en dessous.
()
Compléments d’intégration
6 / 56
Proposition (linéarité)
L’application
C([a, b], R) −→ R
Z
f
7−→
f
[a,b]
est une forme linéaire sur l’espace vectoriel C([a, b], R) des fonctions
continues sur le segment [a, b]. Autrement dit, pour toutes fonctions f et
g continues sur [a, b] et tout réel λ, on a
Z
Z
Z
(λf + g ) = λ
f +
g.
[a,b]
()
[a,b]
Compléments d’intégration
[a,b]
7 / 56
Démonstration. Soit λ ∈ R et f et g deux fonctions continues sur [a, b].
On note F et G des primitives respectives de f et g sur [a, b]. La fonction
λF + G est alors une primitive de λf + g sur [a, b]. On a alors
Z
(λf + g ) = (λF + G )(b) − (λF + G )(a)
[a,b]
= λF (b) + G (b) − λF (a) − G (a)
= λ(F (b) − F (a)) + (G (b) − G (a))
Z
Z
=λ
f +
g.
[a,b]
()
[a,b]
Compléments d’intégration
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Proposition (positivité)
Si f est une fonction continue et positive sur le segment [a, b], alors son
intégrale sur [a, b] est positive, autrement dit,
Z
f > 0 =⇒
f > 0.
[a,b]
()
Compléments d’intégration
9 / 56
Démonstration. On note F une primitive de f sur [a, b]. On a
Z
f = F (b) − F (a).
[a,b]
La fonction F est continue et dérivable sur [a, b], donc d’après le théorème
des accroissements finis, il existe c ∈]a, b[ tel que
F 0 (c) =
Donc
F (b) − F (a)
F (b) − F (a)
, donc f (c) =
b−a
b−a
Z
f = F (b) − F (a) = (b − a)f (c)
[a,b]
Puisque Zf est positive sur [a, b] et puisque b − a > 0, on a (b − a)f (c) > 0
et ainsi
f > 0.
[a,b]
()
Compléments d’intégration
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Corollaire
Si f et g sont deux fonctions continues sur [a, b] telles que f 6 g , alors on
a
Z
Z
f 6
g
[a,b]
[a,b]
Démonstration. Soit f et g deux fonctions continues sur [a, b] telles que
f 6 g . La fonction g − f est Ralors positive et continue sur [a, b]. D’après la
proposition précédente, on a [a,b] (g − f ) > 0 ce qui donne, avec la
R
R
linéarité de l’intégrale, [a,b] f 6 [a,b] g .
()
Compléments d’intégration
11 / 56
Corollaire
Pour toute fonction f continue sur [a, b], on a
Z
Z
|f |.
f6
[a,b] [a,b]
()
Compléments d’intégration
12 / 56
b
Z
f (x) dx
Lien avec la notation
a
Rappel : Soit f une fonction continue sur un intervalle I . Pour tous réels a
et b appartenant à I , l’intégrale de f entre a et b est le nombre réel
Z b
f (x) dx par
a
Z b
f (x)dx = F (b) − F (a)
a
où F désigne une primitive quelconque de f sur I , et ce quel que soit
l’ordre des réels a et b.
()
Compléments d’intégration
13 / 56
Proposition
Soit f une fonction continue sur un intervalle I . Pour tous réels a et b
appartenant à I , on a
 Z


f
si a 6 b
Z b

[a,b]
Z
f (x) dx =

a

−
f
si a > b.

[b,a]
Z
Remarque: Si a > b,
b
f (x) dx n’est pas l’intégrale de f sur un
a
segment : certaines propriétés de l’intégrale ne passent pas avec cette
notation, en particulier, les propriétés de positivité et de croissance ne sont
pas conservées. Dans la pratique, si a > b, pour comparer des intégrales
Z a
Z b
f (x) dx.
entre a et b, il est conseillé d’utiliser − f (x) dx à la place de
b
()
Compléments d’intégration
a
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Exercice 1
Soit f la fonction définie par
Z
sin(x)/2
∀x ∈ R, f (x) =
√
cos(x)/2
et
dt
1 − t2
Montrer que f est de classe C 1 sur R et calculer sa dérivée.
()
Compléments d’intégration
15 / 56
Proposition (relation de Chasles)
Soit f une fonction continue sur un intervalle I . Pour tous réels a , b et c
appartenant à I tels que a 6 b 6 c, on a
Z
Z
Z
f =
f +
f.
[a,c]
()
[a,b]
[b,c]
Compléments d’intégration
16 / 56
Plan
1
Intégrale d’une fonction continue sur un segment
2
Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment
3
Inégalités classiques
4
Sommes de Riemann
5
Intégrales impropres
6
Intégration sur un intervalle quelconque
()
Compléments d’intégration
17 / 56
Fonctions continues par morceaux sur un segment
Définition
On appelle subdivision de [a, b] toute famille finie (xi )06i6n strictement
croissante d’éléments de [a, b] telle que
a = x0 < x1 < · · · < xn = b.
Exemple: 1; 2; 52 ; 3, 2; 4 est une subdivision de [1, 4].
Remarque:
[ Si (xi )06i6n est une subdivision de [a, b], alors on a
[a, b] =
[xi−1 , xi ].
16i6n
()
Compléments d’intégration
18 / 56
Définition
Soit f une fonction à valeurs réelles définie sur le segment [a, b]. On dit
que f est continue par morceaux si, et seulement si, il existe une
subdivision (xi )i∈[[0,n]] de [a, b] telle que f soit continue sur chacun des
intervalles ouverts ]xi−1 , xi [ (1 6 i 6 n) et
prolongeable par continuité sur chacun des intervalles fermés [xi−1 , xi ].
Une telle subdivision est dite adaptée à la fonction f .
Remarque: Une fonction continue est un cas particulier de fonction
continue par morceaux.
()
Compléments d’intégration
19 / 56
Proposition
Si f et g sont deux fonctions continues par morceaux sur [a, b] et λ un
réel, alors λf + g et fg sont deux fonctions continues par morceaux sur
[a, b].
()
Compléments d’intégration
20 / 56
Intégrale d’une fonction continue par morceaux
Définition
Soit f une fonction continue par morceaux sur le segment [a, b] et
(xi )06i6n une subdivision adaptée à f . Pour tout i ∈ {1, 2, . . . , n}, on note
fi le prolongement par continuité de f sur le segment [xi−1 , xi ]. On définit
alors l’intégrale de f sur [a, b] par
Z
Z
Z
Z
f =
f1 +
f2 + · · · +
fn .
[a,b]
[a,x1 ]
[x1 ,x2 ]
[xn−1 ,b]
Remarque: Les propriétés de linéarité, positivité et croissance de
l’intégrale sont conservées lorsque la fonction à intégrer est continue par
Z b
morceaux. La notation
f (x)dx est définie de la même façon que
a
précédemment pour une fonction continue par morceaux et la relation de
Chasles reste valable.
Exemple:
()
Compléments d’intégration
21 / 56
Attention : Certains résultats valables pour l’intégrale des fonctions
continues ne sont plus vérifiés dès que la fonction à intégrer est seulement
continue par morceaux !
On admettra le résultat suivant, valable uniquement avec pour les
fonctions continues.
Théorème
Soit f une fonction continue positive sur un segment [a, b].
L’intégrale de f sur [a, b] est nulle si, et seulement si, f est nulle sur [a, b].
()
Compléments d’intégration
22 / 56
Par contre, une fonction positive et continue par morceaux sur [a, b] peut
être d’intégrale nulle sans être nulle sur tout le segment [a, b]
()
Compléments d’intégration
23 / 56
Plan
1
Intégrale d’une fonction continue sur un segment
2
Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment
3
Inégalités classiques
4
Sommes de Riemann
5
Intégrales impropres
6
Intégration sur un intervalle quelconque
()
Compléments d’intégration
24 / 56
Valeur moyenne, inégalité de la moyenne
À partir de maintenant, on suppose que a et b sont deux réels tels que
a < b. Il faut bien noter que la plupart des résultats de la suite du cours
sont faux si l’on ne fait pas cette supposition.
()
Compléments d’intégration
25 / 56
Définition
Soit f une fonction continue par morceaux sur un segment [a, b]. On
appelle valeur moyenne de f le nombre réel
1
µ=
b−a
Z
b
f (x)dx.
a
Remarque: La valeur moyenne µ de f est égale à la valeur de la fonction
constante sur [a, b] qui a la même intégrale que f sur [a, b]. Autrement
dit, c’est la longueur du côté du rectangle dont l’autre côté est [a, b] et qui
a même aire que l’aire délimitée par la courbe représentative de f , l’axe
(Ox) et les droites d’équations x = a et x = b.
()
Compléments d’intégration
26 / 56
Proposition
Soit f et g deux fonctions continues par morceaux sur [a, b] et M un
majorant M de |f | sur [a, b].
On a
Z b
Z b
|g (x)|dx
f (x)g (x)dx 6 M a
a
et en particulier, en choisissant pour g la fonction constante égale à 1, on
obtient
Z b
6 M · (b − a).
f
(x)dx
(Inégalité de la moyenne)
a
Ceci donne une majoration naturelle de la valeur absolue de la valeur
moyenne de f :
Z b
1
|µ| = f (x)dx 6 M.
b−a a
()
Compléments d’intégration
27 / 56
Inégalité de Cauchy-Schwarz
Théorème
Soit f et g deux fonctions continues par morceaux sur le segment [a, b].
On a
2 Z b
Z b
Z b
2
f (x)g (x)dx 6
f (x)dx
g 2 (x)dx .
a
a
a
Démonstration. Soit f et g deux fonctions continues par morceaux sur
[a, b]. Pour tout λ ∈ R, on pose
Z
P(λ) =
b
(f (x) + λg (x))2 dx = λ2
a
Z
b
g 2 (x)dx + 2λ
a
Z
+
Z
b
f (x)g (x)dx
a
b
f 2 (x)dx.
a
P est une fonction polynômiale en λ de degré inférieur ou égal à 2 et telle
que ∀λ ∈ R, P(λ) > 0.
()
Compléments d’intégration
28 / 56
Z
b
g 2 (x)dx = 0, alors P est une fonction affine qui est toujours
Si
a
positive. Donc P est une fonction constante et l’on a
Z b
f (x)g (x)dx = 0. On obtient donc
a
Z
b
f (x)g (x)dx
Si
=0=
Z
b
2
f (x)dx
Z
a
a
Z
2
b
g 2 (x)dx .
a
b
g 2 (x)dx 6= 0, alors P est un trinôme du second degré qui reste
a
positif sur R donc son discriminant
Z b
2 Z
f (x)g (x)dx −
∆=4
a
b
2
f (x)dx
a
Z
b
2
g (x)dx
a
est négatif ou nul. L’inégalité de Cauchy-Schwarz en découle
immédiatement.
()
Compléments d’intégration
29 / 56
Plan
1
Intégrale d’une fonction continue sur un segment
2
Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment
3
Inégalités classiques
4
Sommes de Riemann
5
Intégrales impropres
6
Intégration sur un intervalle quelconque
()
Compléments d’intégration
30 / 56
Définition
Soit f une fonction continue sur [a, b] et n un entier strictement positif. Si
l’on partage le segment [a,
b] en n intervalles de même longueur à l’aide de
la subdivision a + k b−a
n k∈[[1,n]] , on appelle somme de Riemann
correspondant à cette subdivision la somme
n−1
b−aX
Sn =
f
n
k=0
()
b−a
a+k
n
Compléments d’intégration
.
31 / 56
Remarque:
1
On peut également choisir pour somme de Riemann la somme
n
Sn0
b−aX
=
f
n
k=1
2
b−a
a+k
n
qui revient à choisir l’extrémité de droite de chacun des segments de
b−a
pour tracer les rectangles.
longueur
n
Dans les deux cas, une somme de Riemann est l’intégrale d’une
fonction en escalier sur [a, b].
()
Compléments d’intégration
32 / 56
Théorème
La suite (Sn )n∈N des sommes de Riemann d’une fonction f continue sur
[a, b] converge vers l’intégrale de f sur [a, b], autrement dit
Z
lim Sn =
n→+∞
b
f (x)dx.
a
Remarque: Ce résultat de convergence confirme que l’intégrale d’une
fonction f sur [a, b] est l’aire algébrique sous la courbe représentative de f .
()
Compléments d’intégration
33 / 56
Grâce aux sommes de Riemann, il est possible de calculer des valeurs
approchées d’intégrales mais cette méthode n’est pas très performante (en
terme de rapidité de convergence). Cependant, les sommes de Riemann
sont utiles pour trouver la limite de certaines suites. Si on prend a = 0 et
b = 1, la somme de Riemann d’une fonction f s’écrit simplement
n
1X
f
Sn =
n
k=1
k
n
Application: Calculer la limite de la suite (un )n∈N∗ définie par
2n
P
1
∀n ∈ N∗ , un =
.
p
p=n+1
()
Compléments d’intégration
34 / 56
Plan
1
Intégrale d’une fonction continue sur un segment
2
Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment
3
Inégalités classiques
4
Sommes de Riemann
5
Intégrales impropres
6
Intégration sur un intervalle quelconque
()
Compléments d’intégration
35 / 56
Dans quelle situation ?
La fonction f peut poser problème en une borne finie de l’intervalle
d’intégration. On considère a et b deux réels avec a < b et f une
fonction continue sur [a, b[ (resp. sur ]a, b]). Si f possède une limite finie
en b (resp. en a), on peut prolonger f par continuité sur [a, b]. En notant
f˜ le prolongement par continuité de f sur [a, b], on a alors
Z
b
Z
f (x)dx =
b
f˜(x)dx.
a
a
Mais il peut arriver que lim f (t) ou lim f (t) n’existe pas ou est infinie !
t→a
t→b
Exemples: Peut-on définir
0+ ?
R1
dt
0R t alors que la fonction inverse tend
π/2
cos(1/t)dt alors que la fonction
0
vers
+∞ en
Peut-on définir
to → cos(1/t) n’a pas de limite en 0 ?
()
Compléments d’intégration
36 / 56
L’intervalle d’intégration n’est pas borné. On considère une fonction f
définie et continue sur un intervalle [a, +∞[ ou ] − ∞, b].
R +∞ dt
R +∞
Exemple: Peut-on définir 1
tdt ?
t ? Peut-on définir 0
()
Compléments d’intégration
37 / 56
Intégrales convergentes ou divergentes
Définition
Soit f une application continue sur [a, b[ (où b > a, éventuellement
Z b
b = +∞). On dit que l’intégrale
f (t)dt est convergente si et
a
Z x
seulement si
f (t)dt admet une limite finie lorsque x tend vers b. Dans
a
ce cas, on a
Z
Z
b
x
f (t)dt = lim
x→b
a
Z
f (t)dt.
a
x
Si la limite de
f (t)dt lorsque x tend vers b n’est pas finie ou n’existe
Z b
f (t)dt diverge.
pas, on dit que l’intégrale
a
a
()
Compléments d’intégration
38 / 56
Définition
Soit f une application continue sur ]a, b] (où a < b, éventuellement
Z b
a = −∞). On dit que l’intégrale
f (t)dt est convergente si et
a
Z b
seulement si
f (t)dt admet une limite finie lorsque x tend vers a. Dans
x
ce cas, on a
Z
Z
b
b
f (t)dt = lim
x→a x
a
Z
f (t)dt.
b
Si la limite de
f (t)dt lorsque x tend vers a n’est pas finie ou n’existe
Z b
pas, on dit que l’intégrale
f (t)dt diverge.
x
a
()
Compléments d’intégration
39 / 56
Définition
Soit f une application continue sur ]a, b[ (où a < b, éventuellement
Z b
a = −∞ et/ou b = +∞). Soit c ∈ ]a, b[. On dit que l’intégrale
f (t)dt
a
Z c
Z b
est convergente si et seulement si les intégrales
f (t)dt et
f (t)dt
a
sont convergentes. Dans ce cas, on a
Z
b
Z
f (t)dt =
a
c
Z
f (t)dt +
c
b
f (t)dt.
a
c
Z
Dans le cas contraire, on dit que l’intégrale
b
f (t)dt diverge.
a
()
Compléments d’intégration
40 / 56
Exemples fondamentaux : les intégrales de Riemann
Soit α un réel. Z
.
1
L’intégrale
dt est convergente si et seulement si α < 1.
α
0 t
Z +∞
1
L’intégrale
dt est convergente si et seulement si α > 1.
α
t
.
Plus généralement, soient a et α des réels.
Z .
dt
L’intégrale
converge si et seulement si α < 1.
α
a (t − a)
Z +∞
dt
L’intégrale
converge si et seulement si α > 1.
(t
−
a)α
.
Démonstration.
Application:
()
Compléments d’intégration
41 / 56
Autres exemples :
Z
L’intégrale
1
ln(t)dt est convergente.
0
Z
+∞
L’intégrale
ln(t)dt est divergente.
1
Z
L’intégrale
+∞
e−αt dt est convergente pour tout réel α > 0.
0
()
Compléments d’intégration
42 / 56
Théorème
Soit f et g deux fonctions continues sur [a, b[ (resp. ]a, b], resp. ]a, b[) et
λ un réel.
Z b
Z b
Si les intégrales
f (t)dt et
g (t)dt convergent, alors l’intégrale
a
a
Z b
(f + λg )(t)dt est convergente.
a
()
Compléments d’intégration
43 / 56
Intégrales des fonctions positives
Dans ce paragraphe, on considère a et b réels ou ±∞.
Théorème
Soit f et g deux fonctions continues et positives sur [a, b[ (resp. ]a, b],
resp. ]a, b[). On suppose que pour tout t ∈ [a, b[ (resp. ]a, b], resp. ]a, b[),
on a f (t) 6 g (t), alors :
Z
1
Si l’intégrale
b
Z
g (t)dt est convergente, alors l’intégrale
a
2
converge aussi.
Z b
Z
Si l’intégrale
f (t)dt est divergente, alors
a
()
b
f (t)dt
a
b
g (t)dt diverge aussi.
a
Compléments d’intégration
44 / 56
Remarque: Si l’intervalle d’intégration est [a, b[ et que l’éventuel
problème se situe en b, les résultats du théorème précédent restent
valables si pour un certain c ∈ [a, b[, on a ∀t ∈ [c, b[, f (t) 6 g (t),
c’est-à-dire si cette majoration est valable au voisinage de b. (La
comparaison f (t) 6 g (t) sur tout l’intervalle d’intégration [a, b[ n’est pas
toujours possible.)
Exemples:
Z
+∞
étudier la convergence de l’intégrale
2
e−t dt.
0
Z
étudier la convergence de l’intégrale
+∞ 2
()
Compléments d’intégration
1
+ e−t dt.
t
45 / 56
Théorème
Soit f et g deux fonctions continues et positives sur [a, b[ (resp. ]a, b])
Z b
telles que f ∼ g (resp. f ∼
g
).
Alors
les
intégrales
f (t)dt et
a
b
a
Z b
g (t)dt sont de même nature, c’est-à-dire :
a
Z b
Z b
l’intégrale
f (t)dt converge si et seulement si l’intégrale
g (t)dt
a
a
converge.
Z b
Z b
l’intégrale
f (t)dt diverge si et seulement si l’intégrale
g (t)dt
diverge.
()
a
a
Compléments d’intégration
46 / 56
Théorème
Soit f et g deux fonctions continues et positives sur [a, b[ (resp. ]a, b])
telles que f = o (g ) (resp. f = oa (g )).
b
Z b
Z b
Si l’intégrale
g (t)dt converge, alors l’intégrale
f (t)dt converge
a
a
Exemples:
Z
π/4
étudier la convergence de l’intégrale
dt
.
tan(t)
Z +∞
1
étudier la convergence de l’intégrale
sin
dt.
t
1/π
0
()
Compléments d’intégration
p
47 / 56
Intégrales absolument convergentes
Définition
Soit f une fonction continue sur [a, b[ (resp. ]a, b], resp. ]a, b[). On dit que
Z b
l’intégrale
f (t)dt est absolument convergente si et seulement si
Za b
l’intégrale
|f (t)|dt est convergente.
a
()
Compléments d’intégration
48 / 56
Théorème
Soit f une fonction continue sur [a, b[ (resp. ]a, b], resp. ]a, b[).
Z b
Si l’intégrale
f (t)dt est absolument convergente, alors cette intégrale
a
est convergente.
Z
b
b
Z
|f (t)|dt converge, alors
Autrement dit : si
a
f (t)dt converge.
a
Z
b
|f (t)|dt à
Utilité : si l’on arrive à prouver la convergence de l’intégrale
a
l’aide des théorèmes utilisant la comparaison des fonctions positives
Z b
(puisque |f | > 0), on aura prouvé la convergence de l’intégrale
f (t)dt.
a
Z
Exemple: étudier la convergence de l’intégrale
0
()
Compléments d’intégration
+∞
ln(t)
dt.
1 + t2
49 / 56
Plan
1
Intégrale d’une fonction continue sur un segment
2
Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment
3
Inégalités classiques
4
Sommes de Riemann
5
Intégrales impropres
6
Intégration sur un intervalle quelconque
()
Compléments d’intégration
50 / 56
Remarque: Soit I un intervalle de R. L’intervalle I est de la forme ]a, b[,
[a, b[, ]a, b] ou [a, b], les extrémités
ouvertes de l’intervalle pouvant être
Z
+∞ ou −∞. On note aussi f l’intégrale (impropre si I n’est pas un
I
Z b
segment)
f (x)dx de f sur cet intervalle.
a
()
Compléments d’intégration
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Définition
Soit I un intervalle de R qui n’est pas un segment et f une fonction
continue par morceaux sur I .
Z
On dit que f est intégrable sur I si l’intégrale f (x)dx est absolument
I
convergente.
Z
Dans ce cas, on appelle intégrale de f sur I et l’on note
f la valeur de
I
cette intégrale impropre.
Remarque:
1
Les fonctions positives dont l’intégrale sur I converge sont donc
intégrables.
2
Pour les fonctions qui changent de signe, il faut faire attention !
()
Compléments d’intégration
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Exemple: On considère la fonction f définie par f (x) =
et f (0) = 1.
1
π/2
Z
|f (x)|dx =
0
Donc
3
4
pour x 6= 0
La fonction f est continue et positive sur [0, π2 ] donc
Z
2
sin x
x
π/2
f (x)dx converge
0
R π/2
f (x)dx est absolument convergente. f est intégrable en 0.
R +∞ sin x En +∞, π/2 x dx diverge (admis), donc l’intégrale n’est pas
absolument convergente. Donc f n’est pas intégrable en +∞.
0
Au final, f n’est pas intégrable sur [0, +∞[.
R +∞ sin x
Par contre, l’intégrale 0
x dx converge et vaut
()
Compléments d’intégration
π
2
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Proposition
1
Linéarité : Soit f et g deux fonctions continues par morceaux sur I et
λ un nombre réel. Si f et g sont intégrables sur I , alors f + λg est
intégrable sur I et l’on a
Z
Z
Z
(f + λg ) = f + λ g .
I
2
I
Relation de Chasles : Soit f une fonction continue par morceaux et
intégrable sur deux intervalles I et J. Si I ∪ J est un intervalle et si
I ∩ J est vide ou réduit à un point, alors f est intégrable sur I ∪ J et :
Z
Z
Z
f = f + f.
I ∪J
3
I
I
J
Soit f une fonction intégrable sur I . On a
Z Z
f 6 |f |.
I
()
I
Compléments d’intégration
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Théorème (Changement de variable dans une intégrale impropre)
Soit f une fonction intégrable sur un intervalle J et ϕ : I → J une
bijection d’un intervalle I sur J, de classe C 1 sur I . On a :
Z
Z
f = f ◦ ϕ |ϕ0 |.
J
I
Autrement dit, en notant a, b les extrémités de I et a1 et b1 les limites de
ϕ en a et b respectivement, on a :
Z
b1
Z
f (t)dt =
a1
b
f (ϕ(u)) ϕ0 (u)du.
a
(le changement de variable est t = ϕ(u), la valeur absolue n’apparaı̂t
plus !)
()
Compléments d’intégration
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Remarque:
1
2
Le théorème assure que si f est intégrable sur J, alors f ◦ ϕ.ϕ0 est
intégrable sur I .
La disparition de la valeur absolue autour de ϕ0 s’explique par le fait
que a1 6 b1 si ϕ est croissante et b1 6 a1 si ϕ est décroissante.
Z
Z b1
L’intégrale
f (t)dt si ϕ0 > 0 et désigne son opposée,
f désigne
si ϕ0 < 0.
()
J
a1
Compléments d’intégration
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